Feuille d'entraînement : Référentiels non galiléens et forces d'inertie

Corrigés

1. Exercice 1CentraleSupélec Physique-Chimie 1 MPI 2024, Q28

   Un référentiel galiléen est un référentiel dans lequel le principe d'inertie (première loi de Newton) est vérifié : tout point matériel isolé ou pseudo-isolé (c'est-à-dire soumis à des forces dont la somme vectorielle est nulle) y est soit au repos, soit en mouvement de translation rectiligne uniforme :

   \sum \vec{F}_{\text{ext}} = \vec{0} \implies \vec{v} = \vec{\text{cte}}.

   D'après le préambule, le référentiel héliocentrique \mathcal{R}_h est considéré comme galiléen. Or, tout référentiel galiléen doit être animé d'un mouvement de translation rectiligne et uniforme par rapport à un autre référentiel galiléen.

   Le référentiel \mathcal{R} est en rotation uniforme autour de l'axe (Sz) par rapport à \mathcal{R}_h, avec un vecteur rotation non nul \vec{\omega} = \omega\,\vec{e}_z.

   \boxed{\text{Le référentiel }\mathcal{R}\text{ n'est pas en translation rectiligne uniforme par rapport à }\mathcal{R}_h\text{ : il est donc non galiléen.}}

   Résultat

   $$\text{Le reˊfeˊrentiel }\mathcal{R}\text{ n’est pas en translation rectiligne uniforme par rapport aˋ }{\mathcal{R}}_h\text{ : il est donc non galileˊen.}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2CentraleSupélec Physique-Chimie 1 MPI 2024, Q32

   La loi fondamentale de la physique mise en jeu est le principe fondamental de la dynamique (ou deuxième loi de Newton), appliqué au télescope JWST assimilé à un point matériel de masse m dans le référentiel d'étude \mathcal{R}.

   L'énoncé de cette loi dans le référentiel \mathcal{R} s'écrit :

   \boxed{m \, \vec{a}(M/\mathcal{R}) = \sum \vec{F}_{\text{ext}} + \vec{F}_{\text{ie}} + \vec{F}_{\text{ic}}}

   Les précautions indispensables à prendre lors de son écriture sont les suivantes :

   1. Caractère non galiléen du référentiel d'étude : Le référentiel \mathcal{R} étant en rotation à la vitesse angulaire \vec{\omega} = \omega\,\vec{e}_z par rapport au référentiel galiléen \mathcal{R}_h, il convient d'ajouter au bilan des forces réelles (attractions gravitationnelles du Soleil et de la Terre) les deux forces d'inertie :

      • la force d'inertie d'entraînement : \vec{F}_{\text{ie}} = -m\,\vec{\omega} \wedge (\vec{\omega} \wedge \overrightarrow{SM}) = m\,\omega^2 (x\,\vec{e}_x + y\,\vec{e}_y) ;
      • la force d'inertie de Coriolis : \vec{F}_{\text{ic}} = -2m\,\vec{\omega} \wedge \vec{v}(M/\mathcal{R}).

   2. Dérivation dans le référentiel relatif : La vitesse \vec{v}(M/\mathcal{R}) et l'accélération \vec{a}(M/\mathcal{R}) doivent être obtenues en dérivant les coordonnées du vecteur position \overrightarrow{SM} par rapport au temps dans la base liée à \mathcal{R} :

      \vec{a}(M/\mathcal{R}) = \ddot{\varepsilon}_x(t)\,\vec{e}_x + \ddot{\varepsilon}_y(t)\,\vec{e}_y + \ddot{\varepsilon}_z(t)\,\vec{e}_z
   3. Linéarisation au voisinage de la position d'équilibre : Pour aboutir au système différentiel linéaire proposé, il est nécessaire d'effectuer un développement limité au premier ordre des forces gravitationnelles en fonction des petits déplacements \varepsilon_x, \varepsilon_y, \varepsilon_z (puisque |\varepsilon| \ll r_{L_2}), et d'utiliser la relation d'équilibre vérifiée en L_2 établie à la question Q29.

   Résultat

   $$m\vec{a}(M/\mathcal{R})=\sum {\vec{F}}_{\text{ext}}+{\vec{F}}_{\text{ie}}+{\vec{F}}_{\text{ic}}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3CentraleSupélec Physique-Chimie 1 MPI 2024, Q33

   Le vecteur position du télescope au voisinage de L_2 est donné par :

   \overrightarrow{SM} = \bigl(d_{TS} + r_{L_2} + \varepsilon_x(t)\bigr)\vec{e}_x + \varepsilon_y(t)\vec{e}_y + \varepsilon_z(t)\vec{e}_z

   La base (\vec{e}_x, \vec{e}_y, \vec{e}_z) étant fixe dans le référentiel \mathcal{R}, le vecteur vitesse de M par rapport à \mathcal{R} s'écrit :

   \vec{v}(M/\mathcal{R}) = \left(\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{SM}}{\mathrm{d}t}\right)_{\mathcal{R}} = \dot{\varepsilon}_x(t)\vec{e}_x + \dot{\varepsilon}_y(t)\vec{e}_y + \dot{\varepsilon}_z(t)\vec{e}_z

   Le référentiel \mathcal{R} est en rotation uniforme autour de l'axe (Sz) à la vitesse angulaire \omega par rapport au référentiel galiléen \mathcal{R}_h, d'où :

   \vec{\omega} = \omega\,\vec{e}_z

   La force d'inertie de Coriolis exercée sur le télescope de masse m est donnée par :

   \vec{F}_{\text{ic}} = -2m\,\vec{\omega}\wedge\vec{v}(M/\mathcal{R})

   Soit, en divisant par la masse m :

   \begin{aligned} \frac{\vec{F}_{\text{ic}}}{m} &= -2\omega\,\vec{e}_z \wedge \bigl(\dot{\varepsilon}_x(t)\vec{e}_x + \dot{\varepsilon}_y(t)\vec{e}_y + \dot{\varepsilon}_z(t)\vec{e}_z\bigr) \\ &= -2\omega \Bigl(\dot{\varepsilon}_x(t)\underbrace{(\vec{e}_z \wedge \vec{e}_x)}_{=\,\vec{e}_y} + \dot{\varepsilon}_y(t)\underbrace{(\vec{e}_z \wedge \vec{e}_y)}_{=\,-\vec{e}_x} + \dot{\varepsilon}_z(t)\underbrace{(\vec{e}_z \wedge \vec{e}_z)}_{=\,\vec{0}}\Bigr) \\ &= 2\omega\dot{\varepsilon}_y(t)\,\vec{e}_x - 2\omega\dot{\varepsilon}_x(t)\,\vec{e}_y \end{aligned}

   En projetant la relation fondamentale de la dynamique écrite dans \mathcal{R} (m\vec{a}(M/\mathcal{R}) = \sum \vec{F}_{\text{ext}} + \vec{F}_{\text{ie}} + \vec{F}_{\text{ic}}), les contributions de la force de Coriolis à l'accélération relative \ddot{\varepsilon}_x(t) et \ddot{\varepsilon}_y(t) sont :

   \boxed{\left(\frac{\vec{F}_{\text{ic}}}{m}\right) \cdot \vec{e}_x = 2\omega\dot{\varepsilon}_y(t) \quad \text{et} \quad \left(\frac{\vec{F}_{\text{ic}}}{m}\right) \cdot \vec{e}_y = -2\omega\dot{\varepsilon}_x(t)}

   On retrouve bien identiquement les termes figurant dans les deux premières équations du système différentiel (III.2).

   Résultat

   $$\left(\frac{{\vec{F}}_{\text{ic}}}{m}\right)\cdot {\vec{e}}_x=2\omega {\dot{\epsilon }}_y(t)\text{et}\left(\frac{{\vec{F}}_{\text{ic}}}{m}\right)\cdot {\vec{e}}_y=-2\omega {\dot{\epsilon }}_x(t)$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4Mines-Ponts Physique 2 MPI 2023, Q16

   Soit un point matériel M de masse m, en mouvement dans un référentiel non galiléen \mathcal{R} en rotation à la vitesse angulaire instantanée \vec{\Omega} = \vec{\Omega}_{\mathcal{R}/\mathcal{R}_0} par rapport à un référentiel galiléen \mathcal{R}_0, l'origine de \mathcal{R} étant notée O'.

   On distingue deux forces d'inertie :

   1. La force d'inertie d'entraînement :

      \boxed{\vec{F}_{\mathrm{ie}} = - m \vec{a}_{\mathrm{e}}(M)}

      où l'accélération d'entraînement générale s'écrit :

      \vec{a}_{\mathrm{e}}(M) = \vec{a}(O')_{\mathcal{R}_0} + \left(\frac{\mathrm{d}\vec{\Omega}}{\mathrm{d}t}\right)_{\mathcal{R}_0} \wedge \vec{O'M} + \vec{\Omega} \wedge \left(\vec{\Omega} \wedge \vec{O'M}\right)

      Dans le cas d'une rotation uniforme (\vec{\Omega} = \text{cte}) autour d'un axe fixe (\Delta), en notant H le projeté orthogonal de M sur cet axe, cette force se réduit à la force centrifuge axifuge :

      \vec{F}_{\mathrm{ie}} = - m\,\vec{\Omega}\wedge(\vec{\Omega}\wedge\vec{HM}) = m\,\Omega^2\,\vec{HM}

   2. La force d'inertie de Coriolis (ou complémentaire) :

      \boxed{\vec{F}_{\mathrm{ic}} = - m \vec{a}_{\mathrm{c}}(M) = - 2 m \, \vec{\Omega} \wedge \vec{v}_{\mathrm{r}}(M)}

   Signification des grandeurs introduites :

   • m : masse du point matériel étudié (en \mathrm{kg}) ;
   • \vec{\Omega} : vecteur rotation instantanée du référentiel \mathcal{R} par rapport au référentiel galiléen \mathcal{R}_0 (en \mathrm{rad\cdot s^{-1}}) ;
   • \vec{a}(O')_{\mathcal{R}_0} : accélération de l'origine O' du référentiel d'entraînement par rapport à \mathcal{R}_0 (en \mathrm{m\cdot s^{-2}}) ;
   • \vec{O'M} : vecteur position de M dans \mathcal{R} (en \mathrm{m}) ;
   • \vec{HM} : vecteur joignant l'axe de rotation au point M, orthogonal à l'axe (\Delta) (en \mathrm{m}) ;
   • \vec{v}_{\mathrm{r}}(M) = \left(\frac{\mathrm{d}\vec{O'M}}{\mathrm{d}t}\right)_{\mathcal{R}} : vecteur vitesse relative de M mesurée dans le référentiel non galiléen \mathcal{R} (en \mathrm{m\cdot s^{-1}}).

   Résultat

   $${\vec{F}}_{\mathrm{ie}}=-m{\vec{a}}_{\mathrm{e}}(M)$$

   $${\vec{F}}_{\mathrm{ic}}=-m{\vec{a}}_{\mathrm{c}}(M)=-2m\vec{\Omega }\wedge {\vec{v}}_{\mathrm{r}}(M)$$

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5. Exercice 5CCINP Physique-Chimie MPI 2026, Q4

   Le référentiel terrestre \mathcal{R}', en rotation uniforme de vecteur rotation \vec{\Omega} = \Omega \vec{u}_z par rapport au référentiel géocentrique \mathcal{R} supposé galiléen, constitue un référentiel non galiléen.

   Par définition, le poids \vec{P} = m\vec{g}(M) d'un point matériel M de masse m est la force apparente qui s'exerce sur lui lorsqu'il est immobile dans le référentiel terrestre \mathcal{R}'. La force de Coriolis étant nulle à vitesse relative nulle, le poids s'écrit comme la somme de la force d'attraction gravitationnelle \vec{F}_G et de la force d'inertie d'entraînement \vec{F}_{ie} :

   \vec{P} = \vec{F}_G + \vec{F}_{ie}

   • La force de gravitation exercée par la Terre (supposée à symétrie sphérique) sur le point M situé à l'extérieur (r \ge R_T) vaut :

     \vec{F}_G = m\vec{G}_T(M) = - \frac{G M_T m}{r^2}\vec{u}_r

   • L'accélération d'entraînement du point M fixe dans \mathcal{R}' en rotation uniforme autour de l'axe (OZ) s'écrit, en notant H le projeté orthogonal de M sur l'axe des pôles :

     \vec{a}_e(M) = \vec{\Omega} \wedge (\vec{\Omega} \wedge \vec{HM}) = -\Omega^2 \vec{HM}

     La force d'inertie d'entraînement (force centrifuge) est donc :

     \vec{F}_{ie} = -m \vec{a}_e(M) = m \Omega^2 \vec{HM}

   En sommant ces deux contributions, on obtient le champ de pesanteur :

   \vec{g}(M) = \frac{\vec{P}}{m} = \underbrace{- \frac{G M_T}{r^2}\vec{u}_r}_{\text{terme gravitationnel}} + \underbrace{\Omega^2 \vec{HM}}_{\text{terme d'inertie d'entraînement (centrifuge)}}

   À la surface de la Terre (r = R_T), le terme gravitationnel s'évalue à l'aide des données de l'annexe :

   \begin{aligned} \log_{10}\left(\frac{G M_T}{R_T^2}\right) &= \log_{10}(G) + \log_{10}(M_T) - 2\log_{10}(R_T) \\ &= -10{,}17 + 24{,}78 - 2 \times 6{,}81 = 0{,}99 \end{aligned}

   soit une intensité gravitationnelle \frac{GM_T}{R_T^2} \approx 10^{0{,}99} \approx 9{,}8\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}.

   Le terme d'inertie d'entraînement a pour norme maximale à l'équateur :

   \Omega^2 R_T \approx (7{,}3\cdot 10^{-5})^2 \times 6{,}4\cdot 10^6 \approx 3{,}4\cdot 10^{-2}\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}

   Cette contribution centrifuge est inférieure à 0{,}35\,\% de l'attraction gravitationnelle. Par conséquent :

   \boxed{\|\vec{g}(M)\| \approx 9{,}8\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} \sim 10\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}}

   Résultat

   $$\Vert \vec{g}(M)\Vert \approx 9,8\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-2}\sim 10\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-2}$$

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6. Exercice 6CCINP Physique-Chimie MPI 2026, Q5

   Dans le référentiel terrestre \mathcal{R}' en rotation à la vitesse angulaire \vec{\Omega} par rapport au référentiel géocentrique galiléen \mathcal{R}, un train modélisé par un point matériel de masse m se déplaçant à la vitesse relative \vec{v}_r est soumis à la force d'inertie de Coriolis :

   \vec{F}_c = -2m\,\vec{\Omega} \wedge \vec{v}_r

   La norme de cette force vérifie la majoration :

   \|\vec{F}_c\| \le 2m\,\Omega\,v_r

   Le poids du train étant donné par \|\vec{P}\| = mg, le rapport entre la force de Coriolis et le poids est majoré par :

   \frac{\|\vec{F}_c\|}{\|\vec{P}\|} \le \frac{2\Omega\,v_r}{g}

   Avec \Omega = 7{,}3\cdot 10^{-5}\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1}, v_r = 100\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} et g \approx 9{,}8\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} (estimé à la question Q4) :

   \begin{aligned} \frac{\|\vec{F}_c\|}{\|\vec{P}\|} &\le \frac{2 \times 7{,}3\cdot 10^{-5} \times 100}{9{,}8} \\ &\approx \frac{1{,}46\cdot 10^{-2}}{9{,}8} \approx 1{,}5\cdot 10^{-3} \end{aligned}

   \boxed{\frac{\|\vec{F}_c\|}{\|\vec{P}\|} \lesssim 1{,}5\cdot 10^{-3} \ll 1}

   Même à une vitesse élevée de 360\text{ km}\cdot\text{h}^{-1}, la force de Coriolis représente tout au plus environ 0{,}15\,\% du poids du train : elle peut donc être légitimement négligée devant le poids dans l'étude de la plupart des mouvements terrestres.

   Résultat

   $$\frac{\Vert {\vec{F}}_c\Vert }{\Vert \vec{P}\Vert }\lesssim 1,5\cdot 10^{-3}\ll 1$$

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7. Exercice 7CCINP Physique-Chimie MPI 2026, Q6

   À la surface de la Terre, un point M est situé à la distance r = R_T du centre O. D'après la relation introduite avant la question Q4, les deux termes composant le champ de pesanteur \vec{g}(M) sont :

   • le terme de gravitation : \vec{G}_T(M) = -\dfrac{GM_T}{R_T^2}\vec{u}_r, de norme :

     \|\vec{G}_T(M)\| = \frac{GM_T}{R_T^2}

   • le terme d'inertie d'entraînement centrifuge : \vec{a}_{ie}(M) = \Omega^2 \vec{HM}, où H est le projeté orthogonal de M sur l'axe polaire OZ. La distance à l'axe des pôles vaut HM = R_T \sin\theta, avec \theta la colatitude (\theta \in [0, \pi]), d'où une norme :

     \|\vec{a}_{ie}(M)\| = \Omega^2 R_T \sin\theta

   Le rapport des normes s'écrit :

   \frac{\|\vec{a}_{ie}(M)\|}{\|\vec{G}_T(M)\|} = \frac{\Omega^2 R_T \sin\theta}{\dfrac{GM_T}{R_T^2}} = \frac{\Omega^2 R_T^3}{GM_T}\sin\theta

   Comme \sin\theta \le 1, le maximum est atteint à l'équateur (\theta = \pi/2) et le rapport est majoré par la quantité sans dimension :

   \boxed{\eta = \frac{\Omega^2 R_T^3}{GM_T}}

   Calculons la valeur de \eta en utilisant l'annexe :

   \begin{aligned} \log_{10}(\eta) &= 2\log_{10}(\Omega) + 3\log_{10}(R_T) - \log_{10}(G) - \log_{10}(M_T) \\ &= 2\times(-4,14) + 3\times 6,81 - (-10,17) - 24,78 \\ &= -8,28 + 20,43 + 10,17 - 24,78 \\ &= -2,46 = -3 + 0,54 \end{aligned}

   La lecture du graphe de \log_{10}(x) en annexe donne pour \log_{10}(x) \approx 0,54 la valeur x \approx 3,5. On obtient donc :

   \boxed{\eta \approx 3{,}5\cdot 10^{-3} \sim 10^{-3}}

   Commentaire : La valeur de \eta est très faible devant 1 (de l'ordre de 0{,}35\,\%). Le terme d'inertie d'entraînement centrifuge est donc négligeable devant le champ gravitationnel. En première approximation, le champ de pesanteur est purement gravitationnel, et la variation relative de g entre les pôles (\sin\theta = 0) et l'équateur (\sin\theta = 1) reste minime.

   Résultat

   $$\eta =\frac{{\Omega }^2{R}_T^3}{G{M}_T}$$

   $$\eta \approx 3,5\cdot 10^{-3}\sim 10^{-3}$$

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8. Exercice 8CCINP Physique-Chimie MPI 2025, Q20

   Dans le référentiel \mathcal{R} lié à l'électron, la particule émise avec l'angle \theta = \pi/2 possède une vitesse :

   \vec{v}_p = v_p \, \vec{e}_y

   Le référentiel \mathcal{R} se déplaçant à la vitesse d'entraînement \vec{v} = v \, \vec{e}_x par rapport au référentiel \mathcal{R}', la loi de composition galiléenne des vitesses donne :

   \vec{v}_p' = \vec{v}_p + \vec{v} = v \, \vec{e}_x + v_p \, \vec{e}_y

   D'après le triangle rectangle formé par les composantes de \vec{v}_p' :

   \tan \theta' = \frac{v_p}{v} \implies \boxed{\theta' = \arctan\left(\frac{v_p}{v}\right)}

   Dans le référentiel \mathcal{R}, l'émission est isotrope dans le plan xOy. L'ensemble des particules émises dans le demi-espace x > 0 correspond à la plage angulaire :

   \theta \in \left[-\frac{\pi}{2}, \, \frac{\pi}{2}\right]

   ce qui représente une fraction de 1/2 (soit 50\,\%) des particules totales émises.

   Par symétrie et monotonie de la composition des vitesses, ces particules correspondent dans le référentiel \mathcal{R}' à un angle compris entre -\theta' et +\theta'.

   La proportion de particules émises dans le cône de demi-angle \theta' par rapport à \mathcal{R}' est donc de :

   \boxed{\frac{1}{2} \quad \text{soit} \quad 50\,\%}

   Résultat

   $${\theta }^{\prime }=\arctan \left(\frac{v_p}{v}\right)$$

   $$\frac{1}{2}\text{soit}50\%$$

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9. Exercice 9E3A Physique-Chimie MPI 2025, Q1

   • Référentiel géocentrique : il a pour origine le centre de masse O de la Terre et ses trois axes sont dirigés vers trois étoiles lointaines considérées comme fixes.
   • Référentiel terrestre : il est lié à la Terre ; ses axes sont fixes par rapport au globe terrestre (par exemple définis localement par la verticale et le plan horizontal en un lieu donné).

   • Mouvement relatif : le référentiel terrestre est en rotation uniforme par rapport au référentiel géocentrique autour de l'axe des pôles (axe Nord-Sud), de vitesse angulaire constante :

     \vec{\Omega} = \Omega\,\vec{u}_z

     où la période de rotation correspond au jour sidéral (T_{\text{sid}} \approx 23\text{ h } 56\text{ min } 4\text{ s}, soit \Omega \approx 7{,}3 \times 10^{-5}\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1}).

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10. Exercice 10E3A Physique-Chimie MPI 2025, Q2

    Dans le modèle à répartition sphérique de masse pour la Terre, la force gravitationnelle exercée par la Terre sur l'objet M de masse m situé à la surface (OM = R_T) s'exprime par :

    \boxed{\vec{F}_g = -\frac{G M_T m}{R_T^2} \vec{u}_z}

    où \vec{u}_z = \frac{\vec{OM}}{R_T} est le vecteur unitaire radial dirigé vers l'extérieur. Sa norme vaut :

    F_g = \frac{G M_T m}{R_T^2}

    Le référentiel terrestre \mathcal{R}_T étant en rotation uniforme à la vitesse angulaire \vec{\Omega} = \Omega \vec{u}_{\Delta} autour de l'axe des Pôles par rapport au référentiel géocentrique galiléen, la force d'inertie d'entraînement (force centrifuge) s'écrit :

    \vec{F}_{ie} = -m\,\vec{\Omega} \wedge (\vec{\Omega} \wedge \vec{OM}) = m\,\Omega^2 \vec{HM}

    où H est la projection orthogonale de M sur l'axe des Pôles (figure 1).

    La distance de M à l'axe de rotation est HM = R_T \cos\lambda, ce qui donne pour la norme :

    \boxed{F_{ie} = m\,\Omega^2 R_T \cos\lambda}

    Vectoriellement, en projetant dans la base (\vec{u}_y, \vec{u}_z) représentée sur la figure 1, le vecteur unitaire porté par \vec{HM} s'écrit \vec{u}_{HM} = \cos\lambda\,\vec{u}_z - \sin\lambda\,\vec{u}_y, d'où :

    \boxed{\vec{F}_{ie} = m\,\Omega^2 R_T \cos\lambda \left( \cos\lambda\,\vec{u}_z - \sin\lambda\,\vec{u}_y \right)}

    Résultat

    $${\vec{F}}_g=-\frac{G{M}_{T}m}{R_T^2}{\vec{u}}_z$$

    $$F_{ie}=m{\Omega }^2{R}_T\cos \lambda$$

    $${\vec{F}}_{ie}=m{\Omega }^2{R}_T\cos \lambda \left(\cos \lambda {\vec{u}}_z-\sin \lambda {\vec{u}}_y\right)$$

    Indice, stratégie et pièges de cette question