Feuille d'entraînement : Référentiels non galiléens et forces d'inertie

6 questions · filière PSI · durée estimée environ 37 min

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Énoncés

Exercice 1Mines-Ponts Physique 2 PSI 2022, Q37· Exigeant· Incontournable· ≈ 7 min
Dans le référentiel terrestre, exprimer la vitesse de $G$ en fonction de $v_{1}$ et de $\frac{d Z}{d t}$ , puis son accélération en fonction de $γ_{1}$ et de $\frac{d ^{2} Z}{d t ^{2}}$ . En déduire la nouvelle équation différentielle vérifiée par $Z (t)$ ainsi que les nouvelles positions d'équilibre $Z_{0}^{'}$ de $G$ et $z_{0}^{'}$ du capteur. Quelle information apporterait la lecture de $z_{0}^{'}$ au bout d'un temps infini sur l'échelle graduée de la figure 12 ?
Exercice 2X-ENS Physique PSI 2022, Q36· Intermédiaire· Incontournable· ≈ 6 min
Établir l'équation du mouvement à laquelle obéit $z_{m} (t)$ , et en déduire celle pour $z (t)$ .
Exercice 3E3A Physique-Chimie PSI 2026, Q19· Application directe· ≈ 3 min
Justifier que le référentiel lié à la roue Francis est non galiléen.
Exercice 4E3A Physique-Chimie PSI 2026, Q21· Intermédiaire· ≈ 6 min
Exprimer $U (M)$ et montrer, à l’aide du triangle des vitesses, que :
$V_{θ} = U + \frac{V _{r}}{tan β} .$
Exercice 5Mines-Ponts Physique 2 PSI 2023, Q5· Application directe· ≈ 3 min
Lorsque le planche à voile se déplace à une vitesse $v_{p}$ , quelle est l'expression de la vitesse du vent qui souffle dans la voile relativement au référentiel entrainé avec la planche ? Ce vent s'appelle le vent apparent, sa vitesse est notée $v_{va}$ , c'est elle qu'il faut prendre en compte dans l'expression (1) de la force propulsive.
Exercice 6Mines-Ponts Physique 2 PSI 2022, Q38· Difficile· ≈ 12 min
Etablir les équations différentielles vérifées par $Z (t)$ et $z (t)$ . Déterminer l'expression de la valeur $z_{eq}$ de $z$ à l'équilibre et la valeur de $V_{out}$ correspondante. Quelle information apporterait la mesure de $V_{out}$ au bout d'un temps infini ? Le mouvement de $C$ se décompose en un régime transitoire suivi d'un régime permanent. Quelle est la condition que doit remplir $λ$ pour que la durée du régime transitoire soit la plus petite possible ? Estimer le temps de réponse de l'accéléromètre construit dans ces conditions.

Corrigés

Exercice 1Mines-Ponts Physique 2 PSI 2022, Q37
Le référentiel terrestre \mathcal{R} est supposé galiléen. Le point G est repéré par :
\overrightarrow{OG} = (Z_1 + Z)\,\vec{u}_Z
Le vecteur unitaire \vec{u}_Z étant fixe dans \mathcal{R}, la vitesse de G dans le référentiel terrestre s'obtient par dérivation temporelle :
\vec{v}(G/\mathcal{R}) = \left(\frac{\mathrm{d}Z_1}{\mathrm{d}t} + \frac{\mathrm{d}Z}{\mathrm{d}t}\right)\vec{u}_Z = \left(v_1 + \frac{\mathrm{d}Z}{\mathrm{d}t}\right)\vec{u}_Z
D'où l'expression de la composante de la vitesse selon \vec{u}_Z :
\boxed{v_G = v_1 + \frac{\mathrm{d}Z}{\mathrm{d}t}}
En dérivant une seconde fois par rapport au temps :
\vec{a}(G/\mathcal{R}) = \left(\frac{\mathrm{d}^2 Z_1}{\mathrm{d}t^2} + \frac{\mathrm{d}^2 Z}{\mathrm{d}t^2}\right)\vec{u}_Z = \left(\gamma_1 + \frac{\mathrm{d}^2 Z}{\mathrm{d}t^2}\right)\vec{u}_Z
D'où l'expression de la composante de l'accélération selon \vec{u}_Z :
\boxed{a_G = \gamma_1 + \frac{\mathrm{d}^2 Z}{\mathrm{d}t^2}}
Équation différentielle du mouvement : Le système constitué par la masse sismique m est soumis à :
- son poids \vec{P} = m\vec{g} et la réaction du guidage sans frottement, tous deux orthogonaux à \vec{u}_Z ;
- la force de rappel du ressort fixé en O_1 : \vec{F}_{\text{ressort}} = -k(Z - \ell_0)\,\vec{u}_Z ;
- la force de frottement fluide exercée par l'amortisseur lié au boîtier, proportionnelle à la vitesse relative de la masse par rapport au boîtier : \vec{F}_{\text{amort}} = -\lambda \frac{\mathrm{d}Z}{\mathrm{d}t}\,\vec{u}_Z.
D'après le principe fondamental de la dynamique appliqué à m dans le référentiel galiléen \mathcal{R} :
m\,\vec{a}(G/\mathcal{R}) = \vec{F}_{\text{ressort}} + \vec{F}_{\text{amort}} + \vec{P} + \vec{R}_{\perp}
En projetant selon l'axe \vec{u}_Z, on obtient :
m\left(\gamma_1 + \frac{\mathrm{d}^2 Z}{\mathrm{d}t^2}\right) = -k(Z - \ell_0) - \lambda \frac{\mathrm{d}Z}{\mathrm{d}t}
Soit la nouvelle équation différentielle vérifiée par Z(t) :
\boxed{m\frac{\mathrm{d}^2 Z}{\mathrm{d}t^2} + \lambda \frac{\mathrm{d}Z}{\mathrm{d}t} + k(Z - \ell_0) = -m\gamma_1}
Nouvelles positions d'équilibre : Pour une accélération \gamma_1 constante du boîtier, la position d'équilibre permanent Z'_0 correspond à un état stationnaire dans le référentiel du boîtier (\frac{\mathrm{d}Z}{\mathrm{d}t} = 0 et \frac{\mathrm{d}^2 Z}{\mathrm{d}t^2} = 0) :
k(Z'_0 - \ell_0) = -m\gamma_1 \implies \boxed{Z'_0 = \ell_0 - \frac{m}{k}\gamma_1}
D'après la question Q35, la coordonnée du capteur est reliée à Z par z = Z - \ell_0. La nouvelle position d'équilibre du capteur est donc :
\boxed{z'_0 = -\frac{m}{k}\gamma_1}
Information apportée par la lecture de z'_0 : Au bout d'un temps infini (en pratique après l'amortissement du régime transitoire), la lecture de l'élongation z'_0 sur l'échelle graduée fournit une mesure directe de l'accélération \gamma_1 du boîtier selon :
\gamma_1 = -\frac{k}{m}z'_0
Le dispositif constitue ainsi un accéléromètre.
Résultat
$v_{G} = v_{1} + \frac{d Z}{d t}$ $a_{G} = γ_{1} + \frac{d ^{2} Z}{d t ^{2}}$ $m \frac{d ^{2} Z}{d t ^{2}} + λ \frac{d Z}{d t} + k (Z - ℓ_{0}) = - m γ_{1}$ $Z_{0}^{'} = ℓ_{0} - \frac{m}{k} γ_{1}$ $z_{0}^{'} = - \frac{m}{k} γ_{1}$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 2X-ENS Physique PSI 2022, Q36
On étudie la masse m dans le référentiel terrestre \mathcal{R}_{\text{T}}, supposé galiléen pour la durée de l'expérience, muni de l'axe vertical (Oz) orienté vers le haut de vecteur unitaire \vec{e}_z.
D'après l'énoncé et la figure 13 :
- La position de la masse dans le référentiel terrestre s'écrit z_{\text{ter}}(t) = z_{\text{eq}} + z_m(t). Son accélération est donc :
  \vec{a}(m/\mathcal{R}_{\text{T}}) = \frac{\mathrm{d}^2 z_m}{\mathrm{d}t^2} \vec{e}_z.
- Le bâti subit un déplacement x(t) par rapport au sol ; le point d'attache supérieur du ressort se situe à l'altitude L + x(t). La longueur instantanée du ressort vaut :
  \ell(t) = [L + x(t)] - [z_{\text{eq}} + z_m(t)] = (L - z_{\text{eq}}) - (z_m(t) - x(t)).
  En utilisant la relation d'équilibre de la question précédente, L - z_{\text{eq}} = \ell_0 + \frac{mg}{k}, l'allongement s'exprime par :
  \ell(t) - \ell_0 = \frac{mg}{k} - (z_m(t) - x(t)).
  La force de rappel exercée par le ressort sur la masse s'écrit donc :
  \vec{F}_{\text{él}} = k(\ell(t) - \ell_0)\vec{e}_z = \left[mg - k(z_m(t) - x(t))\right]\vec{e}_z.
- Le poids est \vec{P} = -mg\vec{e}_z.
- La force d'amortissement visqueux dépend de la vitesse de la masse dans le bâti, v_m(t) = \dot{z}_m(t) - \dot{x}(t) :
  \vec{f}_v = -\alpha (\dot{z}_m(t) - \dot{x}(t))\vec{e}_z.
Le principe fondamental de la dynamique appliqué à la masse dans le référentiel terrestre galiléen donne :
m \frac{\mathrm{d}^2 z_m}{\mathrm{d}t^2}\vec{e}_z = \vec{P} + \vec{F}_{\text{él}} + \vec{f}_v.
En projetant sur l'axe (Oz) :
m \frac{\mathrm{d}^2 z_m}{\mathrm{d}t^2} = -mg + mg - k(z_m - x) - \alpha\left(\frac{\mathrm{d}z_m}{\mathrm{d}t} - \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right),
d'où l'équation différentielle satisfaite par z_m(t) :
\boxed{m \frac{\mathrm{d}^2 z_m}{\mathrm{d}t^2} + \alpha \frac{\mathrm{d}z_m}{\mathrm{d}t} + k z_m(t) = \alpha \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} + k x(t)}
Par définition du repérage relatif lié au bâti, on a la relation géométrique :
z_m(t) = z(t) + x(t).
En dérivant par rapport au temps, \dot{z}_m = \dot{z} + \dot{x} et \ddot{z}_m = \ddot{z} + \ddot{x}. En reportant ces relations dans l'équation du mouvement précédente, on obtient :
m\left(\frac{\mathrm{d}^2 z}{\mathrm{d}t^2} + \frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2}\right) + \alpha\left(\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t} + \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right) + k(z + x) = \alpha \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} + k x,
ce qui conduit après simplification à :
\boxed{m \frac{\mathrm{d}^2 z}{\mathrm{d}t^2} + \alpha \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t} + k z(t) = -m \frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2}}
Résultat
$m \frac{d ^{2} z _{m}}{d t ^{2}} + α \frac{d z _{m}}{d t} + k z_{m} (t) = α \frac{d x}{d t} + k x (t)$ $m \frac{d ^{2} z}{d t ^{2}} + α \frac{d z}{d t} + k z (t) = - m \frac{d ^{2} x}{d t ^{2}}$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 3E3A Physique-Chimie PSI 2026, Q19
Le référentiel terrestre lié au bâti de l'installation peut être considéré comme galiléen aux échelles de temps caractéristiques de l'écoulement.
Le référentiel lié à la roue Francis est en rotation à la vitesse angulaire \omega \neq 0 autour de l'axe vertical (Oz) fixe par rapport au référentiel terrestre.
N'étant pas en mouvement de translation rectiligne et uniforme par rapport à un référentiel galiléen, le référentiel lié à la roue Francis est donc un référentiel non galiléen.
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 4E3A Physique-Chimie PSI 2026, Q21
Le rotor de la turbine tourne à la vitesse angulaire constante \vec{\omega} = \omega \vec{u}_z par rapport au référentiel du laboratoire. La vitesse d'entraînement d'un point M repéré en coordonnées cylindriques par \vec{OM} = r \vec{u}_r + z \vec{u}_z est donnée par le champ des vitesses d'un solide indéformable :
\begin{aligned} \vec{U}(M) &= \vec{\omega} \wedge \vec{OM} \\ &= (\omega \vec{u}_z) \wedge (r \vec{u}_r + z \vec{u}_z) \\ &= r \omega \vec{u}_\theta \end{aligned}
\boxed{\vec{U}(M) = r \omega \vec{u}_\theta}
où U = \|\vec{U}(M)\| = r \omega.
Dans le plan perpendiculaire à l'axe de rotation (Oz), la loi de composition des vitesses s'écrit :
\vec{V}_{//}(M) = \vec{U}(M) + \vec{W}_{//}(M)
En projetant cette relation dans la base cylindrique locale (\vec{u}_r, \vec{u}_\theta) :
- selon \vec{u}_r, sachant que la vitesse d'entraînement est purement orthoradiale (\vec{U} \cdot \vec{u}_r = 0) :
  W_{//, r} = V_r
- selon \vec{u}_\theta :
  V_\theta = U + W_{//, \theta} \iff W_{//, \theta} = V_\theta - U
Par définition, l'angle non orienté \beta est l'angle entre le vecteur vitesse relative dans le plan \vec{W}_{//} et la vitesse d'entraînement \vec{U} = U \vec{u}_\theta. Dans le triangle rectangle formé par les composantes radiale et orthoradiale de \vec{W}_{//} (figure 6 de l'énoncé) :
- le côté opposé à \beta est la composante radiale W_{//, r} = V_r ;
- le côté adjacent à \beta est la composante orthoradiale W_{//, \theta} = V_\theta - U.
On a donc :
\tan \beta = \frac{W_{//, r}}{W_{//, \theta}} = \frac{V_r}{V_\theta - U}
D'où :
V_\theta - U = \frac{V_r}{\tan \beta}
ce qui conduit bien à la relation demandée :
\boxed{V_\theta = U + \frac{V_r}{\tan \beta}}
Résultat
$U (M) = r ω u_{θ}$ $V_{θ} = U + \frac{V _{r}}{tan β}$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 5Mines-Ponts Physique 2 PSI 2023, Q5
Soit \mathcal{R} le référentiel lié au plan d'eau (considéré galiléen) et \mathcal{R}' le référentiel en translation à la vitesse \vec{v}_{\mathrm{p}} lié à la planche à voile.
D'après la loi de composition des vitesses en mécanique classique :
\vec{v}(\text{air}/\mathcal{R}) = \vec{v}(\text{air}/\mathcal{R}') + \vec{v}(\mathcal{R}'/\mathcal{R})
Le vent apparent \vec{v}_{\mathrm{va}} correspond à la vitesse de l'air relativement à la planche, c'est-à-dire dans \mathcal{R}' :
\vec{v}_{\mathrm{va}} = \vec{v}(\text{air}/\mathcal{R}') = \vec{v}_{\mathrm{v}} - \vec{v}_{\mathrm{p}}
Dans la configuration de navigation par vent arrière étudiée ici, \vec{v}_{\mathrm{v}} = v_{\mathrm{v}}\,\widehat{e}_x et \vec{v}_{\mathrm{p}} = v_{\mathrm{p}}\,\widehat{e}_x, d'où :
\boxed{\vec{v}_{\mathrm{va}} = (v_{\mathrm{v}} - v_{\mathrm{p}})\,\widehat{e}_x}
Résultat
$v_{va} = (v_{v} - v_{p}) e_{x}$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 6Mines-Ponts Physique 2 PSI 2022, Q38
Le référentiel terrestre \mathcal{R} est galiléen. La masse m est soumise à :
- son poids et la réaction du guide, qui se compensent dans la direction orthogonale à \vec{u}_Z ;
- la force de rappel du ressort : \vec{F}_{\text{ressort}} = -k(Z - \ell_0)\,\vec{u}_Z ;
- la force de frottement fluide : \vec{F}_{\text{frott}} = -\lambda \dot{Z}\,\vec{u}_Z ;
- la force motrice d'asservissement : \vec{F} = \beta V_{\text{out}}\,\vec{u}_Z = \beta K_{s0} z\,\vec{u}_Z.
D'après la question Q37, le vecteur accélération de G dans \mathcal{R} s'écrit \vec{a}(G) = (\gamma_1 + \ddot{Z})\,\vec{u}_Z. En projetant le principe fondamental de la dynamique sur l'axe (O, \vec{u}_Z) :
m\left(\frac{\mathrm{d}^2 Z}{\mathrm{d}t^2} + \gamma_1\right) = -k(Z - \ell_0) - \lambda \frac{\mathrm{d}Z}{\mathrm{d}t} + \beta K_{s0} z
Comme z = Z - \ell_0 (question Q35), on a \dot{Z} = \dot{z} et \ddot{Z} = \ddot{z}. On en déduit directement les deux équations différentielles :
\boxed{m\frac{\mathrm{d}^2 Z}{\mathrm{d}t^2} + \lambda\frac{\mathrm{d}Z}{\mathrm{d}t} + (k - \beta K_{s0})(Z - \ell_0) = -m\gamma_1}
\boxed{m\frac{\mathrm{d}^2 z}{\mathrm{d}t^2} + \lambda\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t} + (k - \beta K_{s0}) z = -m\gamma_1}
Pour assurer la stabilité du système asservi, la raideur apparente effective doit être strictement positive : k_{\text{eff}} = k - \beta K_{s0} > 0 (soit \beta K_{s0} < k).
Position d'équilibre et tension de sortie : Lorsque le régime permanent est établi sous une accélération \gamma_1 constante, les dérivées temporelles s'annulent (\ddot{z} = \dot{z} = 0), ce qui conduit à :
\boxed{z_{\text{eq}} = -\frac{m\gamma_1}{k - \beta K_{s0}}}
La tension correspondante vaut V_{\text{out, eq}} = K_{s0} z_{\text{eq}} :
\boxed{V_{\text{out, eq}} = -\frac{m K_{s0}}{k - \beta K_{s0}}\,\gamma_1}
La mesure de V_{\text{out}} au bout d'un temps infini permet de mesurer directement l'accélération \gamma_1 du boîtier, celle-ci étant strictement proportionnelle à la tension continue mesurée.
Optimisation de la durée du régime transitoire : L'équation différentielle correspond à un oscillateur harmonique amorti de pulsation propre \omega_0 = \sqrt{\frac{k - \beta K_{s0}}{m}} et de facteur d'amortissement \xi = \frac{\lambda}{2\sqrt{m(k - \beta K_{s0})}}.
Pour qu'il n'y ait aucun dépassement tout en assurant le retour le plus rapide possible vers la position d'équilibre, le système doit fonctionner au régime critique (\xi = 1), ce qui impose :
\boxed{\lambda = 2\sqrt{m(k - \beta K_{s0})}}
Estimation du temps de réponse : En régime critique (\xi = 1), la solution de l'équation homogène s'amortit selon (A + B t)\,\mathrm{e}^{-\omega_0 t}. Le temps caractéristique d'amortissement est donc :
\tau = \frac{1}{\omega_0} = \sqrt{\frac{m}{k - \beta K_{s0}}} = \frac{2m}{\lambda}
Le temps de réponse à 5\,\% vaut usuellement t_{r, 5\%} \approx 4{,}75\,\tau \approx 5\,\tau (et t_{r, 5\%} \approx 3\,\tau pour un facteur d'amortissement optimal \xi \approx 0{,}7). On peut ainsi estimer :
\boxed{t_r \approx 5\sqrt{\frac{m}{k - \beta K_{s0}}} = \frac{10\,m}{\lambda}}
Résultat
$m \frac{d ^{2} Z}{d t ^{2}} + λ \frac{d Z}{d t} + (k - β K_{s 0}) (Z - ℓ_{0}) = - m γ_{1}$ $m \frac{d ^{2} z}{d t ^{2}} + λ \frac{d z}{d t} + (k - β K_{s 0}) z = - m γ_{1}$ $z_{eq} = - \frac{m γ _{1}}{k - β K _{s 0}}$ $V_{out, eq} = - \frac{m K _{s 0}}{k - β K _{s 0}} γ_{1}$ $λ = 2 m (k - β K_{s 0})$ $t_{r} \approx 5 \frac{m}{k - β K _{s 0}} = \frac{10 m}{λ}$
Indice, stratégie et pièges de cette question

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