Corrigé détaillé Mines Physique 1 PC 2023

1. Couleur caractéristique des sylphes : Le spectre d'émission d'un sylphe (figure 2, à gauche) présente ses raies d'émission les plus intenses dans le domaine visible pour des longueurs d'onde supérieures à 650\text{ nm}, avec notamment des pics marqués vers 660\text{ nm}, 700\text{ nm} et surtout autour de 760\text{ nm}. Ces longueurs d'onde appartenant à la partie rouge du spectre visible (620\text{ nm} - 780\text{ nm}), cela justifie la couleur rouge caractéristique des sylphes.

2. Difficulté d'observation depuis la surface de la Terre :

   • Absorption atmosphérique : La courbe de transmission de l'atmosphère (figure 2, à droite) révèle un creux d'absorption extrêmement marqué au voisinage de \lambda \approx 760\text{ nm}, où le coefficient de transmission s'effondre vers zéro (absorption due au dioxygène moléculaire atmosphérique). Ce creux coïncide précisément avec la bande d'émission la plus intense du spectre du sylphe : une fraction majeure de la lumière émise est ainsi interceptée et absorbée par l'atmosphère avant d'atteindre le sol.
   • Masquage par les nuages et brièveté : Se produisant entre 40 et 80\text{ km} d'altitude au-dessus des systèmes orageux, les sylphes sont masqués pour un observateur au sol par l'épaisse couche nuageuse des cumulonimbus. Enfin, leur durée d'émission très brève (quelques centaines de millisecondes au plus) rend la détection à l'œil nu particulièrement difficile.

1. Ordre de grandeur de la distance d

La France métropolitaine s'étend sur environ 1000\text{ km} du nord au sud et d'est en ouest. La chaîne pyrénéenne et la chaîne alpine étant toutes deux situées dans la moitié sud de la France, la distance à vol d'oiseau entre le Pic du Midi et les Alpes françaises est de l'ordre de :

2. Schéma et calcul de l'altitude h

En négligeant l'altitude du Pic du Midi, l'observateur se situe en un point P à la surface de la Terre de rayon R_T. La ligne d'horizon issue de P est la tangente à la sphère terrestre en ce point.

Soit A la position des Alpes à la surface terrestre, située à une distance d'arc d = R_T \theta. La verticale locale au-dessus des Alpes coupe la ligne d'horizon en un point H situé à l'altitude h au-dessus du sol (OH = R_T + h).

Le triangle OPH est rectangle en P. D'après le théorème de Pythagore :

Comme d \ll R_T, l'angle au centre \theta = d/R_T \ll 1\text{ rad}. On a donc :

L'équation se simplifie ainsi en :

Application numérique : avec d = 5 \times 10^5\text{ m} et R_T = 6{,}4 \times 10^6\text{ m},

3. Visibilité des sylphes et du Mont-Blanc

• Sylphes alpins : D'après le texte introductif, les sylphes se produisent à une altitude comprise entre 40\text{ km} et 80\text{ km}. Comme cette altitude est nettement supérieure à h \simeq 20\text{ km}, les sylphes se situent largement au-dessus de la ligne d'horizon géométrique : il est donc possible de les observer depuis le Pic du Midi sans réfraction atmosphérique.
• Mont-Blanc : Le sommet du Mont-Blanc culmine à une altitude z_{\text{MB}} \simeq 4{,}8\text{ km}. Cette altitude étant bien inférieure à h \simeq 20\text{ km}, le sommet est masqué par la courbure terrestre : il n'est pas possible de voir le Mont-Blanc par beau temps sans effet de réfraction.

L'identification d'un sylphe repose sur la comparaison des signaux reçus par les deux caméras de l'ISS :

• Filtrage à 761\text{ nm} et absorption troposphérique : Un éclair traditionnel prend naissance dans la basse troposphère (z \lesssim 10\text{--}15\text{ km}). Son rayonnement à 761\text{ nm} doit traverser la quasi-totalité de l'atmosphère pour atteindre l'ISS : il est donc fortement absorbé par le dioxygène \mathrm{O_2}. L'énoncé précise qu'un tel éclair sature la caméra visible à 836\text{ LSB}, mais ne produit que 30\text{ LSB} sur la caméra filtrée (rapport de l'ordre de 30).
• Émission d'un sylphe en haute altitude : À l'inverse, un sylphe se développe dans la mésosphère (z \in [40, 80]\text{ km}), région au-dessus de laquelle l'atmosphère est extrêmement raréfiée en \mathrm{O_2} (l'absorption vers l'espace est quasi nulle). De surcroît, le spectre d'émission du sylphe (figure 2 de l'énoncé) présente une raie particulièrement intense précisément vers 762\text{ nm} (premier système positif de \mathrm{N_2}).

• Analyse des images de la figure 4 :

  • Sur l'image visible (à droite), on distingue un éclair très étendu et saturé, à côté duquel un trait noir isole une structure secondaire plus diffuse et d'intensité modérée (de l'ordre de 200 à 400\text{ LSB}).
  • Sur l'image filtrée à 761\text{ nm} (à gauche), cette structure isolée ressort avec un contraste exceptionnel, atteignant des niveaux d'intensité très élevés (\sim 50\text{--}62\text{ LSB}, saturant l'échelle), alors qu'un éclair classique de cette intensité visible n'aurait produit qu'un signal résiduel inférieur à 10\text{--}15\text{ LSB}.

L'émission observée provient donc bien d'une décharge située au-dessus de la couche absorbante de dioxygène : il s'agit de la signature caractéristique d'un sylphe.

On formule les hypothèses suivantes :

• La Terre est modélisée par une distribution de masse à symétrie sphérique, de centre O, de rayon R_T et de masse totale M_T.
• On néglige la rotation propre de la Terre (terme axifuge) et l'influence des autres astres, de sorte que le champ de pesanteur se confond avec le champ gravitationnel.

Par symétrie sphérique de la distribution de masse, le champ gravitationnel \vec{G} en tout point repéré par ses coordonnées sphériques (r, \theta, \varphi) est purement radial et ne dépend que de la coordonnée radiale r :

Par analogie avec l'électrostatique (où \frac{q_{\text{int}}}{\varepsilon_0} est remplacé par -4\pi \mathcal{G} M_{\text{int}}), le théorème de Gauss pour le champ gravitationnel à travers une sphère \mathcal{S} de rayon r \ge R_T centrée en O s'écrit :

Avec \mathrm{d}\vec{S} = \mathrm{d}S\,\vec{u}_r, le flux s'exprime par :

La sphère \mathcal{S} contenant l'intégralité de la masse terrestre pour r \ge R_T, on a M_{\text{int}} = M_T. On en déduit :

À la surface de la Terre (r = R_T), l'intensité de la pesanteur vaut :

À l'altitude de l'ISS, la distance au centre de la Terre est r = R_T + h_{\text{ISS}}. L'intensité du champ gravitationnel s'écrit donc :

soit finalement :

On étudie la station spatiale internationale (\text{iss}), assimilée à un point matériel de masse m, dans le référentiel géocentrique supposé galiléen sur la durée d'une révolution.

La seule force modélisée est la force gravitationnelle exercée par la Terre, de centre O :

Le mouvement étant circulaire de rayon r = R_T + h_{\text{iss}}, introduisons la base de Frenet (\vec{u}_t, \vec{u}_n), où \vec{u}_t est tangent à l'orbite orienté dans le sens du mouvement et \vec{u}_n est le vecteur unitaire normal orienté vers le centre de la trajectoire O. Dans cette base, l'accélération de l'iss s'écrit :

La force gravitationnelle étant purement attractive et dirigée vers le centre O, elle est colinéaire à la normale :

D'après la deuxième loi de Newton, m\vec{a} = \vec{F}, d'où :

La première composante donne immédiatement \frac{\mathrm{d}v_{\text{iss}}}{\mathrm{d}t} = 0, ce qui démontre que la norme de la vitesse v_{\text{iss}} est constante au cours du temps (le mouvement est circulaire uniforme).

À l'aide du résultat de la question Q4, G_{\text{iss}} = g_0 \left(1 + \frac{h_{\text{iss}}}{R_T}\right)^{-2} = g_0 \frac{R_T^2}{r^2}. La projection selon \vec{u}_n conduit à :

On peut également l'écrire sous la forme :

Application numérique : Avec g_0 = 9,8\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}, R_T = 6,4 \times 10^3\text{ km} = 6,4 \times 10^6\text{ m} et h_{\text{iss}} = 400\text{ km} = 0,4 \times 10^6\text{ m} (soit r = 6,8 \times 10^6\text{ m}) :

En respectant la consigne d'un unique chiffre significatif :

Sur une orbite circulaire de rayon r = R_T + h_{\text{iss}}, le mouvement de l'ISS s'effectue à la vitesse constante v_{\text{iss}}. La période de révolution T_{\text{iss}} correspond à la durée nécessaire pour parcourir le périmètre 2\pi r :

En utilisant l'expression de v_{\text{iss}} établie à la question précédente :

on obtient :

Élevons cette relation au carré :

Le rayon de l'orbite circulaire s'identifiant au demi-grand axe a = R_T + h_{\text{iss}}, on retrouve bien l'énoncé de la troisième loi de Kepler : le rapport du carré de la période de révolution au cube du demi-grand axe est une constante ne dépendant que de la masse du corps attracteur.

1. Possibilité d'enregistrer la totalité de l'évolution :

• D'après le préambule du sujet, un sylphe a une durée de vie typique de quelques centaines de millisecondes, soit \tau \sim 0{,}2\text{ s} à 0{,}3\text{ s}.
• Les axes de la figure 4 indiquent que le champ de vision des microcaméras au niveau de la zone observée est d'environ L \approx 20\text{ km}.

• L'ISS se déplaçant à la vitesse v_{\text{iss}} \simeq 8\text{ km}\cdot\text{s}^{-1} (d'après la question Q5), la durée pendant laquelle un point donné reste dans le champ de visée verticale est :

  \Delta t_{\text{champ}} = \frac{L}{v_{\text{iss}}} \simeq \frac{20\text{ km}}{8\text{ km}\cdot\text{s}^{-1}} \approx 2{,}5\text{ s} \approx 3\text{ s}

  Puisque \tau \ll \Delta t_{\text{champ}}, le sylphe a largement le temps d'apparaître et de s'éteindre complètement dans le champ de la caméra : l'enregistrement de la totalité de son évolution est tout à fait possible.

2. Précision des enregistrements :

• Précision spatiale et flou de bougé : pendant la durée de vie du sylphe (\tau \sim 0{,}2\text{ s}), l'ISS parcourt une distance :

  \Delta x = v_{\text{iss}} \times \tau \simeq 8\text{ km}\cdot\text{s}^{-1} \times 0{,}2\text{ s} \approx 2\text{ km}

  Sur la figure 4, le champ de 20\text{ km} correspond à environ 40\text{ pixels} (entre les abscisses 10 et 50), ce qui donne une résolution pixel au sol de :

  \delta x_{\text{pix}} \approx \frac{20\text{ km}}{40\text{ pixels}} = 0{,}5\text{ km}\cdot\text{pixel}^{-1}

  Le déplacement de l'ISS pendant l'événement correspond donc à un glissement de l'ordre de :

  \frac{\Delta x}{\delta x_{\text{pix}}} \approx \frac{2\text{ km}}{0{,}5\text{ km}\cdot\text{pixel}^{-1}} \approx 4\text{ pixels}

  Ce déplacement entraîne un flou de mouvement non négligeable si l'exposition est intégrée sur toute la durée du phénomène. En revanche, pour des temps de pose usuels de caméras rapides (\Delta t_{\text{pose}} \lesssim 20\text{ ms}), le déplacement par trame n'est que de \sim 0{,}16\text{ km} < \delta x_{\text{pix}}, garantissant une bonne netteté image par image.

• Précision temporelle : à une cadence vidéo standard (par exemple 25 à 50 images par seconde), un phénomène de 200\text{ ms} est échantillonné sur 5 à 10 images, ce qui permet de suivre la dynamique globale mais reste insuffisant pour analyser la phase de déclenchement ultra-rapide (qui se produit sur quelques millisecondes).

Dans un référentiel galiléen (ou en négligeant les forces d'inertie), la loi fondamentale de la statique des fluides s'écrit sous forme vectorielle :

où \mu est la masse volumique du fluide et \vec{g} le champ de pesanteur (ici assimilé au seul champ gravitationnel terrestre).

En choisissant un axe vertical ascendant Oz d'origine au sol (z=0), le champ gravitationnel est dirigé vers le centre de la Terre : \vec{g}(z) = - g(z)\,\vec{e}_z. D'après le résultat établi à la question 4, le champ de pesanteur à l'altitude z s'exprime par :

La projection de la loi de la statique des fluides sur l'axe Oz donne alors :

L'atmosphère étant assimilée à un gaz parfait de masse molaire M, l'équation d'état s'écrit P = \dfrac{\mu}{M} R T, soit :

En introduisant la loi de température T(z) = T_0 \left(1 - \dfrac{z}{\ell}\right), il vient :

On obtient bien la forme demandée :

où la hauteur caractéristique de l'atmosphère isotherme au sol est :

Application numérique : Avec R = 8,3\text{ J}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{mol}^{-1}, T_0 = 290\text{ K}, M = 29\times 10^{-3}\text{ kg}\cdot\text{mol}^{-1} et g_0 = 9,8\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} :

Avec un seul chiffre significatif demandé :

1. Justification des approximations sur les coefficients

Le paramètre sans dimension \epsilon vaut :

Au premier ordre en \epsilon, on a :

On retrouve bien les formes proposées :

2. Établissement de la loi de pression P(z)

Avec ces approximations, la fonction F(z) s'écrit :

D'après la question Q8, \frac{\mathrm{d}P}{P} = -\frac{F(z)}{H}\,\mathrm{d}z. En intégrant entre la surface (z = 0, où P(0) = P_0) et l'altitude z :

Calculons séparément les deux termes de l'intégrale :

• Premier terme :

  \int_0^z \frac{\mathrm{d}z'}{1 - z'/\ell} = \left[-\ell \ln(1 - z'/\ell)\right]_0^z = -\ell \ln\left(1 - \frac{z}{\ell}\right)

• Second terme, en posant u = z'/R_T (d'où \mathrm{d}z' = R_T\,\mathrm{d}u) :

  \begin{aligned} \int_0^z \epsilon\,\frac{2 + z'/R_T}{(1 + z'/R_T)^2}\,\mathrm{d}z' &= \epsilon R_T \int_0^{z/R_T} \frac{1 + (1+u)}{(1+u)^2}\,\mathrm{d}u \\ &= \ell \int_0^{z/R_T} \left(\frac{1}{1+u} + \frac{1}{(1+u)^2}\right)\mathrm{d}u \\ &= \ell \left[\ln(1+u) - \frac{1}{1+u}\right]_0^{z/R_T} \\ &= \ell \ln\left(1 + \frac{z}{R_T}\right) + \ell\left(1 - \frac{1}{1 + z/R_T}\right) \\ &= \ell \ln\left(1 + \frac{z}{R_T}\right) + \frac{\ell}{R_T}\frac{z}{1 + z/R_T} \end{aligned}

En sommant ces deux contributions :

Il vient ainsi :

En prenant l'exponentielle :

Par identification avec l'équation (1) de l'énoncé :

D'après les questions précédentes, on a R_T = 6{,}4 \times 10^3\text{ km}, \ell = 50\text{ km} et H \simeq 8{,}5\text{ km} (soit H \simeq 8\text{ km} avec un chiffre significatif).

Les grandeurs introduites à la question Q9 valent numériquement :

Pour toute altitude z du domaine de validité (0 \le z < \ell = 50\text{ km}) :

• Le terme géométrique vérifie \frac{z}{R_T} \le \frac{\ell}{R_T} \simeq 8 \times 10^{-3} \ll 1, donc 1 + \frac{z}{R_T} \simeq 1.

• L'argument de l'exponentielle vérifie \frac{z}{\chi\left(1 + z/R_T\right)} \le \frac{\ell}{\chi} = \frac{\ell^2}{H R_T} \simeq \frac{50}{1{,}1 \times 10^3} \simeq 0{,}045 \ll 1, ce qui permet d'approcher l'exponentielle par 1 :

  \exp\left[ -\frac{z}{\chi\left(1 + z/R_T\right)} \right] \simeq 1

En injectant ces approximations dans l'équation (1), on propose l'expression simplifiée suivante :

Interprétation physique :

Cette simplification revient à considérer le champ de pesanteur uniforme dans l'atmosphère :

En effet, avec g(z) = g_0, la loi de la statique des fluides et celle des gaz parfaits donnent :

Par intégration directe entre 0 et z avec P(0) = P_0 :

On retrouve rigoureusement l'expression simplifiée proposée.

La raison principale de l'échec du modèle au-delà de z \approx 20\text{ km} réside dans la loi d'évolution de la température adoptée :

• Dans la troposphère (de 0 à 10\text{--}15\text{ km} environ), la température décroît effectivement de manière quasi linéaire avec l'altitude selon un gradient thermique d'environ :

  \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}z} = -\frac{T_0}{\ell} = -\frac{290}{50\times 10^3} \approx -5,8\text{ K}\cdot\text{km}^{-1}

  ce qui modélise convenablement la réalité (gradient standard d'environ -6,5\text{ K}\cdot\text{km}^{-1}).

• En revanche, au-delà de la tropopause (z \gtrsim 12\text{--}20\text{ km} selon la latitude), on entre dans la stratosphère. Dans cette couche, sous l'effet de l'absorption du rayonnement ultraviolet solaire par l'ozone (\mathrm{O}_3), la température cesse de diminuer : elle devient d'abord isotherme puis croît avec l'altitude jusqu'à la stratopause située vers 50\text{ km} (où elle remonte jusqu'à environ 270\text{ K}).

Le profil de température décroissant T(z) imposé par le modèle est donc en contradiction totale avec la structure thermique réelle de la stratosphère, ce qui explique l'écart majeur visible sur la figure 5 pour z > 20\text{ km}.

La pression partielle en dioxygène à l'altitude z s'écrit :

1. Observation depuis la Terre :

• Au sol (z = 0), la pression partielle vaut P_{\mathrm{O}_2}(0) \simeq 0{,}2\text{ bar} = 2 \times 10^4\text{ Pa}.
• La lumière émise par un sylphe (situé entre 40 et 80\text{ km} d'altitude) doit traverser la totalité des basses couches atmosphériques pour atteindre un observateur au sol. Or, la quasi-totalité de la masse d'air (> 99\,\%) se concentre en dessous de 30\text{ km}.
• La bande d'absorption du dioxygène moléculaire \mathrm{O}_2 à \lambda \simeq 762\text{ nm} (bande A atmosphérique) est très intense : sur un tel trajet optique dense, le coefficient de transmission chute drastiquement (visible sur le creux très marqué à 762\text{ nm} de la figure 2, où la transmission s'effondre).
• L'observation depuis la Terre dans cette bande spectrale est donc considérablement atténuée, sans compter la présence fréquente de la couverture nuageuse orageuse masquant la vue directe.

2. Observation depuis l'ISS :

• L'ISS se déplace à une altitude h_{\mathrm{ISS}} \simeq 400\text{ km} et observe selon la verticale vers le bas.

• Entre le sommet du sylphe (environ 80\text{ km}) ou sa base (40\text{ km}) et l'ISS, la pression est extrêmement faible. D'après la courbe expérimentale de la figure 5, à z = 40\text{ km}, la pression vaut P \lesssim 0{,}3\text{ kPa} = 300\text{ Pa}, soit :

  P_{\mathrm{O}_2}(40\text{ km}) \lesssim 60\text{ Pa} \sim 3\times 10^{-4}\, P_{\mathrm{O}_2}(0)

  À z = 80\text{ km}, elle devient inférieure à 1\text{ Pa}.

• La quantité intégrée de dioxygène présente sur la ligne de visée entre le sylphe et l'ISS est donc négligeable (raréfaction extrême du gaz). L'absorption à 762\text{ nm} le long de ce trajet est quasi inexistante.

La force de Lorentz subie par un électron de charge q = -e et de vitesse \vec{v} sous l'action du champ électromagnétique (\vec{E}, \vec{B}) de l'onde s'écrit :

où \vec{F}_e = -e\vec{E} est la composante électrique et \vec{F}_m = -e(\vec{v}\wedge\vec{B}) est la composante magnétique.

Pour une onde électromagnétique plane progressive, l'équation de Maxwell-Faraday \vec{\operatorname{rot}}\vec{E} = -\dfrac{\partial \vec{B}}{\partial t} impose :

où v_\varphi = \omega/k est la vitesse de phase de l'onde dans le milieu, de l'ordre de grandeur de c (ou supérieure à c dans un plasma). L'ordre de grandeur du champ magnétique est donc :

Le rapport des normes entre la force magnétique et la force électrique est alors majoré par :

L'énoncé stipule que les déplacements des électrons sont non relativistes, c'est-à-dire que v \ll c. On en déduit :

La contribution magnétique de la force de Lorentz est donc tout à fait négligeable devant sa contribution électrique.

1. Négligence de la contribution des ions au courant électrique
Sous l'action du champ électrique \vec{E}, l'accélération subie par une particule de charge q et de masse m est \vec{a} = \frac{q}{m}\vec{E}. La masse d'un ion (constitué au minimum d'un proton ou d'une molécule d'air ionisée, \mathrm{N}_2^+ ou \mathrm{O}_2^+) vérifie m_{\mathrm{ion}} \ge m_p \simeq 1\,800\, m_e. À charges comparables (|q| \sim e), l'accélération et donc la vitesse acquise par les ions sont plus de 10^3 fois plus faibles que celles des électrons :

Le courant électrique est donc très largement dominé par le mouvement des électrons.

2. Relation entre \underline{\vec{E}} et \underline{\vec{j}}
Dans le référentiel terrestre supposé galiléen, le principe fondamental de la dynamique appliqué à un électron (de masse m_e, de charge q = -e, le poids et les chocs étant négligés conformément à l'énoncé) soumis à la seule force électrique s'écrit :

En représentation complexe avec une dépendance temporelle en \exp(i\omega t), la dérivation temporelle équivaut à la multiplication par i\omega :

La densité volumique de courant électronique s'en déduit par \underline{\vec{j}} = n q \underline{\vec{v}} = -n e \underline{\vec{v}} :

3. Conductivité complexe et puissance transférée
Par analogie avec la loi d'Ohm locale \underline{\vec{j}} = \underline{\gamma}_{\mathrm{p}} \underline{\vec{E}} (ou \underline{\sigma}_{\mathrm{p}} \underline{\vec{E}}), on identifie la conductivité complexe du plasma non collisionnel :

La puissance volumique instantanée cédée par l'onde électromagnétique aux porteurs de charge est donnée par \mathcal{P}_V(t) = \vec{j}(t) \cdot \vec{E}(t). Sa moyenne temporelle s'exprime en régime harmonique par :

La conductivité \underline{\gamma}_{\mathrm{p}} étant un imaginaire pur, sa partie réelle est strictement nulle :

Commentaire physique : Le champ électrique et la densité de courant sont en quadrature de phase (\pi/2). En moyenne sur une période, il n'y a aucun transfert net d'énergie de l'onde vers le plasma (absence de dissipation par effet Joule, les chocs étant négligés). L'énergie est réversiblement échangée entre le champ électromagnétique et l'énergie cinétique macroscopique des électrons.

Le plasma est globalement neutre (\rho = 0) et l'onde est plane et transverse (\vec{E}_0 \cdot \vec{e}_z = 0), d'où :

Les équations de Maxwell-Faraday et Maxwell-Ampère s'écrivent :

En prenant le rotationnel de l'équation de Maxwell-Faraday et en utilisant la formule fournie :

Or :

D'après l'équation du mouvement des électrons établie à la question Q14, m_e \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} = -e\vec{E}, d'où :

En combinant ces résultats, on obtient l'équation de propagation de type Klein-Gordon :

En introduisant la pulsation plasma \omega_{\mathrm{p}} définie par \omega_{\mathrm{p}}^2 = \frac{n e^2}{\varepsilon_0 m_e} (avec \varepsilon_0 \mu_0 c^2 = 1) :

Pour l'onde plane progressive monochromatique proposée, \vec{E} = \vec{E}_0 \exp i(\omega t - kz), les dérivées spatiales et temporelles fournissent :

L'équation de propagation devient :

On en déduit la relation de dispersion :

D'après la question Q15, la relation de dispersion de l'onde dans le plasma s'écrit :

Deux régimes se distinguent selon la pulsation \omega = 2\pi f :

• Si \omega > \omega_{\mathrm{p}}, k^2 > 0 : le vecteur d'onde k est réel, l'onde est plane progressive et se propage sans atténuation dans le milieu.

• Si \omega < \omega_{\mathrm{p}}, k^2 < 0 : k est imaginaire pur. En choisissant la solution physiquement acceptable pour z > 0 (k = -i\kappa avec \kappa = \sqrt{\omega_{\mathrm{p}}^2 - \omega^2}/c > 0), le champ électrique s'écrit :

  \vec{E}(z,t) = \vec{E}_0 \, \mathrm{e}^{-\kappa z} \, \mathrm{e}^{i\omega t}

  Il s'agit d'une onde évanescente : l'onde ne se propage plus, son amplitude décroît exponentiellement avec la profondeur de pénétration et l'onde incidente subit une réflexion totale.

La fréquence limite en dessous de laquelle l'onde ne peut plus se propager est donc la fréquence plasma f_{\mathrm{p}} :

Application numérique :

D'où la fréquence de coupure :

Avec un seul chiffre significatif :

1. Principe de détection par écho radar Le radar émet une onde à la fréquence f = 2{,}2\text{ MHz}. D'après la question Q16, la fréquence plasma d'un milieu de densité électronique n = 10^{11}\text{ m}^{-3} vaut f_{\mathrm{p}} \simeq 3\text{ MHz}. Comme f < f_{\mathrm{p}}, l'onde incidente ne peut pas se propager dans un tel plasma : elle est totalement réfléchie. Un écho radar reçu au sol à cette fréquence révèle donc directement la présence d'une zone où la densité électronique dépasse la densité critique :

2. Analyse de la carte

• Écho quasi-permanent entre 90\text{ km} et 100\text{ km} d'altitude : on observe une bande horizontale continue d'amplitude modérée à forte sur toute la durée de l'enregistrement (t \in [60\text{ s}, 110\text{ s}]). Elle correspond à la réflexion sur la basse ionosphère permanente (couche E), où la densité électronique naturelle est suffisante pour réfléchir l'onde de 2{,}2\text{ MHz}.
• Événement transitoire vers t \approx 85\text{ s} : on observe une brusque « descente » de la zone de réflexion sous la forme de deux structures verticales (ou colonnes) très intenses (amplitude supérieure à 518, voire 800\text{ unités arbitraires}), s'étendant depuis l'ionosphère (90\text{ km}) jusqu'à une altitude minimale d'environ 55\text{ à }60\text{ km}.

3. Commentaire et interprétation physique

• Localisation en altitude : la zone perturbée s'étend de 55\text{ km} à 90\text{ km}, ce qui coïncide remarquablement avec la région d'apparition des sylphes indiquée dans l'énoncé (40\text{ à }80\text{ km}, dans la mésosphère, sous l'ionosphère).
• Morphologie : la forme en colonnes descendantes reproduit fidèlement la structure filamentaire des sylphes visibles sur les photographies des figures 1 et 3.
• Nature du phénomène : cette mesure radar confirme de manière indépendante qu'un sylphe s'accompagne d'une ionisation transitoire intense de la mésosphère, avec une densité électronique locale atteignant ou dépassant 10^{11}\text{ m}^{-3}.

Considérons une tranche de fluide comprise entre les abscisses x et x + \mathrm{d}x, de section droite \Sigma. Le volume de cette tranche est :

Le milieu ayant une densité volumique de molécules n_{\text{mo}}, le nombre de molécules dans cette tranche s'écrit :

Le milieu étant peu dense, le recouvrement entre molécules est négligeable. La surface efficace totale offerte par l'ensemble de ces molécules vaut donc :

D'après l'énoncé, la probabilité \mathrm{d}P pour qu'un électron subisse un choc lors de la traversée de cette tranche est le rapport de cette surface efficace totale à la section totale \Sigma :

Parmi les N(x) électrons qui atteignent l'abscisse x sans avoir subi de choc, le nombre moyen d'électrons subissant un choc entre x et x + \mathrm{d}x est :

Chaque choc retirant un électron de la population des électrons indemnes de tout choc, la variation élémentaire de N(x) s'écrit :

L'équation différentielle régissant l'évolution de N(x) est par conséquent :

Il s'agit d'une équation différentielle linéaire homogène du premier ordre à coefficients constants. Sa solution générale est de la forme :

À l'abscisse x = 0, aucun des N_0 électrons n'a encore subi de choc, ce qui donne la condition initiale N(0) = N_0, d'où A = N_0. On en déduit l'expression du nombre d'électrons atteignant l'abscisse x sans avoir subi de choc :

D'après la question Q18, le nombre d'électrons n'ayant subi aucun choc jusqu'à l'abscisse x s'écrit :

Le nombre d'électrons qui subissent leur premier choc dans l'intervalle [x, x + \mathrm{d}x] correspond à la diminution de cette population, soit :

La probabilité qu'un électron parcoure une distance comprise entre x et x + \mathrm{d}x avant son premier choc est donc :

On vérifie la normalisation de cette densité de probabilité :

Par définition, la distance moyenne parcourue avant le premier choc (libre parcours moyen) est la moyenne statistique :

En intégrant par parties, en posant u(x) = x et v'(x) = n_{\text{mo}} S_{\text{eff}} \exp(-n_{\text{mo}} S_{\text{eff}} x) d'où v(x) = -\exp(-n_{\text{mo}} S_{\text{eff}} x) :

On obtient bien :

Justification de l'ordre de grandeur de S_{\text{eff}}

Une molécule de diazote \mathrm{N}_2 possède une dimension caractéristique (rayon moléculaire ou van der Waals) de l'ordre de l'angström :

L'électron incident étant ponctuel à l'échelle moléculaire (r_e \ll r), la section efficace géométrique de collision s'approxime par l'aire de la section droite de la molécule :

L'ordre de grandeur donné par l'énoncé est donc tout à fait cohérent avec la taille atomique.

Calcul du libre parcours moyen \ell_{\text{pm}} à z_3 = 60\text{ km}

En assimilant l'air à un gaz parfait à l'altitude z_3, la pression P_3 et la température T_3 sont reliées à la densité volumique moléculaire n_{\text{mo}} par l'équation d'état :

D'après l'expression établie à la question précédente :

Avec les valeurs numériques fournies :

On obtient :

Avec un seul chiffre significatif :

Entre deux collisions successives, un électron initialement au repos est accéléré par la force électrostatique \vec{F} = -e\vec{E}. En supposant le mouvement aligné avec le champ, le travail fourni par le champ électrique sur une distance caractéristique égale au libre parcours moyen \ell_{\mathrm{pm}} s'écrit :

D'après le théorème de l'énergie cinétique, l'énergie cinétique acquise par l'électron sur ce parcours vaut :

Exprimée en électron-volts, cette énergie s'écrit simplement :

En utilisant la valeur du libre parcours moyen obtenue à la question Q20 (\ell_{\mathrm{pm}} \simeq 2\times 10^{-2}\text{ m}) et l'intensité du champ électrique local (E \simeq 100\text{ V}\cdot\text{m}^{-1}) :

On constate que :

L'énergie de masse au repos de l'électron vaut :

En effectuant l'application numérique avec les données du sujet :

L'énergie cinétique des électrons cosmiques considérés est :

On constate que l'énergie cinétique est supérieure à l'énergie de masse au repos (\mathcal{E}_c \approx 2\,\mathcal{E}_0). Le facteur de Lorentz vaut donc :

Comme \gamma est nettement supérieur à 1, ces électrons sont nécessairement relativistes.

Le phénomène de cascade avalancheuse (ou avalanche électronique) se décompose selon les étapes suivantes :

1. Amorçage par un électron primaire énergétique : Un électron issu du rayonnement cosmique possède une énergie cinétique très élevée (\mathcal{E}_c \simeq 1\text{ MeV} \gg \mathcal{E}_i \simeq 16\text{ eV}). Lors de collisions successives avec les molécules de l'atmosphère (\text{N}_2), il a largement assez d'énergie pour les ioniser :

   e^- + \text{N}_2 \longrightarrow \text{N}_2^+ + 2\,e^-
2. Multiplication des porteurs de charge : L'électron incident et les électrons secondaires créés sont accélérés par le champ électrique ambiant \vec{E}. Les électrons ayant acquis ou conservé une énergie cinétique supérieure au seuil d'ionisation \mathcal{E}_i provoquent à leur tour de nouvelles ionisations par impact lors de leurs collisions ultérieures.
3. Effet d'avalanche : À chaque génération de collisions ionisantes, le nombre d'électrons mobiles est multiplié. Cette réaction en chaîne conduit à une croissance exponentielle de la population d'électrons libres et des ions positifs associés.

Cette avalanche crée ainsi un courant électrique intense et macroscopique dans la mésosphère. L'excitation collisionnelle consécutive des molécules de diazote et leur désexcitation radiative sont à l'origine de l'émission lumineuse observée lors d'un sylphe.

À chaque étape de l'avalanche, un électron accéléré ionise une molécule lors d'un choc, libérant un électron supplémentaire. Le nombre d'électrons est donc multiplié par 2 à chaque étape, soit :

Ces électrons sont répartis dans un volume de dimension caractéristique L \sim \mathscr{N} \ell_{\text{pm}}. En considérant que ce volume correspond à une région d'extension spatiale totale 2\mathscr{N}\ell_{\text{pm}} (par exemple une sphère de rayon \mathscr{N}\ell_{\text{pm}} ou un cube de côté 2\mathscr{N}\ell_{\text{pm}}), le volume s'écrit :

La densité volumique moyenne d'électrons s'exprime donc sous la forme :

On cherche le nombre d'étapes \mathscr{N} tel que n = 10^{11}\text{ m}^{-3}, avec \ell_{\text{pm}} \simeq 1\text{ cm} = 10^{-2}\text{ m}, d'où \ell_{\text{pm}}^3 = 10^{-6}\text{ m}^3 :

On reconnaît l'égalité entre les deux fonctions tracées sur la figure 7 :

Sur la figure 7, l'axe des abscisses comporte 4 subdivisions entre 24 et 32, chaque subdivision élémentaire vaut donc \Delta \mathscr{N} = 2. L'intersection des deux courbes se situe exactement à mi-chemin entre \mathscr{N} = 34 et \mathscr{N} = 36, à l'ordonnée f \simeq 4,3.

En effet, pour \mathscr{N} = 35 :

On en déduit la valeur numérique :

(soit \mathscr{N} \simeq 4 \times 10^1 avec un seul chiffre significatif).