Électrostatique : 431 questions de concours corrigées

Rappeler la relation entre la densité de charges par unité de surface sur une des armatures, notée σ, et le champ électrique E entre les armatures.

Rappeler l'expression de la densité volumique d'énergie électrostatique en fonction de E.

Proposer une définition de la capacité C du condensateur. Exprimer, en d'étaillant votre raisonnement, le champ électrique E en fonction notamment de la charge q. En déduire l'expression de la…

En utilisant une équation de Maxwell, montrer que le champ électrique est uniforme à l'intérieur du condensateur.

Montrer, en utilisant l'équation de Poisson que vous rappelerez, que, dans l'espace inter-électrodes : V(x) = U/cx

On considère un système de deux charges q₁ et q₂. La charge q₁ étant fixe, on déplace q₂ de façon quasi-statique à partir de l'infini jusqu'à une distance r₁₂. Calculer l'énergie potentielle…

En déduire le facteur a tel que l'énergie électrostatique U_q d'un système S_q=q_i_1 ≤ i ≤ N de N charges s'écrive U_q=a Σ_i ≠ j q_j V_i → j, où la somme est prise sur toutes les paires possibles…

On cherche maintenant à résoudre cette équation pour déterminer ψ. On rappelle que l'on se place suffisamment près de la paroi ; on peut donc considérer que l'on résout le champ à proximité d'une…

On suppose que la seule autre force volumique f_vol est celle d'origine électrostatique. Préciser son expression en fonction de la densité volumique de charges ρₑ, correspondant à la présence d'ions…

On considère une plaque de métal d'épaisseur négligeable par rapport à ses dimensions transversales. Elle porte sur une face une densité de charges surfacique uniforme σ, et sur l'autre une densité…

Dans un premier temps, considérons une sphère uniformément chargée en volume, avec une densité volumique de charge notée ρ. Déterminer le champ électrique à l'intérieur de la sphère.

Nous avons fait tous les calculs dans l'approximation électrostatique. À quelle condition, portant sur la taille de la sphère, est-il légitime de négliger les phénomènes de propagation ?

Énoncer le théorème de Gauss gravitationnel, reliant notamment le champ de gravitation G et la constante de gravitation universelle G.\ En déduire l'expression du champ G_A(M) créé par un astre (A)…

Déduire, par exemple du théorème de Gauss, la relation liant σ₀, E et la permittivité diélectrique du vide ε₀.

Déterminer le champ électrique E₁ créé par la seule armature mobile de charge +Q de part et d'autre de celle-ci. On pourra exprimer le résultat de façon distincte selon le domaine d'espace.

Rappeler les équations de Maxwell en régime stationnaire. Justifier l'existence du potentiel électrostatique V et établir la relation qui lie V à ho. Donner le nom de cette relation.

Déterminer le champ électrostatique E_p créé par un plan infini de densité surfacique de charge σ. En déduire le champ électrostatique E entre les deux électrodes du condensateur double couche (-a <…

Rappeler la relation qui lie le champ électrostatique au potentiel électrostatique V. En déduire l'énergie potentielle électrostatique de l'électron en fonction de e et de V.

Rappeler la relation qui lie le champ électrostatique au potentiel électrostatique V. En déduire l'énergie potentielle électrostatique de l'électron en fonction de e et de V.

Rappeler l'équation locale de Maxwell-Gauss. Établir la forme intégrale associée (théorème de Gauss).

Préciser, en justifiant votre réponse, la direction du champ électrostatique E(M) créé par cette distribution de charges en tout point M de l'espace, ainsi que la ou les variable(s) spatiale(s) dont…

On considère ici le cas simple d'un atome à un électron. Dans le modèle de Thomson (dit aussi modèle du plump pudding) on décrit le noyau comme une boule de rayon R₀ uniformément chargée en volume…

En assimilant l'aiguille à un fil infini, établir l'expression du champ électrostatique E(M) produit par l'aiguille en fonction de λ, ε₀ et r.

Justifier par des considérations de symétrie que ce champ électrique est radial (on se placera en coordonnées sphériques).

En utilisant l'analogie entre le champ électrostatique et le champ gravitationnel, montrer que ce dernier, noté G, vérifie l'équation locale divG = -4π Gµ où G est la constante universelle de…

Nous allons appliquer ce résultat au cas où x désigne la distance relative entre deux protons se déplaçant sur un même axe, et V(x) l'énergie potentielle de leur interaction électrostatique…

Dans un système formé de deux électrodes planes parallèles de surface S et de distance e_air, donner la relation entre le champ électrique (sens, direction, valeur) et la charge portée par les…

En déduire la capacité C du système entre les deux électrodes.

Démontrer l'expression du champ gravitationnel G(r) puis du potentiel gravitationnel V(r) engendrés par un astre à répartition sphérique de masse, de masse M et de rayon R, à une distance r R de son…

Justifier par des considérations de symétries et d'invariances que le champ électrique E(M,t) est a priori de la forme : E(M,t) = E_r(r,z,t)u_r + E_z(r,z,t)u_z.

En utilisant un théorème d'électromagnétisme à énoncer, calculer le champ électrique créé par cette distribution en tout point de l'espace.

En étudiant les symétries, puis les invariances de la distribution, donner la direction du champ électrique E(M) en un point M quelconque de l'espace et les coordonnées dont ce champ dépend.

La charge Q portée par la coque crée le potentiel électrostatique V dont la dépendance spatiale s'exprime de la façon suivante : V(r) = (σ R_v)/ε & pour r [0, R_v] [2ex] V(r) = (σ R_v²)/(ε r) & pour…

On considère ici le cas d'un atome à un seul électron. Exprimer ρ en fonction de r₀ et des constantes fondamentales.

Soit une charge ponctuelle q > 0 placée en un point O fixe. Donner l'expression du vecteur champ électrostatique E et du potentiel électrostatique V créé par q en un point M quelconque de l'espace…

En utilisant le théorème de Gauss, qu’on énoncera, indiquer quel est le champ électrostatique auquel est soumis l’électron en P (OP < a₀).

Dans le cadre du modèle du condensateur plan, quels seraient les paramètres géométriques du condensateur à modifier pour obtenir la capacité la plus grande possible ?

Rappeler l'équation locale de Maxwell-Gauss dans une zone de l'espace où il existe une distribution volumique de charges ρ. Déduire de cette équation le théorème de Gauss.

Rappeler les expressions de la force d'interaction électrostatique Fₑ subie par une charge ponctuelle q_A placée au point A de la part d'une charge ponctuelle q_B placée au point B ainsi que de la…

Énoncer le théorème de Gauss liant le champ électrostatique E à la distribution volumique de charge . En s'appuyant sur l'analogie établie entre l'électrostatique et la gravitation, montrer que le…

Rappeler les équations du champ électrostatique E, ainsi que la force exercée par un tel champ sur une particule de charge q. On notera ρ_q la densité de charge électrique.

Montrer que le champ électrique entre les armatures a pour expression : E = -σ/ε₀ · u_z.

Déterminer l'expression de la capacité C du condensateur plan.

Enoncer le théorème de Gauss de l'électrostatique.

Etablir une correspondance explicite entre l'électrostatique et la gravitation. Enoncer le théorème de Gauss gravitationnel. On notera g(M) le champ gravitationnel au point M.

En appliquant le théorème de Gauss, exprimer g(r) en fonction de G et M(r). Rappeler l'équation de la statique des fluides que l'on peut écrire pour cette étoile.

Déterminer le champ électrique à l'extérieur de la goutte, et en déduire l'expression de P.

À partir du théorème de Gauss, donner le champ électrique crée par le conducteur pour tout rayon r ≥ R.

Déterminer, en fonction notamment de M_b, le champ gravitationnel créé en un point M de l'espace, selon que r ≤ R_b ou R_b ≤ r ≤ R_d. En déduire la vitesse v₀ d'une étoile en mouvement circulaire de…

En utilisant les symétries et les invariances du problème, déterminer le champ électrique E(M) créé dans tout l'espace par cet électron non ponctuel. En déduire, en fonction de e, rₑ et ε₀…

Par analogie avec la question 4, exprimer le champ électrique E_noy(M) créé par le noyau en tout point M à l'intérieur de l'atome. En déduire que la force exercée par le noyau sur l'électron (masse…

Représenter, sur le document réponse qui reproduit la figure 5, le champ électrique E aux points A, B et C. Tracer et orienter les lignes de champ passant par ces points. Évaluer numériquement la…

En négligeant les effets de bord, établir l'expression du champ électrique E présent entre les armatures à une distance r de l'axe (Oz), en fonction de Q, H, ε₀ et r.

Déterminer l'expression de la capacité C₀ en fonction de R₁, R₂, H et ε₀.

a) On considère une boule de rayon Rₒ, de charge Qₒ chargée uniformément en volume. Elle crée un champ électrique E en un point M situé à une distance r du centre. Justifier la dépendance et la…

Justifier qu'on peut supposer ici les armatures infinies pour rechercher le champ électrique E. Sous cette hypothèse, déterminer la direction de E entre les deux armatures et montrer par une analyse…

Exprimer le champ gravitationnel G_T(M) créé par la Terre en tout point de l'espace.

a) Exprimer l'énergie gravitationnelle finale dE_pG(r) des masse m et dm. On considère l'énergie gravitationnelle nulle quand dm est infiniment éloignée de m. b) On modélise la formation d'une…

Exprimer le champ gravitationnel G_T(M) créé par la Terre en tout point de l'espace.

a) Exprimer l'énergie gravitationnelle finale dE_pG(r) des masse m et dm. On considère l'énergie gravitationnelle nulle quand dm est infiniment éloignée de m. b) On modélise la formation d'une…

On suppose ici que l'on néglige les effets de bords. A quelle condition sur a, b et c cela est-il possible ? Montrer que, en négligeant les effets de bord, une étude des invariances et des symétries…

En déduire, en précisant soigneusement votre choix d'orientation, l'intensité totale I circulant dans l'espace entre les électrodes.

À partir de l'équation (11), que l'on écrira comme une intégrale sur tout l'espace, montrer que l'on peut écrire l'énergie électrostatique de tout système S_ρ d'extension spatiale finie sous la…

En ne considérant pour chaque élément Σ de S que la force exercée par Σ sur celui-ci, en déduire que la sphère exerce sur elle-même une force qui peut être décrite comme une force de pression, qui…

Rappeler l'équation de Poisson reliant le potentiel φ à la densité volumique de charge ρₑ dans le vide. On admettra dans la suite que l'on peut utiliser cette équation dans le milieu ionique en…

On fait l'hypothèse que l'énergie potentielle électrostatique est négligeable devant l'énergie thermique, soit ψ ≪ 1. Résoudre l'équation de Poisson pour exprimer ψ puis φ. On notera φ₀ le potentiel…

Donner la dimension de λ_D. Estimer numériquement λ_D pour une concentration c_∞ = 0,5 mol⁻¹ (ce qui correspond à de l'eau de mer).

On considère un piège électrique en forme d'anneau tel que celui montré à la Fig 1, placé dans le vide. On se donne un repère Oxyz tel que O est au centre du piège et Oz est l'axe de symétrie de…

On place maintenant une particule supposée ponctuelle, de charge q = -e, au centre du piège. Pourquoi ne peut-elle pas y léviter de manière stable ?

Calculer de même le champ E₂ créé par l'armature fixe. En déduire le potentiel électrostatique créé en tout point de l'espace situé entre les deux armatures, puis exprimer la capacité C(t) du…

Proposer des éléments de justification de ces choix.

Après avoir justifié la direction du champ de gravitation terrestre G(M) et les invariances de sa norme, établir l'expression de celui-ci en un point M extérieur à la Terre en fonction de la…

Montrer que le champ électrique E(M) dans la membrane ne dépend que de r et qu'il est porté par le vecteur directeur u_r. En appliquant le théorème de Gauss, déterminer l'expression de E(M) en…

Montrer que le champ électrique E(M) dans la membrane ne dépend que de r et qu'il est porté par le vecteur directeur u_r. En appliquant le théorème de Gauss, déterminer l'expression de E(M) en…

En appliquant le théorème de Gauss, calculer le champ électrique E(r) à l'intérieur et à l'extérieur du noyau. On exprimera le résultat à l'aide de qₑ, R₀, ε₀ et r.

Rappeler la relation entre le potentiel électrostatique U(r) et le champ électrique. Quelles conditions de passage satisfait-il à l'interface du noyau ?

Pourquoi peut-on prendre arbitrairement U(r → ∞) = 0 ? En déduire sous cette hypothèse l'expression de U partout dans l'espace.

On considère à présent un électron situé à une distance r < R₀ du centre du noyau. Montrer que le noyau exerce une force F = -mₑ ω₀² r, sur l'électron. Donner l'expression de ω₀ en fonction de qₑ…

On note r_i la position de l'électron de cœur i. Montrer que pour r_i ≪ r on a 1/(|r - r_i|) ≃ 1/r + (r_i · r)/r³ +

En utilisant le théorème de GAUSS, déterminer l'expression du champ électrique E(M) à une distance r < R. En déduire que la force électrique subie par l'électron peut s'écrire sous la forme d'une…

Justifier que la contribution dW_g à l'énergie gravitationnelle de cet accroissement (passage de r à r + dr) s'écrit dW_g = -G m dm/r. Calculer l'énergie gravitationnelle totale W_g de l'étoile en…

Par une analogie formelle soignée entre les champs électrostatique et gravitationnel, construire et énoncer le théorème de Gauss gravitationnel (analogue en gravitation du théorème de Gauss de…

En déduire, dans l'espace autour de Mars, une expression de l'accélération de la pesanteur g(M) de cette planète.

Rappeler tout d'abord le théorème de Gauss en vous appuyant sur un schéma permettant d'illustrer les notations. Appliquer ce théorème en exploitant les considérations de symétrie et d'invariance au…

On considère le cas extrême d'une collision frontale et on supposera pour simplifier que l'atome est immobile compte tenu de sa masse importante par rapport aux particules α. Montrer en utilisant la…

Déterminer le champ gravitationnel G_T_h en tout point de l'espace en introduisant un système de coordonnées adapté.

À l'aide du théorème de Gauss pour la gravitation, établir l'expression du champ de pesanteur à une altitude z, dont l'origine sera choisie au niveau du sol et l'axe orienté dans le sens des…

Justifier, de façon rigoureuse, que le champ électrique entre les deux armatures s'écrit sous la forme : E(M) = E(r) e_r.

À l'aide du théorème de Gauss, déterminer l'expression de E(r) entre les deux armatures en fonction des données de l'énoncé.

En déduire l'expression de C₀ en fonction de a₁, a₂, H et de la permittivité diélectrique du vide ε₀.

L'iss se situe à une altitude h_iss d'environ 400 km. Montrer en utilisant le théorème de Gauss, et moyennant certaines hypothèses que l'on précisera, que le champ gravitationnel qu'elle subit est…

Expliciter le potentiel électrostatique V(r) en tout point de la cavité a ≤ r ≤ b. On négligera tout effet de bord.

Quel est le signe de la charge de la face inférieure qui apparait en cas de compression (figure 7b) ? On note σ la densité surfacique de charge correspondante. Dans le cas d'un milieu illimité dans…

Justifier que le champ électrique est de direction Oz : E = Eu_z. Exprimer ce champ électrique créé dans l'espace 0 < z < d en fonction de σₒ et de εₒ.

On cherche en première approximation un champ uniforme à l'intérieur du condensateur : E(M,t) = E₀(t) = E_0,z(t)u_z. Déduire du théorème de Gauss appliqué à une surface à définir clairement…

En utilisant un théorème d'électromagnétisme à énoncer, calculer le champ électrique créé par cette distribution en tout point de l'espace.

Nous supposons qu'en tout point de la solution la condition |eV(r)/(k_BT)| ≪ 1 est vérifiée. L'équation (26) prend alors la forme (approximative) suivante : Δ V(r) = κ² V(r)27 Donner l'expression du…

Calculer le champ électrique vu par l'électron lorsque celui ci se trouve à l'intérieur de la sphère. Expliquer pourquoi ce modèle est aussi appelé "modèle de l'électron élastiquement lié".

Établir l'expression de la composante E = E(X) du champ électrique en fonction de l'abscisse X. Exprimer la condition de continuité du champ électrique en X = 0. Interpréter le résultat obtenu.

Représenter, en correspondance avec la répartition de la densité volumique de charge illustrée sur la figure (5) (à reproduire), l'allure des représentations graphiques des fonctions E = E(X) et ψ =…

Expliquer pourquoi, dans ce modèle unidimensionnel, le champ électrostatique est parallèle à l'axe (Oz). Justifier la forme de la représentation graphique de E(z) donnée figure 2.

Rappeler la définition d'une ligne de champ et d'une surface équipotentielle. Quelles sont-elles sur l'exemple précédent de la charge ponctuelle q > 0 située en O ? en faire une représentation dans…

Calculer l'énergie potentielle du système donnée par la somme de l'énergie potentielle du ressort et l'énergie électrique emmagasinée dans le condensateur.

Calculer la force électrique entre les deux armatures du condensateur en fonction de la tension appliquée U. Préciser le sens de cette force.

On considère que le système S constitué des deux armatures séparées par un matériau diélectrique matérialise un condensateur plan. On souhaite déterminer la capacité C de ce condensateur. On se…

Montrer que le champ électrique dans lequel évolue un noyau est : E = -2er/(ε₀ a³)e_r.

On considère un plan infini (assimilé au plan yOz) uniformément chargé en surface, avec une densité surfacique positive de charges notée σ (figure 4). On cherche à déterminer le champ…

On modélise à présent un condensateur par deux plans infinis uniformément chargés : le plan A d'équation x = 0 porte une densité surfacique de charges +σ et le plan B d'équation x = e porte une…

Le potentiel gravitationnel Φ est pour G l'analogue de ce qu'est le potentiel électrostatique V pour le champ électrostatique. Laquelle des deux équations précédentes (3) permet d'assurer…

Etablir la forme du champ de gravitation à l'extérieur de la Terre en supposant celle-ci sphérique et de masse volumique uniforme. On se place dans un système de coordonnées sphériques de centre O…

En vous appuyant sur l'analogie entre les forces électrostatique et gravitationnelle, écrire les équations régissant le champ gravitationnel K. Ces équations feront apparaître une densité volumique…

On considère une boule homogène de rayon R et de densité volumique de charge uniforme ρ_q,0. Calculer le champ électrostatique à l'intérieur et à l'extérieur de cette boule. On précisera avec soin…

On considère à présent une boule homogène de rayon R et de densité de matière uniforme ρ₀. Déterminer le champ gravitationnel à l'intérieur et à l'extérieur de cette boule. Montrer notamment qu'on…

Utilisant l'équation d'équilibre radial, et en négligeant tout mouvement sur e_z, obtenir une équation reliant v_θ(r) sur ce plan équatorial à la masse M_int(r) contenue dans la boule de rayon r…

On suppose à présent que la Galaxie est une boule homogène de rayon R et de densité ρ₀. Calculer v_θ(r) sur son plan équatorial pour r < R et r > R, et rassembler ces résultats dans une courbe.

Montrer que la force électrique F_el exercée sur l'électron peut s'écrire comme une force élastique linéaire, c'est-à-dire F_el = -k_elrₑ, avec k_el la constante de raideur associée. Introduire dans…

Quelle est l'expression de la force ressentie par l'électron en fonction des données du problème et de la position de l'électron ? Commenter.

Par l'application du théorème de Gauss, calculer E'. En déduire E d'après Q11.

On envisage un astre sphérique de centre O, de rayon R et de masse m uniformément répartie. En justifiant clairement chaque étape du raisonnement, établir que le champ gravitationnel créé par cet…

Etablir également l'expression de g(M) pour un point M intérieur à l'astre.

En déduire la force par unité de surface, qu'on notera P, exercée sur une des armatures du condensateur, et préciser son sens. On exprimera P en fonction de E, puis en fonction de σ.

Calculer l'énergie électrostatique propre U_B_R d'une charge ponctuelle q nivelée, pour une fenêtre f(r) qui correspond à une boule homogène de rayon R. On exprimera cette énergie en fonction de q…

On admet que le champ électrique peut s'écrire E=E(x) eₓ dans la jonction et qu'il est nul dans la zone x<x₁. Exprimer le champ électrique en tout point et tracer l'allure de E(x) en fonction de x.

Résoudre cette équation et montrer que le potentiel électrique s'écrit : pour r ≠ 0, U(r) = e/(4π εₒ r) e⁻r/λ_D. Interpréter ce que représente λ_D. Commenter.

Établir que l'équilibre des courants de conduction et de diffusion se traduit par l'équation suivante : C_D/C_A = exp ( -µ_q/D_q V_d ) où V_d = ψ_D - ψ_A ; C_A = C(X_A) ; C_D = C(X_D)

Déterminer une expression du champ électrostatique à l'intérieur de la nanoparticule, qui résulte du déplacement du nuage électronique par rapport au réseau cristallin. Commenter le résultat obtenu.

Établir, en illustrant votre démonstration par une figure avec une légende explicite, que g_c = -2π Gρ_c H dans toute la partie située au-dessus de la couche plane.

Décrire un dispositif expérimental simple permettant de créer un tel champ électrique.

Soit un système de N charges ponctuelles q_i situées en des positions r_i, avec i = 0, , N-1. Ecrire l'expression du potentiel électrostatique V_i créé au point r_i par les N-1 autres charges q_j…

Établir l'expression de l'énergie potentielle d'interaction E_p(r) entre l'électron et le noyau en prenant l'origine des énergies potentielles en r → ∞.

Établir l'expression de l'énergie potentielle d'interaction E_p(r) entre l'électron et le noyau en prenant l'origine des énergies potentielles en r → ∞.

Établir l'expression de l'énergie potentielle d'interaction E_p(r) entre l'électron et le noyau en prenant l'origine des énergies potentielles en r → ∞.

Grâce à une analogie électrostatique, justifier que le théorème de Gauss pour le champ gravitationnel g s'écrit _S g · dS = -4π G M_int où M_int désigne la masse située à l'intérieur de la surface…

Donner le champ électrique E(M) créé par l'électron en M.

En déduire, toujours en fonction de la taille typique a de l'atome d'hydrogène, l'énergie mécanique moyenne ₘ de l'électron.

Faire un schéma du condensateur en faisant apparaître la tension u à ses bornes, les charges q et -q portées par ses armatures ainsi que le champ électrique E qui règne en son sein. On supposera u >…

Quelles sont les unités usuelles des constantes fondamentales ε₀ et µ₀ ? En déduire qu'une capacité C et une inductance L vérifient les lois d'échelle C ∼ h et L ∼ h.

Rappeler la définition générale de la capacité C d'un condensateur en lien avec la charge Q portée par l'une de ses armatures, en précisant sur un schéma électrique les conventions choisies.

Exprimer l'énergie potentielle électrostatique d'une charge ponctuelle q₁ en présence d'une unique charge ponctuelle q₂ située à la distance r₁₂ de la charge q₁.

On rappelle que l'expression de la densité volumique d'énergie électrostatique est uₑ = (ε₀ E²)/2, avec ε₀ la permittivité diélectrique du vide. En déduire l'énergie électrostatique Eₑ stockée à…

Donner sans démonstration l'expression de l'énergie électrostatique stockée dans un condensateur en fonction de sa capacité C et de sa tension U. En déduire l'expression de C en fonction de ε₀, ℓ et…

La fréquence d'oscillation f_LC de ce circuit est mesurée. Montrer que cela permet d'en déduire ℓ par la relation : ℓ = 4π³ ε₀ R² L f_LC².

Donner les expressions des champs gravitationnel G(M) et électrostatique E(M), créés en un point M, respectivement par la masse ponctuelle m et par la charge ponctuelle q, chacune étant placée en O…

Donner les expressions des champs gravitationnel G(M) et électrostatique E(M), créés en un point M, respectivement par la masse ponctuelle m et par la charge ponctuelle q, chacune étant placée en O…

Déterminer l'expression de la valeur vₙ de la vitesse de l'électron en fonction du rayon de son orbite rₙ, ε₀, mₑ et de e.

Rappeler l’expression vectorielle de la force d’interaction électrostatique s’exerçant dans le vide entre deux charges électriques ponctuelles q₁ et q₂ distantes d’une longueur r et celle de la…

En supposant que l'armature de gauche (potentiel V_g) est à la masse, quel est le potentiel V_d de l'armature de droite ?

Déterminer l'expression du champ électrique E dans ce même espace.

Obtenir alors l'expression de la résistance électrique R de l'échantillon de sol contenu entre les deux électrodes.

On considère à présent la charge q₂ fixe, et on déplace q₁. Déterminer la force F_2 → 1 dérivant de l'énergie potentielle obtenue précédemment. Cette énergie potentielle décrit-elle complètement…

Représenter graphiquement le passage d'une distribution de charges ponctuelles à une distribution de charges nivelées. Quelle est la charge totale contenue dans ρ?

Écrire explicitement la fonction f(r) pour une charge nivelée de manière homogène sur une boule de rayon R.

En supposant les dimensions transverses des électrodes très grandes devant e, préciser la direction du champ électrique E au sein de l'isolant. Montrer aussi que ce champ est uniforme au sein du…

Calculer U₀ et définir puis exprimer la capacité C₀ du condensateur ainsi réalisé.

Montrer que, lorsque la membrane est en mouvement à la vitesse v=(d X)/(d t) uₓ, le courant qui parcourt le circuit s'écrit i(t)=K(X) (d X)/(d t) et exprimer K(X).

Évaluer, en ordre de grandeur, le poids d'un électron et la force électrostatique subie par un électron circulant depuis la cathode vers l'anode. Conclure.

Calculer la différence de potentiel nécessaire pour obtenir une énergie cinétique finale E_c = 1,0 keV. Justifier.

Quelle est l'expression du champ créé par le noyau d'un atome d'hydrogène sur son électron ? On notera r_H le rayon de l'orbite de l'électron.

Préciser la condition littérale sur ρ₁, e₁, ρ₂ et e₂ permettant d'assurer la neutralité électrique de l'ensemble de la zone de déplétion.

Tracer le graphe représentant la norme de E(M) en fonction de x, en indiquant les valeurs remarquables.

Rappeler sans démonstration l'expression du champ électrostatique en un point M de l'espace, produit par une charge ponctuelle q, située en P.

En déduire, à une constante additive près, le potentiel électrostatique V(M) produit par l'aiguille.

Cette expression reste-t-elle encore applicable si P et A sont tous deux à symétrie sphérique ? On pourra, dans tout ce qui suit, considérer A et P comme des points matériels A et P.

Donner et justifier physiquement le signe de W_g. Expliquer pourquoi on nomme parfois E_ℓ = -W_g l'énergie de liaison de l'étoile.

Exprimer la masse volumique ρ, supposée uniforme et constante, de l'étoile en fonction de M et R. En déduire, en fonction de M, R et r, les expressions de m (masse déjà constituée dans une sphère de…

Soit deux particules supposées ponctuelles positionnées aux points M₁ et M₂, portant respectivement les charges q₁ et q₂. On note d, la distance entre M₁ et M₂. Rappeler l'expression de la force…

Utiliser les invariances pour montrer que la distance radiale r est le seul paramètre pertinent pour caractériser le champ électrique.

On cherche l'expression de l'énergie de l'électron en fonction de r₀. Rappeler l'expression de l'énergie potentielle d'un électron dans le champ électrique créé par le noyau. On notera e² = qₑ²/4πε₀…

Tracer sa norme en fonction de la distance r au centre O.

Calculer sa valeur G₀ à la surface de la Terre.

Déterminer les valeurs du champ de pesanteur à z₀ et à z₁.

En déduire que l'on peut considérer le champ de pesanteur uniforme à ces altitudes, à une incertitude que l'on précisera. On prendra par la suite g=9,7 m · s⁻².

Exprimer la capacité C₀ du condensateur en fonction de V₁, V₂ et Q.

En déduire la différence de potentiel U₀ en fonction des mêmes paramètres et de a et b.

En déduire la différence de potentiel Uₒ en fonction de σₒ, εₒ et de d.

Calculer E et σₒ pour d = 5,0 m et Uₒ = 1,0 · 10⁵ V.

Doit-on craindre une telle tension ? On donne la valeur du champ disruptif de l'air dans les conditions d'étude : E_disruptif(air) = 3,6 · 10⁶ V⁻¹.

Rappeler l'énergie potentielle d'une charge e placée en un point du plasma tel que le potentiel électrique en ce point soit égal à U. On suppose que ce potentiel ne dépend que de r : U = U(r).

Quelle est l'unité (ou la dimension) de γ ?

Donner l'expression du potentiel scalaire V₀(M,t) à une constante additive près. Exprimer la différence de potentiel V₀(z=d) - V₀(z=0) entre les deux armatures et en déduire que la capacité C du…

En étudiant les symétries, puis les invariances de la distribution, donner la direction du champ électrique E(M) en un point M quelconque de l'espace et les coordonnées dont ce champ dépend.

En déduire l'expression du champ électrique E(M)_vide créé par l'association des deux électrodes chargées +Q et -Q, en un point M entre les deux électrodes s'il y avait le vide. Dans un matériau…

En déduire l'expression du champ électrique E(M)_vide créé par l'association des deux électrodes chargées +Q et -Q, en un point M entre les deux électrodes s'il y avait le vide. Dans un matériau…

Indiquer dans quelle limite l'équation différentielle (26) tend vers une équation linéaire.

Les équations de l'électrostatique obtenues en réponse aux questions (13) et (14) permettent-elles de déterminer les inconnues que sont les abscisses X_A et X_D ainsi que le potentiel de diffusion…

Calculer la valeur de V_d à la température ambiante. On donne la valeur suivante : ln (10) ≃ 2.

Calculer le module de la force électrique s'exerçant sur l'araignée au niveau du sol pour une charge dont le module est de l'ordre du nanocoulomb. Par temps clair et uniquement par la force…

Calculer le module de la force électrique s'exerçant sur l'araignée au niveau du sol pour une charge dont le module est de l'ordre du nanocoulomb. Par temps clair et uniquement par la force…

Décrire de façon qualitative le phénomène d'effet de pointe.

Évaluer numériquement l'épaisseur de jonction w si V₀ = 0,84 V, n_N = 1 × 10²⁴ m⁻³ = 100 n_P.

a) En déduire ce que vaut la pulsation ω₀ définie par f_rappel = -mₑ ω₀² OP. On l’exprimera en fonction de e, mₑ et de a₀. b) Évaluer numériquement la longueur d’onde associée. Commenter.

On considère à présent un condensateur réel (figure 5), constitué de deux plaques identiques de surface S placées parallèlement l'une à l'autre et séparées par une distance e. Elles portent des…

Comment s'exprime la force de gravitation exercée par une distribution de masse sur un point matériel P de masse m en fonction du champ de gravitation G(P) ?

Dresser une analogie entre les équations (3) et celles de l'électrostatique. Quelle est la différence fondamentale entre l'électrostatique et la gravitation ?

On note M(r) la masse contenue dans la boule de rayon r. Montrer alors que : M(r) = ∫₀r 4π r'² (r') dr'. (6)

Expliquer pourquoi on peut considérer que deux spires adjacentes forment un condensateur.

Dans quelles autres situations en physique rencontre-t-on ce type d'équation ? Les décrire en quelques lignes.

Que représente la capacité C₀ ?

Soient deux charges ponctuelles q₁ et q₂ disposées respectivement aux points P₁ et P₂. Rappeler l'expression de la force que q₁ exerce sur q₂. On introduira toutes les notations nécessaires.

Tracer alors l'allure de |g(M)| en fonction de r pour tout r.

On admet qu'en tout point de la surface s'exerce en outre une force de cohésion provenant des interactions entre les molécules de la goutte, dite force de tension superficielle. Elle est dirigée…

On suppose le débit suffisamment faible pour qu'on puisse négliger les courants, et on se place dans l'approximation de l'électrostatique. Quelle équation le potentiel électrostatique V(r) doit-il…

On admet qu'en tout point de la surface du cône s'exerce une force de tension superficielle dirigée vers l'intérieur et proportionnelle à γ/r. Pour que le cône soit à l'équilibre, il faut que la…

On cherche une solution de l'équation déterminant le potentiel électrostatique de la forme V(r,θ,φ) = V₀ + rδ f(θ), où V₀ et δ sont des constantes. Quelle est la valeur de δ compatible avec le…

Quelle est la valeur de f(θ₀) compatible avec la condition obtenue à la question 6 ? La résolution numérique de l'équation avec cette condition donne un angle au sommet du cône d'environ 49,3°.

Grâce à des électrodes, on crée, en plus des champs déjà mentionnés, un potentiel électrostatique de la forme V(x,y,z) = α/2(-x² - y² + β z²) à l'intérieur de la cellule d'analyse, avec α > 0…

Pour cela, nous considérons une répartition de charges différentes, dans laquelle il n'y a pas de charge en y₀, donc q'₀ = 0, et les conducteurs sont placés à des potentiels V'₁ = -V/2 et V'₂ = V/2…

Quel est, du point de vue de la détection, un avantage supplémentaire, par rapport à celui déjà souligné à la question 21, de travailler avec des ions de charge élevée, tels que ceux produits par…

En utilisant le théorème de superposition, écrire le champ électrique pour 0 ≤ x ≤ L en fonction de x.

Aussi peu intense qu'il soit, le faisceau d'électrons finirait par charger le cristal métallique si son support était isolé électriquement. Pourquoi n'est-ce pas souhaitable ? Pour le décharger…

Aussi peu intense qu'il soit, le faisceau d'électrons finirait par charger le cristal métallique si son support était isolé électriquement. Pourquoi n'est-ce pas souhaitable ? Pour le décharger…

Pour v₁ = 200 km⁻¹, exprimer puis calculer la masse de matière noire dans la galaxie en unités de masses solaires. Quel pourcentage de la masse galactique représente-t-elle ?

Donner la densité locale d'énergie électrique w associée au champ électrique de cet électron ponctuel en fonction de E et ε₀. En déduire l'énergie électrostatique totale Wₑ associée. Conclure.

En assimilant l'énergie obtenue précédemment à l'énergie de masse de l'électron E_m,e, donnée par la célèbre formule d'Albert Einstein, déduire l'expression de la taille rₑ en fonction de e, E_m,e…

Pour quelles valeurs respectives de θ_r la capacité C(θ_r) du condensateur atteint-elle sa valeur maximale Cₘₐₓ et sa valeur minimale C_min ? En négligeant les effets de bord, exprimer Cₘₐₓ en…

Proposer une expression de la capacité C(θ_r) du condensateur sur l'intervalle [0, π]. On exprimera C(θ_r) en fonction de Cₘₐₓ , C_min et de θ_r. Tracer sa courbe représentative sur l'intervalle [0…

Quelle est la relation entre la capacité C_N(θ_r) de cette structure à N couches et la capacité C(θ_r) de la structure à une couche considérée jusqu'à présent ? On justifiera la réponse. Que devient…

Justifier que, moyennant cette approximation, on peut écrire : _m,el &≈ ε₀/2 f V_a,max Eₐ² _m,ma &≈ 1/2µ₀ f V_e,max Bₑ² . où V_a,max et V_e,max désignent respectivement les volumes maximum de…

Sachant que le champ magnétique Bₑ est limité par la saturation du fer, et que B_sat ≈ 1 T, quel est l'ordre de grandeur du champ électrique Eₐ qu'il faudrait atteindre pour que deux moteurs…

Comment les charges sont-elles réparties sur les armatures ? En déduire que U ∼ h.

Rappeler l'expression de la densité volumique d'énergie électrique u_E en fonction du champ électrique E et de la permittivité du vide ε₀. En admettant que le champ électrique est uniforme et…

Quand les effets de bord ne sont pas négligeables, la capacité C_réel du condensateur s'écarte de C₀. En se fondant par exemple sur la figure 5, justifier sommairement que C_réel > C₀.

À l'aide de ce graphe, évaluer les constantes κ et β. Calculer C_réel pour le condensateur de la figure 5.

Montrer que la capacité entre les deux cylindres s'écrit sous la forme approchée C_sonde = 2πε₀ε_r/(ln (R₂/R₁)) h

En utilisant une autre équation de Maxwell, énoncer, en la justifiant, la relation entre le potentiel électrostatique V et le champ électrique E. En déduire l'expression de E en fonction de U, ℓ et…

On prend un système de quatre charges S_q=q₁, q₂, q₃, q₄ que l'on décompose en deux sous-systèmes S_qα=q₁, q₂ et S_qβ=q₃, q₄. Décomposer l'énergie électrostatique U_q du système S_q en l'énergie…

On généralise à présent au cas de deux systèmes S_qα et S_qβ contenant respectivement N_α et N_β charges q_i_1 ≤ i ≤ N_α et q_j_1 ≤ j ≤ N_β. En vous appuyant sur la question précédente, montrer que…

Pour un système S_ρ composé de deux sous-systèmes S_ρα et S_ρβ, de distributions de charges ρ_α(r) et ρ_β(r), et créant respectivement des potentiels V_α(r) et V_β(r), décomposer l'énergie…

Voyez-vous une différence entre les formulations U_q et U_qα β obtenues pour des systèmes de charges ponctuelles, et celles U_ρ et U_ρα β obtenues pour des distributions continues de charges?

En déduire que l'énergie électrostatique d'une distribution contenant une quantité finie de charges nivelées ne diverge pas.

En relativité, on associe une énergie à toute masse, par la formule E=m c². En modélisant l'électron comme une boule homogène, et en supposant que toute la masse d'un électron est due à son énergie…

On considère à présent deux charges nivelées q₁ et q₂, séparées par une distance r₁₂=|r₂-r₁|. Par un raisonnement physique ne demandant pas de développements calculatoires poussés, expliquer…

À partir du travail W fourni par la sphère sur elle-même lors d'une transformation quasi-statique l'amenant d'un rayon R₁ à un rayon R₂, calculer la variation d'énergie propre Δ U associée. En…

On revient à présent à l'étude des deux sphères Sa et Sb. La sphère intérieure Sa étant de rayon Ra fixé, calculer le travail W_a → b qu'elle fournit à la sphère extérieure Sb lorsque cette dernière…

Des résultats précédents, déduire l'énergie Uₜₒₜ de l'ensemble des deux sphères conductrices pour une configuration donnée où Rb>Ra, que l'on exprimera en fonction de Qa, Qb, ε₀ et des rayons en…

Comparer avec le résultat obtenu en utilisant l'équation (13), pour Qₐ=Q=-Q_b.

Quelle est la distribution de Boltzmann pour les particules chargées négativement, c₋ ? Justifier que l'on peut utiliser la même constante c_∞ pour la caractériser.

Exprimer la densité volumique de charge ρₑ dans la solution, d'abord en fonction de c₊ et c₋ puis en fonction de ψ. On utilisera l'une des fonctions spéciales définies dans le formulaire.

Projeter l'équation de Navier-Stokes selon e_z et la simplifier pour qu'elle ne dépende plus que de P, φ, ρₑ ou de leurs dérivées en fonction de z.

Quelles sont les dimensions de ℓ_B et ℓ_GC ?

On note I_P l'énergie d'ionisation de l'atome d'argon (I_P > 0). On rappelle que les énergies d'ionisation des atomes sont de l'ordre de 10 eV. Rappeler l'ordre de grandeur de la taille d'un atome…

On suppose que |q_z| [0,1 - 0,3] permet d'obtenir un bon confinement dans la direction z, dans un piège où l₀ = 100 , η = 0,1, et Ω = (2π)1 kHz. La particule a toujours un électron à sa surface…

L'objet des questions suivantes de cette partie (i.e. des questions 26 à 31) est d'étudier les régimes dans lesquels la particule est stabilisée angulairement grâce au piège électrique. Pour ce…

La densité surfacique de charges est créée par une translation globale des électrons par rapport aux ions, dans une direction perpendiculaire à la plaque. Exprimer σ en fonction de l'amplitude x de…

En utilisant les lois de l'électrostatique, dont on supposera qu'elles restent valables bien que le champ dépende du temps, exprimer E_z1 - E_z2 en fonction de σ et ε₀. En utilisant l'expression de…

Vérifier la cohérence de l'unité du facteur k.

Déterminer par quels facteurs sont multipliés ρ, v et Iₐ si le potentiel de l'anode Vₐ est multiplié par un facteur N.

En raisonnant sur le potentiel électrostatique, montrer que U = 2a/ε₀ε_rσ - (2(a - δ))/ε₀ε_rσ'.

Justifier qu'en régime indépendant du temps, on a σ' = σ. En déduire l'expression de la capacité C₀ du supercondensateur en régime indépendant du temps. Comparer C₀ à la capacité d'un condensateur…

Déduire de la relation entre le champ électrique E et le potentiel V dont il dérive que le gradient de température induit une tension ou force électromotrice (f.é.m.) e = V(x=0) - V(x=L) = V₁ - V₂…

L’inhomogénéité de la densité d’électrons libres dans le matériau cause l’apparition d’un champ électrique. Déterminer qualitativement le sens de ce champ. En déduire le signe du coefficient Seebeck…

Quelle est la relation liant le champ électrostatique E(M) et le potentiel V(M) ? Déterminer l'expression du potentiel V(M) en fonction de σ, ε₀ ε_r, a, r et de V_A. En déduire que la charge…

En utilisant la relation a ≫ b, simplifier l'écriture de la charge surfacique σ en fonction de ε₀ ε_r, b, V_E et de V_A, puis montrer qu'on peut écrire la norme du champ électrique sous la forme…

En utilisant la relation Q = C(V_A - V_E), déterminer l'expression de la capacité de la membrane pour une longueur L, puis sa capacité par unité de surface de membrane cₘ. On trouve dans la…

Quelle est la relation liant le champ électrostatique E(M) et le potentiel V(M) ? Déterminer l'expression du potentiel V(M) en fonction de σ, ε₀ ε_r, a, r et de V_A. En déduire que la charge…

En utilisant la relation a ≫ b, simplifier l'écriture de la charge surfacique σ en fonction de ε₀ ε_r, b, V_E et de V_A, puis montrer qu'on peut écrire la norme du champ électrique sous la forme…

En utilisant la relation Q = C(V_A - V_E), déterminer l'expression de la capacité de la membrane pour une longueur L, puis sa capacité par unité de surface de membrane cₘ. On trouve dans la…

Expliquer brièvement pourquoi ce champ électrostatique fait cesser la diffusion évoquée dans la description donnée en début de partie.

Tracer l'allure du potentiel en fonction de la position.

Justifier que quel que soit l'atome, on puisse décrire les propriétés des états de Rydberg en considérant en première approximation la dynamique d'un électron unique gravitant autour d'un noyau…

On examine dans cette question la faisabilité de cette expérience sur Terre. Dans le cas du mouvement circulaire étudié précédemment, comparer en norme la force exercée par l'aiguille sur la goutte…

Que devient l'expression de F si P reste ponctuel tandis que l'astre A, de rayon R_A < r, possède une répartition de masse à symétrie sphérique ? On justifiera sa réponse.

Pour une étoile de ce type, déterminer le rayon R_eq qui assure un minimum de l'énergie totale.

Que devient l'expression de F si P reste ponctuel tandis que l'astre A, de rayon R_A < r, possède une répartition de masse à symétrie sphérique ? On justifiera sa réponse.

Cette expression reste-t-elle encore applicable si P et A sont tous deux à symétrie sphérique ? On pourra, dans tout ce qui suit, considérer A et P comme des points matériels A et P.

Justifier que le poids de l'électron est négligeable par rapport à la force électrique qu'il subit.

En utilisant le champ électrique obtenu à la question Q 3 montrer que la force suivant la direction transverse (axe Oy) vaut F_y = 2Ze²/a₀³b où e² = qₑ²/4πε₀, b est la distance de la trajectoire…

Justifier que la valeur de G₀ à la surface de la Terre dans le cadre de ce modèle est inchangée par rapport à celle évaluée à la question Q 19.

Quelle est l'unité de α ? Dans quel sens est orienté grad(Eₘ²) ? Donner son expression en fonction de E₀ et de α, en supposant que |α x| ≪ E₀.

Justifier, dans la zone de déplétion, à l'équilibre, les signes des densités volumiques de charge ( ρ₁<0 et ρ₂>0 ), puis établir, en exprimant la neutralité de la zone de déplétion, une relation…

Justifier que la capacité du condensateur en présence d'eau peut s'exprimer comme la somme : C = C_eau + C_air avec C_eau la capacité de la partie du condensateur contenant de l'eau, et C_air la…

En déduire que la capacité du condensateur peut s'exprimer sous la forme : C(h) = C₀ (A h + B) avec A et B des constantes que l'on exprimera en fonction de ε, ε₀ et H.

Quelle est l'énergie E(n) de l'électron pour les deux valeurs de n ? On introduira E_c = qₑ² / (2C₀).

En déduire la variation d'énergie lorsque l'électron passe de gauche à droite pour une valeur donnée de n_g. Même question s'il passe de droite à gauche.

Les protons sont initialement à grande distance l'un de l'autre. E est l'énergie cinétique de leur mouvement relatif, dont nous déterminerons l'expression plus loin. La fusion nucléaire a lieu…

Réaliser un schéma électrique équivalent de la structure proposée en figure 11, en faisant intervenir la notation C_A pour le condensateur du bas et C_B pour le condensateur du haut. Indiquer les…

Exprimer la densité particulaire des électrons dans l'appareil en fonction de a, b, U₀, ε₀ et e.

Estimer, en précisant la démarche, la capacité C_p à partir de l'expression de la capacité d'un condensateur plan et de la géométrie des enroulements (figure 1 et figure 4a). Le milieu magnétique…

Exprimer le champ électrique E₂ dans le cas des deux couches de la figure 8b, en fonction du champ Eₑₓₜ de la figure 8a. Généraliser au cas de N couches d'épaisseur d/N et exprimer E_N. Exprimer…

Écrire E sous la forme E = Eₒ cos (ω t) u_z avec Eₒ à préciser en fonction de Uₒ et des autres données de l'énoncé.

Comment s'écrit, dans ce milieu, l'équation de Poisson ? En déduire l'équation différentielle à laquelle obéit U(r).

En posant Z(r) = rU(r), montrer que la fonction Z(r) vérifie l'équation : (d² Z)/dr² - Z/λ_D² = 0 avec λ_D une constante à exprimer en fonction des données de l'énoncé.

On admet que la charge Q est proportionnelle à la force F(t) exercée par une goutte sur le capteur lors de son impact. Montrer, en utilisant la modélisation de F(t) proposée en haut de la page 5…

On admet que la charge Q est proportionnelle à la force F(t) exercée par une goutte sur le capteur lors de son impact. Montrer, en utilisant la modélisation de F(t) proposée en haut de la page 5…

L'énergie électrostatique de la coque s'exprime par la relation suivante : U_elec = 1/2QV(R_v)23 Exprimer U_elec en fonction de σ, ε et R_v.

Le potentiel défini par la fonction suivante est une solution générale de l'équation différentielle (27) : V(r) = B(exp (± κ r))/r où B = Cste28 Représenter l'allure graphique de la dépendance du…

Vérifier que cette solution est cohérente avec celle donnée par l'équation (22) (situation où les espèces ioniques sont absentes).

À partir du tracé réalisé en réponse à la question (43), représenter, dans un système d'axes commun, l'allure graphique de la dépendance de chacune des concentrations ioniques c₊ et c₋ (définies par…

Indiquer à quelle condition l'énergie électrostatique totale U_elec,tot peut s'écrire sous la forme approximative suivante : U_elec,tot = (πσ² R_v²)/εκ32 Nous nous plaçons dès lors sous cette…

La motivation du modèle de Thomson était d'expliquer que les atomes rayonnent des fréquences discrètes. Sachant que la première raie spectrale de l'hydrogène a une longueur d'onde de 122 nm, en…

Commenter le signe de p_st : comment le milieu réagit à un champ électrique ? Donner la force volumique résultant de cette pression.

À l'aide des données du tableau (2), établir l'expression du potentiel de diffusion V_d introduit en question (14), en fonction de K, N_A, N_D et n_i.

Lorsque V ≠ 0 (V), les courants de diffusion et de conduction ne s'équilibrent plus (se reporter à la question (20)) ce qui a pour conséquence le passage d'un courant à travers la ZCE (et donc la…

Évaluer la valeur de la densité surfacique moyenne de charge au niveau du sol, notée σ. Des mesures ont permis de montrer qu'il existe une différence de 360 kV entre l'ionosphère et le sol. Que…

En ne considérant que le terme n = 1 qui s'avère prépondérant, déterminer l'expression du champ électrique E(M). En déduire une condition sur φ pour laquelle E(M) peut devenir très important si M → O.

Évaluer la valeur de la densité surfacique moyenne de charge au niveau du sol, notée σ. Des mesures ont permis de montrer qu'il existe une différence de 360 kV entre l'ionosphère et le sol. Que…

Dans un modèle simplifié de jonction abrupte, tous les atomes accepteurs situés dans une zone d'épaisseur -z₂ au voisinage de la jonction captent les électrons venus d'atomes donneurs de la zone N…

Déterminer une relation liant n_P, n_N, z₁ et z₂.

Relier la valeur maximale Eₘₐₓ de la norme du champ électrique à e, ε, n_N et z₁ d'une part, à e, ε, n_P et z₂ d'autre part.

Déterminer la différence de potentiel électrostatique V₀ = V(z₁) - V(z₂) en fonction de Eₘₐₓ, z₁ et z₂.

On considère deux charges fixes positionnées sur un axe (Ox) : une charge -q < 0 au point A d'abscisse x = -a et une charge q > 0 au point B d'abscisse x = a. Déterminer le vecteur champ…

Pourquoi ne peut-on pas utiliser une tension supérieure ?

On suppose que le condensateur, initialement chargé, est débranché. Calculer, au premier ordre en x la tension u(t).

Réécrire le théorème de Gauss pour le déplacement électrique D dans le milieu diélectrique.

Déduire de l'équation (3) l'expression du potentiel électrostatique V = V(x, t) en fonction du déplacement u = u(x, t), de la charge Q = Q(t), de l'abscisse x ainsi que des paramètres du modèle…

Établir que la contrainte σ peut s'écrire sous la forme : σ(x, t) = A' (∂ u)/(∂ x) + (B')/S Q(t) (u = u(x, t)) Préciser l'expression de chacune des constantes A' et B'.

Exprimer l'amplitude complexe du courant en fonction des amplitudes complexes jωψ et jωΔ. On ne fera intervenir, dans cette relation, que le paramètre γ et la capacité électrique Cₑ.

Que représentent les lignes dessinées en pointillés sur la figure 5 ?

En déduire par des analogies à préciser comment on passe du théorème de Gauss pour le champ électrostatique au théorème de Gauss pour le champ gravitationnel.

Justifier le fait que le champ gravitationnel a pour forme g_c = g_c(z) u_z.

Établir l'expression de la tension U en fonction de Q, S, e, X(t) = x(t) - x_eq et ε₀. En déduire que la mesure de U permet d'avoir accès à l'accélération a(t) que subit le boîtier par rapport au sol.

Justifier très précisément que le champ de gravitation est nécessairement de la forme G(M) = -G(r)u_r, où G(r) est la norme du champ de gravitation.

En utilisant le théorème de Gauss pour la gravitation, déterminer dans le cas de ce modèle G(r) pour r > R. On rappelle que M_J est la masse de Jupiter que l'on définira à l'aide de M(r). Tracer le…

En considérant comment sont placés les condensateurs formés par Sp1-Sp2 d'une part et Sp2-Sp3 d'autre part, déterminer la capacité résultant de l'ensemble des spires.

Au-delà des équations de champ, voyez-vous une différence simple entre l'électrostatique et la gravitation ?

Dans le cas électrostatique expliquer brièvement comment il est possible de déterminer la direction et la valeur du champ électrique par des expériences locales (qui peuvent mettre en jeu des…

En déduire le moment dipolaire D de la sphère en fonction de n, a, ε₀ et de E₀.

On ajoute maintenant un champ extérieur Eₑₓₜ supposé uniforme sur la dimension de l'atome. En admettant que l'électron reste dans la sphère de rayon a, déterminer sa position d'équilibre.

Sachant que C = 8,0 × 10⁻¹³ F et que K = 1,0 × 10⁻¹² C⁻¹, déterminer l'intensité de la force F s'exerçant sur la lame.

Quelle est alors, en fonction de λ_f et γ, la valeur de la densité linéique de charge λ vue par un observateur dans (R) ? Ce résultat correspond-il à une contraction ou à une dilatation des…