Corrigé détaillé X ENS Physique MPI 2025

Loin des bords et compte tenu de l'épaisseur négligeable devant les dimensions transversales, la plaque peut être modélisée par deux plans infinis parallèles et perpendiculaires à l'axe x. Orientons l'axe vertical (Ox) selon le vecteur unitaire \vec{u}_x, dirigé de la face portant la densité -\sigma vers la face portant la densité +\sigma (conformément à la figure 1).

D'après le théorème de Gauss et les symétries planes, un plan infini uniformément chargé de densité surfacique \sigma_0 crée dans tout l'espace un champ électrostatique :

où \vec{n}_{\text{ext}} est le vecteur normal unitaire sortant du plan.

Par le principe de superposition :

• À l'extérieur de la plaque :

  • Au-dessus de la face positive : le champ créé par la face supérieure vaut +\frac{\sigma}{2\epsilon_0}\vec{u}_x, et celui créé par la face inférieure vaut -\frac{\sigma}{2\epsilon_0}\vec{u}_x.
  • En dessous de la face négative : le champ créé par la face supérieure vaut -\frac{\sigma}{2\epsilon_0}\vec{u}_x, et celui créé par la face inférieure vaut +\frac{\sigma}{2\epsilon_0}\vec{u}_x.

  Ces deux contributions s'annulent exactement :

  \boxed{\vec{E}_{\text{ext}} = \vec{0}}

• À l'intérieur de la plaque : Entre les deux faces, le champ créé par la face supérieure est dirigé vers le bas (-\frac{\sigma}{2\epsilon_0}\vec{u}_x) et celui créé par la face inférieure est également dirigé vers le bas (-\frac{\sigma}{2\epsilon_0}\vec{u}_x). Les champs s'additionnent :

  \boxed{\vec{E}_{\text{int}} = -\frac{\sigma}{\epsilon_0}\,\vec{u}_x}

Le champ intérieur est donc uniforme, dirigé de la face chargée positivement vers la face chargée négativement.

Dans l'état d'équilibre, le métal est localement neutre : la densité volumique de charge des ions immobiles +Ne compense exactement celle des électrons libres -Ne.

Lors d'une translation globale des électrons d'une distance x perpendiculairement à la plaque :

• sur la face que les électrons désertent, les ions fixes ne sont plus compensés sur une épaisseur x. Pour une surface S, la charge nette non compensée vaut :

  Q = (Ne) \cdot (S x)

  ce qui correspond à une densité surfacique de charge positive :

  \sigma = \frac{Q}{S} = N e x
• sur la face opposée, les électrons forment une couche d'épaisseur x qui dépasse du réseau ionique, apportant une charge surfacique opposée -\sigma = -N e x.

On en déduit l'expression de \sigma :

On étudie le mouvement d'un électron de conduction de masse m et de charge -e dans le référentiel du laboratoire, supposé galiléen.

Sous l'effet d'un déplacement d'ensemble x(t) \vec{u}_x, les électrons laissent apparaître par défaut une charge positive +Nex à l'arrière et un excès de charge négative -Nex à l'avant. Le champ électrique ainsi créé à l'intérieur s'oppose à cette séparation de charge et s'écrit :

La force électrostatique subie par l'électron est donc une force de rappel :

D'après la deuxième loi de Newton appliquée à cet électron :

Il s'agit de l'équation différentielle d'un oscillateur harmonique non amorti de pulsation propre \omega_p, appelée pulsation plasma.

L'amplitude x(t) oscille donc à la pulsation :

Soit O le centre de la sphère chargée.

Symétries et invariances : La distribution de charge présente une symétrie sphérique par rapport au point O. Tout plan passant par le centre O et le point d'observation M est un plan de symétrie de la distribution, donc le champ électrique en M est radial :

où r = OM et \vec{u}_r = \frac{\vec{OM}}{r}. De plus, la distribution est invariante par toute rotation autour de O, donc E ne dépend que de la distance radiale r.

Application du théorème de Gauss : Considérons comme surface de Gauss une sphère \Sigma centrée en O et de rayon r intérieur à la sphère.

• Le flux du champ électrique sortant à travers \Sigma s'écrit :

  \Phi = \iint_{\Sigma} \vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{S} = E(r) \iint_{\Sigma} \mathrm{d}S = 4\pi r^2 E(r)

• La charge intérieure contenue dans cette sphère de rayon r vaut :

  Q_{\text{int}} = \rho \times \frac{4}{3}\pi r^3

D'après le théorème de Gauss, \Phi = \frac{Q_{\text{int}}}{\epsilon_0}, d'où :

En introduisant le vecteur position \vec{r} = \vec{OM} = r\,\vec{u}_r, le champ électrique en tout point intérieur à la sphère s'écrit vectoriellement :

Soit O le centre de la sphère d'ions immobiles, de densité volumique \rho_+ = +Ne. L'ensemble des électrons, de densité \rho_- = -Ne, subit une translation globale de vecteur \vec{x} : leur centre se trouve donc en un point O' tel que \vec{OO'} = \vec{x}.

D'après le résultat de la question 4, en tout point M situé dans la région commune aux deux sphères (c'est-à-dire dans la quasi-totalité du volume de la sphère pour un petit déplacement) :

• le champ créé par les ions s'écrit :

  \vec{E}_+(M) = \frac{Ne}{3\epsilon_0}\,\vec{OM}

• le champ créé par les électrons s'écrit :

  \vec{E}_-(M) = -\frac{Ne}{3\epsilon_0}\,\vec{O'M}

Par le principe de superposition, le champ électrique total à l'intérieur s'obtient par sommation :

Or \vec{OO'} = \vec{x}, d'où :

Ce champ ne dépend pas du point M considéré : il est donc rigoureusement uniforme à l'intérieur de la sphère (dans la zone de recouvrement).

Dans le référentiel lié aux ions (supposé galiléen), un électron de masse m et de charge -e subit la force électrique due au champ macroscopique \vec{E}_{\text{int}} régnant à l'intérieur de la sphère :

D'après le résultat de la question 5, \vec{E}_{\text{int}} = \frac{Ne}{3\epsilon_0}\,\vec{x}(t). La deuxième loi de Newton appliquée à cet électron s'écrit donc :

soit sous forme canonique :

Il s'agit de l'équation d'un oscillateur harmonique non amorti de pulsation propre \omega_s donnée par :

En rappelant l'expression de la pulsation plasma \omega_p = \sqrt{\frac{Ne^2}{m\epsilon_0}} établie à la question 3, on en déduit :

1. Densité surfacique de charge au point S

D'après le préambule, les électrons subissent une translation de vecteur \vec{x}_{\text{e}} = -x\,\vec{u}_x (avec x > 0). Au point S, situé à l'apex supérieur de la sphère, le vecteur normal unitaire sortant est \vec{n} = \vec{u}_x.

Le déplacement des électrons vers le bas laisse à découvert, sur une épaisseur x, les ions positifs immobiles de densité volumique Ne. La densité surfacique de charge apparente en ce point vaut donc :

2. Champ électrique juste au-dessus du point S

Le système est la superposition :

• d'une sphère d'ions de rayon R, de centre O, de charge Q_+ = \frac{4}{3}\pi R^3 Ne ;
• d'une sphère d'électrons de rayon R, de centre O' tel que \vec{OO'} = -x\,\vec{u}_x, de charge Q_- = -Q_+.

En un point situé juste au-dessus de S, à la cote z = R^+, le champ créé par la sphère positive est :

Ce point se trouve à la distance R + x du centre O' de la sphère négative. Le champ créé par celle-ci s'écrit, au premier ordre en x/R :

Par superposition, le champ électrique total juste au-dessus de S vaut :

soit encore, en fonction de \sigma = \sigma(S) :

3. Comparaison avec le champ intérieur (question 5)

D'après la question Q5, avec \vec{x}_{\text{e}} = -x\,\vec{u}_x, le champ intérieur uniforme est :

On constate ainsi que :

Le champ électrique juste au-dessus du sommet est donc de sens opposé au champ intérieur (il est dirigé vers l'extérieur de la sphère) et son amplitude est le double de celle du champ intérieur.

4. Comparaison avec la plaque (question 1)

• Pour la plaque (question Q1), le champ extérieur est rigoureusement nul (\vec{E}_{\text{ext}} = \vec{0}) et tout le champ réside à l'intérieur : \vec{E}_{\text{int}} = -\frac{\sigma}{\epsilon_0}\vec{u}_x.

• Pour la sphère, le champ extérieur ne s'annule pas : la discontinuité imposée par la relation de passage, \vec{E}(S^+) - \vec{E}_{\text{int}} = \frac{\sigma}{\epsilon_0}\vec{u}_x, se répartit à raison d'un tiers à l'intérieur et de deux tiers à l'extérieur :

  E(S^+) - E_{\text{int}} = \frac{2\sigma}{3\epsilon_0} - \left(-\frac{\sigma}{3\epsilon_0}\right) = \frac{\sigma}{\epsilon_0}

La sphère est globalement neutre : la charge totale des ions compense exactement celle des électrons (Q_{\text{tot}} = 0).

Le déplacement d'ensemble des électrons d'un vecteur -\vec{x} par rapport aux ions sépare les barycentres des charges positives et négatives, conférant à la sphère un moment dipolaire électrostatique non nul :

Le terme monopolaire étant nul, le développement multipolaire du potentiel à grande distance (r \gg R) est dominé par le terme dipolaire. On retrouve ainsi :

D'après les questions précédentes :

• À l'intérieur de la sphère : le champ électrique est uniforme (question 5) et dirigé des charges positives vers les charges négatives, c'est-à-dire vers le bas (selon -\vec{u}_x). Les lignes de champ sont donc des segments de droite rectilignes, parallèles à l'axe x, orientés vers le bas et régulièrement espacés.
• À l'extérieur de la sphère : le champ est un champ dipolaire pur (question 8) associé au moment dipolaire \vec{p} dirigé vers le haut (selon +\vec{u}_x). Les lignes de champ partent des charges positives de l'hémisphère supérieur (sources), s'évasent dans l'espace en formant des boucles dipolaires et convergent vers les charges négatives de l'hémisphère inférieur (puits).

Les phénomènes de propagation peuvent être négligés dans le cadre de l'approximation des régimes quasi-stationnaires (ARQS). Cette approximation est légitime si le temps de propagation d'une onde électromagnétique à travers la sphère, \tau \sim \frac{R}{c} (où R est le rayon de la sphère et c la célérité de la lumière dans le vide), est très petit devant le temps caractéristique de variation temporelle des champs, donné par la période d'oscillation T = \frac{2\pi}{\omega_s} (ou \tau_{\text{var}} \sim \frac{1}{\omega_s}).

Cela revient à exiger que la taille caractéristique de la sphère (son rayon R ou son diamètre D = 2R) soit très petite devant la longueur d'onde de l'oscillation dans le vide, \lambda = \frac{2\pi c}{\omega_s} :

D'après la question 10, l'approximation électrostatique est légitime dès lors que la taille caractéristique de la particule est très inférieure à la longueur d'onde dans le vide \lambda associée aux oscillations, soit :

L'ultraviolet proche s'étend typiquement pour des longueurs d'onde de l'ordre de :

De plus, la résonance du plasmon sphérique a lieu à la pulsation \omega_s = \omega_p/\sqrt{3} (question 6), ce qui correspond à une longueur d'onde encore plus grande :

Pour des billes de diamètre D = 20\text{ nm}, on constate que :

Le retard de phase de l'onde à l'échelle de la bille est négligeable (de l'ordre de 2\pi D/\lambda \ll 1).

Considérons d'abord un cylindre infini uniformément chargé en volume avec une densité \rho, d'axe (Oz). Par symétrie cylindrique et invariance par translation le long de l'axe et par rotation autour de l'axe, le champ électrique est radial et ne dépend que de la distance r à l'axe : \vec{E} = E(r)\,\vec{u}_r.

En appliquant le théorème de Gauss à une surface fermée cylindrique de rayon r < R et de hauteur h, coaxiale au cylindre :

où \vec{r}_\perp est le vecteur position projeté perpendiculairement à l'axe du cylindre.

Par superposition, l'ensemble des ions fixes de densité +Ne centré sur l'axe et l'ensemble des électrons de densité -Ne déplacé du vecteur \vec{x} (perpendiculaire à l'axe) créent à l'intérieur un champ électrique total uniforme :

L'équation du mouvement d'un électron soumis à la force électrique s'écrit alors :

En introduisant la pulsation plasma \omega_p = \sqrt{\frac{Ne^2}{m\epsilon_0}} établie à la question 3, on en déduit la pulsation \omega_c :

Considérons le cylindre orienté suivant l'axe Oz. Lors d'un déplacement d'ensemble des électrons d'amplitude x parallèlement à l'axe, il apparaît à une extrémité (par exemple z = L) un empilement d'électrons excédentaires et à l'autre extrémité (z = 0) une zone de charges ioniques non compensées.

Le volume de charges ainsi déplacé vaut :

La charge totale non compensée à l'extrémité z = 0 est donc positive et vaut :

tandis que la charge accumulée en z = L vaut -Q.

Conformément à la modélisation simplifiée de l'énoncé, le champ électrique ressenti par les électrons à l'extrémité z = L est assimilé à celui créé par la charge ponctuelle Q située à l'autre extrémité, à la distance L :

La force électrostatique subie par un électron de charge -e situé à cette extrémité s'écrit :

L'équation du mouvement d'un électron selon l'axe Oz est alors :

En introduisant la pulsation plasma \omega_p = \sqrt{\frac{N e^2}{m\epsilon_0}} établie à la question 3, on obtient l'équation d'un oscillateur harmonique :

avec pour pulsation d'oscillation :

1. Influence de la taille et de la forme

D'après les résultats obtenus aux questions Q6, Q12 et Q13 :

• pour une sphère : \omega_s = \frac{\omega_p}{\sqrt{3}} ;
• pour un cylindre en oscillation transverse : \omega_c = \frac{\omega_p}{\sqrt{2}} ;
• pour un cylindre allongé en oscillation longitudinale : \omega_l = \frac{\omega_p}{2}\frac{R}{L}.

Dans ces trois géométries, la pulsation propre ne dépend d'aucune dimension spatiale absolue (R ou L), mais uniquement de la pulsation plasma \omega_p et, pour la nanotige, du rapport d'aspect sans dimension L/R. Cela explique directement pourquoi la fréquence d'oscillation :

• dépend faiblement de la taille absolue de la nanoparticule (tant que l'approximation électrostatique reste valable) ;
• dépend fortement de la géométrie (forme sphérique ou cylindrique, et rapport d'aspect L/R).

2. Dépendance en fonction du rapport d'aspect

La longueur d'onde dans le vide associée à la pulsation \omega_l vaut :

Le modèle prédit donc que la longueur d'onde de résonance croît proportionnellement au rapport d'aspect L/R (décalage vers le rouge / infrarouge lorsque la tige s'allonge).

Les données expérimentales fournissent :

On constate bien que la longueur d'onde augmente de manière notable avec L/R, déplaçant l'absorption du domaine ultraviolet/visible (propre aux nanosphères) vers le proche infrarouge.

Sur le plan quantitatif, les rapports valent :

La croissance de \lambda est sous-linéaire par rapport à la prédiction \lambda \propto L/R. Cet écart est attendu compte tenu de la modélisation très simplifiée adoptée à la question Q13 (assimilation des faces terminales à des charges ponctuelles distantes de L, absence de constante diélectrique de fond due aux électrons de cœur du métal ou au milieu environnant). Le modèle rend néanmoins parfaitement compte de la physique du phénomène et du décalage spectral vers l'infrarouge.

Pour une nanosphère d'or, la pulsation de résonance plasmonique est fixée par la nature du métal :

Comme \omega_p se situe dans l'ultraviolet proche (question 11), la résonance sphérique \omega_s se trouve dans le domaine visible (vers 520\text{ nm} pour l'or). Or, les tissus biologiques absorbent et diffusent fortement la lumière visible (forte absorption par l'hémoglobine et la mélanine), ce qui empêche un laser visible d'atteindre des cellules situées en profondeur.

En revanche, pour une nanotige d'or (cylindre allongé), le mode plasmon longitudinal présente une pulsation :

Comme l'ont illustré les mesures de la question 14, la longueur d'onde de résonance est modulable en ajustant simplement le rapport d'aspect L/R de la nanotige lors de la synthèse :

Ces longueurs d'onde appartiennent exactement à la « fenêtre de transparence biologique » (infrarouge proche, typiquement 700\text{ nm} - 1300\text{ nm}), où l'absorption par l'eau et les constituants cellulaires est minimale. Le rayonnement laser peut ainsi pénétrer profondément dans les tissus pour exciter sélectivement les nanotiges et détruire les cellules cancéreuses par hyperthermie.

Une onde laser se propageant dans un milieu transparent est une onde électromagnétique transverse : son champ électrique \vec{E} est orthogonal à la direction de propagation \vec{k} (\vec{E} \cdot \vec{k} = 0).

D'après les questions 14 et 15, le chauffage des tissus repose sur la résonance du mode d'oscillation longitudinal des électrons, situé dans le proche infrarouge. Pour exciter ce mode, la force électrique exercée sur les électrons \vec{F} = -e\vec{E} doit posséder une composante non nulle le long de l'axe du cylindre :

• Si la direction de propagation est parallèle à l'axe du cylindre (\vec{k} \parallel \vec{u}_z), la transversalité impose que \vec{E} soit contenu dans le plan de section droite, perpendiculairement à l'axe. Le champ électrique n'a aucune composante longitudinale : le mode plasmon longitudinal ne peut pas être excité.
• Si la direction de propagation est perpendiculaire à l'axe du cylindre (\vec{k} \perp \vec{u}_z), le champ électrique \vec{E} peut avoir une polarisation rectiligne orientée le long de l'axe du cylindre (ou du moins une composante projetée non nulle), permettant un couplage optimal avec le mode longitudinal résonnant à \omega_l.

On étudie le mouvement d'un électron de conduction, de masse m et de charge -e, dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen.

Dans l'approximation des vitesses non relativistes (v \ll c), la force magnétique exercée par l'onde est négligeable devant la force électrique. De plus, dans le modèle du plasma dilué, on néglige tout terme d'amortissement phénoménologique par collisions.

Le principe fondamental de la dynamique s'écrit alors :

Le vecteur densité volumique de courant électronique associé est :

En dérivant par rapport au temps :

En régime sinusoïdal établi à la pulsation \omega, en adoptant la convention temporelle usuelle en \mathrm{e}^{i\omega t} (\partial/\partial t \leftrightarrow i\omega) :

Par identification avec la loi d'Ohm locale sous forme complexe \underline{\vec{\jmath}} = \gamma \underline{\vec{E}}, on en déduit :

Remarque : Avec la convention alternative \mathrm{e}^{-i\omega t} (\partial/\partial t \leftrightarrow -i\omega), très courante en optique et propagation d'ondes, on obtiendrait \gamma = i \frac{N e^2}{m\omega}.

Dans le métal, le plasma est localement neutre en volume (\rho = 0), d'où :

L'onde étant transverse, le champ électrique vérifie \vec{k}\cdot\vec{E} = 0. En utilisant l'identité vectorielle \vec{\mathrm{rot}}(\vec{\mathrm{rot}}\,\vec{E}) = \vec{\nabla}(\mathrm{div}\,\vec{E}) - \Delta\vec{E} = -\Delta\vec{E}, l'équation de Maxwell-Faraday fournit :

En régime harmonique avec la convention temporelle \mathrm{e}^{i\omega t}, la dérivée temporelle se traduit par \partial/\partial t \to i\omega. D'après la question 17, \vec{j} = \gamma \vec{E} avec \gamma = \dfrac{N e^2}{i m \omega}, d'où :

Pour une onde plane progressive monochromatique se propageant selon \vec{k}, le laplacien vectoriel s'écrit \Delta \vec{E} = -k^2 \vec{E} (avec k^2 = \vec{k}\cdot\vec{k}). L'équation de propagation devient alors :

En remarquant que \mu_0\epsilon_0 = \dfrac{1}{c^2} et \dfrac{\mu_0 N e^2}{m} = \dfrac{N e^2}{m \epsilon_0 c^2}, et en reconnaissant l'expression de \omega_p obtenue à la question 3 (\omega_p^2 = \dfrac{N e^2}{m\epsilon_0}), on obtient :

Une onde se propage sans atténuation si et seulement si k^2 > 0, c'est-à-dire \omega > \omega_p. La pulsation de coupure est la pulsation minimale de propagation libre (k = 0) :

Cette pulsation coïncide bien avec la pulsation propre \omega_p trouvée à la question 3.

Dans le vide comme dans le métal, le champ magnétique s'écrit sous forme d'onde plane monochromatique :

Direction du vecteur d'onde \vec{k} : L'équation de Maxwell-Thomson \mathrm{div}\,\vec{B} = 0 donne en représentation complexe :

Puisque B_y \neq 0, on a k_y = 0. Ainsi, dans le vide comme dans le métal :

Direction du champ électrique \vec{E} : L'énoncé précise que l'onde est transverse de chaque côté de la surface, ce qui implique \vec{k} \cdot \vec{E} = 0. Par ailleurs, l'équation de Maxwell-Ampère s'écrit en régime harmonique :

avec \gamma = 0 dans le vide et \gamma = -i\frac{Ne^2}{m\omega} dans le métal. Le champ \vec{E} est donc proportionnel à \vec{k}\wedge\vec{B}.

Comme \vec{k} appartient au plan (xOz) et \vec{B} est selon \vec{u}_y, le produit vectoriel \vec{k}\wedge\vec{B} appartient nécessairement au plan (xOz). Par conséquent :

Il s'agit d'une onde transverse magnétique (mode TM ou polarisation p).

L'énoncé précise que l'onde électromagnétique recherchée est transverse de chaque côté de l'interface (ce qui découle de \operatorname{div}\vec{E} = 0 en l'absence de charges volumiques, tant dans le vide que dans le métal).

On a donc, dans chacun des deux milieux :

Avec \vec{k} = k_x \vec{u}_x + k_z \vec{u}_z et \vec{E} = E_x \vec{u}_x + E_z \vec{u}_z, cette relation s'écrit :

Comme k_z \neq 0, on en déduit directement la relation valable aussi bien dans le vide (indice 1) que dans le métal (indice 2) :

Soit, en distinguant explicitement les deux milieux :

L'équation de Maxwell-Faraday \vec{\nabla}\times\vec{E} = -\dfrac{\partial \vec{B}}{\partial t} est valable universellement, aussi bien dans le vide (milieu 1) que dans le métal (milieu 2). Pour une onde plane monochromatique de pulsation \omega et de vecteur d'onde \vec{k}, elle conduit à la structure d'onde :

Avec \vec{k} = k_x \vec{u}_x + k_z \vec{u}_z et \vec{E} = E_x \vec{u}_x + E_z \vec{u}_z, le calcul du produit vectoriel donne :

D'où l'amplitude du champ magnétique selon y :

D'après la relation de transversalité obtenue à la question Q20, on a E_z = -\dfrac{k_x}{k_z} E_x. En substituant E_z dans cette expression :

Cette relation s'applique de façon identique dans le vide et dans le métal :

soit, en distinguant explicitement les deux milieux :

D'après le résultat de la question Q21, l'amplitude complexe B_y s'écrit :

avec k^2 = \|\vec{k}\|^2 = k_x^2 + k_z^2.

1. Dans le vide (milieu 1) :

La relation de dispersion des ondes électromagnétiques dans le vide est :

En injectant cette relation dans l'expression de B_y, on obtient :

2. Dans le métal (milieu 2) :

D'après la relation de dispersion établie à la question Q18 pour le métal modélisé comme un plasma :

En substituant k^2, il vient :

La seule composante de \vec{E} parallèle à l'interface z = 0 est la composante suivant l'axe x. En z = 0, le champ électrique s'écrit de chaque côté sous la forme d'une onde plane monochromatique :

La continuité de la composante tangentielle du champ électrique impose :

Comme les amplitudes E_{x1} et E_{x2} sont non nulles, cette égalité doit être vérifiée pour tout t et pour tout x. En dérivant successivement par rapport à t puis par rapport à x, on obtient :

• l'invariance temporelle exige l'égalité des pulsations : \omega_1 = \omega_2 = \omega ;
• l'invariance par translation le long de l'interface (selon x) exige l'égalité des composantes tangentielles du vecteur d'onde : k_{x1} = k_{x2} = k_x.

On en déduit également la continuité des amplitudes complexes : E_{x1} = E_{x2} = E_x.

Considérons un cylindre fermé élémentaire de base \mathrm{d}S parallèle à l'interface, de hauteur 2\eta, s'étendant entre z = -\eta (dans le métal) et z = +\eta (dans le vide).

La charge totale contenue dans ce volume s'écrit, à la limite \eta \to 0 où les charges volumiques ne contribuent plus face à l'accumulation surfacique :

D'après le principe de conservation de la charge, la variation temporelle de cette charge est égale au flux entrant de la densité volumique de courant \vec{j} à travers la surface fermée délimitant le cylindre :

Évaluons ce flux lorsque l'épaisseur 2\eta \to 0 :

• la surface latérale a une aire d'ordre \eta, son flux tend vers zéro ;
• sur la face supérieure (z = +\eta dans le vide), le courant volumique est nul : \vec{j}_1 = \vec{0} ;

• sur la face inférieure (z = -\eta dans le métal), le vecteur surface sortant est -\vec{u}_z\,\mathrm{d}S, de sorte que le flux sortant vaut :

  \vec{j}(0^-)\cdot (-\vec{u}_z\,\mathrm{d}S) = - j_z\,\mathrm{d}S

Le bilan de charge s'écrit ainsi :

On en déduit bien :

où j_z est la composante normale de la densité de courant dans le métal en z = 0^-.

Dans le métal (milieu 2, z < 0), la loi d'Ohm locale s'écrit en notation complexe :

Au voisinage immédiat de l'interface (z = 0^-), la composante suivant z de la densité de courant a donc pour amplitude complexe :

Avec la dépendance temporelle en \mathrm{e}^{i\omega t} adoptée à la question 17, l'opérateur de dérivation temporelle devient \frac{\partial}{\partial t} \to i\omega. L'équation de continuité obtenue à la question 24, \frac{\partial \sigma}{\partial t} = j_z, se traduit donc sur les amplitudes complexes par :

D'après la question 17, la conductivité complexe du plasma d'électrons s'écrit \gamma = \dfrac{N e^2}{i m \omega}. En reportant cette expression, on obtient :

En utilisant l'expression de la pulsation plasma \omega_p = \sqrt{\dfrac{N e^2}{m \epsilon_0}} établie à la question 3, soit \dfrac{N e^2}{m} = \epsilon_0 \omega_p^2, on aboutit à :

L'interface est située en z=0, le métal occupant le demi-espace z < 0 (milieu 2) et le vide le demi-espace z > 0 (milieu 1). Le vecteur normal unitaire dirigé du milieu 2 vers le milieu 1 est \vec{u}_z.

D'après les lois de l'électrostatique (théorème de Gauss sous forme locale ou relation de passage à une interface chargée de densité surfacique \sigma), la discontinuité de la composante normale du champ électrique s'écrit :

ce qui donne directement :

D'après le résultat de la question Q25, l'amplitude complexe de la densité surfacique de charge est :

En injectant cette expression dans la relation de passage :

On en déduit l'expression du rapport des composantes normales :

D'après le résultat de la question 20, la composante suivant z du champ électrique s'écrit de chaque côté de l'interface :

D'après la question 23, la pulsation \omega, la composante tangentielle du vecteur d'onde et la composante tangentielle du champ électrique sont continues à travers l'interface z = 0 :

On en déduit immédiatement le rapport des composantes normales :

En utilisant le rapport déterminé à la question 26, à savoir \dfrac{E_{z1}}{E_{z2}} = 1 - \dfrac{\omega_p^2}{\omega^2}, on obtient :

D'après la question 22, les amplitudes complexes du champ magnétique s'écrivent :

À l'interface z = 0, la continuité de la composante tangentielle du champ électrique (question 23) impose :

En supposant de plus que la composante B_y est continue en z = 0, soit B_{y1} = B_{y2}, il vient :

En simplifiant par la quantité non nulle \dfrac{\omega}{c^2} E_{x1}, on obtient :

soit immédiatement :

On retrouve bien l'expression obtenue à la question 27.

Rappelons les trois équations du problème en fonction de \epsilon = 1 - \frac{\omega_p^2}{\omega^2} :

• Relation de dispersion de l'onde plane dans le vide (milieu 1) :

  k_x^2 + k_{z1}^2 = \frac{\omega^2}{c^2} \tag{1}

• Relation de dispersion dans le métal (milieu 2, d'après la question Q18) :

  k_x^2 + k_{z2}^2 = \frac{\omega^2 - \omega_p^2}{c^2} = \left(1 - \frac{\omega_p^2}{\omega^2}\right)\frac{\omega^2}{c^2} = \epsilon\,\frac{\omega^2}{c^2} \tag{2}

• Relation de continuité à l'interface (d'après les questions Q27 et Q28) :

  k_{z2} = \epsilon\,k_{z1} \tag{3}

1. Élimination de \omega :

En multipliant l'équation (1) par \epsilon, on exprime la quantité \epsilon\,\frac{\omega^2}{c^2} sous deux formes grâce à l'équation (2) :

2. Élimination de k_{z2} :

En élevant au carré la relation (3), il vient k_{z2}^2 = \epsilon^2 k_{z1}^2. En substituant dans l'égalité précédente, on obtient :

Regroupons les termes en k_{z1}^2 et en k_x^2 :

Comme le métal possède une pulsation plasma non nulle (\omega_p \neq 0), on a \epsilon \neq 1, soit 1 - \epsilon \neq 0. On peut donc simplifier par (1 - \epsilon) :

Pour \epsilon \neq 0 (\omega \neq \omega_p), on en déduit la relation demandée :

3. Relation entre k_{z2} et k_x :

En utilisant à nouveau k_{z2} = \epsilon\,k_{z1}, on a :

soit :

1. Vecteur d'onde de l'onde réfléchie
D'après les lois de Snell-Descartes pour la réflexion à l'interface plane z = 0, la composante tangentielle du vecteur d'onde est conservée (k_{xr} = k_x), tandis que la composante normale change de signe tout en conservant sa norme (k_{zr} = -k_{z1} > 0, puisque k_{z1} < 0). Le vecteur d'onde réfléchi s'écrit donc :

2. Orthogonalité des vecteurs d'onde transmis et réfléchi
Le vecteur d'onde de l'onde transmise dans le métal (z < 0) est :

D'après le résultat de la question Q27, on a k_{z2} = \epsilon k_{z1}. Le produit scalaire entre \vec{k}_r et \vec{k}_t vaut :

Or, d'après la relation obtenue à la question Q29, k_{z1}^2 = \frac{1}{\epsilon} k_x^2, soit k_x^2 = \epsilon k_{z1}^2. On en déduit immédiatement :

Les vecteurs d'onde transmis \vec{k}_t et réfléchi \vec{k}_r sont donc rigoureusement orthogonaux :

3. Représentation graphique
La configuration correspond à l'angle de Brewster en polarisation TM (ou polarisation p) :

Une telle onde, se propageant parallèlement à l'interface tout en étant amortie exponentiellement sans oscillation dans la direction normale, est qualifiée d'onde évanescente (ou onde guidée de surface).

D'après la forme de l'onde plane adoptée à la question 23, la dépendance spatio-temporelle des champs s'écrit sous la forme :

En décomposant k_z en parties réelle et imaginaire, k_z = \operatorname{Re}(k_z) + i \operatorname{Im}(k_z), la dépendance selon la coordonnée z s'exprime par :

• L'onde se propageant uniquement dans la direction x, il n'y a aucun transport ondulatoire suivant z. Le facteur de phase ne doit donc pas dépendre de z, ce qui impose une composante de propagation nulle selon z :

  \operatorname{Re}(k_{z1}) = 0 \quad \text{et} \quad \operatorname{Re}(k_{z2}) = 0

  Les composantes k_{z1} et k_{z2} sont donc purement imaginaires.

• Dans le vide (z > 0), l'amplitude du champ doit décroître lorsque z \to +\infty afin de rester bornée à l'infini. Le terme exponentiel \mathrm{e}^{\operatorname{Im}(k_{z1}) z} doit tendre vers 0 quand z \to +\infty, d'où :

  \operatorname{Im}(k_{z1}) < 0

  On peut donc poser k_{z1} = -i\kappa_1 avec \kappa_1 > 0, de sorte que l'amortissement soit en \mathrm{e}^{-\kappa_1 z}.

• Dans le métal (z < 0), l'amplitude du champ doit décroître lorsque z \to -\infty. Le terme exponentiel \mathrm{e}^{\operatorname{Im}(k_{z2}) z} doit tendre vers 0 quand z \to -\infty, ce qui impose :

  \operatorname{Im}(k_{z2}) > 0

  On peut poser k_{z2} = +i\kappa_2 avec \kappa_2 > 0, de sorte que l'amortissement soit en \mathrm{e}^{+\kappa_2 z} = \mathrm{e}^{-\kappa_2 |z|}.

Pour que l'onde soit un plasmon de surface, l'amplitude doit décroître exponentiellement en s'éloignant de l'interface z = 0 :

• dans le vide (z > 0), l'amplitude varie en \mathrm{e}^{-\kappa_1 z} avec \kappa_1 > 0 ;
• dans le métal (z < 0), l'amplitude varie en \mathrm{e}^{+\kappa_2 z} avec \kappa_2 > 0.

Comme établi à la question Q31, les composantes k_{z1} et k_{z2} sont purement imaginaires avec des parties imaginaires de signes opposés. Leur rapport est donc un nombre réel strictement négatif :

Or, d'après les relations obtenues aux questions Q27 et Q28 :

Il en résulte nécessairement :

Comme les pulsations sont positives, on obtient la condition requise :

Remarque (autre méthode) : On parvient à la même conclusion à partir de la relation établie à la question Q29 :

Puisque le plasmon se propage suivant l'axe x, la composante k_x est réelle et non nulle (k_x^2 > 0). L'onde étant évanescente selon l'axe z, k_{z1} est imaginaire pur non nul (k_{z1}^2 = -\kappa_1^2 < 0). On en déduit immédiatement :

La relation de dispersion pour une onde électromagnétique se propageant dans le vide (z > 0) s'écrit :

D'après la question 29, on a k_{z1}^2 = \frac{1}{\epsilon}k_x^2. En injectant cette relation dans l'équation de dispersion, il vient :

On en déduit l'expression de k_x^2 :

Pour qu'un plasmon de surface existe :

• L'onde se propage selon l'axe x, ce qui impose k_x \in \mathbb{R}^*, soit k_x^2 > 0.
• L'onde est évanescente selon l'axe z des deux côtés de l'interface (question 31), ce qui impose k_{z1}^2 < 0 et k_{z2}^2 < 0.

Puisque k_{z1}^2 = \frac{k_x^2}{\epsilon} < 0 avec k_x^2 > 0, on doit impérativement avoir :

De plus, la condition k_x^2 > 0 impose que le quotient \frac{\epsilon}{\epsilon + 1} soit strictement positif. Le numérateur \epsilon étant négatif, le dénominateur doit également l'être :

En remplaçant \epsilon par sa définition \epsilon = 1 - \frac{\omega_p^2}{\omega^2}, cette inégalité devient :

Le plasmon de surface peut donc exister pour toute pulsation \omega < \omega_{sp}, avec :

D'après la question Q33, pour \omega < \omega_{sp} = \frac{\omega_p}{\sqrt{2}}, on a \epsilon = 1 - \frac{\omega_p^2}{\omega^2} < -1, d'où :

Étudions les deux limites de cette fonction k_x(\omega) strictement croissante sur [0, \omega_{sp}[ :

• Pour \omega \ll \omega_{sp} :

  k_x \sim \frac{\omega}{c} \quad \implies \quad \omega \sim c k_x

  La courbe est tangente par le bas à la droite de dispersion de la lumière dans le vide (« ligne de lumière » \omega = c k_x).

• Pour \omega \to \omega_{sp}^- : le dénominateur tend vers 0^+, donc k_x \to +\infty. La courbe présente une asymptote horizontale en \omega = \omega_{sp}.

Puisque \frac{\omega_p^2 - \omega^2}{\omega_p^2 - 2\omega^2} > 1 pour tout \omega \in ]0, \omega_{sp}[, on a constamment k_x > \frac{\omega}{c} : la courbe \omega(k_x) est toujours située sous la droite de lumière.

La vitesse de groupe est donnée par la pente de la courbe de dispersion :

• Dans la limite \omega \ll \omega_{sp}, comme \omega \sim c k_x, la pente est celle de la droite de lumière :

  \boxed{\lim_{\omega \ll \omega_{sp}} v_g = c}

• Dans la limite \omega \to \omega_{sp}, k_x \to +\infty tandis que \omega sature à la valeur finie \omega_{sp} : la tangente devient horizontale, donc \frac{\mathrm{d}k_x}{\mathrm{d}\omega} \to +\infty, d'où :

  \boxed{\lim_{\omega \to \omega_{sp}} v_g = 0}

Pour le plasmon de surface (\omega < \omega_{sp}), la permittivité est strictement inférieure à -1, soit \epsilon = -|\epsilon| < -1. Les composantes normales sont purement imaginaires : k_{z1} = -i\kappa_1 et k_{z2} = i\kappa_2 avec \kappa_1 > 0 et \kappa_2 > 0. Les amplitudes décroissent en \mathrm{e}^{-\kappa_1 z} dans le vide (z > 0) et en \mathrm{e}^{\kappa_2 z} dans le métal (z < 0).

Les longueurs caractéristiques de décroissance (ou profondeurs de pénétration) sont définies par :

D'après la question 29, k_{z1}^2 = \frac{k_x^2}{\epsilon} = -\frac{k_x^2}{|\epsilon|} et k_{z2}^2 = \epsilon k_x^2 = -|\epsilon| k_x^2, ce qui donne :

Comparaison entre \delta_1 et \delta_2 : Le rapport des longueurs de décroissance vaut :

Puisque le plasmon n'existe que pour \omega < \omega_{sp} = \omega_p/\sqrt{2}, on a constamment |\epsilon| > 1, d'où :

L'onde s'étend toujours plus profondément dans le vide que dans le métal.

Comparaison avec la longueur d'onde : En notant \lambda_x = \frac{2\pi}{k_x} la longueur d'onde guidée selon l'axe x, on a :

En utilisant l'expression de k_x^2 = \frac{|\epsilon|}{|\epsilon|-1}\frac{\omega^2}{c^2} (question 33), on exprime également :

Limite basse fréquence \omega \ll \omega_{sp} : Dans cette limite, |\epsilon| \approx \frac{\omega_p^2}{\omega^2} \gg 1 et k_x \approx \frac{\omega}{c} = \frac{2\pi}{\lambda_0} (où \lambda_0 est la longueur d'onde dans le vide) :

Dans le vide, l'onde est quasi-plane et rase la surface sans décroissance notable sur une longueur d'onde (\delta_1 \gg \lambda_x). Dans le métal, le champ pénètre sur la profondeur de peau plasma \delta_p = c/\omega_p, très petite devant la longueur d'onde. On a donc la hiérarchie :

Limite à la résonance \omega \to \omega_{sp} : Dans cette limite, |\epsilon| \to 1^+, ce qui entraîne k_x \to +\infty et \lambda_x \to 0 :

On a donc :

Les deux longueurs de décroissance deviennent comparables entre elles et à la longueur d'onde \lambda_x (très raccourcie) : l'onde est extrêmement confinée au voisinage immédiat de l'interface z = 0.

Dans le cadre de la convention temporelle en \mathrm{e}^{i\omega t} adoptée depuis la question 17, le champ électrique complexe associé à l'onde plane s'écrit sous la forme générale :

Par continuité de la composante tangentielle en z=0 (question 23), choisissons l'origine des phases telle que l'amplitude commune soit réelle : \underline{E}_{x1}(0) = \underline{E}_{x2}(0) = E_0 \in \mathbb{R}^+.

Rappelons que \epsilon = 1 - \omega_p^2/\omega^2 < 0, de sorte que |\epsilon| = -\epsilon. D'après les questions 29 et 31 :

1. Dans le vide (z > 0) :

• Le facteur spatial suivant z est \mathrm{e}^{-i k_{z1} z} = \mathrm{e}^{-\kappa_1 z}.

• La relation de transversalité (question 20) donne :

  \underline{E}_{z1} = -\frac{k_x}{k_{z1}} \underline{E}_{x1} = -\frac{k_x}{-i\kappa_1} E_0 = -i \frac{k_x}{\kappa_1} E_0 = -i\sqrt{|\epsilon|}\, E_0

• Les composantes complexes du champ électrique sont donc :

  \begin{aligned} \underline{E}_{x1}(x,z,t) &= E_0 \, \mathrm{e}^{-\kappa_1 z} \, \mathrm{e}^{i(\omega t - k_x x)} \\ \underline{E}_{z1}(x,z,t) &= -i \sqrt{|\epsilon|}\, E_0 \, \mathrm{e}^{-\kappa_1 z} \, \mathrm{e}^{i(\omega t - k_x x)} \end{aligned}

En prenant la partie réelle (avec \operatorname{Re}[-i\mathrm{e}^{i\phi}] = \sin\phi) :

2. Dans le métal (z < 0) :

• Le facteur spatial suivant z est \mathrm{e}^{-i k_{z2} z} = \mathrm{e}^{+\kappa_2 z}.

• La relation de transversalité donne :

  \underline{E}_{z2} = -\frac{k_x}{k_{z2}} \underline{E}_{x2} = -\frac{k_x}{+i\kappa_2} E_0 = i \frac{k_x}{\kappa_2} E_0 = i \frac{E_0}{\sqrt{|\epsilon|}}

• Les composantes complexes s'écrivent :

  \begin{aligned} \underline{E}_{x2}(x,z,t) &= E_0 \, \mathrm{e}^{\kappa_2 z} \, \mathrm{e}^{i(\omega t - k_x x)} \\ \underline{E}_{z2}(x,z,t) &= i \frac{E_0}{\sqrt{|\epsilon|}} \, \mathrm{e}^{\kappa_2 z} \, \mathrm{e}^{i(\omega t - k_x x)} \end{aligned}

En prenant la partie réelle (avec \operatorname{Re}[i\mathrm{e}^{i\phi}] = -\sin\phi) :

Une ligne de champ est en tout point tangente au vecteur champ électrique \vec{E}. Dans le plan (x,z), son inclinaison (ou pente locale) est donnée par :

1. Dans le vide (z > 0) : D'après les composantes obtenues à la question Q36 :

Le facteur d'atténuation \mathrm{e}^{-\kappa_1 z} se simplifie : l'inclinaison ne dépend que de x et t, elle est donc strictement indépendante de z.

2. Dans le métal (z < 0) : De même, à partir des composantes de la question Q36 :

Le facteur \mathrm{e}^{\kappa_2 z} se simplifie également : l'inclinaison est également strictement indépendante de z.

3. Tracé des lignes de champ à un instant t fixé : Fixons arbitrairement t = 0.

• À l'interface z = 0, la densité surfacique de charge vaut :

  \sigma(x,0) = \epsilon_0 \bigl(E_{z1}(x,0,0) - E_{z2}(x,0,0)\bigr) = -\epsilon_0 E_0 \left(\sqrt{|\epsilon|} + \frac{1}{\sqrt{|\epsilon|}}\right) \sin(k_x x)

  Elle est positive là où \sin(k_x x) < 0 et négative là où \sin(k_x x) > 0.

• Les composantes normales E_{z1} et E_{z2} ont des signes opposés : les lignes de champ partent des charges positives de l'interface en s'éloignant de part et d'autre vers le vide (z > 0) et le métal (z < 0), puis s'incurvent pour converger vers les charges négatives de l'interface.
• L'amplitude du champ décroît exponentiellement dès que l'on s'éloigne de l'interface |z| \to \infty.