Corrigé détaillé Mines Physique 2 PC 2017

La luminosité L_\odot correspond à la puissance totale rayonnée par le Soleil à travers toute sa surface. En assimilant le Soleil à une sphère de rayon R_\odot émettant de façon isotrope et uniforme à la température de surface T_s, on intègre le flux radiatif surfacique \phi sur la sphère solaire :

En utilisant la loi de Stefan-Boltzmann \phi = \sigma T_s^4, on obtient :

Application numérique : D'après les données de l'énoncé :

• R_\odot = 7 \cdot 10^8\text{ m},
• \sigma = 6 \cdot 10^{-8}\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}\cdot\text{K}^{-4},
• T_s \simeq 1000^{1/4}\cdot 10^3\text{ K} \implies T_s^4 \simeq 1000 \times (10^3)^4 = 10^{15}\text{ K}^4.

On effectue le calcul :

Avec \pi \simeq \frac{22}{7}, on a 1176 \times \frac{22}{7} = 168 \times 22 = 3696 \simeq 3{,}7\cdot 10^3. Avec au maximum deux chiffres significatifs, on trouve :

Par définition, la densité volumique de courant \vec{j} transportée par les N espèces de particules s'écrit :

Chaque particule de l'espèce k subit la force de Lorentz \vec{f}_{L,k} = q_k (\vec{E} + \vec{v}_k \times \vec{B}). La résultante des forces électromagnétiques \mathrm{d}\vec{F} s'exerçant sur le volume élémentaire \mathrm{d}\tau est la somme des forces subies par les particules présentes dans ce volume :

Le plasma étant supposé localement neutre, la densité volumique de charge est nulle (\rho_{\text{el}} = \sum_{k=1}^N n_k q_k = 0), d'où :

En régime stationnaire (ou dans le cadre de l'approximation des régimes quasi-stationnaires magnétiques), l'équation de Maxwell-Ampère donne :

Le champ magnétique étant de la forme \vec{B} = B(r)\,\widehat{u}_z, son rotationnel en coordonnées cylindriques s'obtient à partir de la formule du formulaire :

Calculons à présent la force volumique de Laplace :

Comme \vec{\mathrm{grad}}\,\phi = \frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}r}\,\widehat{u}_r pour un champ ne dépendant que de r, on en déduit :

(à une constante additive près, que l'on choisit classiquement nulle).

1. Uniformité de la pression totale

À l'équilibre hydrostatique, le bilan volumique des forces s'écrit :

D'après le résultat de la question Q2, \vec{f}_{\text{mag}} = -\vec{\mathrm{grad}}\left(\frac{B^2}{2\mu_0}\right). Le champ de pesanteur local est vertical, dirigé selon -\widehat{u}_z : \vec{g} = -g\,\widehat{u}_z. L'équation d'équilibre devient :

En projetant dans le plan horizontal (xOy) de la surface (selon \widehat{u}_r et \widehat{u}_\theta), les composantes horizontales du gradient sont nulles :

Par conséquent, à altitude z fixée à la surface du Soleil, la quantité p + \frac{B^2}{2\mu_0} est uniforme.

2. Calcul de la pression au centre de la tache

En comparant le centre de la tache (B = B_{\text{int}}) et une région non magnétisée située à la même altitude (B \simeq 0, p = p_{\text{ext}}), la conservation de la pression totale donne :

Calculons la pression magnétique :

Avec 32\pi \simeq 32 \times 3{,}14 \simeq 100{,}5 \simeq 1{,}0 \cdot 10^2 :

On en déduit la pression au centre de la tache :

3. Calcul de la température au centre de la tache

Le plasma est modélisé par un gaz parfait d'équation d'état :

L'énoncé précise que le plasma est uniquement constitué d'ions \mathrm{H}^+ et d'électrons libres et que sa masse volumique \rho_s est uniforme au voisinage de la surface. La masse molaire moyenne \mathscr{M} et la masse volumique \rho_s étant les mêmes au centre et à l'extérieur de la tache, la température est directement proportionnelle à la pression :

Application numérique :

D'après la loi de Stéfan rappelée à la question Q1, le flux radiatif surfacique émis par le plasma assimilé à un corps noir s'écrit \phi = \sigma T^4.

Le rapport du flux radiatif au centre de la tache solaire \phi_{\text{int}} sur celui d'une zone normale \phi_{\text{ext}} s'exprime ainsi :

D'après la question Q3, la masse volumique étant supposée uniforme, la loi des gaz parfaits donne \frac{T_{\text{int}}}{T_{\text{ext}}} = \frac{p_{\text{int}}}{p_{\text{ext}}}. On en déduit :

Avec p_{\text{int}} \simeq 0{,}3\text{ bar} et p_{\text{ext}} = 1{,}3\text{ bar} :

Commentaire : Le flux radiatif issu du centre de la tache ne représente qu'environ 0{,}3\,\% du flux émis par la surface normale du Soleil. En raison de ce contraste d'intensité lumineuse très marqué, la tache apparaît noire sur les clichés de la surface solaire, bien que sa température (T_{\text{int}} \simeq 1\,300\text{ K}) reste élevée.

D'après la question Q2, la résultante des forces électromagnétiques exercée sur un élément de volume \mathrm{d}\tau soumis au champ magnétique \vec{B} = B(r)\,\widehat{u}_z s'écrit :

La fonction \epsilon ne dépendant que de la variable radiale r, son gradient en coordonnées cylindriques est :

La force volumique magnétique \vec{f}_{\mathrm{mag}} = \frac{\mathrm{d}\vec{F}}{\mathrm{d}\tau} s'exprime donc sous la forme :

L'énoncé précise que :

• B(r) > 0 ;
• B(r) décroît avec r depuis l'axe vers la périphérie, d'où \dfrac{\mathrm{d}B}{\mathrm{d}r} < 0.

On en déduit :

La force volumique exercée par le champ magnétique est dirigée radialement vers l'extérieur (dans le sens de +\widehat{u}_r) : elle a donc bien tendance à repousser le plasma vers l'extérieur, ce qui provoque la dilatation du tube de champ.

1. Expression du champ magnétique \vec{B}_t :

Le tube étant supposé de longueur très grande devant son rayon R, on le modélise par un cylindre infini d'axe (Oz).

• Invariances : La distribution de courant \vec{j}_t = j_t(r)\,\widehat{u}_z est invariante par translation le long de (Oz) et par rotation autour de (Oz) : le champ ne dépend que de la coordonnée radiale r.

• Symétries : Tout plan contenant l'axe (Oz) est un plan de symétrie de la distribution de courant. En tout point de ce plan, le champ magnétique lui est orthogonal, donc selon \widehat{u}_\theta :

  \vec{B}_t(r) = B_t(r)\,\widehat{u}_\theta

Appliquons le théorème d'Ampère le long d'un cercle \mathcal{C} d'axe (Oz), de rayon r, orienté selon +\widehat{u}_\theta :

Par définition, le courant traversant le disque de rayon r est I_{\text{enlacé}} = I(r). On en déduit :

2. Force de Laplace élémentaire \mathrm{d}\vec{F}_t :

Le courant I(r) à travers le disque de rayon r s'exprime par :

En dérivant par rapport à r, on relie j_t(r) à la dérivée de l'intensité :

La force de Laplace subie par l'élément de volume \mathrm{d}\tau s'écrit alors :

En remplaçant j_t(r) par son expression en fonction de I'(r) = \frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}r}, il vient :

3. Effet du champ magnétique \vec{B}_t sur le tube de champ :

Comme I(r) > 0 et que I est une fonction croissante (\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}r} > 0), la force volumique associée est portée par -\widehat{u}_r :

Cette force est centripète : elle est dirigée vers l'axe du cylindre. Le champ magnétique propre \vec{B}_t a donc pour effet de comprimer le tube vers son axe (phénomène de striction magnétique ou pincement de Bennett).

Le champ magnétique total régnant dans le tube résulte de la superposition du champ axial \vec{B} = B(r)\,\widehat{u}_z et du champ orthoradial \vec{B}_t = B_t(r)\,\widehat{u}_\theta créé par le courant axial :

D'après le théorème d'Ampère sous forme locale en régime stationnaire, \vec{\mathrm{rot}}\,\vec{B}_{\text{tot}} = \mu_0 \vec{j}, la densité volumique de courant s'écrit (en utilisant le formulaire du rotationnel) :

La résultante des forces de Laplace exercée sur un élément de volume \mathrm{d}\tau est donnée par :

Sachant que \widehat{u}_\theta \times \widehat{u}_z = \widehat{u}_r et \widehat{u}_z \times \widehat{u}_\theta = -\widehat{u}_r, le calcul du produit vectoriel donne :

Le terme j_\theta B\,\widehat{u}_r correspond à la tendance à la dilatation (due au gradient de pression magnétique axiale, question 5), tandis que le terme -j_t B_t\,\widehat{u}_r correspond à l'effet de striction (question 6).

Pour que le tube de champ soit à l'équilibre radial sous l'effet de ces seules forces magnétiques, la force de Laplace résultante doit s'annuler, ce qui impose la condition :

soit encore :

Comme les composantes radiales de \vec{j} et de \vec{B}_{\text{tot}} sont nulles (j_r = 0 et B_r = 0), cette condition est strictement équivalente à :

On en déduit qu'à l'équilibre, la densité de courant \vec{j} est colinéaire au champ magnétique \vec{B}_{\text{tot}}.

Pour rendre compte de l'existence de boucles connectant deux points de la surface solaire et du rayonnement des particules le long de celles-ci, il convient principalement de modifier :

• L'hypothèse géométrique du tube cylindrique rectiligne : L'énoncé modélise le tube de champ par un cylindre de révolution rectiligne d'axe vertical (O,\widehat{u}_z) avec un champ magnétique indépendant de z. Dans un tel modèle, les lignes de champ s'éloignent indéfiniment vers la couronne solaire sans jamais revenir vers la photosphère. Pour rendre compte des boucles coronales, il faut abandonner la géométrie cylindrique rectiligne au profit d'un tube courbé en arche (géométrie toroïdale ou dipolaire) refermant les lignes de champ entre deux régions de polarités magnétiques opposées de la photosphère.
• L'invariance axiale du champ magnétique \vec{B} : Le long d'un tube courbé, l'intensité du champ magnétique n'est plus constante le long d'une ligne de champ (\partial B / \partial s \neq 0, où s est l'abscisse curviligne le long de la ligne). Ce gradient longitudinal de champ magnétique entraîne, par conservation du premier invariant adiabatique (moment magnétique), une conversion d'énergie cinétique entre composantes parallèle et perpendiculaire (effet de miroir magnétique) ; couplé à la pesanteur variable le long de l'arche et aux gradients de pression, il explique que la vitesse des particules varie le long de la trajectoire.

Le fluide est décrit au repos par (p_0, \rho_0, \vec{v}_0 = \vec{0}). Au passage de l'onde unidimensionnelle selon l'axe (Ox), les grandeurs s'écrivent :

1. Hypothèses et approximations :

• Approximation acoustique (linéarité) : les perturbations sont de faible amplitude : p_1 \ll p_0, \rho_1 \ll \rho_0 et v_1 \ll c. On néglige tout produit de grandeurs perturbées (termes du second ordre).
• Fluide parfait : on néglige les phénomènes dissipatifs visqueux et les frottements aux parois.
• Évolution isentropique : la fréquence de l'onde est suffisamment élevée pour négliger la diffusion thermique sur une demi-période (transformation adiabatique), tout en restant assez basse pour maintenir l'équilibre thermodynamique local (transformation réversible).
• Pesanteur négligée : les variations spatiales de pression hydrostatique sont négligeables devant les gradients de pression acoustique.

2. Équations locales et linéarisation :

• Équation de conservation de la masse :

  \frac{\partial \rho}{\partial t} + \frac{\partial(\rho v)}{\partial x} = 0

  En linéarisant, le terme \rho_1 v_1 étant du second ordre, il vient :

  \frac{\partial \rho_1}{\partial t} + \rho_0 \frac{\partial v_1}{\partial x} = 0 \tag{1}

• Équation d'Euler (bilan de quantité de mouvement) :

  \rho \left( \frac{\partial v}{\partial t} + v \frac{\partial v}{\partial x} \right) = -\frac{\partial p}{\partial x}

  Le terme convectif v_1 \frac{\partial v_1}{\partial x} est du second ordre, et \rho \simeq \rho_0 au premier ordre :

  \rho_0 \frac{\partial v_1}{\partial t} = -\frac{\partial p_1}{\partial x} \tag{2}

• Équation d'état isentropique : Par définition du coefficient de compressibilité isentropique \chi_S = \frac{1}{\rho_0}\left.\frac{\mathrm{d}\rho}{\mathrm{d}P}\right|_S, la variation de masse volumique au premier ordre s'écrit :

  \rho_1 = \rho_0 \chi_S\, p_1 \tag{3}

3. Obtention de l'équation de propagation : En injectant (3) dans (1), on élimine \rho_1 :

Dérivons (4) par rapport au temps t et (2) par rapport à x :

D'après le théorème de Schwarz, l'égalité des dérivées croisées donne :

On obtient ainsi l'équation de d'Alembert :

avec la célérité c définie par :

1. Justification des conditions aux limites

• En x = 0, le tuyau est fermé par une paroi rigide et fixe. Le fluide ne pouvant pas traverser la paroi (condition cinématique d'imperméabilité), sa vitesse normale doit être nulle :

  v_1(0,t) = 0

• En x = L, le tuyau est ouvert sur l'extérieur où règne la pression de repos constante p_0. Le fluide étant libre d'osciller sans contrainte mécanique à l'embouchure, la pression totale s'égalise avec la pression extérieure (p(L,t) = p_0), d'où une surpression acoustique nulle :

  p_1(L,t) = 0

2. Forme de la solution et expression de v_1 L'équation de d'Alembert établie à la question Q9 est linéaire et invariante par translation dans le temps. Avec des conditions aux limites stationnaires, on cherche des modes propres sous la forme d'ondes stationnaires à variables séparées : p_1(x,t) = X(x)\,T(t). Pour une pulsation \omega, en choisissant l'origine des dates de sorte que la phase temporelle soit nulle, T(t) \propto \cos(\omega t). La dépendance spatiale vérifie X''(x) + k^2 X(x) = 0, ce qui donne X(x) = p_0 \cos(kx+\phi). On peut donc légitimement chercher la solution sous la forme :

L'équation d'Euler linéarisée selon \widehat{u}_x s'écrit :

En intégrant par rapport au temps (la vitesse moyenne au repos étant nulle) :

En utilisant la relation \omega = c k, on obtient :

3. Relation de dispersion En substituant p_1(x,t) dans l'équation de d'Alembert \dfrac{\partial^2 p_1}{\partial x^2} - \dfrac{1}{c^2}\dfrac{\partial^2 p_1}{\partial t^2} = 0, il vient :

ce qui conduit à la relation de dispersion non dispersive :

4. Fréquences propres et quantification La condition en x = 0 impose pour tout t :

On choisit \phi = 0 (quitte à redéfinir le signe de l'amplitude p_0). Ainsi :

La condition en x = L impose alors pour tout t :

Les pulsations propres valent donc \omega_n = c k_n = (2n+1)\dfrac{\pi c}{2L}, soit pour les fréquences propres f_n = \dfrac{\omega_n}{2\pi} :

5. Écart entre deux fréquences consécutives L'écart entre deux modes consécutifs est donné par :

Cet écart est strictement constant, indépendant de l'ordre harmonique n. Le spectre de résonance forme donc un peigne régulier de fréquences espacées de \Delta f = \frac{c}{2L}. Le tuyau quart d'onde ne sélectionne que les harmoniques impairs de la fréquence fondamentale f_0 = \frac{c}{4L} (on a f_n = (2n+1)f_0 et \Delta f = 2f_0).

D'après la question Q10, avec la convention de numérotation adoptée où n \in \mathbb{N} (le fondamental correspondant à n=0), les solutions pour le mode propre d'indice n sont associées au vecteur d'onde :

Les dépendances spatiales associées aux amplitudes maximales s'écrivent :

Dans tous les cas :

• en x = 0 (extrémité fermée) : nœud de vitesse (v_1 = 0) et ventre de pression ;
• en x = L (extrémité ouverte) : nœud de pression (p_1 = 0) et ventre de vitesse.

Mode n = 1 : k_1 = \dfrac{3\pi}{2L} (longueur L = \frac{3\lambda_1}{4}).

• Pression p_1(x) \propto \cos\left(\frac{3\pi x}{2L}\right) : ventres en x = 0 et x = \frac{2L}{3} ; nœuds en x = \frac{L}{3} et x = L.
• Vitesse v_1(x) \propto \sin\left(\frac{3\pi x}{2L}\right) : nœuds en x = 0 et x = \frac{2L}{3} ; ventres en x = \frac{L}{3} et x = L.

Mode n = 2 : k_2 = \dfrac{5\pi}{2L} (longueur L = \frac{5\lambda_2}{4}).

• Pression p_1(x) \propto \cos\left(\frac{5\pi x}{2L}\right) : ventres en x = 0, x = \frac{2L}{5} et x = \frac{4L}{5} ; nœuds en x = \frac{L}{5}, x = \frac{3L}{5} et x = L.
• Vitesse v_1(x) \propto \sin\left(\frac{5\pi x}{2L}\right) : nœuds en x = 0, x = \frac{2L}{5} et x = \frac{4L}{5} ; ventres en x = \frac{L}{5}, x = \frac{3L}{5} et x = L.

1. Simplification de k_r et relation de dispersion

Dans le régime des hautes fréquences tel que \omega \gg 2\pi N, le premier facteur entre parenthèses se simplifie :

L'expression de k_r^2 devient alors :

D'après les définitions de la fréquence de Lamb S_\ell(r) et de la norme du vecteur d'onde horizontal k_h(r) fournies par l'énoncé :

Il vient ainsi :

Comme la norme totale du vecteur d'onde tridimensionnel vérifie k^2 = k_r^2 + k_h^2, on aboutit à :

On retrouve bien la relation de dispersion non dispersive des ondes acoustiques établie à la question Q9.

2. Condition d'existence des ondes harmoniques radiales

L'équation spatiale régissant le déplacement radial est :

• Si k_r^2 > 0, k_r est réel : les solutions spatiales sont sinusoïdales (oscillantes). L'onde acoustique se propage radialement.
• Si k_r^2 < 0, k_r est imaginaire pur (k_r = \pm \mathrm{i}\kappa) : les solutions sont exponentielles. L'onde est évanescente (atténuée sans propagation).

La condition d'existence d'ondes acoustiques harmoniques radiales propagatives est donc :

3. Détermination de l'intervalle [r_1, r_2]

Pour une onde de fréquence f = 1\text{ mHz} = 1000\text{ }\mu\text{Hz} et de degré \ell = 5 :

• Le tracé en trait continu de la figure 2 montre que la fréquence de Brunt-Väisälä reste inférieure à 450\text{ }\mu\text{Hz} dans toute l'étoile : l'hypothèse de hautes fréquences f \gg N est bien respectée.

• Sur la figure 2, la courbe en pointillés correspondant à \ell = 5 décroît depuis le centre vers la surface. L'horizontale à f = 1000\text{ }\mu\text{Hz} coupe la courbe \ell = 5 en un rayon interne :

  r_1 \simeq 0{,}22\,R_\odot \quad (\text{compris entre } 0{,}20\,R_\odot \text{ et } 0{,}25\,R_\odot)
• Pour r > r_1, on a f > S_5(r), de sorte que k_r^2 > 0 : l'onde se propage radialement vers la surface.
• La propagation s'étend jusqu'à la surface du Soleil où la chute brutale de densité provoque la réflexion de l'onde : r_2 \simeq R_\odot.

L'intervalle de propagation radiale recherché est donc :

Sous les deux hypothèses de hautes fréquences \omega \gg 2\pi N et \omega \gg 2\pi S_\ell, les termes correctifs dans l'expression de k_r^2 sont négligeables devant 1 :

En introduisant la relation \omega = 2\pi f_{n,\mathrm{p}}, la condition de résonance s'écrit :

En posant l'intégrale \beta (homogène à un temps) :

on obtient directement l'expression de la fréquence propre :

L'écart entre deux fréquences consécutives s'en déduit immédiatement :

Commentaire : L'écart \Delta f est indépendant de l'ordre n. Le spectre des modes p forme donc un peigne régulier de fréquences équidistantes. Ce résultat est directement analogue à celui obtenu pour le tuyau acoustique à la question Q10 (\Delta f = c/(2L)), où l'intégrale \beta s'interprète comme le temps de parcours d'un aller simple de l'onde acoustique entre les deux points de réflexion r_1 et r_2.

Critique de l'approximation :

• Pour tout mode non radial (\ell \ge 1), la fréquence de Lamb S_\ell(r) \propto 1/r diverge lorsque r \to 0 (voir figure 2). L'approximation \omega \gg 2\pi S_\ell ne peut donc pas être valable sur l'ensemble de l'étoile : elle tombe nécessairement en défaut au voisinage du point de retournement interne r_1, précisément défini par \omega = 2\pi S_\ell(r_1).
• Par conséquent, la borne inférieure d'intégration r_1 dépend elle-même de la pulsation \omega (donc de n), de sorte que l'intégrale \beta n'est pas rigoureusement constante avec n.

1. Condition d'existence des ondes harmoniques radiales

Le vecteur d'onde radial vérifie :

Dans le régime des basses fréquences considéré, on a \omega \ll 2\pi S_\ell, ce qui implique :

L'onde est propagative (harmonique dans la direction radiale) si et seulement si k_r^2 > 0. Le second facteur étant strictement négatif, le premier facteur doit impérativement l'être aussi :

2. Région de propagation d'après la figure 2

D'après la figure 2 (courbe en trait plein représentant N(r)) :

• La fréquence de Brunt-Väisälä N(r) est strictement positive dans la partie interne du Soleil, du centre jusqu'à la base de la zone convective située à r \simeq 0{,}71\,R_\odot. Elle y atteint un maximum N_{\max} \simeq 450\,\mu\text{Hz} au voisinage de r \simeq 0{,}1\,R_\odot.
• Pour r \gtrsim 0{,}71\,R_\odot, le profil chute à zéro : N(r) = 0 dans toute la zone convective externe.

On en déduit la discussion suivante :

• Si f > N_{\max} \simeq 450\,\mu\text{Hz}, la condition f < N(r) n'est satisfaite nulle part dans l'étoile : aucune onde de gravité ne peut se propager.
• Si f < N_{\max}, l'onde peut se propager dans une cavité radiale [r_3, r_4] située exclusivement dans la zone radiative (r \le 0{,}71\,R_\odot), délimitée par les points de rebroussement où f = N(r).

3. Bilan des forces et mécanisme physique à l'origine des ondes

Considérons une particule fluide de volume V, initialement à l'équilibre à l'altitude r_0 (où règnent la pression p_0(r_0) et la masse volumique \rho_0(r_0)), subissant un déplacement radial virtuel \delta r > 0 vers le haut.

Le bilan des forces s'exerçant sur cette particule comprend :

• Son poids : \vec{P} = -\rho\,V\,g\,\widehat{u}_r, où \rho est la masse volumique acquise par la particule après détente adiabatique ;
• La résultante des forces de pression exercées par le fluide environnant, équivalente à la poussée d'Archimède : \vec{\Pi}_A = \rho_0(r_0 + \delta r)\,V\,g\,\widehat{u}_r.

La force radiale nette par unité de volume s'écrit donc :

Le déplacement s'effectuant à l'équilibre mécanique local de pression avec le milieu extérieur (\delta p = \frac{\partial p_0}{\partial r}\delta r), mais de manière isentropique pour la particule (\mathrm{d}\rho = \frac{\mathrm{d}p}{c^2}), on a :

En injectant ces relations et en utilisant c^2 = \frac{\gamma p_0}{\rho_0} :

Dans une région où N^2 > 0 (stratification convectivement stable), la particule déplacée vers le haut devient plus dense que le milieu environnant : son poids l'emporte sur la poussée d'Archimède, générant une force de rappel élastico-gravitaire vers sa position d'équilibre. Ce mécanisme oscillatoire est à l'origine des ondes de gravité.

Dans le régime des très basses fréquences, on a simultanément \omega \ll 2\pi S_\ell et \omega \ll 2\pi N. Les deux termes entre parenthèses dans l'expression de k_r^2 sont donc dominés par leurs composantes négatives :

Il vient ainsi pour le produit :

En utilisant l'expression de la fréquence de Lamb S_\ell(r) = \dfrac{\sqrt{\ell(\ell+1)}\,c}{r}, on a :

Sachant que \omega = 2\pi f, la norme du vecteur d'onde radial s'écrit alors :

En reportant cette expression dans la condition de quantification des modes g :

On en déduit l'expression de la période P_{n,\mathrm{g}} = \dfrac{1}{f_{n,\mathrm{g}}} du mode g d'ordre n :

La fréquence propre f_{n,\mathrm{g}} \propto \dfrac{1}{n + \alpha_{\mathrm{g}}} n'est pas espacée régulièrement en n. En revanche, la période temporelle P_{n,\mathrm{g}} est une fonction affine de n. L'écart entre deux périodes consécutives est constant :

La grandeur régulièrement espacée est donc la période temporelle P de l'oscillation.

Dans un fluide (gaz ou liquide), les ondes acoustiques sont de nature longitudinale : la perturbation locale (vitesse du fluide \vec{v}_1 ou déplacement \vec{\xi}) s'effectue parallèlement à la direction de propagation de l'onde (portée par le vecteur d'onde \vec{k}).

Cette propriété découle des propriétés mécaniques des fluides :

• La force de rappel élastique provient du gradient de pression (-\vec{\mathrm{grad}}\,p_1), qui s'exerce parallèlement à la direction de variation spatiale, donc le long du vecteur d'onde \vec{k}. L'onde se propage sous la forme d'une alternance de tranches de fluide comprimées (p_1 > 0, \rho_1 > 0) et détendues (p_1 < 0, \rho_1 < 0).
• Un fluide n'oppose aucune force de rappel élastique au cisaillement statique (son module de rigidité ou de cisaillement est nul, contrairement à un solide). Par conséquent, il ne peut pas supporter ni propager d'ondes de cisaillement (ondes transversales).

D'après l'équation de propagation établie en II.B, la relation de dispersion s'écrit :

Or, par définition de la fréquence de Lamb et du vecteur d'onde horizontal, on a :

Dans le domaine des ondes de gravité (\omega \ll 2\pi S_\ell = c k_h), le second terme entre parenthèses se simplifie en -\frac{c^2 k_h^2}{\omega^2}. L'expression de k_r^2 devient :

En regroupant les termes en k_r^2 + k_h^2 = k^2, on obtient la relation de dispersion des ondes de gravité :

Calculons les composantes du vecteur vitesse de groupe \vec{v}_g = \frac{\partial\omega}{\partial k_r}\widehat{u}_r + \frac{\partial\omega}{\partial k_h}\widehat{u}_\theta :

Le vecteur d'onde étant \vec{k} = k_r \widehat{u}_r + k_h \widehat{u}_\theta, formons le produit scalaire \vec{v}_g \cdot \vec{k} :

La vitesse de groupe \vec{v}_g (qui donne la direction de propagation de l'énergie) est donc orthogonale au vecteur d'onde \vec{k} (qui définit la direction de propagation des surfaces d'onde équiphases).

Par ailleurs, pour ces ondes de basse fréquence, le fluide se comporte comme incompressible (\operatorname{div}\vec{v} = 0 \implies \vec{k} \cdot \vec{v}_1 = 0), de sorte que les particules de fluide oscillent parallèlement aux surfaces d'onde (c'est-à-dire le long de \vec{v}_g) et donc perpendiculairement à la direction de propagation de la phase \vec{k}.

1. Bandes spectrales attendues :

• Modes g : d'après la question Q14, les ondes de gravité se propagent pour f < N(r). La figure 2 montre que la fréquence de Brunt-Väisälä atteint un maximum de l'ordre de N_{\max} \simeq 450\text{ à }500\,\mu\mathrm{Hz}. On s'attend donc à trouver les modes g dans la bande des basses fréquences :

  f_{\mathrm{g}} \lesssim 450\,\mu\mathrm{Hz} \quad (\text{typiquement } 50\text{ à }400\,\mu\mathrm{Hz}).
• Modes p : d'après la question Q12, les ondes acoustiques se propagent pour f > S_\ell(r) et f > N(r). On s'attend donc à observer les modes p dans le domaine des hautes fréquences, typiquement entre 1\,\mathrm{mHz} et 5\,\mathrm{mHz} (soit 1000\text{ à }5000\,\mu\mathrm{Hz}, centré autour de la fameuse oscillation à 5 minutes, f \simeq 3{,}3\,\mathrm{mHz}).

2. Modes les plus visibles sur la figure 3 : Sur la figure 3, la puissance spectrale présente un massif très proéminent centré autour de 3000\,\mu\mathrm{Hz}, avec des pics très nets et intenses (amplitude atteignant 10^4 à 10^5\,\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{s}^{-2}\cdot\mathrm{Hz}^{-1}, agrandissement supérieur droit). En revanche, dans le domaine des basses fréquences (agrandissement inférieur droit entre 216 et 222\,\mu\mathrm{Hz}), aucun pic n'émerge clairement du bruit de fond solaire. Ce sont donc incontestablement les modes p qui sont les plus visibles.

3. Explication de la différence de visibilité en surface :

• L'observation est effectuée à la surface du Soleil (r \approx R_\odot).
• Or, pour r \gtrsim 0{,}71\,R_\odot, le Soleil est le siège d'une zone convective externe où le gradient thermique entraîne N(r) \approx 0 (zone convective instable ou neutre). Dans cette région, la condition de propagation des ondes de gravité n'est plus satisfaite : k_r^2 < 0.
• Les ondes de gravité sont donc évanescentes dans toute l'enveloppe convective (0{,}71\,R_\odot \le r \le R_\odot). Leur amplitude décroît exponentiellement vers la surface, ce qui rend leur signature photométrique ou cinématique extrêmement faible et quasiment indétectable depuis l'extérieur.
• À l'inverse, les ondes acoustiques (modes p) se propagent librement à travers la zone convective jusqu'à la photosphère (où la brutale chute de densité forme une surface réfléchissante) : leurs ventres de déplacement se situent au voisinage de la surface, les rendant facilement observables.

4. Cohérence entre expérience et théorie :

• L'agrandissement du spectre des modes p (haut à droite) montre un peigne de pics régulièrement espacés en fréquence, ce qui est en parfait accord avec le résultat de la question Q13 prédisant un grand espacement constant :

  \Delta f = \frac{1}{2\beta} = \text{cste}.

  Sur la figure, on compte environ 7 espacements sur 1000\,\mu\mathrm{Hz}, soit un écart \Delta f \approx 135\text{ à }140\,\mu\mathrm{Hz}, parfaitement cohérent avec la valeur théorique pour le Soleil.

• Le domaine de résonance des modes p est bien situé à des fréquences nettement supérieures à N_{\max} \simeq 450\,\mu\mathrm{Hz}, validant l'approximation des hautes fréquences \omega \gg 2\pi N.

1. Théorème de Gauss gravitationnel :

Par analogie avec l'électrostatique (\mathrm{div}\,\vec{g} = -4\pi\mathscr{G}\rho), le théorème de Gauss pour le champ gravitationnel s'écrit, à travers une surface fermée \Sigma orientée vers l'extérieur :

La répartition de masse du Soleil possède une symétrie sphérique :

• Tout plan passant par le centre O est un plan de symétrie matérielle, donc le champ gravitationnel est purement radial : \vec{g} = g_r(r)\,\widehat{u}_r.
• L'invariance par rotation autour de tout axe passant par O impose que g_r ne dépend que de r.

On choisit pour surface de Gauss \Sigma la sphère de centre O et de rayon r, de vecteur élément de surface \mathrm{d}\vec{S} = \mathrm{d}S\,\widehat{u}_r :

La masse intérieure à cette sphère est M_{\text{int}} = M(r). Par suite :

En notant g(r) l'intensité (norme) du champ gravitationnel, dirigé vers le centre de l'étoile :

2. Équation de la statique des fluides :

Dans le référentiel héliocentrique supposé galiléen (en négligeant la rotation du Soleil), un élément de volume de fluide à la distance r est soumis :

• aux forces de pression, de résultante volumique -\vec{\mathrm{grad}}\,p ;
• à la force gravitationnelle volumique \rho(r)\vec{g}(r).

À l'équilibre hydrostatique, l'équation fondamentale de la statique des fluides s'écrit :

Compte tenu de la symétrie sphérique, la pression ne dépend que de r. La projection selon \widehat{u}_r donne :

L'équation d'état polytropique vérifiée par le plasma stellaire s'écrit :

En introduisant la fonction adimensionnée \Psi définie par \rho = \rho_c \Psi^n, on obtient :

On retrouve bien la forme attendue p = p_c \Psi^{n+1} en identifiant :

Compte tenu de la symétrie sphérique du problème, la masse volumique \rho(r) ne dépend que de la distance radiale r.

Considérons une coquille sphérique élémentaire comprise entre les rayons r et r + \mathrm{d}r. Son volume élémentaire s'écrit :

La masse \mathrm{d}M contenue dans cette coquille représente la variation élémentaire de la masse M(r) intérieure à la sphère de rayon r :

En divisant par \mathrm{d}r, on obtient directement :

De façon équivalente, la masse totale contenue dans la sphère de rayon r s'écrit :

La dérivation par rapport à la borne supérieure r redonne immédiatement la relation demandée.

1. Valeurs de \Psi au centre et à la surface

D'après la définition \rho(r) = \rho_c \Psi^n(r) :

• Au centre (r=0, soit \xi = 0), la masse volumique vaut \rho(0) = \rho_c, d'où :

  \Psi(0) = 1

• À la surface du Soleil (r = R_\odot, soit \xi = \xi_s), l'atmosphère étant négligée, la masse volumique s'annule : \rho(R_\odot) = 0, d'où :

  \Psi(\xi_s) = 0

2. Établissement de l'équation de Lane-Emden

D'après l'équation de la statique des fluides établie à la question Q19 :

En dérivant cette relation par rapport à r et en utilisant la relation \frac{\mathrm{d}M}{\mathrm{d}r} = 4\pi r^2 \rho issue de la question Q21, on obtient :

À l'aide des expressions p = K\rho^{1+\frac{1}{n}} et \rho = \rho_c \Psi^n :

En effectuant le changement de variable r = r_0 \xi (soit \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r} = \frac{1}{r_0}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\xi}) :

Ce qui se simplifie en :

Pour obtenir l'équation de Lane-Emden sous la forme souhaitée :

il suffit de choisir la longueur caractéristique r_0 telle que :

D'après l'équation d'équilibre hydrostatique obtenue à la question Q19 :

Les grandeurs thermodynamiques s'expriment à l'aide de \Psi(\xi) (questions Q20 et Q22) selon :

où r = r_0 \xi et p_c = K \rho_c^{1+1/n}. On calcule alors le gradient de pression :

En injectant cette dérivée dans l'expression de M(r), la dépendance en \Psi^n se simplifie :

Or, d'après la définition du rayon caractéristique r_0 (question Q22) :

On obtient ainsi l'expression de la masse intérieure :

À la surface du Soleil, pour r = R_\odot, c'est-à-dire \xi = \xi_s, la masse totale vaut :

Par définition de la masse volumique moyenne \bar{\rho} sur le volume sphérique V_\odot = \frac{4}{3}\pi R_\odot^3 = \frac{4}{3}\pi (r_0\xi_s)^3 :

En égalant les deux expressions de M_\odot :

En simplifiant par 4\pi r_0^3 \xi_s^2, il vient directement :

1. Calcul de la masse volumique centrale \rho_c

Le Soleil étant modélisé par une sphère de rayon R_\odot, sa masse volumique moyenne s'écrit :

Avec M_\odot = 2\cdot 10^{30}\text{ kg} et R_\odot = 7\cdot 10^8\text{ m} :

D'après la relation établie à la question Q23 et les données numériques de l'énoncé (-\frac{\xi_s}{3\Psi'_s} = 7 \times 16 = 112) :

En prenant \pi \simeq \frac{22}{7}, le dénominateur vaut 49 \times \frac{22}{7} = 154, ce qui conduit à :

2. Détermination de la pression centrale p_c à l'aide de la figure 4

D'après la question Q20, la pression au centre s'exprime par :

Pour un polytrope d'indice n = \frac{10}{3}, l'exposant vaut :

Il convient donc d'utiliser la courbe centrale de la figure 4 représentant la fonction f(x) = x^{1{,}3}.

Deux démarches de lecture se présentent :

• La figure 4 comporte un repère vertical en pointillés à l'abscisse x \simeq 2{,}25\cdot 10^5 (qui correspondrait à l'ordre de grandeur \bar{\rho} \sim 2\cdot 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} si le volume solaire avait été grossièrement estimé à \sim 10^{27}\text{ m}^3). Pour cette abscisse repérée, la courbe x^{1{,}3} donne une ordonnée :

  f(\rho_c) \simeq 9{,}5\cdot 10^6\text{ SI} \quad (\text{ou } \sim 1\cdot 10^7\text{ SI})

  Avec K = 4\cdot 10^9\text{ SI}, cela conduit à :

  p_c = K f(\rho_c) \simeq 4\cdot 10^9 \times 9{,}5\cdot 10^6 \simeq 3{,}8\cdot 10^{16}\text{ Pa} \simeq 4\cdot 10^{16}\text{ Pa}

• Si l'on prend la valeur calculée \rho_c \simeq 1{,}56\cdot 10^5\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}, celle-ci se situe en deçà du domaine affiché pour la courbe x^{1{,}3} (qui débute à f(x) = 9\cdot 10^6, soit pour x \ge 2{,}23\cdot 10^5). Un calcul direct donne (1{,}56\cdot 10^5)^{1{,}3} \simeq 5{,}6\cdot 10^6\text{ SI}, soit :

  p_c \simeq 4\cdot 10^9 \times 5{,}6\cdot 10^6 \simeq 2{,}2\cdot 10^{16}\text{ Pa}

On retient l'ordre de grandeur obtenu par lecture de la figure :

1. Neutralité électrique du plasma

Considérons un volume de plasma contenant N_p protons de charge +e, N_{\mathrm{He}} noyaux d'hélium ^4_2\mathrm{He}^{2+} de charge +2e et N_e électrons de charge -e. La neutralité électrique macroscopique s'écrit :

En divisant par le nombre total de particules N_{\text{tot}} = N_p + N_{\mathrm{He}} + N_e, on obtient directement la relation sur les fractions en nombre (ou fractions molaires) x_i = N_i / N_{\text{tot}} :

2. Masse molaire moyenne du mélange

Par définition des fractions molaires, on a :

En injectant la condition de neutralité électrique :

Pour les masses molaires individuelles, on effectue les approximations usuelles suivantes :

• la masse des électrons est négligée devant celle des nucléons : \mathscr{M}_e \ll \mathscr{M}_p ;
• le noyau d'hélium 4 étant constitué de 2 protons et 2 neutrons de masses quasi identiques (défaut de masse négligé à ce stade) : \mathscr{M}_{\mathrm{He}} \simeq 4\mathscr{M}_p.

La masse totale du système s'écrit donc :

La fraction massique en hélium Y = m_{\mathrm{He}} / m_{\text{tot}} s'exprime ainsi :

Il en découle :

Exprimons alors la combinaison 2x_p + 3x_{\mathrm{He}} en fonction de x_p + 4x_{\mathrm{He}} :

Comme 2x_p + 3x_{\mathrm{He}} = 1, on en déduit :

La masse molaire moyenne \mathscr{M} du mélange gazeux est la masse d'une mole de particules libres (ions et électrons) :

On obtient bien la formule attendue :

3. Température centrale du Soleil

Le plasma étant assimilé à un gaz parfait au centre du Soleil, son équation d'état s'écrit :

Avec Y = 0{,}28, on a :

D'où la masse molaire moyenne du plasma solaire :

À partir des résultats de la question Q24 (\rho_c \simeq 1{,}6\cdot 10^5\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} et p_c \simeq 3{,}8\cdot 10^{16}\text{ Pa}) et des données \mathcal{R} \simeq \frac{25}{3}\text{ J}\cdot\text{mol}^{-1}\cdot\text{K}^{-1} :

1. Nature des réactions : Il s'agit de réactions de fusion nucléaire (ou réactions thermonucléaires). Au cours de ces réactions, des noyaux légers (protons, c'est-à-dire des noyaux d'hydrogène) fusionnent pour former des noyaux plus lourds (noyaux d'hélium 4), selon le bilan global :

   4\,{}^{1}_{1}\mathrm{H} \longrightarrow {}^{4}_{2}\mathrm{He} + 2\,\mathrm{e}^{+} + 2\,\nu_{\mathrm{e}} + \gamma

   Cette transformation s'accompagne d'une perte de masse (défaut de masse \Delta m) libérée sous forme d'énergie selon la relation d'Einstein \Delta E = \Delta m \cdot c^2.

2. Cycle dominant dans le Soleil : D'après le préambule de la question, le cycle proton-proton (PP) prévaut pour une température centrale T_c < 20\text{ MK}, tandis que le cycle CNO devient prépondérant au-delà.

   Or, d'après la question Q25, la température au centre du Soleil issue du modèle polytropique vaut :

   T_c \simeq 17\text{ MK} < 20\text{ MK}

   Le cycle dominant dans le Soleil est donc le cycle proton-proton (PP).