Feuille d'entraînement : Induction et forces de Laplace

10 questions · filière PC · durée estimée environ 1 h

Énoncés

Exercice 1ENS Physique C PC 2025, Q31· Application directe· Incontournable· ≈ 4 min
On considère un circuit filiforme orienté $C$ , parcouru par un courant constant $I$ et déplacé dans un champ magnétique $B$ . On considère un élément $d l$ de ce circuit, soumis à un déplacement $d u$ . Montrer que le travail élémentaire de la force de Laplace sur cet élément pour ce déplacement vaut
$δ w_{L} = I B \cdot (d u \land d l) .$
Exercice 2ENS Physique C PC 2025, Q32· Intermédiaire· Incontournable· ≈ 6 min
À l'aide d'un schéma, identifier $d u \land d l$ à un élément de surface $d S$ . En déduire que le travail des forces de Laplace sur le circuit $C$ lors d'une translation élémentaire $d u$ vaut
$δ W_{L} = I d Φ_{c},$
où $d Φ_{c}$ est un flux infinitésimal de champ magnétique sur une surface $d Σ_{c}$ que l'on représentera graphiquement. Préciser explicitement sur le schéma l'orientation des vecteurs $d S$ .
Exercice 3ENS Physique C PC 2025, Q34· Exigeant· Incontournable· ≈ 8 min
On suppose à présent que le circuit $C$ effectue un déplacement à courant $I$ toujours constant, mais dans un champ $B (r)$ stationnaire. Montrer que le travail des forces de Laplace pour un déplacement fini correspond à
$W_{L} = η I ΔΦ,$
où $ΔΦ = Φ_{fin} - Φ_{ini}$ est la variation de flux de $B$ à travers le circuit $C$ , entre ses configurations initiale et finale, notées $C_{ini}$ et $C_{fin}$ , et $η$ est un facteur numérique à déterminer. On s'appuiera en particulier sur un schéma où l'on fera apparaître clairement les différentes grandeurs introduites. Ce résultat constitue le théorème de Maxwell.
Exercice 4CCINP Physique PC 2024, Q33· Intermédiaire· Incontournable· ≈ 6 min
Montrer que $i_{2} (t)$ vérifie l'équation différentielle :
$\frac{d i _{2}}{d t} + \frac{i _{2}}{τ _{2}} = \frac{I _{0}}{τ _{1}}$
avec $τ_{1}$ et $τ_{2}$ qui seront exprimés en fonction de $L_{2}$ , $R_{2}$ , $M$ et de $t_{1}$ .
Exercice 5CentraleSupélec Physique 2 PC 2023, Q8· Intermédiaire· Incontournable· ≈ 6 min
Montrer que, dans ces conditions, on peut écrire $E I + m g v = 0$ . Pourquoi parle-t-on également de « balance du watt » à la place de balance de Kibble ?
Exercice 6ENS Physique-Chimie L PC 2021, Q2· Application directe· Incontournable· ≈ 5 min
Nous nous plaçons dans la situation où $s > 0$ et $v < 0$ . Indiquer, sur la figure tracée précédemment, le sens du courant $i$ qui apparaît dans la spire. On le représentera au point P en utilisant les symboles $⊙$ ou $\otimes$ pour indiquer qu'il est respectivement sortant ou entrant dans le plan $(O, x, y)$ . Avec l'orientation adoptée de la surface de la spire, indiquer si ce courant est conventionnellement positif ou négatif. On d'étaillera le raisonnement tenu.
Exercice 7ENS Physique-Chimie L PC 2021, Q10· Exigeant· Incontournable· ≈ 8 min
Exprimer le flux $ϕ_{a/s} = ϕ_{a/s} (s)$ du champ magnétique créé par l'aimant à travers la spire (on veillera à respecter les conventions de signe usuelles). L'écrire sous la forme :
$ϕ_{a/s} (s) = ϕ_{0} F (X) o \overset{u}{ˋ} X = s / a et F (0) = 1$
On explicitera la fonction $F$ et exprimera la constante $ϕ_{0}$ en fonction de $B^{⋆}$ , $D$ et $a$ . La façon de conduire ce calcul est laissée libre. Il faudra alors en présenter chacune de ses orientations et étapes.
Exercice 8ENS Physique-Chimie L PC 2021, Q12· Intermédiaire· Incontournable· ≈ 5 min
Établir que le courant $i$ est lié à la position et la vitesse de l'aimant selon la relation :
$i = K_{1} \frac{X X ˙}{( 1 + X ^{2} ) ^{5/2}} o \overset{u}{ˋ} \dot{X} = \frac{d X}{d t}$
On exprimera la constante $K_{1}$ en fonction de $ϕ_{0}$ et $R$ .
Exercice 9Mines-Ponts Physique 2 PC 2017, Q6· Intermédiaire· Incontournable· ≈ 8 min
En fait, le tube de champ est également parcouru par un courant électrique provenant de l'intérieur du Soleil et dont la densité est de la forme $j_{t} = j_{t} (r) u_{z}$ . En supposant que la longueur du tube est grande devant son rayon, déterminer l'expression du champ magnétique $B_{t}$ créé par $j_{t}$ en fonction de $μ_{0}$ , $r$ et de l'intensité $I (r)$ du courant traversant un disque de rayon $r$ . En déduire l'expression de la force de Laplace $d F_{t}$ correspondante exercée sur un élément de volume $d τ$ du tube, en fonction de $I (r)$ , de sa dérivée et des autres grandeurs du problème. En admettant que $I (r)$ est une fonction positive et croissante, quel est l'effet du champ magnétique $B_{t}$ sur le tube de champ ?
Exercice 10Mines-Ponts Physique 2 PC 2026, Q17· Exigeant· ≈ 6 min
Examiner avec soin les symétries et les invariances du moment magnétique $s (t)$ . Pour cela, on pourra raisonner sur la spire de courant qui le génère. En exploitant le principe de Curie, déterminer la direction du champ électrique $E (M, t)$ induit par $B (M, t)$ et montrer que la seule composante non nulle de $E (M, t)$ dans la base sphérique est indépendante de la variable $φ$ .

Corrigés

Exercice 1ENS Physique C PC 2025, Q31
Un élément filiforme orienté \mathrm{d}\vec{l} parcouru par un courant I, placé dans un champ magnétique extérieur \vec{B}, subit la force élémentaire de Laplace :
\mathrm{d}\vec{F}_L = I \, \mathrm{d}\vec{l} \wedge \vec{B}.
Lors d'un déplacement élémentaire \mathrm{d}\vec{u} de cet élément, le travail mécanique élémentaire fourni par la force de Laplace s'écrit :
\delta w_L = \mathrm{d}\vec{F}_L \cdot \mathrm{d}\vec{u} = (I \, \mathrm{d}\vec{l} \wedge \vec{B}) \cdot \mathrm{d}\vec{u}.
D'après la propriété de permutation circulaire du produit mixte rappelée à l'équation (5) du formulaire, (\vec{X} \wedge \vec{Y}) \cdot \vec{Z} = (\vec{Z} \wedge \vec{X}) \cdot \vec{Y}, appliquée avec \vec{X} = \mathrm{d}\vec{l}, \vec{Y} = \vec{B} et \vec{Z} = \mathrm{d}\vec{u}, on a :
(\mathrm{d}\vec{l} \wedge \vec{B}) \cdot \mathrm{d}\vec{u} = (\mathrm{d}\vec{u} \wedge \mathrm{d}\vec{l}) \cdot \vec{B} = \vec{B} \cdot (\mathrm{d}\vec{u} \wedge \mathrm{d}\vec{l}).
On en déduit directement l'expression demandée :
\boxed{\delta w_L = I \, \vec{B} \cdot (\mathrm{d}\vec{u} \wedge \mathrm{d}\vec{l})}.
Résultat
$δ w_{L} = I B \cdot (d u \land d l)$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 2ENS Physique C PC 2025, Q32
Lors du déplacement infinitésimal \mathrm{d}\vec{u}, l'élément de circuit orienté \mathrm{d}\vec{l} balaie un parallélogramme délimité par \mathrm{d}\vec{u} et \mathrm{d}\vec{l}. L'aire de ce parallélogramme est \|\mathrm{d}\vec{u} \wedge \mathrm{d}\vec{l}\|, et son vecteur surface élémentaire associé s'écrit directement :
\mathrm{d}\vec{S} = \mathrm{d}\vec{u} \wedge \mathrm{d}\vec{l}.
Le vecteur \mathrm{d}\vec{S} est normal au parallélogramme élémentaire balayé, de sens tel que le trièdre (\mathrm{d}\vec{u}, \mathrm{d}\vec{l}, \mathrm{d}\vec{S}) soit direct (règle de la main droite).
D'après le résultat de la question précédente, le travail de la force de Laplace reçue par l'élément \mathrm{d}\vec{l} s'écrit :
\delta w_L = I \vec{B} \cdot (\mathrm{d}\vec{u} \wedge \mathrm{d}\vec{l}) = I \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{S}.
Pour une translation d'ensemble infinitésimale \mathrm{d}\vec{u} du circuit indéformable C, le vecteur \mathrm{d}\vec{u} est identique pour tous les éléments du circuit. L'ensemble des facettes élémentaires balayées constitue la surface latérale dite « coupée », notée \mathrm{d}\Sigma_c, reliant le circuit dans sa position initiale au circuit dans sa position translatée.
En intégrant sur l'ensemble du contour fermé C, le travail total des forces de Laplace s'obtient par sommation :
\delta W_L = \oint_C \delta w_L = I \oint_C \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{S} = I \iint_{\mathrm{d}\Sigma_c} \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{S}.
En introduisant le flux infinitésimal du champ magnétique \vec{B} à travers la surface découpée \mathrm{d}\Sigma_c (flux coupé) :
\mathrm{d}\Phi_c = \iint_{\mathrm{d}\Sigma_c} \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{S},
on obtient bien :
\boxed{\delta W_L = I \mathrm{d}\Phi_c}
Résultat
$δ W_{L} = I d Φ_{c}$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 3ENS Physique C PC 2025, Q34
Puisque le courant I est maintenu constant au cours du déplacement, le travail total des forces de Laplace s'obtient en intégrant l'expression (20) établie à la question précédente :
W_L = \int \delta W_L = I \int \mathrm{d}\Phi_c = I \Phi_c,
où \Phi_c = \iint_{\Sigma_c} \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{S}_c est le flux magnétique total coupé par le contour orienté au cours de son déplacement, à travers la surface latérale \Sigma_c balayée par le circuit.
Considérons le volume fermé \mathcal{V} délimité par :
- une surface \Sigma_{\mathrm{ini}} s'appuyant sur le contour C_{\mathrm{ini}}, orientée par convention selon la règle de la main droite appliquée au sens de parcours de C_{\mathrm{ini}} ;
- une surface \Sigma_{\mathrm{fin}} s'appuyant sur le contour C_{\mathrm{fin}}, orientée de même selon le sens de parcours de C_{\mathrm{fin}} ;
- la surface latérale \Sigma_c balayée par les éléments \mathrm{d}\vec{l} au cours de leurs déplacements infinitésimaux \mathrm{d}\vec{u}.
Le champ magnétique \vec{B} étant à flux conservatif (\operatorname{div}\vec{B} = 0), le flux total sortant de la surface fermée \partial\mathcal{V} = \Sigma_{\mathrm{fin}} \cup \Sigma_{\mathrm{ini}} \cup \Sigma_c est rigoureusement nul :
\oiint_{\partial\mathcal{V}} \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{S}_{\mathrm{ext}} = 0.
Examinons les contributions associées au vecteur normal unitaire sortant \mathrm{d}\vec{S}_{\mathrm{ext}} :
- Sur \Sigma_{\mathrm{fin}}, la normale sortante coïncide avec le sens d'orientation du circuit final :
  \iint_{\Sigma_{\mathrm{fin}}} \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{S}_{\mathrm{ext}} = \iint_{\Sigma_{\mathrm{fin}}} \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{S}_{\mathrm{fin}} = \Phi_{\mathrm{fin}}.
- Sur \Sigma_{\mathrm{ini}}, la normale sortante est dirigée à l'opposé du sens de déplacement, donc à l'opposé de l'orientation du circuit initial (\mathrm{d}\vec{S}_{\mathrm{ext}} = -\mathrm{d}\vec{S}_{\mathrm{ini}}) :
  \iint_{\Sigma_{\mathrm{ini}}} \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{S}_{\mathrm{ext}} = -\iint_{\Sigma_{\mathrm{ini}}} \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{S}_{\mathrm{ini}} = -\Phi_{\mathrm{ini}}.
- Sur la surface latérale \Sigma_c, le vecteur surface balayé défini à la question Q32 est \mathrm{d}\vec{S}_c = \mathrm{d}\vec{u} \wedge \mathrm{d}\vec{l}. Par la règle du trièdre direct, un vecteur dirigé dans le sens du mouvement (\mathrm{d}\vec{u}) vectoriel un élément suivant le contour (\mathrm{d}\vec{l}) pointe vers l'intérieur du volume \mathcal{V}, d'où \mathrm{d}\vec{S}_{\mathrm{ext}} = -\mathrm{d}\vec{S}_c. Ainsi :
  \iint_{\Sigma_c} \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{S}_{\mathrm{ext}} = -\iint_{\Sigma_c} \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{S}_c = -\Phi_c.
Le bilan de flux s'écrit donc :
\Phi_{\mathrm{fin}} - \Phi_{\mathrm{ini}} - \Phi_c = 0 \implies \Phi_c = \Phi_{\mathrm{fin}} - \Phi_{\mathrm{ini}} = \Delta \Phi.
On en déduit immédiatement le travail des forces de Laplace :
W_L = I \Delta \Phi.
Par identification avec la formule demandée W_L = \eta I \Delta \Phi, on obtient :
\boxed{\eta = 1 \quad \text{et} \quad W_L = I \Delta\Phi}
Résultat
$η = 1 et W_{L} = I ΔΦ$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 4CCINP Physique PC 2024, Q33
Le flux magnétique total \Phi_2 traversant la boucle de courant représentant le plasma (circuit 2), orientée en cohérence avec le sens de parcours choisi pour i_2, s'écrit comme la somme du flux propre et du flux créé par le solénoïde central (circuit 1) :
\Phi_2(t) = L_2 i_2(t) + M i_1(t)
D'après la loi de Faraday, la force électromotrice induite dans la boucle 2 vaut :
e_2(t) = -\frac{\mathrm{d}\Phi_2}{\mathrm{d}t} = -L_2 \frac{\mathrm{d}i_2}{\mathrm{d}t} - M \frac{\mathrm{d}i_1}{\mathrm{d}t}
La loi des mailles appliquée au circuit secondaire fermé sur sa résistance R_2 donne :
\begin{aligned} e_2(t) &= R_2 i_2(t) \\ L_2 \frac{\mathrm{d}i_2}{\mathrm{d}t} + R_2 i_2(t) &= -M \frac{\mathrm{d}i_1}{\mathrm{d}t} \end{aligned}
Pour t \in [0, t_1], l'expression du courant inducteur est i_1(t) = I_0 \left(1 - \frac{t}{t_1}\right), dont la dérivée temporelle est :
\frac{\mathrm{d}i_1}{\mathrm{d}t} = -\frac{I_0}{t_1}
L'équation différentielle devient ainsi :
L_2 \frac{\mathrm{d}i_2}{\mathrm{d}t} + R_2 i_2 = \frac{M I_0}{t_1}
En divisant par l'inductance propre L_2, on obtient :
\frac{\mathrm{d}i_2}{\mathrm{d}t} + \frac{R_2}{L_2} i_2 = \frac{M}{L_2 t_1} I_0
Cette équation est bien de la forme :
\boxed{\frac{\mathrm{d}i_2}{\mathrm{d}t} + \frac{i_2}{\tau_2} = \frac{I_0}{\tau_1}}
avec les constantes de temps :
\boxed{\tau_1 = \frac{L_2}{M} t_1 \quad \text{et} \quad \tau_2 = \frac{L_2}{R_2}}
Résultat
$\frac{d i _{2}}{d t} + \frac{i _{2}}{τ _{2}} = \frac{I _{0}}{τ _{1}}$ $τ_{1} = \frac{L _{2}}{M} t_{1} et τ_{2} = \frac{L _{2}}{R _{2}}$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 5CentraleSupélec Physique 2 PC 2023, Q8
D'après l'énoncé, la force électromotrice induite lors du déplacement de la bobine à la vitesse v s'écrit :
E = -B l v
En multipliant cette relation par l'intensité I utilisée lors de la phase statique, on obtient :
E I = - (I B l) v
Or, d'après la condition d'équilibre statique établie à la question Q4, on a :
m g = I B l
En substituant I B l par m g, il vient directement :
E I = - m g v
soit :
\boxed{E I + m g v = 0}
Origine du nom « balance du watt » :
- Le terme |E I| représente une puissance électrique (produit d'une tension et d'une intensité).
- Le terme m g v représente une puissance mécanique (puissance développée par le poids à la vitesse v).
Cette expérience réalise ainsi une équivalence entre une puissance mécanique et une puissance électrique, toutes deux homogènes à des watts (\mathrm{W}), ce qui justifie la dénomination historique de « balance du watt ».
Résultat
$E I + m g v = 0$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 6ENS Physique-Chimie L PC 2021, Q2
1. Orientation du champ et variation du flux : L'aimant possède un moment magnétique permanent \overrightarrow{\mathcal{M}} = -\mathcal{M}\vec{e}_x (\mathcal{M} \ge 0). Son pôle Nord est donc dirigé vers les x décroissants (en direction de la spire). Le champ magnétique \vec{B}_{\mathrm{a}} produit sur l'axe entre l'aimant et la spire est par conséquent dirigé selon -\vec{e}_x.
La surface de la spire étant orientée par le vecteur unitaire \vec{e}_x, le flux du champ magnétique de l'aimant à travers la spire est négatif :
\Phi = \iint_{\text{spire}} \vec{B}_{\mathrm{a}} \cdot \vec{e}_x \, \mathrm{d}S < 0
L'aimant se situant à l'abscisse s > 0 et se déplaçant avec une vitesse v = \dot{s} < 0, la distance s diminue au cours du temps : l'aimant se rapproche de la spire. Le champ perçu au niveau de la spire devient plus intense, donc la valeur absolue du flux augmente, ce qui correspond à une diminution algébrique du flux :
\frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t} < 0
2. Loi de Lenz et f.é.m. induite : D'après la loi de Faraday, la force électromotrice induite dans la spire s'écrit :
e = -\frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t} > 0
Sous l'hypothèse résistive \mathrm{H}_R, la relation constitutive de la spire s'écrit e = R i. La résistance R étant strictement positive, on en déduit immédiatement :
i > 0
Le courant induit i est donc conventionnellement positif.
Physiquement, d'après la loi de modération de Lenz, le courant induit s'oppose à la cause qui lui donne naissance (le rapprochement de l'aimant). La spire tend donc à repousser l'aimant en présentant une face Nord face au pôle Nord de l'aimant, ce qui nécessite la création d'un champ induit \vec{B}_{\mathrm{ind}} dirigé selon +\vec{e}_x.
3. Sens du courant au point \mathrm{P} : Le repère (O, x, y, z) étant direct, avec (Ox) horizontal vers la droite et (Oy) vertical vers le haut, l'axe (Oz) est perpendiculaire au plan (O, x, y) et dirigé vers l'avant (vers l'observateur).
L'orientation positive de la surface étant donnée par \vec{e}_x, le sens de parcours direct de la spire est déterminé par la règle de la main droite (ou du tire-bouchon de Maxwell) autour de l'axe (Ox). Au point \mathrm{P}(0, a, 0), le vecteur tangent au contour orienté positivement est :
\vec{t} = \vec{e}_x \wedge \vec{e}_y = \vec{e}_z
Comme i > 0, le courant circule dans le sens direct : au point \mathrm{P}, il est orienté selon +\vec{e}_z, c'est-à-dire dirigé vers le lecteur.
\boxed{\text{Le courant } i \text{ est conventionnellement positif } (i > 0) \text{ et sortant du plan } (\mathrm{O}, x, y) \text{ au point P : symbole } \odot.}
Résultat
$Le courant i est conventionnellement positif (i > 0) et sortant du plan (O, x, y) au point P : symbole ⊙ .$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 7ENS Physique-Chimie L PC 2021, Q10
Étape 1 : Choix du contour et orientation
La spire \mathcal{C} est un cercle de centre \mathrm{O} et de rayon a situé dans le plan x = 0. Sa surface étant orientée par le vecteur normal unitaire \vec{e}_x, la règle du tire-bouchon oriente le contour \mathcal{C} selon le vecteur unitaire orthoradial \vec{e}_\theta des coordonnées cylindriques (\rho, \theta, x) d'axe (\mathrm{O}x) :
\mathrm{d}\vec{\ell} = a\,\mathrm{d}\theta\,\vec{e}_\theta \quad \text{avec} \quad \theta \in [0, 2\pi]
Étape 2 : Potentiel vecteur créé par l'aimant en un point de la spire
L'aimant, assimilé à un dipôle magnétique ponctuel situé en \mathrm{A}(s, 0, 0) de moment \overrightarrow{\mathcal{M}} = -\mathcal{M}\vec{e}_x, crée en un point \mathrm{P} de la spire le potentiel vecteur :
\vec{A}(\mathrm{P}) = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{\overrightarrow{\mathcal{M}} \times \overrightarrow{\mathrm{AP}}}{\|\overrightarrow{\mathrm{AP}}\|^3}
Le vecteur position du point \mathrm{P} par rapport à \mathrm{A} s'écrit :
\overrightarrow{\mathrm{AP}} = \overrightarrow{\mathrm{OP}} - \overrightarrow{\mathrm{OA}} = a\,\vec{e}_\rho - s\,\vec{e}_x
La distance r = \|\overrightarrow{\mathrm{AP}}\| est constante le long de la spire :
r = \sqrt{a^2 + s^2}
Le produit vectoriel s'évalue aisément grâce à \vec{e}_x \times \vec{e}_\rho = \vec{e}_\theta et \vec{e}_x \times \vec{e}_x = \vec{0} :
\overrightarrow{\mathcal{M}} \times \overrightarrow{\mathrm{AP}} = (-\mathcal{M}\vec{e}_x) \times (a\,\vec{e}_\rho - s\,\vec{e}_x) = -\mathcal{M}a\,\vec{e}_\theta
Le potentiel vecteur au point \mathrm{P} est donc purement orthoradial :
\vec{A}(\mathrm{P}) = -\frac{\mu_0 \mathcal{M} a}{4\pi (a^2 + s^2)^{3/2}}\,\vec{e}_\theta
Étape 3 : Calcul du flux par le théorème de Stokes
Par définition du potentiel vecteur \vec{B}_{\mathrm{a}} = \overrightarrow{\operatorname{rot}}\vec{A}, le flux s'obtient par circulation sur le contour fermé \mathcal{C} :
\begin{aligned} \phi_{\mathrm{a/s}}(s) &= \iint_{S} \vec{B}_{\mathrm{a}} \cdot \vec{e}_x\,\mathrm{d}S = \oint_{\mathcal{C}} \vec{A} \cdot \mathrm{d}\vec{\ell} \\ &= \int_0^{2\pi} \left( -\frac{\mu_0 \mathcal{M} a}{4\pi (a^2 + s^2)^{3/2}}\,\vec{e}_\theta \right) \cdot \left( a\,\mathrm{d}\theta\,\vec{e}_\theta \right) \\ &= -\frac{\mu_0 \mathcal{M} a^2}{4\pi (a^2 + s^2)^{3/2}} \times 2\pi \\ &= -\frac{\mu_0 \mathcal{M} a^2}{2 (a^2 + s^2)^{3/2}} \end{aligned}
Étape 4 : Mise sous la forme réduite
En introduisant la variable sans dimension X = s/a, on factorise le dénominateur par a^3 :
\phi_{\mathrm{a/s}}(s) = -\frac{\mu_0 \mathcal{M}}{2a} \frac{1}{\left(1 + X^2\right)^{3/2}}
On identifie immédiatement la fonction F(X) :
F(X) = \frac{1}{\left(1 + X^2\right)^{3/2}} \quad \text{qui vérifie bien} \quad F(0) = 1
La constante \phi_0 correspond à la valeur du flux lorsque l'aimant est au centre de la spire (s=0) :
\phi_0 = \phi_{\mathrm{a/s}}(0) = -\frac{\mu_0 \mathcal{M}}{2a}
D'après la question Q9, le moment magnétique de l'aimant sphérique vaut :
\mathcal{M} = \frac{\pi B^\star D^3}{6\mu_0}
D'où l'expression finale de la constante \phi_0 :
\phi_0 = -\frac{\mu_0}{2a}\left(\frac{\pi B^\star D^3}{6\mu_0}\right) = -\frac{\pi B^\star D^3}{12 a}
\boxed{\phi_{\mathrm{a/s}}(s) = \phi_0 F(X) \quad \text{avec} \quad F(X) = \frac{1}{\left(1 + X^2\right)^{3/2}} \quad \text{et} \quad \phi_0 = -\frac{\pi B^\star D^3}{12 a}}
Résultat
$ϕ_{a/s} (s) = ϕ_{0} F (X) avec F (X) = \frac{1}{( 1 + X ^{2} ) ^{3/2}} et ϕ_{0} = - \frac{π B ^{⋆} D ^{3}}{12 a}$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 8ENS Physique-Chimie L PC 2021, Q12
D'après la loi de Faraday, la force électromotrice induite dans la spire orientée par sa normale \vec{e}_x s'écrit :
e(t) = -\frac{\mathrm{d}\phi_{\mathrm{a/s}}}{\mathrm{d}t}
Sous l'hypothèse \mathrm{H}_R validée à la question Q11, l'effet inductif propre est négligeable devant la chute de tension résistive (L \frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t} \ll R i). L'équation électrique de la spire fermée se réduit à :
e(t) = R\,i(t) \implies i(t) = -\frac{1}{R}\frac{\mathrm{d}\phi_{\mathrm{a/s}}}{\mathrm{d}t}
D'après le résultat de la question Q10, le flux magnétique s'exprime en fonction de la variable adimensionnée X(t) = s(t)/a sous la forme :
\phi_{\mathrm{a/s}}(t) = \phi_0 F(X(t)) \quad \text{avec} \quad F(X) = (1+X^2)^{-3/2}
En dérivant cette fonction composée par rapport au temps, sachant que \dot{X} = \frac{\mathrm{d}X}{\mathrm{d}t} :
\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}\phi_{\mathrm{a/s}}}{\mathrm{d}t} &= \phi_0 \frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}X}\,\frac{\mathrm{d}X}{\mathrm{d}t} \\ &= \phi_0 \left( -\frac{3}{2}(2X)(1+X^2)^{-5/2} \right) \dot{X} \\ &= -3\phi_0 \frac{X\dot{X}}{(1+X^2)^{5/2}} \end{aligned}
En injectant cette dérivée dans l'expression du courant induit, on obtient :
i(t) = \frac{3\phi_0}{R}\frac{X\dot{X}}{(1+X^2)^{5/2}}
Cette relation est bien de la forme attendue :
i = K_1 \frac{X\dot{X}}{(1+X^2)^{5/2}}
avec :
\boxed{K_1 = \frac{3\phi_0}{R}}
Résultat
$K_{1} = \frac{3 ϕ _{0}}{R}$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 9Mines-Ponts Physique 2 PC 2017, Q6
1. Expression du champ magnétique \vec{B}_t :
Le tube étant supposé de longueur très grande devant son rayon R, on le modélise par un cylindre infini d'axe (Oz).
- Invariances : La distribution de courant \vec{j}_t = j_t(r)\,\widehat{u}_z est invariante par translation le long de (Oz) et par rotation autour de (Oz) : le champ ne dépend que de la coordonnée radiale r.
- Symétries : Tout plan contenant l'axe (Oz) est un plan de symétrie de la distribution de courant. En tout point de ce plan, le champ magnétique lui est orthogonal, donc selon \widehat{u}_\theta :
  \vec{B}_t(r) = B_t(r)\,\widehat{u}_\theta
Appliquons le théorème d'Ampère le long d'un cercle \mathcal{C} d'axe (Oz), de rayon r, orienté selon +\widehat{u}_\theta :
\oint_{\mathcal{C}} \vec{B}_t \cdot \mathrm{d}\vec{\ell} = B_t(r) \times 2\pi r = \mu_0 I_{\text{enlacé}}
Par définition, le courant traversant le disque de rayon r est I_{\text{enlacé}} = I(r). On en déduit :
\boxed{\vec{B}_t = \frac{\mu_0 I(r)}{2\pi r}\,\widehat{u}_\theta}
2. Force de Laplace élémentaire \mathrm{d}\vec{F}_t :
Le courant I(r) à travers le disque de rayon r s'exprime par :
I(r) = \iint_{\mathcal{D}(r)} j_t(r')\,\mathrm{d}S = \int_0^r j_t(r') \times 2\pi r'\,\mathrm{d}r'
En dérivant par rapport à r, on relie j_t(r) à la dérivée de l'intensité :
\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}r} = 2\pi r \, j_t(r) \implies j_t(r) = \frac{1}{2\pi r}\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}r}
La force de Laplace subie par l'élément de volume \mathrm{d}\tau s'écrit alors :
\begin{aligned} \mathrm{d}\vec{F}_t &= (\vec{j}_t \times \vec{B}_t)\,\mathrm{d}\tau \\ &= \left( j_t(r)\,\widehat{u}_z \times \frac{\mu_0 I(r)}{2\pi r}\,\widehat{u}_\theta \right)\mathrm{d}\tau \\ &= - j_t(r)\frac{\mu_0 I(r)}{2\pi r}\,\widehat{u}_r\,\mathrm{d}\tau \end{aligned}
En remplaçant j_t(r) par son expression en fonction de I'(r) = \frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}r}, il vient :
\boxed{\mathrm{d}\vec{F}_t = -\frac{\mu_0 I(r)}{4\pi^2 r^2}\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}r}\,\widehat{u}_r\,\mathrm{d}\tau}
3. Effet du champ magnétique \vec{B}_t sur le tube de champ :
Comme I(r) > 0 et que I est une fonction croissante (\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}r} > 0), la force volumique associée est portée par -\widehat{u}_r :
\vec{f}_t = \frac{\mathrm{d}\vec{F}_t}{\mathrm{d}\tau} < \vec{0} \quad \text{selon } \widehat{u}_r
Cette force est centripète : elle est dirigée vers l'axe du cylindre. Le champ magnétique propre \vec{B}_t a donc pour effet de comprimer le tube vers son axe (phénomène de striction magnétique ou pincement de Bennett).
Résultat
$B_{t} = \frac{μ _{0} I ( r )}{2 π r} u_{θ}$ $d F_{t} = - \frac{μ _{0} I ( r )}{4 π ^{2} r ^{2}} \frac{d I}{d r} u_{r} d τ$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 10Mines-Ponts Physique 2 PC 2026, Q17
Le moment magnétique \vec{s}(t) = s(t)\,\widehat{e}_z peut être modélisé par une petite spire circulaire plane centrée en O, contenue dans le plan (xOy), d'axe (Oz) et parcourue par un courant I(t) orienté selon \widehat{e}_\varphi.
Invariances : La distribution de courant est invariante par toute rotation d'angle \varphi quelconque autour de l'axe (Oz). En vertu du principe de Curie, les effets possèdent les mêmes invariances que les causes. Par conséquent, les composantes du champ électrique induit \vec{E}(M,t) en coordonnées sphériques ne dépendent pas de la variable azimutale \varphi :
\frac{\partial \vec{E}}{\partial \varphi} = \vec{0}
Symétries et direction du champ électrique : Considérons un point M(r,\theta,\varphi) quelconque de l'espace. Le plan méridien \Pi_m(M) passant par M, défini par (O, \widehat{e}_r, \widehat{e}_\theta) (ou encore par l'axe (Oz) et le point M), contient l'axe de la spire. En tout point de la spire traversant ce plan, le vecteur densité de courant \vec{\jmath} est orthogonal au plan. La réflexion par rapport à \Pi_m(M) inverse donc le sens du courant : \Pi_m(M) est un plan d'anti-symétrie (noté \Pi^-) pour la distribution de courant.
D'après le principe de Curie, \Pi_m(M) est également un plan d'anti-symétrie pour les effets. Le champ électrique induit \vec{E}(M,t) étant un champ de vecteurs polaires (vrais vecteurs), un plan d'anti-symétrie pour les sources impose qu'en tout point M appartenant à ce plan, le vecteur champ électrique soit orthogonal au plan :
\vec{E}(M,t) \perp \Pi_m(M)
Comme la normale au plan méridien (O, \widehat{e}_r, \widehat{e}_\theta) est portée par le vecteur unitaire azimutal \widehat{e}_\varphi, le champ électrique induit ne possède qu'une composante selon \widehat{e}_\varphi :
\boxed{\vec{E}(M,t) = E_\varphi(r, \theta, t)\,\widehat{e}_\varphi}
La seule composante non nulle de \vec{E}(M,t) dans la base sphérique est portée par \widehat{e}_\varphi et est indépendante de \varphi.
Résultat
$E (M, t) = E_{φ} (r, θ, t) e_{φ}$
Indice, stratégie et pièges de cette question

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