Corrigé détaillé E3A Physique-Chimie PC 2024

On assimile le champ de pesanteur au champ de gravitation terrestre \vec{g}, le terme d'entraînement étant négligé.

Symétries et invariances La Terre est modélisée par une boule de rayon R_T, de masse M_T, à répartition sphérique et homogène de masse. La masse de l'atmosphère étant négligée, la distribution de masse présente une symétrie sphérique par rapport au centre O_T de la Terre :

• Tout plan passant par le centre O_T est un plan de symétrie de la distribution. En tout point M situé à la distance r de O_T, le champ \vec{g}(M) appartient à l'intersection de tous ces plans : il est purement radial, soit \vec{g}(M) = g(r, \theta, \varphi)\,\vec{e}_r en coordonnées sphériques de centre O_T.

• La distribution est invariante par rotation autour de tout axe passant par O_T. Le champ ne dépend donc pas des variables angulaires \theta et \varphi :

  \vec{g}(M) = g(r)\,\vec{e}_r.

Application du théorème de Gauss On choisit pour surface de Gauss \Sigma la sphère de centre O_T et de rayon r = R_T + z (avec z \ge 0). Le vecteur surface élémentaire sortant s'écrit \mathrm{d}\vec{S} = \mathrm{d}S\,\vec{e}_r. Le flux sortant du champ \vec{g} à travers \Sigma vaut :

D'après le théorème de Gauss pour le champ gravitationnel :

où M_{\text{int}} est la masse intérieure à la surface de Gauss \Sigma. Comme r > R_T et que la masse de l'atmosphère est négligée, la masse totale intérieure est simplement la masse de la Terre : M_{\text{int}} = M_T.

Il vient ainsi :

Expression en fonction de l'altitude z L'axe vertical ascendant a pour origine le sol (r = R_T) et est orienté vers le haut, de vecteur unitaire \vec{u}_z = \vec{e}_r. La distance au centre de la Terre s'écrit r = R_T + z.

On obtient finalement l'expression vectorielle du champ de pesanteur à l'altitude z :

ou, sous forme de composante algébrique g_z(z) selon la verticale ascendante :

D'après la question Q1, le champ de pesanteur à l'altitude z s'écrit :

L'intensité du champ de pesanteur (sa norme) est donc donnée par :

Application numérique pour z_0 = 20,0\text{ km} : Avec les données de l'énoncé :

• G = 6,67 \times 10^{-11}\text{ SI}
• M_T = 5,96 \times 10^{24}\text{ kg}
• R_T + z_0 = 6\,370\text{ km} + 20,0\text{ km} = 6\,390\text{ km} = 6,390 \times 10^6\text{ m}

Application numérique pour z_1 = 25,0\text{ km} : Avec R_T + z_1 = 6\,370\text{ km} + 25,0\text{ km} = 6\,395\text{ km} = 6,395 \times 10^6\text{ m} :

D'après les résultats obtenus à la question Q2, les valeurs du champ de pesanteur aux altitudes z_0 = 20,0\text{ km} et z_1 = 25,0\text{ km} sont :

La variation absolue du champ de pesanteur sur l'intervalle d'altitude [z_0, z_1] vaut :

L'écart relatif correspondant par rapport à la valeur moyenne est :

Cette variation relative étant très faible (inférieure à 0,2\%), on peut légitimement considérer le champ de pesanteur comme uniforme sur toute la zone de vol comprise entre z_0 et z_1, avec une incertitude relative :

Par rapport à la valeur approchée retenue pour la suite, g = 9,7\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}, l'écart maximal reste inférieur à 0,4\%.

Dans un référentiel galiléen, pour un fluide au repos soumis au seul champ de pesanteur \vec{g}, la relation fondamentale de l'hydrostatique s'écrit sous forme locale :

L'axe z étant vertical ascendant de vecteur unitaire \vec{u}_z, le champ de pesanteur s'écrit \vec{g} = -g\,\vec{u}_z avec g > 0. La pression ne dépendant que de l'altitude z par invariance par translation horizontale, le gradient de pression se réduit à :

Par projection sur l'axe z, la relation fondamentale de l'hydrostatique devient :

L'air étant assimilé à un gaz parfait de masse molaire M_{\text{air}}, une masse m occupant un volume V sous la pression P et à la température T vérifie :

On en déduit la masse volumique de l'air :

D'après la question Q4, la relation fondamentale de l'hydrostatique projetée sur l'axe vertical ascendant s'écrit :

En introduisant l'expression de la température T(z) = T_0 + a(z - z_0), on sépare les variables :

On intègre cette relation différentielle entre l'altitude de référence z_0 (où P(z_0) = P_0) et l'altitude z :

En appliquant la fonction exponentielle, on obtient :

Cette expression est bien de la forme recherchée P(z) = P_0 \left(1 + b(z - z_0)\right)^\alpha, avec :

D'après l'hypothèse du gaz parfait, la masse volumique \mu(z) de l'air s'exprime en fonction de la pression locale P(z) et de la température T(z) par :

En utilisant l'expression de la pression issue de la question Q5, P(z) = P_0\left(1 + b(z - z_0)\right)^\alpha, et la température T(z) = T_0\left(1 + b(z - z_0)\right) avec b = \frac{a}{T_0} et \alpha = -\frac{M_{\text{air}} g}{a R}, il vient :

Calculons successivement les grandeurs intervenant à l'altitude z_1 :

• z_1 - z_0 = 25,0 \times 10^3 - 20,0 \times 10^3 = 5,0 \times 10^3\text{ m} ;
• T(z_1) = T_0 + a(z_1 - z_0) = 217 + 1,0 \times 10^{-3} \times 5,0 \times 10^3 = 222\text{ K} ;

• L'exposant vaut :

  \alpha = -\frac{29 \times 10^{-3} \times 9,7}{1,0 \times 10^{-3} \times 8,31} \approx -33,9
• Le facteur adimensionnel vaut 1 + b(z_1 - z_0) = 1 + \frac{5,0}{217} = \frac{222}{217} \approx 1,0230 ;

• La pression à l'altitude z_1 est donc :

  P(z_1) = 55 \times 10^2 \times \left(\frac{222}{217}\right)^{-33,9} \approx 2,54 \times 10^3\text{ Pa} = 25,4\text{ hPa}

On en déduit la masse volumique à z_1 = 25,0\text{ km} :

Commentaire et analyse de l'écart :

• La valeur calculée (\mu(z_1) \approx 4,0 \times 10^{-2}\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}) est nettement inférieure à la valeur donnée en préambule (\mu_1 = 7,0 \times 10^{-2}\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}), soit un écart relatif d'environ 43\,\%.

• Plusieurs hypothèses simplificatrices expliquent cette divergence :

  1. Modèle thermique idéalisé : Le profil linéaire T(z) = T_0 + a(z-z_0) avec un gradient constant a = 1,0 \times 10^{-3}\text{ K}\cdot\text{m}^{-1} est une approximation locale. En réalité, le gradient de température dans la stratosphère varie selon l'altitude en raison de l'absorption inhomogène des rayons ultraviolets par la couche d'ozone.
  2. Variabilité atmosphérique réelle : L'atmosphère n'est pas strictement au repos en équilibre hydrostatique statique ; la pression et la température varient fortement selon la latitude, la saison et les conditions météorologiques.
  3. Conditions aux limites : La valeur P_0 = 55\text{ hPa} choisie à z_0 = 20\text{ km} correspond à une atmosphère standard moyenne, qui peut différer des conditions ayant servi à établir la valeur nominale \mu_1.

Système étudié : l'avion SolarStratos, modélisé par son centre de masse de masse M = 450\text{ kg}.

Référentiel d'étude : le référentiel lié au point O fixe à 25,0\text{ km} d'altitude, considéré comme galiléen d'après l'énoncé. On munit ce référentiel de la base orthonormée directe (\vec{e}_x, \vec{e}_y, \vec{e}_z) où \vec{e}_x est horizontal orienté dans le sens du mouvement et \vec{e}_z est vertical ascendant.

Bilan des forces extérieures appliquées à l'avion :

• Le poids de l'avion, vertical et dirigé vers le bas :

  \vec{P} = M\vec{g} = -M g\,\vec{e}_z

• La force de propulsion fournie par le groupe motopropulseur, modélisée par une force unique dirigée vers l'avant selon l'axe horizontal :

  \vec{F} = F\,\vec{e}_x \quad (F > 0)

• La force de traînée, action aérodynamique s'opposant au déplacement dans l'air :

  \vec{R}_x = -R_x\,\vec{e}_x = -\frac{1}{2}\mu_1 C_x v^2 S\,\vec{e}_x

• La force de portance, action aérodynamique perpendiculaire au déplacement, dirigée vers le haut :

  \vec{R}_z = R_z\,\vec{e}_z = \frac{1}{2}\mu_1 C_z v^2 S\,\vec{e}_z

Remarque : La poussée d'Archimède due à l'air ambiant s'écrit \Pi = \mu_1 V_{\text{avion}} g. Compte tenu de la faible masse volumique de l'air à cette altitude (\mu_1 = 7,0 \times 10^{-2}\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}) et du faible volume de l'appareil (quelques mètres cubes), on a \Pi \ll Mg \approx 4,4\text{ kN} : la poussée d'Archimède est légitimement négligée.

D'après les expressions fournies dans l'énoncé, les normes des forces de traînée et de portance s'écrivent :

Le facteur numérique \frac{1}{2} étant sans dimension, l'analyse dimensionnelle donne pour la force de traînée :

En explicitant la dimension de chacune des grandeurs dans le système international (\mathrm{M, L, T}) :

• [R_x] = \mathrm{M}\cdot\mathrm{L}\cdot\mathrm{T}^{-2} (la force est homogène à une masse fois une accélération) ;
• [\mu_1] = \mathrm{M}\cdot\mathrm{L}^{-3} (masse volumique) ;
• [v] = \mathrm{L}\cdot\mathrm{T}^{-1} \implies [v^2] = \mathrm{L}^2\cdot\mathrm{T}^{-2} (vitesse au carré) ;
• [S] = \mathrm{L}^2 (surface).

Il vient alors :

L'expression de la portance R_z étant formellement identique, on obtient de même [C_z] = 1.

Les coefficients de traînée C_x et de portance C_z sont donc des grandeurs adimensionnées (sans dimension).

On applique le principe fondamental de la dynamique à l'avion SolarStratos :

• Système : l'avion, modélisé par un point matériel de masse M = 450\text{ kg} ;
• Référentiel : référentiel lié au sol à l'altitude de 25,0\text{ km}, considéré comme galiléen ;
• Repère : (O, \vec{e}_x, \vec{e}_z), où l'axe (Ox) est horizontal dans le sens de l'avancement et l'axe (Oz) est vertical ascendant.

D'après le bilan des forces établi à la question Q7, les forces appliquées à l'avion sont :

• le poids : \vec{P} = -M g \vec{e}_z ;
• la force de propulsion : \vec{F} = F \vec{e}_x ;
• la traînée aérodynamique : \vec{R}_X = - \frac{1}{2} \mu_1 C_X v^2 S \vec{e}_x ;
• la portance aérodynamique : \vec{R}_Z = \frac{1}{2} \mu_1 C_Z v^2 S \vec{e}_z,

où v = \|\vec{v}\| = \sqrt{v_x^2 + v_z^2} désigne la norme du vecteur vitesse \vec{v} = v_x \vec{e}_x + v_z \vec{e}_z.

La deuxième loi de Newton s'écrit :

En projetant sur les axes \vec{e}_x et \vec{e}_z, on obtient le système d'équations différentielles :

Soit, sous forme normalisée :

Lors du vol de croisière, le mouvement est rectiligne uniforme et s'effectue à altitude constante (vol horizontal dans le plan xOz), ce qui se traduit par :

La vitesse scalaire de l'avion est donc v = v_C.

D'après l'équation différentielle régissant le mouvement selon l'axe vertical ascendant Oz établie à la question Q9 :

La portance équilibre donc exactement le poids de l'avion (R_z = M g) :

On en déduit l'expression de la vitesse de croisière :

Application numérique : Avec les grandeurs fournies :

• M = 450\text{ kg} ;
• g = 9,7\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} (valeur fixée en Q3) ;
• \mu_1 = 7,0 \times 10^{-2}\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} ;
• C_Z = 1,1 ;
• S = 24\text{ m}^2.

En ne conservant que deux chiffres significatifs :

Lors du vol de croisière, le mouvement est rectiligne et uniforme selon l'axe horizontal (Ox) à la vitesse v_C (v_x = v_C et v_z = 0). D'après l'équation différentielle selon l'axe horizontal établie à la question Q9 :

En remplaçant v_C^2 par son expression obtenue à la question Q10, v_C^2 = \dfrac{2 M g}{\mu_1 C_Z S}, il vient :

Application numérique avec M = 450\text{ kg}, g = 9,7\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}, C_X = 2,0 \times 10^{-2} et C_Z = 1,1 :

La force de propulsion \vec{F} = F\vec{e}_x étant colinéaire et de même sens que la vitesse \vec{v}_C = v_C\vec{e}_x, la puissance mécanique développée par cette force est :

Application numérique avec F \approx 79,4\text{ N} et v_C \approx 68,7\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} :

1. Puissance électrique nécessaire :

Le moteur électrique convertit la puissance électrique reçue \mathcal{P}_{\text{élec}} en puissance mécanique de propulsion avec un rendement \eta_m = 90\,\% :

En utilisant la puissance de propulsion obtenue à la question Q11 (\mathcal{P} \approx 5{,}46\text{ kW}) :

2. Surface minimale de panneaux photovoltaïques :

Soit \Pi = 1\,200\text{ W}\cdot\text{m}^{-2} la puissance surfacique lumineuse reçue. Une surface S_{\min} de cellules photovoltaïques de rendement \eta_{\text{pv}} = 24\,\% fournit une puissance électrique :

On en déduit l'expression de la surface minimale nécessaire :

Application numérique :

3. Commentaire :

La surface minimale théorique calculée (S_{\min} \approx 21\text{ m}^2) est très proche de la surface réelle des panneaux équipant l'avion (S_{\text{panneaux}} = 22\text{ m}^2).

En conditions d'ensoleillement maximal (incidence normale), la puissance solaire suffit tout juste à maintenir le vol de croisière. Cependant, cette marge est extrêmement étroite : l'inclinaison des rayons du Soleil par rapport aux ailes, le rendement aérodynamique de l'hélice (non pris en compte ici) et la consommation des instruments de bord requièrent une source d'énergie d'appoint. Cela justifie pleinement la présence des batteries lithium-ion embarquées, indispensables lors de la phase d'ascension et pour sécuriser l'alimentation électrique du vol.

Le domaine de la lumière visible s'étend conventionnellement de \lambda_{\min} \approx 400\text{ nm} (violet) à \lambda_{\max} \approx 800\text{ nm} (rouge).

D'après la relation de Planck-Einstein, l'énergie d'un photon de longueur d'onde \lambda dans le vide est donnée par :

Exprimée en électron-volts, cette énergie s'écrit :

L'énergie étant inversement proportionnelle à la longueur d'onde :

• L'énergie maximale correspond à la plus petite longueur d'onde (\lambda_{\min} = 400\text{ nm}) :

  \begin{aligned} E_{\max} &= \frac{hc}{e\lambda_{\min}} = \frac{6{,}63 \times 10^{-34} \times 3{,}00 \times 10^8}{1{,}60 \times 10^{-19} \times 400 \times 10^{-9}} \approx 3{,}11\text{ eV} \end{aligned}

• L'énergie minimale correspond à la plus grande longueur d'onde (\lambda_{\max} = 800\text{ nm}) :

  \begin{aligned} E_{\min} &= \frac{hc}{e\lambda_{\max}} = \frac{6{,}63 \times 10^{-34} \times 3{,}00 \times 10^8}{1{,}60 \times 10^{-19} \times 800 \times 10^{-9}} \approx 1{,}55\text{ eV} \end{aligned}

Comportement sous éclairement visible :

Pour l'ensemble du domaine visible, l'énergie des photons vérifie :

L'énergie de chaque photon visible est donc strictement supérieure à l'énergie de gap du silicium.

Par conséquent, lorsqu'il est éclairé par de la lumière visible, le silicium absorbe ces photons. Chaque photon absorbé transmet son énergie à un électron de la bande de valence, ce qui :

• fait franchir à cet électron la bande interdite pour passer dans la bande de conduction ;
• laisse dans la bande de valence une place vacante, appelée trou, assimilable à une charge positive +e mobile ;
• crée ainsi des porteurs libres de charge (paires électron-trou), augmentant significativement la conductivité électrique du silicium (phénomène de photoconductivité à la base de l'effet photovoltaïque). Le surplus d'énergie E_{\text{ph}} - E_g est cédé au réseau sous forme d'agitation thermique (thermalisation).

Considérons le volume fixe \mathrm{d}V = S\,\mathrm{d}x compris entre les abscisses x et x + \mathrm{d}x.

Le nombre total d'impuretés contenues dans ce volume à l'instant t s'écrit :

Pendant une durée élémentaire \mathrm{d}t, la variation du nombre d'impuretés dans ce volume s'exprime par :

La diffusion étant unidirectionnelle suivant l'axe (Ox), le vecteur densité de courant de particules s'écrit \vec{\jmath}_d(x, t) = j_d(x, t)\,\vec{e}_x. Le nombre d'impuretés traversant une section normale orientée selon \vec{e}_x par unité de temps est le flux \Phi = j_d(x, t)\,S.

Pendant l'intervalle de temps \mathrm{d}t :

• le nombre d'impuretés entrant par la face en x est \delta N_{\text{entré}} = j_d(x, t)\,S\,\mathrm{d}t ;
• le nombre d'impuretés sortant par la face en x + \mathrm{d}x est \delta N_{\text{sorti}} = j_d(x + \mathrm{d}x, t)\,S\,\mathrm{d}t.

En l'absence de création ou de disparition d'impuretés au sein du réseau cristallin (pas de réaction chimique ni de recombinaison), la conservation de la matière impose :

En simplifiant par le volume élémentaire S\,\mathrm{d}x et par \mathrm{d}t, on obtient l'équation locale de conservation de la matière :

La loi de Fick exprime le vecteur densité de courant volumique de particules en fonction du gradient de concentration. Dans le cas d'une diffusion unidirectionnelle selon l'axe (Ox), elle s'écrit :

où D est le coefficient de diffusion des impuretés dans le semi-conducteur.

D'après le bilan de matière établi à la question précédente (Q14), la conservation du nombre d'impuretés se traduit par la relation locale :

Le semi-conducteur étant supposé homogène et à température uniforme, le coefficient de diffusion D ne dépend pas de la coordonnée spatiale x. En injectant l'expression de la loi de Fick dans l'équation de conservation, on obtient :

soit finalement l'équation de diffusion unidimensionnelle :

1. Détermination de B(t) :

La fonction proposée s'écrit c(x, t) = A(t) \exp\left(-\frac{x^{2}}{B(t)}\right) avec A(t) = \frac{K}{\sqrt{t}}. Calculons les dérivées partielles de c(x, t) :

En évaluant ces dérivées en x = 0 :

En injectant ces expressions dans l'équation de diffusion (1) en x = 0, \left. \frac{\partial c}{\partial t} \right|_{x=0} = D \left. \frac{\partial^2 c}{\partial x^2} \right|_{x=0}, il vient :

Comme A(t) > 0 pour tout t > 0, on simplifie par A(t) :

2. Détermination de K :

Le nombre total d'impuretés par unité de surface introduites à t = 0 est noté N_0. En l'absence de perte ou de réaction pour t > 0, la conservation globale de la matière dans le solide semi-infini (x \ge 0) se traduit par :

En remplaçant c(x,t) et B(t) = 4Dt :

Effectuons le changement de variable u = \frac{x}{\sqrt{4Dt}} = \frac{x}{2\sqrt{Dt}}, d'où \mathrm{d}x = 2\sqrt{Dt}\,\mathrm{d}u :

À l'aide de l'intégrale fournie \int_{0}^{+\infty} e^{-u^2}\,\mathrm{d}u = \frac{\sqrt{\pi}}{2} :

On en déduit :

La concentration s'écrit donc finalement c(x,t) = \frac{N_0}{\sqrt{\pi D t}} \exp\left(-\frac{x^2}{4Dt}\right).

D'après la question Q16, la concentration en impuretés pour x \ge 0 et t > 0 s'écrit :

Pour tracer l'allure de c(x) aux instants t_1 et t_2 > t_1, dégageons les caractéristiques remarquables du profil :

• Valeur en surface (x = 0) :

  c(0, t) = \frac{N_0}{\sqrt{\pi D t}}

  Comme la fonction t \mapsto 1/\sqrt{t} est strictement décroissante, on a :

  c(0, t_2) < c(0, t_1)

• Pente à l'origine (x = 0) :

  \frac{\partial c}{\partial x}(x, t) = -\frac{x}{2Dt}\,c(x, t) \implies \left.\frac{\partial c}{\partial x}\right|_{x=0} = 0

  Chaque profil part donc avec une tangente horizontale en x = 0.

• Étendue de la diffusion : la longueur caractéristique de pénétration des impuretés est de l'ordre de la longueur de diffusion \ell_d(t) = 2\sqrt{Dt}. Elle augmente au cours du temps : à l'instant t_2 > t_1, les impuretés ont diffusé plus profondément dans le silicium.
• Conservation de la matière : l'intégrale \int_0^{+\infty} c(x, t)\,\mathrm{d}x = N_0 est constante. Le profil s'aplatit et s'élargit, de sorte que les deux courbes se coupent nécessairement en un point d'abscisse strictement positive.

D'après la question Q16, la concentration en impuretés à une date t_0 > 0 s'écrit :

La condition traduisant que la concentration en x = \delta vaut la moitié de celle en surface s'écrit :

ce qui conduit à :

Comme la profondeur \delta est une grandeur positive (\delta > 0), on en déduit :

Application numérique :

• D = 3{,}4 \times 10^{-14}\text{ cm}^2\cdot\text{s}^{-1} = 3{,}4 \times 10^{-18}\text{ m}^2\cdot\text{s}^{-1} ;
• t_0 = 1\text{ h} = 3\,600\text{ s} ;
• \ln 2 \approx 0{,}693.

Soit, avec deux chiffres significatifs :

1. Signe des densités volumiques de charge

• Dans la région dopée P (x < 0) : le réseau de silicium comporte des atomes accepteurs (comme le bore). Chaque atome accepteur a capté un électron pour compléter ses liaisons de valence, devenant ainsi un ion fixe chargé négativement, tout en libérant un trou mobile. À la frontière, les trous diffusent vers la région N (gradient de concentration) où ils se recombinent avec les électrons libres. La zone [x_1, 0] se vide donc de ses porteurs libres : il ne subsiste que les charges fixes négatives non compensées des ions accepteurs, d'où :

  \rho_1 < 0

• Dans la région dopée N (x > 0) : le réseau comporte des atomes donneurs (comme le phosphore). Chaque atome donneur a cédé un électron à la bande de conduction, devenant ainsi un ion fixe chargé positivement. Les électrons libres diffusent vers la région P. La zone [0, x_2] se vide de ses électrons libres mobiles : il ne subsiste que les charges fixes positives non compensées des ions donneurs, d'où :

  \rho_2 > 0

2. Neutralité de la zone de déplétion

Considérons une tranche de la jonction de section droite d'aire S perpendiculaire à l'axe (Ox). La charge totale Q contenue dans la zone de déplétion s'écrit :

Le cristal étant globalement neutre et les deux régions étant électriquement neutres hors de la zone de déplétion, la zone de déplétion est elle-même globalement neutre (Q = 0) :

soit :

Le milieu semi-conducteur présente une permittivité diélectrique \varepsilon = \varepsilon_r \varepsilon_0. D'après la donnée mathématique et l'expression admise \vec{E} = E(x)\,\vec{e}_x, l'équation de Maxwell-Gauss s'écrit :

Comme la densité volumique de charge \rho(x) est finie et bornée (absence de charges surfaciques), la composante normale du champ électrique E(x) est continue en tout point x.

1. Pour x < x_1 : L'énoncé indique directement que le champ est nul :

2. Pour x \in [x_1, 0] : La densité de charge est uniforme et vaut \rho(x) = \rho_1. L'intégration donne :

Par continuité en x = x_1, E(x_1) = 0, d'où :

En x = 0, la valeur atteinte est :

Comme \rho_1 < 0 et x_1 < 0, le produit \rho_1 x_1 est strictement positif, donc E(0) < 0.

3. Pour x \in [0, x_2] : La densité de charge est uniforme et vaut \rho(x) = \rho_2. Par intégration :

Par continuité en x = 0, C_2 = E(0) = -\frac{\rho_1 x_1}{\varepsilon_r \varepsilon_0}. D'après la relation de neutralité établie à la question Q19 (\rho_1 x_1 = \rho_2 x_2), on a C_2 = -\frac{\rho_2 x_2}{\varepsilon_r \varepsilon_0}. On en déduit :

En x = x_2, le champ s'annule : E(x_2) = 0.

4. Pour x > x_2 : La zone est neutre (\rho = 0), d'où \frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}x} = 0. Par continuité en x = x_2 :

En résumé, le champ électrique \vec{E}(x) = E(x)\,\vec{e}_x s'exprime par morceaux :