Feuille d'entraînement : Électrostatique

Corrigés

1. Exercice 1Banque PT Physique A PT 2026, Q12

   1. Condition sur les dimensions :

   Les effets de bord peuvent être négligés lorsque l'espacement c entre les électrodes est très inférieur à leurs dimensions caractéristiques a et b :

   \boxed{c \ll a \quad \text{et} \quad c \ll b}

   Ici, c = 1\text{ cm} alors que a = 12\text{ cm} et b = 10\text{ cm}, ce qui assure un rapport de l'ordre de 1/10. Les armatures peuvent donc être modélisées par des plans infinis selon les directions transverses.

   2. Étude des invariances :

   En négligeant les effets de bord, la distribution de charges est invariante par toute translation selon l'axe (Oy) et selon l'axe (Oz). Par conséquent, le potentiel et le champ électrique ne dépendent pas des coordonnées y et z :

   V(x, y, z) = V(x) \quad \text{et} \quad \vec{E}(x, y, z) = \vec{E}(x)

   3. Étude des symétries :

   Considérons un point M(x, y, z) quelconque situé dans l'espace inter-électrodes :

   • Le plan passant par M et de vecteur normal \vec{u}_y (parallèle au plan (Oxz)) est un plan de symétrie de la distribution de charges. Le champ électrique en M est donc contenu dans ce plan, d'où :

     E_y(x) = 0

   • Le plan passant par M et de vecteur normal \vec{u}_z (parallèle au plan (Oxy)) est également un plan de symétrie de la distribution de charges. Le champ électrique en M est donc contenu dans ce plan, d'où :

     E_z(x) = 0

   Le champ électrique n'a donc qu'une composante selon \vec{u}_x.

   On en déduit bien :

   \boxed{\vec{E} = E(x)\vec{u}_x \quad \text{et} \quad V(x, y, z) = V(x)}

   Résultat

   $$c\ll a\text{et}c\ll b$$

   $$\vec{E}=E(x){\vec{u}}_x\text{et}V(x,y,z)=V(x)$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2Banque PT Physique A PT 2026, Q13

   L'équation de Poisson reliant le potentiel électrostatique V à la densité volumique de charge \rho s'écrit :

   \Delta V + \frac{\rho}{\varepsilon} = 0 \quad \text{soit} \quad \Delta V = -\frac{\rho}{\varepsilon}

   où \varepsilon désigne la permittivité diélectrique du milieu considéré (ici le sol).

   D'après le préambule de la sous-partie, le sol reste électriquement neutre, ce qui se traduit par une densité volumique de charge nulle dans l'espace inter-électrodes : \rho = 0. L'équation de Poisson devient alors l'équation de Laplace :

   \Delta V = 0

   D'après l'étude d'invariance menée à la question Q12, le potentiel ne dépend que de la seule coordonnée spatiale x, soit V(x,y,z) = V(x). Le laplacien se réduit donc à sa dérivée seconde spatiale :

   \frac{\mathrm{d}^2 V}{\mathrm{d}x^2} = 0

   En intégrant deux fois successivement par rapport à x, on obtient une fonction affine :

   V(x) = A\,x + B \quad (A, B \in \mathbb{R})

   Les constantes d'intégration se déterminent à l'aide des conditions aux limites établies à la question Q11 :

   • en x = 0 (armature de gauche) : V(0) = V_g = 0 \implies B = 0 ;
   • en x = c (armature de droite) : V(c) = V_d = U \implies A\,c = U \implies A = \dfrac{U}{c}.

   On en déduit l'expression du potentiel dans l'espace inter-électrodes :

   \boxed{V(x) = \frac{U}{c}\,x}

   Résultat

   $$V(x)=\frac{U}{c}x$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3Banque PT Physique A PT 2026, Q15

   Dans le sol assimilé à un conducteur ohmique de conductivité \gamma_{\text{sol}}, la loi d'Ohm locale s'écrit :

   \vec{j} = \gamma_{\text{sol}} \vec{E}

   En utilisant l'expression du champ électrique obtenue à la question Q14, \vec{E} = -\dfrac{U}{c}\vec{u}_x, on a :

   \vec{j} = -\gamma_{\text{sol}} \frac{U}{c}\vec{u}_x

   Le courant circule physiquement dans le sens des potentiels décroissants, soit de l'armature de droite (à potentiel V_d = U) vers l'armature de gauche (à potentiel V_g = 0), c'est-à-dire dans le sens opposé à \vec{u}_x.

   On choisit d'orienter l'intensité I de l'électrode droite vers l'électrode gauche, en définissant le vecteur unitaire normal sortant de la section transverse par \vec{n} = -\vec{u}_x.

   L'intensité totale I traversant une section droite de sol de surface S = ab s'exprime par le flux du vecteur densité de courant :

   \begin{aligned} I &= \iint_{\mathcal{S}} \vec{j} \cdot \vec{n} \, \mathrm{d}S \\ &= \iint_{\mathcal{S}} \left( -\gamma_{\text{sol}} \frac{U}{c}\vec{u}_x \right) \cdot (-\vec{u}_x) \, \mathrm{d}S \\ &= \gamma_{\text{sol}} \frac{U}{c} \iint_{\mathcal{S}} \mathrm{d}S \end{aligned}

   Comme \iint_{\mathcal{S}} \mathrm{d}S = ab, on obtient :

   \boxed{I = \gamma_{\text{sol}} \frac{ab}{c} U}

   Résultat

   $$I={\gamma }_{\text{sol}}\frac{ab}{c}U$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4Banque PT Physique A PT 2025, Q12

   L'équation locale de Maxwell-Gauss relie le champ électrostatique \vec{E} à la distribution volumique de charge \rho en tout point de l'espace :

   \boxed{\mathrm{div}\,\vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}}

   Pour établir la forme intégrale, on considère un volume arbitraire \mathcal{V} délimité par une surface fermée \Sigma, orientée conventionnellement vers l'extérieur par le vecteur surface élémentaire \mathrm{d}\vec{S}.

   En intégrant l'équation de Maxwell-Gauss sur le volume \mathcal{V}, on obtient :

   \iiint_{\mathcal{V}} \mathrm{div}\,\vec{E}\,\mathrm{d}\tau = \iiint_{\mathcal{V}} \frac{\rho}{\varepsilon_0}\,\mathrm{d}\tau

   D'une part, le théorème de Green-Ostrogradsky (théorème de flux-divergence) transforme l'intégrale volumique de la divergence en flux sortant à travers la surface fermée \Sigma :

   \iiint_{\mathcal{V}} \mathrm{div}\,\vec{E}\,\mathrm{d}\tau = \oiint_{\Sigma} \vec{E} \cdot \mathrm{d}\vec{S}

   D'autre part, la charge totale contenue à l'intérieur du volume \mathcal{V} est donnée par :

   Q_{\mathrm{int}} = \iiint_{\mathcal{V}} \rho\,\mathrm{d}\tau

   On en déduit l'expression intégrale du théorème de Gauss :

   \boxed{\oiint_{\Sigma} \vec{E} \cdot \mathrm{d}\vec{S} = \frac{Q_{\mathrm{int}}}{\varepsilon_0}}

   Résultat

   $$\mathrm{div}\vec{E}=\frac{\rho }{{\epsilon }_0}$$

   $$\iint \vec{E}\cdot \mathrm{d}\vec{S}=\frac{Q_{\mathrm{int}}}{{\epsilon }_0}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5Banque PT Physique A PT 2025, Q13

   On repère un point de l'espace par ses coordonnées cartésiennes \mathrm{M}(x,y,z) dans la base orthonormée directe (\vec{u}_x, \vec{u}_y, \vec{u}_z).

   Invariances et dépendance spatiale La distribution de charges est constituée de deux couches planes d'extension infinie selon Oy et Oz, avec des densités volumiques \rho dépendant uniquement de x :

   \rho(x, y, z) = \rho(x)

   La distribution est donc invariante par toute translation selon \vec{u}_y et selon \vec{u}_z. Par conséquent, les composantes du champ électrostatique ne dépendent ni de y ni de z : le champ ne dépend que de l'unique variable spatiale x.

   Symétries et direction du champ Soit \mathrm{M}(x,y,z) un point quelconque de l'espace. Considérons les deux plans passant par \mathrm{M} suivants :

   • le plan \Pi_1 parallèle au plan (xOy), d'équation Z = z ;
   • le plan \Pi_2 parallèle au plan (xOz), d'équation Y = y.

   Comme la densité de charge ne dépend que de la coordonnée x, elle est invariante par réflexion par rapport à \Pi_1 et par rapport à \Pi_2. Ces deux plans sont donc des plans de symétrie de la distribution de charges.

   D'après les propriétés de symétrie du champ électrostatique, le vecteur \vec{E}(\mathrm{M}) est contenu dans tout plan de symétrie passant par \mathrm{M}. Il appartient ainsi à l'intersection de \Pi_1 et \Pi_2, qui est la droite passant par \mathrm{M} dirigée selon \vec{u}_x :

   \vec{E}(\mathrm{M}) \in \Pi_1 \cap \Pi_2 \implies \vec{E}(\mathrm{M}) \parallel \vec{u}_x

   En combinant l'étude des invariances et des symétries, le champ électrostatique s'écrit en tout point \mathrm{M} de l'espace :

   \boxed{\vec{E}(\mathrm{M}) = E(x)\,\vec{u}_x}

   Résultat

   $$\vec{E}(\mathrm{M})=E(x){\vec{u}}_x$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6Banque PT Physique A PT 2024, Q22

   La distribution de charges est modélisée par deux cylindres coaxiaux d'axe (Oz), de rayons a_1 et a_2, de charges respectives +Q et -Q uniformément réparties. On néglige les effets de bord, ce qui revient à considérer des cylindres de longueur infinie selon (Oz).

   Étude des invariances :

   • La distribution de charges est invariante par translation le long de l'axe (Oz) (cylindres infinis) : le champ électrique ne dépend pas de la coordonnée z.
   • La distribution est invariante par rotation d'un angle quelconque autour de l'axe (Oz) (symétrie axiale) : le champ électrique ne dépend pas de la coordonnée \theta.

   En coordonnées cylindriques, les composantes du champ électrique ne dépendent donc que de la distance axiale r :

   \vec{E}(M) = E_r(r)\,\vec{e}_r + E_\theta(r)\,\vec{e}_\theta + E_z(r)\,\vec{e}_z

   Étude des symétries : Considérons un point M(r,\theta,z) situé entre les deux armatures :

   • Le plan méridien \Pi_1 = (M, \vec{e}_r, \vec{e}_z), qui contient l'axe (Oz), est un plan de symétrie de la distribution de charges. Le champ électrique étant un vecteur polaire, il appartient à tout plan de symétrie passant par M. Donc :

     \vec{E}(M) \in \Pi_1 \implies E_\theta(r) = 0

   • Le plan transversal \Pi_2 = (M, \vec{e}_r, \vec{e}_\theta), orthogonal à l'axe (Oz), est également un plan de symétrie de la distribution de charges infinie. Par conséquent :

     \vec{E}(M) \in \Pi_2 \implies E_z(r) = 0

   Le champ électrique est donc dirigé suivant l'intersection de ces deux plans de symétrie, soit la droite (M, \vec{e}_r). En notant E(r) = E_r(r), on obtient bien :

   \boxed{\vec{E}(M) = E(r)\,\vec{e}_r}

   Résultat

   $$\vec{E}(M)=E(r){\vec{e}}_r$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

7. Exercice 7Banque PT Physique A PT 2024, Q23

   On choisit comme surface de Gauss fermée \mathcal{S} un cylindre d'axe (Oz), de rayon r tel que a_1 < r < a_2, et d'une hauteur arbitraire L (avec L \leqslant H).

   Cette surface fermée est constituée de trois parties :

   • la surface latérale \mathcal{S}_{\text{lat}} de vecteur surface élémentaire \mathrm{d}\vec{S} = r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}z\,\vec{e}_r ;
   • les deux bases planes \mathcal{S}_{\text{sup}} et \mathcal{S}_{\text{inf}} perpendiculaires à l'axe (Oz), orientées selon +\vec{e}_z et -\vec{e}_z.

   D'après la question Q22, le champ électrique s'écrit \vec{E}(M) = E(r)\vec{e}_r. Le flux total du champ électrique à travers la surface fermée \mathcal{S} s'exprime donc :

   \begin{aligned} \Phi &= \iint_{\mathcal{S}} \vec{E} \cdot \mathrm{d}\vec{S} \\ &= \iint_{\mathcal{S}_{\text{lat}}} E(r) \vec{e}_r \cdot (r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}z\,\vec{e}_r) + \iint_{\mathcal{S}_{\text{sup}}} \underbrace{\vec{E} \cdot \vec{e}_z}_{= 0} \,\mathrm{d}S + \iint_{\mathcal{S}_{\text{inf}}} \underbrace{\vec{E} \cdot (-\vec{e}_z)}_{= 0} \,\mathrm{d}S \\ &= E(r) \iint_{\mathcal{S}_{\text{lat}}} r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}z \\ &= E(r) \times (2\pi r L) \end{aligned}

   Comme les effets de bord sont négligés, la charge superficielle est répartie uniformément sur l'armature intérieure de rayon a_1 et de hauteur H. La densité linéique de charge portée par cette armature est :

   \lambda = \frac{Q}{H}

   La charge contenue à l'intérieur de la surface de Gauss (qui n'englobe que la portion de longueur L de l'armature intérieure) s'écrit donc :

   Q_{\text{int}} = \lambda L = \frac{Q L}{H}

   D'après le théorème de Gauss dans le vide (l'air étant assimilé au vide) :

   \Phi = \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0} \iff 2\pi r L E(r) = \frac{Q L}{\varepsilon_0 H}

   On en déduit l'expression de E(r) entre les deux armatures :

   \boxed{E(r) = \frac{Q}{2\pi \varepsilon_0 H r}}

   Résultat

   $$E(r)=\frac{Q}{2\pi {\epsilon }_{0}Hr}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

8. Exercice 8Banque PT Physique A PT 2024, Q25

   La relation entre le champ électrostatique \vec{E} et le potentiel scalaire V s'écrit localement :

   \vec{E} = -\vec{\nabla} V = -\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}r}\,\vec{e}_r

   d'où :

   \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}r} = -E(r).

   La différence de potentiel V_1 - V_2 = V(a_1) - V(a_2) entre les deux armatures s'obtient par intégration en utilisant l'expression de E(r) établie à la question Q23 :

   \begin{aligned} V_1 - V_2 &= -\int_{a_1}^{a_2} \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}r}\,\mathrm{d}r \\ &= \int_{a_1}^{a_2} E(r)\,\mathrm{d}r \\ &= \int_{a_1}^{a_2} \frac{Q}{2\pi \varepsilon_0 H r}\,\mathrm{d}r \\ &= \frac{Q}{2\pi \varepsilon_0 H}\,\ln\left(\frac{a_2}{a_1}\right). \end{aligned}

   Comme a_2 > a_1, on a bien V_1 - V_2 > 0, en accord avec V_1 > V_2.

   En réinjectant cette expression dans la définition de la capacité C_0 établie à la question Q24, on en déduit :

   C_0 = \frac{Q}{V_1 - V_2} = \frac{Q}{\dfrac{Q}{2\pi \varepsilon_0 H}\,\ln\left(\dfrac{a_2}{a_1}\right)},

   soit finalement :

   \boxed{C_0 = \frac{2\pi \varepsilon_0 H}{\ln\left(\dfrac{a_2}{a_1}\right)}}

   Résultat

   $$C_0=\frac{2\pi {\epsilon }_{0}H}{\ln \left(\frac{a_2}{a_1}\right)}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

9. Exercice 9Banque PT Physique A PT 2021, Q1

   Soit un point M extérieur à la Terre, repéré par ses coordonnées sphériques (r, \theta, \varphi) associées à la base orthonormée locale (\vec{u}_r, \vec{u}_\theta, \vec{u}_\varphi) d'origine O, centre de la Terre.

   1. Symétries et invariances

   • Invariances : La Terre étant modélisée par une sphère de centre O et de masse volumique \rho uniforme, la distribution de masse présente une symétrie sphérique. Elle est donc invariante par toute rotation autour de O, ce qui implique l'indépendance vis-à-vis des angles \theta et \varphi. Le champ ne dépend que de la distance radiale r :

     \vec{\mathcal{G}}(M) = \vec{\mathcal{G}}(r)

   • Symétries : Tout plan contenant l'axe (OM) est un plan de symétrie matérielle pour la distribution sphérique. Le champ de gravitation (champ de vecteurs polaires) appartient à l'intersection de tous ces plans de symétrie, c'est-à-dire à la droite (OM). Le champ est donc purement radial :

     \vec{\mathcal{G}}(M) = \mathcal{G}(r) \, \vec{u}_r

   2. Théorème de Gauss gravitationnel Par analogie avec l'électrostatique (\mathrm{div}\,\vec{\mathcal{G}} = -4\pi G \rho), le flux sortant du champ de gravitation à travers une surface fermée \Sigma orientée vers l'extérieur s'écrit :

   \oiint_\Sigma \vec{\mathcal{G}} \cdot \mathrm{d}\vec{S} = -4\pi G M_{\mathrm{int}}

   On choisit comme surface de Gauss la sphère \Sigma de centre O et de rayon r > R_T (où R_T est le rayon de la Terre). L'élément de surface orienté vers l'extérieur est \mathrm{d}\vec{S} = \mathrm{d}S\,\vec{u}_r. Le flux à travers \Sigma vaut :

   \begin{aligned} \Phi &= \oiint_\Sigma \mathcal{G}(r)\,\vec{u}_r \cdot (\mathrm{d}S\,\vec{u}_r) \\ &= \mathcal{G}(r) \oiint_\Sigma \mathrm{d}S \\ &= \mathcal{G}(r) \times 4\pi r^2 \end{aligned}

   Comme le point M est à l'extérieur de la Terre (r > R_T), la masse intérieure à la surface de Gauss est la masse totale de la Terre : M_{\mathrm{int}} = M_T. On en déduit :

   \begin{aligned} 4\pi r^2 \mathcal{G}(r) &= -4\pi G M_T \\ \mathcal{G}(r) &= -\frac{G M_T}{r^2} \end{aligned}

   Le champ de gravitation à l'extérieur de la Terre s'écrit donc :

   \boxed{\vec{\mathcal{G}}(r) = -\frac{G M_T}{r^2} \, \vec{u}_r}

   Résultat

   $$\vec{\mathcal{G}}(r)=-\frac{G{M}_T}{r^2}{\vec{u}}_r$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

10. Exercice 10Banque PT Physique A PT 2020, Q2

    Le théorème de Gauss en électrostatique s'énonce ainsi :

    Le flux du champ électrostatique \vec{E} à travers une surface fermée \Sigma orientée vers l'extérieur est égal à la charge électrique totale algébrique Q_{\text{int}} contenue à l'intérieur du volume délimité par \Sigma, divisée par la permittivité diélectrique du vide \varepsilon_0 :

    \boxed{\Phi = \oiint_{\Sigma} \vec{E} \cdot \mathrm{d}\vec{S}_{\text{ext}} = \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0}}

    où :

    • \Sigma est une surface fermée fictive (surface de Gauss) ;
    • \mathrm{d}\vec{S}_{\text{ext}} = \vec{n}_{\text{ext}}\,\mathrm{d}S est le vecteur surface élémentaire orienté vers l'extérieur de la surface fermée ;
    • Q_{\text{int}} = \iiint_{\mathcal{V}} \rho\,\mathrm{d}\tau est la charge intérieure au volume \mathcal{V} délimité par \Sigma.

    Sous forme locale, il correspond à l'équation de Maxwell-Gauss :

    \operatorname{div}\vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}

    Résultat

    $$\Phi =\iint \vec{E}\cdot \mathrm{d}{\vec{S}}_{\text{ext}}=\frac{Q_{\text{int}}}{{\epsilon }_0}$$

    Indice, stratégie et pièges de cette question