Corrigé détaillé X ENS Physique PSI 2020

Pour un matériau homogène de masse volumique \rho, fixer la masse m équivaut à fixer le volume V = \frac{m}{\rho}.

D'après le théorème isopérimétrique dans l'espace tridimensionnel, à volume donné, la forme géométrique qui minimise l'aire de la surface extérieure est la sphère.

Sur le plan pratique, une forme sphérique présente des inconvénients majeurs pour un étalon de mesure :

• elle est instable et roule très facilement sur un plateau de balance ou un support plan ;
• elle est difficile à préempter, à manipuler et à usiner avec précision sans risquer de l'endommager ou d'introduire des impuretés.

C'est pourquoi on lui préfère en métrologie un cylindre droit à base circulaire, stable lorsqu'il repose sur sa base.

Pour un cylindre droit à base circulaire de hauteur h et de diamètre D, le volume s'écrit :

La surface extérieure totale comprend les deux bases de section circulaire et la paroi latérale :

Le volume V étant fixé, on exprime la hauteur sous la forme :

En injectant cette relation dans l'expression de la surface extérieure, on obtient :

La fonction S_{\text{ext}}(D) est continue et dérivable sur ]0, +\infty[. Sa dérivée par rapport à D vaut :

La surface extérieure est extrémale lorsque cette dérivée s'annule :

En remplaçant V par son expression en fonction de D et h :

Comme D \neq 0, on en déduit :

La dérivée seconde vérifie \dfrac{\mathrm{d}^2S_{\text{ext}}}{\mathrm{d}D^2} = \pi + \dfrac{8V}{D^3} > 0, ce qui garantit qu'il s'agit bien d'un minimum absolu.

Le matériau étant homogène de masse volumique \rho_{\text{Pt-Ir}}, le volume de l'étalon de masse m = 1\text{ kg} est donné par :

L'application numérique donne directement :

D'après le résultat de la question Q2, la surface extérieure est minimale lorsque la hauteur est égale au diamètre :

Le volume d'un tel cylindre s'exprime donc sous la forme :

Avec V = 5 \times 10^{-5}\text{ m}^3 et en prenant \frac{4}{\pi} \simeq 1{,}2 (soit \frac{20}{\pi} \simeq 6{,}3 \approx 6) :

À l'aide des valeurs approchées fournies (6^{1/3} \simeq 2 et 10^{-5/3} \simeq 0{,}02) :

Comme h = D, on a également h \simeq 4\text{ cm}.

La masse de l'étalon cylindrique s'écrit en fonction de son volume V = \dfrac{\pi D^2 h}{4} :

Puisque la condition h = D est vérifiée pour ces étalons (d'après les questions Q2 et Q3), le volume s'écrit V = \dfrac{\pi D^3}{4} = \dfrac{\pi h^3}{4}.

Par différentiation logarithmique à masse volumique constante :

Pour une variation finie \Delta m_1, la variation relative de h ou D nécessaire s'exprime donc par :

Remarque : si l'on considérait une variation d'une seule des deux dimensions à l'autre fixée, on obtiendrait \dfrac{\Delta h}{h} = \dfrac{\Delta m_1}{m} ou \dfrac{\Delta D}{D} = \dfrac{1}{2}\dfrac{\Delta m_1}{m}.

Avec m = 1\text{ kg} et \Delta m_1 = 10\ \mu\text{g} = 10 \times 10^{-9}\text{ kg} = 1{,}0 \times 10^{-8}\text{ kg} :

On en déduit numériquement :

(ou entre 5 \times 10^{-9} et 10^{-8} si l'on ne fait varier qu'une seule dimension).

Conclusion pour de tels étalons : Avec D \simeq 4\text{ cm} = 4 \times 10^{-2}\text{ m} (d'après Q3), la variation absolue de dimension correspondante est :

Cette valeur est de l'ordre de grandeur du rayon d'un atome, soit l'épaisseur d'une fraction de monocouche atomique.

On en conclut que :

• Les étalons matériels sont extrêmement vulnérables à l'environnement : le simple dépôt par adsorption de quelques monocouches de gaz ou de polluants, ou un frottement minime lors des manipulations, modifie leur masse de plusieurs dizaines de microgrammes (comme observé sur la figure 1 au fil des décennies).
• Un artefact matériel ne peut donc pas assurer la reproductibilité et la pérennité requises pour la métrologie de haute précision, ce qui justifie la redéfinition du kilogramme à partir d'une constante fondamentale de la physique (h).

Dans l'air au repos soumis au champ de pesanteur uniforme \vec{g}_0, la résultante des forces de pression exercées sur un corps de volume V totalement immergé est la poussée d'Archimède :

Cette force est verticale, dirigée vers le haut (à l'opposé du champ de pesanteur), et a pour norme \Pi = \rho_{\text{air}} V g_0.

À l'équilibre mécanique de l'étalon sur une balance dans le référentiel terrestre supposé galiléen, la force de soutien \vec{R} exercée par le plateau compense le poids et la poussée d'Archimède :

Le poids apparent mesuré par la balance est donc :

avec une masse apparente m_{\text{app}} = m - \rho_{\text{air}}V < m.

La poussée d'Archimède s'opposant au poids, elle contribue donc à diminuer la masse apparente de l'étalon.

Dans l'air, le poids apparent correspond à la résultante des forces volumiques et de surface exercées sur l'étalon :

En l'absence de poussée d'Archimède (dans le vide), pour exercer la même force sur un dispositif de pesée, il faudrait une masse égale à la masse apparente m_{\text{app}} = m - \rho_{\text{air}}V.

La variation de masse apparente \Delta m_2, prise en valeur absolue, s'exprime donc par :

En utilisant le volume V = \dfrac{m}{\rho_{\text{Pt-Ir}}} établi à la question Q3, on obtient :

(a) Détermination de \Delta m_2 pour l'étalon en platine iridié

D'après le modèle du gaz parfait appliqué à l'air sec :

On en déduit l'expression de la masse volumique de l'air :

La constante des gaz parfaits vaut :

L'application numérique donne :

En utilisant le volume V = 5 \times 10^{-5}\text{ m}^3 obtenu à la question Q3 et l'expression établie à la question Q6, on calcule \Delta m_2 :

Commentaire : La correction de poussée d'Archimède (\Delta m_2 \simeq 60\text{ mg} = 60\,000\ \mu\text{g}) est colossale devant les incertitudes métrologiques recherchées et les dérives observées sur la figure 1 (de l'ordre de quelques dizaines de microgrammes sur un siècle). Cet effet systématique ne peut absolument pas être négligé lors des comparaisons de masses dans l'air.

(b) Variation relative de la masse volumique de l'air

Le volume de l'étalon étant constant, une variation \delta \rho_{\text{air}} de la masse volumique de l'air entraîne une variation \delta(\Delta m_2) donnée par :

La variation relative en valeur absolue s'écrit donc simplement :

Pour \delta(\Delta m_2) = 10\ \mu\text{g} = 10 \times 10^{-6}\text{ g} et \Delta m_2 = 60\text{ mg} = 60 \times 10^{-3}\text{ g} :

À l'équilibre thermodynamique à la température uniforme T_0, en présence d'un potentiel extérieur d'énergie W_{\text{ad}}(z) et en l'absence d'interactions mutuelles entre particules, la densité volumique de particules n(z) suit la loi de distribution de Boltzmann :

Le gaz étant localement assimilé à un gaz parfait, la pression locale vérifie p(z) = n(z)k_{\text{B}}T_0, et en z = +\infty, où W_{\text{ad}}(+\infty) = 0, on a p(+\infty) = n(+\infty)k_{\text{B}}T_0. Il s'ensuit que :

En substituant l'expression de l'énergie d'interaction W_{\text{ad}}(z) = -\dfrac{K_{\text{ad}}}{z^3}, on obtient :

D'après le résultat de la question 8, la pression du gaz à la distance z > 0 de la paroi s'écrit :

Puisque la constante d'adsorption K_{\text{ad}} et la température T_0 sont strictement positives, l'exposant tend vers +\infty lorsque z tend vers 0 par valeurs supérieures :

On en déduit immédiatement la limite de la pression :

D'un point de vue thermodynamique, à la température T_0, un gaz ne peut exister à l'équilibre sous forme de vapeur stable à une pression strictement supérieure à sa pression de vapeur saturante p_{\text{s}}(T_0).

Lorsque p(z) dépasse p_{\text{s}}(T_0), la vapeur se trouve dans un état sursaturé métastable ou instable : il se produit un changement d'état, à savoir la liquéfaction (ou condensation) du gaz. Le fluide se dépose alors sous forme d'une phase liquide à la surface de la paroi.

D'après la question précédente, le profil théorique de pression est :

Pour z > 0, la fonction z \mapsto p(z) est continue et strictement décroissante :

• en z \to 0^+, p(z) \to +\infty ;
• en z \to +\infty, p(z) \to p(+\infty) < p_{\text{s}}(T_0).

Par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe une cote unique z = d_{\text{liq}} où la pression atteint la pression de vapeur saturante p_{\text{s}}(T_0).

Pour tout z \in [0, d_{\text{liq}}], la pression théorique dépasserait p_{\text{s}}(T_0) : le gaz se condense donc à l'état liquide sur la paroi, formant un film liquide d'épaisseur d_{\text{liq}}.

La cote d_{\text{liq}} est définie par la condition à la frontière liquide-vapeur :

En prenant le logarithme népérien :

On en déduit l'expression de l'épaisseur de la couche liquide :

(a) Valeur numérique de d_{\text{liq}} et commentaire

D'après le résultat de la question Q10, l'épaisseur de la couche adsorbée s'écrit :

Le rapport des pressions vaut :

L'aide numérique fournie donne \ln 3 \simeq 1.

Au dénominateur sous la racine cubique :

Le terme sous la racine cubique vaut donc :

En utilisant l'aide numérique 10^{-28/3} \simeq 5 \times 10^{-10} et le fait que (0{,}72)^{1/3} \simeq 0{,}9 \approx 1 :

Commentaire : Cette épaisseur est de l'ordre de grandeur nanométrique (quelques angströms), ce qui correspond typiquement à une ou deux monocouches moléculaires adsorbées à la surface de l'étalon (le diamètre d'une molécule d'eau étant d'environ 0{,}3\text{ nm}).

(b) Masse excédentaire \Delta m_4 adsorbée

L'épaisseur d_{\text{liq}} étant infime devant les dimensions macroscopiques du cylindre, le volume de la couche liquide s'exprime simplement par V_{\text{liq}} = S_{\text{ext}} \, d_{\text{liq}}. La masse excédentaire associée est donc :

Avec \rho_{\text{liq}} = 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}, S_{\text{ext}} = 70\text{ cm}^2 = 7{,}0 \times 10^{-3}\text{ m}^2 et d_{\text{liq}} \simeq 5 \times 10^{-10}\text{ m} :

Les trois effets étudiés précédemment présentent des caractéristiques très différentes :

• La poussée d'Archimède représente l'effet de plus grande amplitude absolue (\Delta m_2 \simeq 60\text{ mg}, soit plusieurs dizaines de milliers de microgrammes). Cependant, c'est un effet facilement corrigeable :

  • En mesurant avec précision la pression p, la température T et le taux d'humidité de l'air de la salle de pesée, la masse volumique de l'air \rho_{\text{air}} est connue avec une excellente précision, ce qui permet de retrancher par calcul la poussée d'Archimède subie par l'étalon de volume V.
  • On peut également procéder à des pesées sous vide ou utiliser une masse de référence de volume quasi identique (pesée par double pesée ou substitution).

• L'adsorption superficielle induit des variations de masse \Delta m_4 \sim \text{quelques }\mu\text{g} à plusieurs dizaines de microgrammes. Contrairement à la poussée d'Archimède, cet effet contribue le plus à l'incertitude de mesure et à la dérive temporelle des étalons :

  • La quantité adsorbée dépend fortement de l'humidité relative, des polluants atmosphériques (composés organiques volatils), de la rugosité microscopique réelle (surface effective bien supérieure à la surface géométrique) et de l'histoire thermique de la pièce.
  • Les procédures de nettoyage au solvant ou par traitement thermique éliminent une partie de cette couche adsorbée, mais modifient l'état de surface de manière difficilement reproductible et peuvent arracher des atomes du matériau.
• L'altération géométrique / l'usure mécanique : comme calculé à la question 4, la perte ou l'ajout d'une couche monoatomique (\Delta D \sim 0{,}13\text{ nm}) entraîne une variation de 10\ \mu\text{g}. Les frottements lors des manipulations ou le nettoyage introduisent donc une incertitude irréversible.

En conclusion :

• L'effet facilement corrigé est la poussée d'Archimède.
• Les effets qui contribuent le plus à l'incertitude résiduelle sont l'adsorption de surface et l'usure/pollution superficielle.

Dans le référentiel d'étude supposé galiléen, appliquons le principe fondamental de la dynamique à un électron de charge q = -e et de masse effective m^*, animé d'une vitesse \vec{v} = v_x \vec{e}_x + v_y \vec{e}_y dans le plan (\mathrm{O}xy) :

En régime permanent, la vitesse moyenne est constante, soit \frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t} = \vec{0} :

La densité surfacique de courant associée au gaz bidimensionnel d'électrons s'écrit :

En substituant cette relation dans l'équation du mouvement permanent, on obtient :

En multipliant par \frac{e N_{\text{s}}\tau}{m^*} et en introduisant la conductivité \sigma_0 = \frac{N_{\text{s}}e^2\tau}{m^*} et la pulsation cyclotron \omega_{\text{c}} = \frac{e B_0}{m^*} avec \vec{B}_0 = B_0 \vec{e}_z :

Puisque \vec{j}_{\text{S}} \wedge \vec{e}_z = (j_{\text{S}x}\vec{e}_x + j_{\text{S}y}\vec{e}_y)\wedge \vec{e}_z = j_{\text{S}y}\vec{e}_x - j_{\text{S}x}\vec{e}_y, la projection sur les axes \mathrm{O}x et \mathrm{O}y donne :

Le déterminant de la matrice 2 \times 2 vaut \det = 1 + (\omega_{\text{c}}\tau)^2 \neq 0. En inversant cette matrice, il vient :

Cette relation s'identifie bien à la forme matricielle demandée \begin{pmatrix} j_{\text{S}x} \\ j_{\text{S}y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} \\ \sigma_{yx} & \sigma_{yy} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} E_x \\ E_y \end{pmatrix} avec :

D'après la relation matricielle établie à la question précédente (Q13) :

En l'absence de champ magnétique extérieur (\vec{\mathrm{B}}_0 = \vec{0}, soit \omega_{\mathrm{c}} = 0), la matrice de conductivité devient diagonale proportionnelle à l'identité, et la loi d'Ohm locale surfacique s'écrit :

Ainsi, \sigma_0 représente la conductivité électrique surfacique (ou bidimensionnelle) du gaz d'électrons en champ magnétique nul, selon le modèle de Drude.

L'origine de la tension transversale V_{\text{H}} s'explique par les mécanismes microscopiques suivants :

• Déflexion magnétique : Les électrons de conduction, de charge q = -e, animés d'une vitesse moyenne d'entraînement longitudinale \vec{v} = v_x \vec{e}_x (avec v_x < 0 pour un courant orienté selon +\vec{e}_x), subissent sous l'action du champ magnétique \vec{B}_0 = B_0 \vec{e}_z une force de Lorentz magnétique :

  \vec{F}_{\text{m}} = q\,\vec{v} \times \vec{B}_0 = (-e)(v_x \vec{e}_x) \times (B_0 \vec{e}_z) = e v_x B_0 \,\vec{e}_y

  Comme v_x < 0, cette force est dirigée selon -\vec{e}_y et dévie les électrons vers le bord inférieur.

• Accumulation de charges et champ de Hall : Cette déviation entraîne une accumulation d'électrons sur la face inférieure et un défaut d'électrons (charges positives nettes non compensées du réseau) sur la face supérieure. Cette séparation de charges génère un champ électrique transverse dit champ de Hall \vec{E}_{\text{H}} = E_y \vec{e}_y (orienté vers les y décroissants, soit E_y < 0).

• Établissement du régime permanent : L'apparition de ce champ engendre une force électrostatique \vec{F}_{\text{e}} = -e \vec{E}_{\text{H}} qui s'oppose à la force magnétique. En régime stationnaire, la composante transverse du courant s'annule (j_{\text{S}y} = 0), ce qui correspond à la compensation moyenne des forces transverses :

  \vec{F}_{\text{e}} + \vec{F}_{\text{m}} = \vec{0}

• Tension de Hall : La circulation de ce champ électrique transverse \vec{E}_{\text{H}} entre les deux faces latérales opposées de la sonde produit une différence de potentiel mesurable, la tension de Hall V_{\text{H}} :

  \boxed{V_{\text{H}} = -\int_{\text{face 1}}^{\text{face 2}} \vec{E}_{\text{H}} \cdot \mathrm{d}\vec{\ell}}

1. Définition de l'impédance d'entrée

L'impédance d'entrée Z_e d'un appareil de mesure (ou d'un quadripôle récepteur) est définie par le rapport, en régime sinusoïdal, entre la tension appliquée à ses bornes d'entrée et le courant qui y pénètre :

En régime continu, cette impédance est purement résistive et correspond à la résistance d'entrée :

2. Nécessité d'une impédance d'entrée très grande

Un voltmètre se branche toujours en dérivation (en parallèle) entre les deux points dont on souhaite mesurer la différence de potentiel. Deux raisons imposent que son impédance d'entrée soit la plus élevée possible :

• Non-perturbation du circuit (absence d'effet de charge) : le courant prélevé par l'appareil est I_e = \frac{U_e}{Z_e}. Pour que l'insertion du voltmètre ne modifie pas le fonctionnement du système, ce courant doit être rigoureusement négligeable devant les courants circulant dans le dipôle étudié, ce qui exige Z_e \gg R_{\text{Th}}, où R_{\text{Th}} est la résistance équivalente de Thévenin entre les deux bornes de mesure.
• Mesure de la tension de Hall en circuit ouvert : la tension de Hall V_{\mathrm{H}} n'atteint sa valeur d'équilibre que si la densité de courant transverse s'annule strictement (j_{\mathrm{S}y} = 0). Si l'impédance d'entrée était finie, un courant transverse non nul circulerait à travers le voltmètre, limitant l'accumulation de charges sur les flancs latéraux ; le champ électrique transverse E_y ne compenserait alors plus totalement la force de Lorentz magnétique, et la tension mesurée serait inférieure à la tension de Hall théorique à vide.

Le voltmètre d'impédance d'entrée infinie branché selon la direction transversale Oy n'absorbe aucun courant. Le régime permanent implique donc une densité surfacique de courant strictement longitudinale :

D'après le principe fondamental de la dynamique projeté sur l'axe Oy établi à la question Q13, les composantes de la densité surfacique de courant vérifient :

En injectant la condition j_{\text{S}y} = 0, on obtient directement :

Ce que l'on peut également retrouver en inversant le système matriciel \vec{j}_{\text{S}} = \underline{\underline{\sigma}} \, \vec{E} obtenu à la question Q13 :

puis en réinjectant dans j_{\text{S}x} :

On en déduit la relation d'effet Hall :

ou de manière équivalente :

Le courant total I circulant selon \vec{e}_x traverse un segment de longueur L selon la direction \vec{e}_y. Le champ de courant étant uniforme dans le plan :

D'autre part, la tension transversale de Hall V_{\mathrm{H}} mesurée entre les deux bords opposés selon l'axe Oy, distants de L, est reliée au champ électrique uniforme E_y par circulation du champ électrostatique :

avec la convention habituelle où la borne positive du voltmètre se trouve au potentiel le plus élevé (en y = L).

D'après le résultat de la question Q17, le champ de Hall s'écrit :

On en déduit l'expression de la tension de Hall :

La résistance de Hall R_{\mathrm{H}} = V_{\mathrm{H}}/I s'écrit donc :

Le courant total I circulant selon l'axe Ox à travers la section transverse de largeur L (selon Oy) du gaz d'électrons bidimensionnel s'exprime par :

D'après le résultat de la question Q18, la tension de Hall s'écrit en fonction du champ magnétique B :

Par définition, la sensibilité de la sonde de Hall est la dérivée de la tension mesurée par rapport au champ magnétique :

On en déduit immédiatement :

D'après l'expression établie à la question Q19, la sensibilité de la sonde de Hall s'écrit :

Les grandeurs numériques fournies par l'énoncé sont :

• j_{\text{S}} = 200\text{ A}\cdot\text{m}^{-1} ;
• L = 5\ \mu\text{m} = 5 \times 10^{-6}\text{ m} ;
• N_{\text{s}} = 8 \times 10^{15}\text{ m}^{-2} ;
• e = 1{,}60 \times 10^{-19}\text{ C}.

On calcule séparément le numérateur et le dénominateur :

On en déduit :

La sensibilité de la sonde relie une variation de champ magnétique \delta B à la variation de tension de Hall mesurée \delta V_{\text{H}} selon :

Le champ magnétique minimal détectable B_{\min} correspond à la plus petite variation de tension mesurable par le voltmètre, soit \delta V_{\text{H},\min} = 1\text{ nV} :

En reprenant l'expression de la sensibilité issue des questions Q19 et Q20, s = \frac{1}{1{,}28}\text{ V}\cdot\text{T}^{-1} \simeq 0{,}78\text{ V}\cdot\text{T}^{-1}, le calcul conduit directement à :

Soit, avec deux chiffres significatifs :

Dans un milieu matériel présentant une aimantation \vec{M} (moment magnétique volumique), le vecteur excitation magnétique \vec{H} est défini par la relation fondamentale :

où :

• \vec{B} est le champ magnétique (en teslas, \text{T}) ;
• \mu_0 est la perméabilité magnétique du vide (\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\text{ H}\cdot\text{m}^{-1}) ;
• \vec{M} est le vecteur aimantation du milieu (en \text{A}\cdot\text{m}^{-1}) ;
• \vec{H} s'exprime en ampères par mètre (\text{A}\cdot\text{m}^{-1}).

1. Définition de l'ARQS magnétique

L'approximation des régimes quasi-stationnaires (ARQS) est valide lorsque la dimension caractéristique D du système étudié est très petite devant la longueur d'onde \lambda = c/f associée à la fréquence f des signaux, ou de façon équivalente lorsque le temps de propagation de l'onde électromagnétique est négligeable devant la période T des grandeurs variables :

Dans le cadre de l'ARQS magnétique (qui s'applique aux conducteurs et circuits magnétiques où les courants de conduction dominent largement les effets capacitifs) :

• Le courant de déplacement de Maxwell est négligé devant la densité de courant de conduction des charges libres :

  \left\| \frac{\partial \vec{D}}{\partial t} \right\| \ll \|\vec{j}\|
• Le terme d'induction temporelle -\dfrac{\partial \vec{B}}{\partial t} dans l'équation de Maxwell-Faraday est en revanche conservé, ce qui permet de rendre compte des phénomènes d'induction (loi de Faraday, f.é.m. induite, courants de Foucault).

2. Équations de Maxwell dans l'ARQS magnétique

En présence de matière et de charges/courants libres de densités \rho et \vec{j}, les équations de Maxwell s'écrivent :

Un milieu ferromagnétique est dit doux lorsqu'il possède un cycle d'hystérésis très étroit :

• son champ coercitif H_{\mathrm{c}} est très faible (typiquement H_{\mathrm{c}} \lesssim 100\text{ A}\cdot\text{m}^{-1}), ce qui signifie qu'il s'aimante et se désaimante très facilement ;
• l'aire du cycle d'hystérésis étant très petite, l'énergie dissipée sous forme thermique par cycle (pertes par hystérésis) est minime ;
• sa perméabilité magnétique relative \mu_{\mathrm{r}} est très grande devant 1.

L'ordre de grandeur de la perméabilité relative \mu_{\mathrm{r}} se situe typiquement entre 10^3 et 10^5. Selon le milieu choisi :

• pour le fer doux ou un alliage fer-silicium (utilisé dans les tôles de transformateurs et machines électriques) :

  \boxed{\mu_{\mathrm{r}} \sim 10^3 \text{ à } 5\times 10^3}

• pour le permalloy ou le mu-métal (alliages fer-nickel utilisés notamment pour le blindage magnétique) :

  \mu_{\mathrm{r}} \sim 2\times 10^4 \text{ à } 10^5

L'approximation linéaire des milieux ferromagnétiques doux repose sur deux simplifications physiques majeures :

1. Négligence de l'hystérésis : le matériau étant doux, son cycle d'hystérésis est très étroit (champ coercitif H_{\mathrm{c}} \approx 0 et aimantation rémanente quasi-nulle). On assimile le cycle à une caractéristique unique et réversible passant par l'origine ;

2. Linéarisation avant saturation : en régime de fonctionnement sous excitation modérée, loin du seuil de saturation magnétique (B_{\mathrm{f}} \ll B_{\mathrm{sat}}), la courbe d'aimantation est assimilée à sa tangente à l'origine. L'aimantation \vec{M}_{\mathrm{f}} est alors directement proportionnelle à l'excitation magnétique \vec{H}_{\mathrm{f}} :

   \vec{M}_{\mathrm{f}} = \chi_{\mathrm{m}} \vec{H}_{\mathrm{f}}

   où la susceptibilité magnétique \chi_{\mathrm{m}} est une constante scalaire (pour un milieu isotrope).

D'après la relation liant \vec{B}, \vec{H} et \vec{M} rappelée à la question Q22, on a :

où \mu_{\mathrm{r}} = 1 + \chi_{\mathrm{m}} désigne la perméabilité relative (constante et très grande devant 1).

En projetant le long des lignes de champ orientées dans le sens de circulation :

Pour que les lignes de champ magnétique restent parallèles entre elles et ne s'épanouissent pas aux bords de l'entrefer (absence d'effets de bord ou de fuites latérales), il faut que la longueur de l'entrefer \ell soit très petite devant les dimensions transversales caractéristiques des pièces polaires (de section S_{\text{e}} ou S_{\text{f}}) :

Sous cette condition d'« entrefer étroit », le champ magnétique peut être considéré comme uniforme dans l'entrefer et perpendiculaire aux faces polaires.

L'observation de la figure 4 montre que les lignes de champ magnétique sont presque intégralement confinées à l'intérieur du matériau ferromagnétique et traversent l'entrefer sans fuite notable vers l'extérieur : le flux magnétique est canalisé par le circuit magnétique.

L'équation de Maxwell-Thomson, \mathrm{div}\,\vec{B} = 0, traduit le caractère conservatif du flux du champ magnétique. Le circuit magnétique se comportant comme un tube de flux sans fuites latérales, le flux magnétique \Phi à travers une section droite quelconque est conservé le long de la structure :

où \Phi_{\text{f}} désigne le flux à travers une section du matériau ferromagnétique et \Phi_{\text{e}} le flux à travers une section de l'entrefer.

Dans le cadre de l'ARQS magnétique (établi à la question Q23), on applique le théorème d'Ampère au vecteur excitation magnétique \vec{H} le long du contour fermé \mathcal{C} orienté suivant les lignes de champ (représenté sur la figure 3) :

Le contour \mathcal{C} se décompose en une partie dans le matériau ferromagnétique (de longueur L) et une partie dans l'entrefer (de longueur \ell). Les champs étant considérés uniformes et colinéaires au contour dans chaque tronçon :

D'après les lois de comportement :

• dans le matériau ferromagnétique doux (question Q25) : B_{\text{f}} = \mu_0 \mu_{\text{r}} H_{\text{f}}, soit H_{\text{f}} = \dfrac{B_{\text{f}}}{\mu_0 \mu_{\text{r}}} ;
• dans l'entrefer (assimilé au vide) : B_{\text{e}} = \mu_0 H_{\text{e}}, soit H_{\text{e}} = \dfrac{B_{\text{e}}}{\mu_0}.

De plus, d'après la conservation du flux magnétique le long du circuit sans fuites (question Q27) :

On en déduit l'expression de H_{\text{f}} en fonction de B_{\text{e}} :

En reportant dans le théorème d'Ampère :

Le champ magnétique dans l'entrefer vérifie donc bien B_{\text{e}} = \alpha \, i, avec :

La sonde à effet Hall est placée dans l'entrefer de manière à ce que les lignes de champ magnétique, supposées uniformes et parallèles entre elles (d'après les questions Q26 et Q28), traversent perpendiculairement la surface active du capteur. Dans le cadre de l'ARQS magnétique (établie à la question Q23), le champ magnétique instantané dans l'entrefer s'écrit à tout instant :

où l'expression de \alpha a été déterminée à la question Q28 :

D'après la question Q18, la résistance de Hall du gaz bidimensionnel d'électrons s'exprime par :

Lorsque la sonde est alimentée par un courant continu d'intensité I fixé et parfaitement contrôlé, la tension transversale de Hall recueillie vaut donc :

La tension V_{\text{H}}(t) est ainsi strictement proportionnelle à l'intensité i(t) du courant circulant dans le bobinage :

avec pour coefficient de proportionnalité :

Les pertes dites « pertes fer » (dissipées au sein du circuit magnétique sous forme de chaleur) regroupent deux phénomènes distincts :

1. Les pertes par hystérésis :

   • Origine microscopique : sous l'effet du champ excitateur variable \vec{H}(t), l'aimantation du matériau évolue par déplacement des parois des domaines magnétiques (domaines de Weiss) et rotation des moments magnétiques atomiques. Ces déplacements rencontrent des impuretés et des défauts du réseau cristallin (centres de piégeage), rendant le processus d'aimantation irréversible.

   • Conséquence macroscopique : la relation entre \vec{B} et \vec{H} présente un retard décrivant un cycle d'hystérésis. L'énergie volumique dissipée sous forme thermique au cours d'un cycle correspond à l'aire de ce cycle :

     w_{\text{hyst}} = \oint_{\text{cycle}} H \, \mathrm{d}B

     Pour une excitation à la fréquence f, la puissance volumique dissipée est proportionnelle à la fréquence : \mathcal{P}_{\text{hyst}} \propto f.

2. Les pertes par courants de Foucault :

   • Origine : d'après la loi de Faraday-Maxwell (\vec{\mathrm{rot}}\,\vec{E} = -\partial\vec{B}/\partial t), la variation temporelle du champ magnétique au sein du matériau ferromagnétique — qui possède une conductivité électrique \gamma_{\text{fer}} non nulle — induit un champ électromoteur tourbillonnaire.
   • Conséquence : ce champ électrique met en mouvement les porteurs de charge du métal, générant des boucles de courants induits macroscopiques appelés courants de Foucault. Ces courants dissipent de l'énergie thermique par effet Joule avec une puissance volumique moyenne variant en f^2.

Autre type de perte dans le système :

Il existe également les pertes par effet Joule dans le bobinage (communément appelées « pertes cuivre »), associées à la résistance électrique non nulle R_{\text{b}} du fil conducteur enroulé autour du circuit :

D'après la question Q28, dans le cadre de l'approximation linéaire et de la conservation du flux, l'induction magnétique dans le ferromagnétique B_{\text{f}} est proportionnelle à la force magnétomotrice N i(t). L'amplitude de l'induction maximale s'écrit donc :

Examinons la dépendance des deux contributions aux pertes fer vis-à-vis de ces paramètres :

• Pertes par courants de Foucault : La force électromotrice induite dans le matériau conducteur dérive de la loi de Faraday :

  e_{\text{ind}} = -\frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t} \propto f B_{\max} \propto N \times i \times f

  La puissance volumique dissipée par effet Joule par ces courants induits varie comme le carré de cette tension induite :

  P_{\text{Foucault}} \propto e_{\text{ind}}^2 \propto (N \times i \times f)^2

• Pertes par hystérésis : L'énergie dissipée par cycle est proportionnelle à l'aire du cycle d'hystérésis, qui croît avec l'amplitude du champ (loi empirique de Steinmetz : w_{\text{cycle}} \propto B_{\max}^\alpha, avec \alpha \approx 1{,}6\text{ à }2). La puissance moyenne dissipée s'en déduit par multiplication par la fréquence :

  P_{\text{hyst}} = f \, w_{\text{cycle}} \, V_{\text{fer}} \propto f \, B_{\max}^\alpha \propto f \, (N i)^\alpha

Les deux types de pertes augmentent donc de façon monotone avec N i et avec f. En particulier, les pertes par courants de Foucault sont directement proportionnelles au carré du produit (N \times i \times f).

D'après le théorème de Fourier, un courant périodique non-sinusoïdal se décompose en une composante continue et une somme d'harmoniques de fréquences f_n = n f (n \in \mathbb{N}^*) :

Même si l'amplitude globale du courant est faible, des fronts raides (comme dans les signaux carrés ou en modulation de largeur d'impulsion) impliquent des amplitudes I_n non négligeables jusqu'à des rangs n très élevés.

Or, comme analysé à la question Q31, les pertes par courants de Foucault varient comme le carré de la fréquence :

Le facteur pondérateur n^2 f^2 compense alors largement la petitesse des amplitudes I_n, ce qui impose une grande vigilance pour deux raisons principales :

• Échauffement et dérive thermique : la forte dissipation thermique par effet Joule dans le matériau ferromagnétique peut modifier sa perméabilité relative \mu_{\text{r}}, voire échauffer le capteur Hall situé dans l'entrefer et modifier sa sensibilité s (qui dépend de la température via la mobilité et la densité de porteurs N_{\text{s}}).
• Distorsion de mesure et pertes de linéarité : aux fréquences élevées des harmoniques, l'effet de peau magnétique confine le flux à la surface des tôles, le cycle dynamique d'hystérésis s'élargit, et des forces électromotrices d'induction parasites (\propto \frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}) viennent polluer la mesure de la tension de Hall V_{\text{H}}(t).

D'après le modèle classique de conduction établi à la question Q18, la résistance de Hall s'exprime par :

On attend donc théoriquement une relation linéaire entre R_{\mathrm{H}} et le champ magnétique B, c'est-à-dire une droite passant par l'origine de pente constante :

Au vu de la courbe expérimentale (figure 5) obtenue à très basse température (T = 0{,}1\text{ K}) :

• À champ magnétique modéré (B \lesssim 4\text{ T}), la résistance R_{\mathrm{H}} croît de façon linéaire avec B, en parfait accord avec le modèle classique de Drude.
• À champ magnétique plus intense (B \gtrsim 4\text{ T}), la courbe s'écarte nettement du comportement linéaire classique et fait apparaître des paliers horizontaux (autour de 6{,}45\text{ k}\Omega, 8{,}6\text{ k}\Omega, 12{,}9\text{ k}\Omega\dots) où la résistance de Hall reste rigoureusement constante sur des intervalles de champ B.
• Les transitions entre ces paliers successifs s'effectuent par de brusques sauts de résistance : c'est la manifestation de l'effet Hall quantique entier.

D'après la question Q18, le modèle classique de l'effet Hall prédit une relation linéaire entre la résistance de Hall et le champ magnétique :

La pente de la droite dans le domaine des champs modérés (B \leqslant 4\text{ T}) s'écrit donc :

Sur la figure 5, dans la région linéaire précédant l'apparition des premiers plateaux quantiques :

• pour B = 0\text{ T}, R_{\text{H}} = 0\,\Omega ;
• pour B = 4\text{ T}, on lit R_{\text{H}} \simeq 3{,}2\text{ k}\Omega = 3{,}2 \times 10^3\,\Omega (soit 1{,}6\text{ k}\Omega à B = 2\text{ T}).

La pente vaut ainsi :

On en déduit l'expression de la charge élémentaire :

Application numérique avec N_{\text{s,exp}} = 8 \times 10^{15}\text{ m}^{-2} :

On retrouve bien l'ordre de grandeur de la charge élémentaire fournie dans les constantes usuelles (e = 1{,}60 \times 10^{-19}\text{ C}).

Dans le système international d'unités (MKSA), déterminons les dimensions des grandeurs physiques mises en jeu :

• L'énergie s'exprime en joules (\mathrm{J}), soit [\mathcal{E}] = \mathrm{M}\cdot\mathrm{L}^2\cdot\mathrm{T}^{-2}. La constante de Planck h, homogène à une action (\mathrm{J}\cdot\mathrm{s}), a pour dimension :

  [h] = \mathrm{M}\cdot\mathrm{L}^2\cdot\mathrm{T}^{-1}

• La charge élémentaire e s'exprime en coulombs (\mathrm{C} = \mathrm{A}\cdot\mathrm{s}), d'où :

  [e] = \mathrm{I}\cdot\mathrm{T}

• La puissance dissipée par effet Joule dans une résistance R s'écrit \mathcal{P} = R\,I^2, de dimension [\mathcal{P}] = \mathrm{M}\cdot\mathrm{L}^2\cdot\mathrm{T}^{-3}. La dimension d'une résistance électrique est donc :

  [R] = \frac{[\mathcal{P}]}{[I]^2} = \mathrm{M}\cdot\mathrm{L}^2\cdot\mathrm{T}^{-3}\cdot\mathrm{I}^{-2}

On cherche une expression de la forme R_{\text{u}} = C\,h^\alpha e^\beta, où C = 1 est une constante sans dimension :

Par identification des exposants :

• Sur la masse \mathrm{M} (ou la longueur \mathrm{L}) : \alpha = 1 ;
• Sur l'intensité \mathrm{I} : \beta = -2 ;
• Sur le temps \mathrm{T} : -\alpha + \beta = -1 - 2 = -3, ce qui est bien vérifié.

On en déduit l'expression de la résistance universelle :

Application numérique : avec h = 6{,}63 \times 10^{-34}\text{ J}\cdot\text{s} et e = 1{,}60 \times 10^{-19}\text{ C},

L'utilisation de l'effet Hall quantique pour définir un étalon de résistance présente des avantages métrologiques majeurs :

• Universalité et indépendance matérielle : la résistance sur les paliers quantifiés est donnée par :

  R_{\text{H}} = \frac{R_{\text{u}}}{\nu} = \frac{h}{\nu e^2} \quad (\nu \in \mathbb{N}^*)

  Elle ne dépend que de constantes fondamentales de la nature (h et e), et est rigoureusement indépendante du matériau semi-conducteur utilisé (GaAs, silicium, graphène), de la géométrie de l'échantillon et de ses impuretés résiduelles.

• Stabilité temporelle : contrairement à un étalon matériel (résistance étalon bobinée sujette au vieillissement, à l'oxydation, à l'humidité ou aux contraintes mécaniques), un étalon fondé sur une constante fondamentale ne dérive pas au cours du temps.
• Reproductibilité et décentralisation : tout laboratoire métrologique disposant du dispositif expérimental approprié (basse température et fort champ magnétique) peut reproduire de façon autonome et avec une exactitude relative remarquable (inférieure à 10^{-9}) la même valeur de référence, s'affranchissant du transport et de la comparaison périodique avec un artefact de référence centralisé.

On applique le principe fondamental de la dynamique à un électron de masse effective m^*, dans le référentiel du conducteur supposé galiléen.

D'après les hypothèses de l'énoncé, le mouvement est unidimensionnel le long de l'axe (Ox) et l'électron n'est soumis qu'à deux forces :

• la force de frottement fluide : \vec{f} = -\dfrac{m^*}{\tau_0} v(t)\,\vec{e}_x ;
• la force aléatoire (force de Langevin) : \vec{f}_{\mathrm{b}} = m^* b(t)\,\vec{e}_x.

Le principe fondamental de la dynamique s'écrit :

En projetant sur le vecteur unitaire \vec{e}_x avec \vec{v}(t) = v(t)\,\vec{e}_x, on obtient :

En divisant par la masse effective m^* \neq 0, on obtient l'équation différentielle canonique du premier ordre :

D'après la question Q37, la vitesse v(t) vérifie l'équation différentielle :

Multiplions cette équation par le facteur intégrant \mathrm{e}^{t/\tau_0} :

Le membre de gauche s'identifie à la dérivée du produit v(t)\,\mathrm{e}^{t/\tau_0} :

En intégrant cette relation entre 0 et t, en utilisant la variable muette u :

Comme v(0) = v_0, il vient :

En multipliant l'ensemble par \mathrm{e}^{-t/\tau_0} et en faisant entrer ce terme sous l'intégrale :

Dans l'expression de la vitesse obtenue à la question Q38 :

1. Terme du régime transitoire :
   Il s'agit du premier terme, dépendant de la condition initiale v(0) = v_0 :

   \boxed{v_{\text{trans}}(t) = v_0 \mathrm{e}^{-t/\tau_0}}

   Ce terme s'amortit exponentiellement et tend vers zéro lorsque le temps augmente, traduisant la perte de mémoire de la vitesse initiale sous l'effet des collisions.

2. Durée \Delta t du régime transitoire :
   La constante de temps caractéristique de cette décroissance exponentielle est \tau_0. Le régime transitoire est usuellement considéré comme achevé au bout de quelques constantes de temps (typiquement pour une atténuation de plus de 99\,\% avec \mathrm{e}^{-5} < 0{,}01) :

   \boxed{\Delta t \approx 3\tau_0 \text{ à } 5\tau_0}

   Au-delà de cette durée (t \gg \tau_0), le terme transitoire est négligeable et la vitesse de l'électron n'est plus régie que par les fluctuations d'origine thermique modélisées par le terme intégral.

D'après l'énoncé, la densité spectrale associée au bruit b(t) s'exprime sous la forme :

En remplaçant la fonction d'autocorrélation temporelle par son expression C_{\text{b}}(\tau) = \Gamma\,\delta(\tau), où \Gamma est une constante, il vient :

D'après la propriété de la fonction impulsion \delta rappelée dans le formulaire, pour toute fonction continue g, \int_{-\infty}^{+\infty} g(t)\,\delta(t - t_0)\,\mathrm{d}t = g(t_0). Ici, avec g(\tau) = \mathrm{e}^{-2\mathrm{i}\pi f \tau} et t_0 = 0, on a :

On en déduit immédiatement :

La densité spectrale S_{\text{b}}(f) est rigoureusement indépendante de la fréquence f (spectre plat ou uniforme). Cela correspond exactement à la définition d'un bruit blanc, pour lequel toutes les composantes fréquentielles ont la même contribution statistique. L'expression C_{\text{b}}(\tau) = \Gamma\,\delta(\tau) est donc parfaitement cohérente avec cette définition.

La densité spectrale S_{\text{b}}(f) étant la transformée de Fourier de la fonction d'autocorrélation C_{\text{b}}(\tau), ces deux grandeurs vérifient la propriété de réciprocité temps-fréquence inhérente à l'analyse de Fourier :

où \Delta \tau caractérise le temps de corrélation (largeur temporelle de C_{\text{b}}) et \Delta f la largeur de bande spectrale (largeur fréquentielle de S_{\text{b}}).

• Plus un signal présente une corrélation temporelle brève (élargissement temporel de C_{\text{b}}(\tau) étroit), plus son spectre de puissance est étalé en fréquence (élargissement fréquentiel de S_{\text{b}}(f) grand).
• Pour un bruit blanc idéal, la décorrélation est instantanée (C_{\text{b}}(\tau) \propto \delta(\tau), soit \Delta \tau \to 0), ce qui implique un étalement spectral infini (S_{\text{b}}(f) = \text{constante}, soit \Delta f \to \infty).

Cette propriété de réciprocité apparaît dans de nombreux domaines de la physique :

• En optique ultrarapide : les impulsions laser très courtes (impulsions femtoseconde, \Delta t très petit) possèdent nécessairement un spectre optique très large (\Delta \nu \sim 1/\Delta t).
• En mécanique quantique : les relations d'indétermination de Heisenberg (par exemple spatio-fréquentielle \Delta x \cdot \Delta p_x \geqslant \frac{\hbar}{2} ou énergie-temps \Delta E \cdot \Delta t \geqslant \frac{\hbar}{2}) traduisent exactement cette même propriété mathématique appliquée aux fonctions d'onde.
• En diffraction : une fente de faible ouverture spatiale a produit une tache de diffraction très étalée angulairement (\theta \sim \lambda/a).

D'après l'expression établie à la question Q38, la vitesse s'écrit :

Dans le cadre de l'approximation du régime permanent (t \gg \tau_0), le terme transitoire est négligeable :

En prenant la moyenne temporelle de l'expression et en intervertissant l'intégrale et l'opération de moyenne, on obtient :

Comme le bruit blanc b(t) est centré d'après la section III.1.1 (\langle b(u) \rangle = 0), l'intégrale s'annule identiquement :

D'après les questions Q38 et Q39, pour t \gg \tau_0, le terme transitoire v_0\,\mathrm{e}^{-t/\tau_0} devient négligeable, de sorte que la vitesse s'écrit :

En élevant cette expression au carré et en introduisant deux variables d'intégration indépendantes u et u', on obtient :

En prenant la moyenne temporelle \langle \dots \rangle et en intervertissant moyenne et intégrales :

En posant le changement de variable suggéré u' = u + \tau (à u fixé, \mathrm{d}u' = \mathrm{d}\tau), la corrélation temporelle s'identifie à celle d'un bruit blanc définie dans l'énoncé :

Pour tout u \in ]0, t[, la singularité de la fonction impulsion \delta(u' - u) se situe à l'intérieur de l'intervalle d'intégration u' \in [0, t]. D'après la propriété de Dirac rappelée dans le formulaire :

Il reste alors à intégrer sur u :

Puisque t \gg \tau_0, le terme exponentiel \mathrm{e}^{-2t/\tau_0} est totalement négligeable devant 1, d'où :

Dans le modèle unidimensionnel considéré, le mouvement des électrons s'effectue selon l'axe (Ox) avec la vitesse \vec{v}(t) = v(t)\vec{e}_x. D'après le théorème de l'équipartition de l'énergie appliqué à ce seul degré de liberté de translation, l'énergie cinétique moyenne s'écrit :

On en déduit la vitesse quadratique moyenne à l'équilibre thermique :

Cette valeur est d'ailleurs parfaitement cohérente avec l'expression de la fonction d'autocorrélation C_v(\tau) fournie par l'énoncé pour la suite, pour laquelle C_v(0) = \langle v^2(t) \rangle = \frac{k_{\text{B}} T}{m^*}.

En identifiant cette expression avec celle établie à la question Q43, \langle v^2(t) \rangle \simeq \dfrac{\Gamma \tau_0}{2}, il vient :

ce qui donne la relation recherchée :

Par analogie avec la définition de la densité spectrale du bruit S_b(f) introduite dans le préambule de la sous-partie III.1.1, la densité spectrale de la vitesse S_v(f) est la transformée de Fourier de sa fonction d'autocorrélation C_v(\tau) :

En injectant l'expression de la fonction d'autocorrélation C_v(\tau) = \dfrac{k_{\mathrm{B}} T}{m^*} \exp\left(-\left|\dfrac{\tau}{\tau_0}\right|\right) valable pour t \gg \tau_0 :

En posant le changement de variable u = \dfrac{\tau}{\tau_0}, soit \mathrm{d}\tau = \tau_0\,\mathrm{d}u, il vient :

D'après l'intégrale particulière fournie dans le formulaire, avec F = f\tau_0 :

On en déduit l'expression littérale de la densité spectrale de vitesse :

D'après le résultat de la question précédente (Q45), la densité spectrale de la vitesse s'écrit :

En posant S_{v0} = \dfrac{2 k_{\text{B}} T \tau_0}{m^*} et la fréquence caractéristique f_{\text{c}} = \dfrac{1}{2\pi \tau_0}, l'expression devient :

La grandeur à tracer est :

Étudions les comportements asymptotiques :

• Basse fréquence (f \ll f_{\text{c}}) :

  20\log S_v(f) \simeq 20\log S_{v0} = \text{cte}

  L'asymptote est une droite horizontale d'ordonnée 20\log S_{v0}.

• Haute fréquence (f \gg f_{\text{c}}) :

  20\log S_v(f) \simeq 20\log S_{v0} - 20\log\left[\left(\frac{f}{f_{\text{c}}}\right)^2\right] = 20\log S_{v0} - 40\log\left(\frac{f}{f_{\text{c}}}\right)

  L'asymptote est une droite oblique de pente -40\text{ dB/décade} (soit -12\text{ dB/octave}).

• À la coupure (f = f_{\text{c}}) : Les deux asymptotes se coupent en f = f_{\text{c}} (où \log(f/f_{\text{c}}) = 0), et la valeur réelle vaut :

  20\log S_v(f_{\text{c}}) = 20\log S_{v0} - 20\log 2 \simeq 20\log S_{v0} - 6\text{ dB}

  La courbe réelle passe donc environ 6\text{ dB} en dessous du point de rencontre des asymptotes.

On en déduit l'allure du diagramme de Bode :