Feuille d'entraînement : Circuits électriques et régimes transitoires

Corrigés

1. Exercice 1CCINP Physique-Chimie PSI 2026, Q13

   Soit i_L(t) l'intensité du courant traversant la bobine d'inductance L de la gauche vers la droite (en convention récepteur, u_L = L \frac{\mathrm{d}i_L}{\mathrm{d}t}). D'après la loi des mailles :

   U_\mathrm{e}(t) = L \frac{\mathrm{d}i_L}{\mathrm{d}t}(t) + U_\mathrm{s}(t)

   Au nœud reliant l'inductance, le condensateur et le conducteur ohmique, la loi des nœuds donne :

   i_L(t) = i_C(t) + i_R(t) = C \frac{\mathrm{d}U_\mathrm{s}}{\mathrm{d}t}(t) + \frac{U_\mathrm{s}(t)}{R}

   En dérivant cette relation par rapport au temps :

   \frac{\mathrm{d}i_L}{\mathrm{d}t}(t) = C \frac{\mathrm{d}^2 U_\mathrm{s}}{\mathrm{d}t^2}(t) + \frac{1}{R} \frac{\mathrm{d}U_\mathrm{s}}{\mathrm{d}t}(t)

   En substituant dans la loi des mailles :

   \begin{aligned} U_\mathrm{e}(t) &= L \left( C \frac{\mathrm{d}^2 U_\mathrm{s}}{\mathrm{d}t^2} + \frac{1}{R} \frac{\mathrm{d}U_\mathrm{s}}{\mathrm{d}t} \right) + U_\mathrm{s}(t) \\ &= LC \frac{\mathrm{d}^2 U_\mathrm{s}}{\mathrm{d}t^2} + \frac{L}{R} \frac{\mathrm{d}U_\mathrm{s}}{\mathrm{d}t} + U_\mathrm{s} \end{aligned}

   En divisant l'ensemble de l'équation par LC, on obtient :

   \frac{\mathrm{d}^2 U_\mathrm{s}}{\mathrm{d}t^2} + \frac{1}{RC} \frac{\mathrm{d}U_\mathrm{s}}{\mathrm{d}t} + \frac{1}{LC} U_\mathrm{s} = \frac{1}{LC} U_\mathrm{e}

   Par identification avec la forme canonique :

   \frac{\mathrm{d}^2 U_\mathrm{s}}{\mathrm{d}t^2} + \frac{\omega_0}{Q} \frac{\mathrm{d}U_\mathrm{s}}{\mathrm{d}t} + \omega_0^2 U_\mathrm{s} = \omega_0^2 U_\mathrm{e}

   on obtient :

   \omega_0^2 = \frac{1}{LC} \implies \boxed{\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}}

   puis :

   \frac{\omega_0}{Q} = \frac{1}{RC} \implies Q = R C \omega_0 = RC \frac{1}{\sqrt{LC}} \implies \boxed{Q = R \sqrt{\frac{C}{L}}}

   Résultat

   $${\omega }_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}$$

   $$Q=R\sqrt{\frac{C}{L}}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2CentraleSupélec Physique-Chimie 1 PSI 2026, Q1

   D'après la figure 1a, le circuit est formé d'une seule maille associant en série le générateur réel (e_0, r_i) et la résistance de charge r_e. L'intensité du courant circulant dans la boucle s'écrit, d'après la loi des mailles :

   i = \frac{e_0}{r_i + r_e}

   La puissance électrique fournie par le générateur au récepteur (qui est intégralement dissipée par effet Joule dans r_e) vaut alors :

   P_g = r_e \, i^2 = \frac{r_e}{(r_i + r_e)^2} \, e_0^2

   \boxed{P_g = \frac{r_e \, e_0^2}{(r_i + r_e)^2}}

   Pour trouver la valeur de r_e maximisant cette puissance à e_0 et r_i fixés, on peut :

   • soit dériver P_g par rapport à r_e :

     \frac{\mathrm{d}P_g}{\mathrm{d}r_e} = e_0^2 \, \frac{(r_i + r_e)^2 - 2r_e(r_i + r_e)}{(r_i + r_e)^4} = e_0^2 \, \frac{r_i - r_e}{(r_i + r_e)^3}

     La dérivée s'annule en changeant de signe (de positif à négatif) pour r_e = r_i, ce qui correspond bien à un maximum ;

   • soit réécrire P_g sous la forme :

     P_g = e_0^2 \, \frac{r_e}{r_e^2 + 2 r_i r_e + r_i^2}

     et appliquer la propriété donnée dans le préambule pour la fonction f(x) = \frac{x}{x^2 + 2kax + a^2} avec x = r_e, a = r_i et k = 1 > -1, dont le maximum est atteint en x = a.

   Dans les deux cas, la puissance fournie au récepteur est maximale pour :

   \boxed{r_e = r_i}

   En remplaçant r_e par r_i dans l'expression de P_g, on obtient la puissance maximale correspondante :

   P_{g,\text{max}} = \frac{r_i \, e_0^2}{(2r_i)^2}

   \boxed{P_{g,\text{max}} = \frac{e_0^2}{4r_i}}

   Résultat

   $$P_g=\frac{r_e{e}_0^2}{(r_i+r_e{)}^2}$$

   $$r_e=r_i$$

   $$P_{g,\text{max}}=\frac{e_0^2}{4r_i}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3ENS Physique U PSI 2025, Q47

   Chaque canal est modélisé par un générateur de Norton constitué d'une source idéale de courant I_{\text{DO}} en parallèle avec une résistance interne R_c.

   Les N canaux étant branchés en parallèle entre les deux mêmes électrodes :

   • Les courants électromoteurs s'additionnent, le courant de court-circuit équivalent de Norton vaut donc :

     I_{\text{N}} = \sum_{k=1}^N I_{\text{DO}} = N I_{\text{DO}}

   • Les conductances internes s'additionnent, de sorte que la résistance équivalente de Norton R_{\text{N}} vérifie :

     \frac{1}{R_{\text{N}}} = \sum_{k=1}^N \frac{1}{R_c} = \frac{N}{R_c} \implies R_{\text{N}} = \frac{R_c}{N}

   Par équivalence Norton-Thévenin, ce dipôle actif linéaire est strictement équivalent à une source de tension idéale de force électromotrice E en série avec une résistance R, où :

   \begin{aligned} R &= R_{\text{N}} = \frac{R_c}{N} \\ E &= R_{\text{N}} I_{\text{N}} = \left(\frac{R_c}{N}\right) (N I_{\text{DO}}) = R_c I_{\text{DO}} \end{aligned}

   \boxed{E = R_c I_{\text{DO}} \quad \text{et} \quad R = \frac{R_c}{N}}

   En reliant ce dipôle équivalent de Thévenin à la résistance de charge r, la loi des mailles (ou loi de Pouillet) donne immédiatement le courant i circulant dans r :

   i = \frac{E}{R + r} = \frac{R_c I_{\text{DO}}}{\dfrac{R_c}{N} + r}

   \boxed{i = \frac{N R_c I_{\text{DO}}}{R_c + N r}}

   Résultat

   $$E=R_c{I}_{\text{DO}}\text{et}R=\frac{R_c}{N}$$

   $$i=\frac{N{R}_c{I}_{\text{DO}}}{R_c+Nr}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4ENS Physique U PSI 2025, Q48

   Le circuit fermé est constitué de la source de tension idéale E en série avec la résistance interne R de la membrane et la résistance de charge r. D'après la question Q47, le courant traversant le circuit en régime continu est :

   i = \frac{E}{R+r}

   Bilan d'énergie En multipliant l'équation de maille E = R\,i + r\,i par l'intensité i, on obtient le bilan de puissance en régime stationnaire :

   \mathcal{P}_{\text{fournie}} = \mathcal{P}_J + \mathcal{P}

   où :

   • \mathcal{P}_{\text{fournie}} = E\,i = \dfrac{E^2}{R+r} est la puissance électrique totale délivrée par la source idéale ;
   • \mathcal{P}_J = R\,i^2 = \dfrac{R\,E^2}{(R+r)^2} est la puissance dissipée par effet Joule dans la résistance interne de la membrane ;
   • \mathcal{P} = r\,i^2 = \dfrac{r\,E^2}{(R+r)^2} est la puissance électrique consommée par l'ampoule.

   Recherche du maximum de puissance Pour trouver la valeur de r maximisant \mathcal{P}(r), dérivons \mathcal{P} par rapport à r :

   \begin{aligned} \frac{\mathrm{d}\mathcal{P}}{\mathrm{d}r} &= E^2 \, \frac{(R+r)^2 - 2r(R+r)}{(R+r)^4} \\ &= E^2 \, \frac{(R+r) - 2r}{(R+r)^3} \\ &= E^2 \, \frac{R-r}{(R+r)^3} \end{aligned}

   Cette dérivée s'annule en changeant de signe (strictement positive pour r < R et strictement négative pour r > R) en :

   \boxed{r = R}

   La puissance consommée par l'ampoule est donc maximale lorsque la résistance de charge est égale à la résistance interne du générateur (condition d'adaptation d'impédance en régime continu).

   En évaluant \mathcal{P}(r) en r = R, on obtient l'expression de la puissance maximale :

   \boxed{\mathcal{P}_{\text{max}} = \frac{E^2}{4R}}

   Résultat

   $$r=R$$

   $${\mathcal{P}}_{\text{max}}=\frac{E^2}{4R}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5ENS Physique U PSI 2025, Q53

   Le dipôle constitué de l'association en série de la résistance r et de la bobine d'inductance L est parcouru par le courant i(t). En convention récepteur (la flèche de tension U étant opposée au sens de parcours du courant i), la relation constitutive s'écrit à tout instant :

   U(t) = r \, i(t) + L \frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}(t)

   Première phase (0 \le t < T/2) :
   D'après la question Q52, la tension aux bornes du dipôle vaut U(t) = E - R\,i(t). En égalant les deux expressions :

   L \frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t} + r\,i = E - R\,i

   ce qui donne l'équation différentielle :

   \boxed{L \frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t} + (R + r)\,i = E \quad \text{pour} \quad 0 \le t < \frac{T}{2}}

   Seconde phase (T/2 \le t < T) :
   D'après la question Q52, on a U(t) = -E - R\,i(t). On obtient de même :

   L \frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t} + r\,i = -E - R\,i

   soit :

   \boxed{L \frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t} + (R + r)\,i = -E \quad \text{pour} \quad \frac{T}{2} \le t < T}

   Résultat

   $$L\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}+(R+r)i=E\text{pour}0\le t<\frac{T}{2}$$

   $$L\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}+(R+r)i=-E\text{pour}\frac{T}{2}\le t<T$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6Mines-Ponts Physique 2 PSI 2025, Q23

   1. Caractéristique courant-tension de la diode D

   D'après les conventions de l'énoncé, la diode est modélisée par une diode idéale à seuil V_D > 0 :

   • État bloqué : si u_{\mathrm{d}} < V_D, alors i_{\mathrm{d}} = 0 ;
   • État passant : si i_{\mathrm{d}} > 0, alors u_{\mathrm{d}} = V_D.

   2. Caractéristique courant-tension i = g(u) du dipôle tête-bêche

   Le dipôle est constitué des diodes D_1 et D_2 montées en parallèle en sens inverse. Les conventions d'orientation de la figure 6 donnent :

   • Pour la diode D_1 (anode à gauche, cathode à droite) : la tension à ses bornes est u_{\mathrm{d}1} = u et le courant la traversant de gauche à droite est noté i_1 ;
   • Pour la diode D_2 (anode à droite, cathode à gauche) : la tension à ses bornes est u_{\mathrm{d}2} = -u et le courant la traversant de droite à gauche est noté i_2.

   Par la loi des nœuds, le courant total traversant le dipôle de gauche à droite vaut :

   i = i_1 - i_2

   Distinguons les trois zones de fonctionnement :

   • Zone 1 : u = -V_{D2} avec i \le 0

     • Pour D_1 : u_{\mathrm{d}1} = u = -V_{D2} < 0 < V_{D1}, donc la diode D_1 est bloquée (i_1 = 0) ;
     • Pour D_2 : u_{\mathrm{d}2} = -u = V_{D2}, la diode D_2 est passante (i_2 \ge 0).

     On a donc i = -i_2 \le 0 avec u = -V_{D2}.

   • Zone 2 : -V_{D2} < u < V_{D1} avec i = 0

     • Pour D_1 : u_{\mathrm{d}1} = u < V_{D1}, donc D_1 est bloquée (i_1 = 0) ;
     • Pour D_2 : u_{\mathrm{d}2} = -u < V_{D2}, donc D_2 est bloquée (i_2 = 0).

     Les deux diodes sont bloquées, d'où i = 0.

   • Zone 3 : u = V_{D1} avec i \ge 0

     • Pour D_1 : u_{\mathrm{d}1} = u = V_{D1}, la diode D_1 est passante (i_1 \ge 0) ;
     • Pour D_2 : u_{\mathrm{d}2} = -u = -V_{D1} < 0 < V_{D2}, donc la diode D_2 est bloquée (i_2 = 0).

     On a donc i = i_1 \ge 0 avec u = V_{D1}.

   La caractéristique s'exprime ainsi sous forme multivaluée :

   \boxed{ \begin{cases} i \le 0 & \text{pour } u = -V_{D2} \quad (D_1 \text{ bloquée},\, D_2 \text{ passante}) \\ i = 0 & \text{pour } -V_{D2} < u < V_{D1} \quad (D_1 \text{ bloquée},\, D_2 \text{ bloquée}) \\ i \ge 0 & \text{pour } u = V_{D1} \quad (D_1 \text{ passante},\, D_2 \text{ bloquée}) \end{cases} }

   Résultat

   $$\{\begin{array}{ll}i\le 0& \text{pour }u=-V_{D2}(D_1\text{ bloqueˊe},D_2\text{ passante})\\ i=0& \text{pour }-V_{D2}<u<V_{D1}(D_1\text{ bloqueˊe},D_2\text{ bloqueˊe})\\ i\ge 0& \text{pour }u=V_{D1}(D_1\text{ passante},D_2\text{ bloqueˊe})\end{array}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

7. Exercice 7X-ENS Physique PSI 2025, Q45

   Le voltmètre utilisé pour mesurer la tension U présentant une impédance d'entrée très élevée, aucun courant n'est prélevé aux points milieux du pont de Wheatstone.

   Chaque branche verticale se comporte ainsi comme un diviseur de tension idéal alimenté sous la tension E, la référence des potentiels (masse) étant prise au rail inférieur :

   • Pour la branche de gauche, constituée de la résistance R_0 en haut et de la thermorésistance R = R_0 + R' en bas, le potentiel au point milieu V_{\mathrm{G}} s'écrit :

     V_{\mathrm{G}} = E\,\frac{R_0 + R'}{R_0 + (R_0 + R')} = E\,\frac{R_0 + R'}{2R_0 + R'}

   • Pour la branche de droite, constituée de deux résistances identiques R_0, le potentiel au point milieu V_{\mathrm{D}} s'écrit :

     V_{\mathrm{D}} = E\,\frac{R_0}{R_0 + R_0} = \frac{E}{2}

   Sur la figure 6, la flèche de tension U est orientée de la branche de gauche vers la branche de droite. Selon la convention usuelle récepteur (la flèche pointe vers le potentiel le plus haut) :

   \begin{aligned} U &= V_{\mathrm{D}} - V_{\mathrm{G}} \\ &= E\left(\frac{1}{2} - \frac{R_0 + R'}{2R_0 + R'}\right) \\ &= E\,\frac{(2R_0 + R') - 2(R_0 + R')}{2(2R_0 + R')} \end{aligned}

   soit :

   \boxed{U = -\frac{R'}{2(2R_0 + R')}\,E}

   Remarque : Si la flèche est interprétée dans le sens V_{\mathrm{G}} - V_{\mathrm{D}}, l'expression est simplement changée de signe :

   U = \frac{R'}{2(2R_0 + R')}\,E

   D'après le résultat de la question Q44, la variation de résistance s'écrit dans l'approximation affine R' = R_0 A \theta. En substituant cette relation, on obtient :

   U = -\frac{R_0 A \theta}{2(2R_0 + R_0 A \theta)}\,E

   En simplifiant par R_0, il vient finalement :

   \boxed{U(\theta) = -\frac{A\theta}{2(2 + A\theta)}\,E}

   Résultat

   $$U=-\frac{R^{\prime }}{2(2R_0+R^{\prime })}E$$

   $$U(\theta )=-\frac{A\theta }{2(2+A\theta )}E$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

8. Exercice 8Mines-Ponts Physique 1 PSI 2024, Q13

   Considérons le cylindre métallique d'axe (Ox), de section constante S, délimité par ses deux extrémités planes situées en x = 0 et x = L, soumises à une différence de potentiel :

   U = V(0) - V(L)

   En régime permanent, la conservation de la charge électrique impose :

   \operatorname{div}\vec{j} + \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0 \implies \operatorname{div}\vec{j} = 0

   En négligeant les effets de bord, les lignes de champ électrique et de courant sont rectilignes et parallèles à l'axe du cylindre. Le champ électrique est donc uniforme :

   \vec{E} = E\,\vec{u}_x

   La circulation du champ électrique entre les deux extrémités relie son amplitude à la tension appliquée :

   U = \int_{x=0}^{x=L} \vec{E} \cdot \mathrm{d}\vec{\ell} = \int_{0}^{L} E\,\mathrm{d}x = E L \implies E = \frac{U}{L}

   D'après la loi d'Ohm locale dans le matériau conducteur de conductivité \sigma :

   \vec{j} = \sigma \vec{E} = \frac{\sigma U}{L} \vec{u}_x

   L'intensité I du courant électrique traversant une section droite S orientée par \vec{u}_x s'écrit alors :

   I = \iint_{S} \vec{j} \cdot \mathrm{d}\vec{S} = j\,S = \frac{\sigma S}{L} U

   Par définition de la résistance électrique R_{\text{él}} = \frac{U}{I}, on en déduit :

   \boxed{R_{\text{él}} = \frac{L}{\sigma S}}

   Résultat

   $$R_{\text{eˊl}}=\frac{L}{\sigma S}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

9. Exercice 9Mines-Ponts Physique 1 PSI 2024, Q14

   Dans le référentiel du conducteur supposé galiléen, le principe fondamental de la dynamique appliqué à un électron de masse m, de charge q = -e et de vitesse \vec{v} s'écrit :

   m \frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t} = -e\vec{E} + \vec{F}_{\mathrm{d}} = -e\vec{E} - \frac{m}{\tau_{\mathrm{d}}}\vec{v}

   Soit, en divisant par m :

   \frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t} + \frac{1}{\tau_{\mathrm{d}}}\vec{v} = -\frac{e}{m}\vec{E}

   Le champ \vec{E} étant supposé constant, l'équation admet pour solution générale :

   \vec{v}(t) = \vec{v}_{\infty} + \left(\vec{v}(0) - \vec{v}_{\infty}\right)\mathrm{e}^{-t/\tau_{\mathrm{d}}} \quad \text{avec} \quad \vec{v}_{\infty} = -\frac{e\tau_{\mathrm{d}}}{m}\vec{E}

   Pour t \gg \tau_{\mathrm{d}}, le terme transitoire exponentiel s'annule et la vitesse atteint la valeur constante \vec{v}_{\infty} (vitesse limite ou de dérive) :

   \boxed{\vec{v}(t) \xrightarrow[t \gg \tau_{\mathrm{d}}]{} \vec{v}_{\infty} = -\frac{e\tau_{\mathrm{d}}}{m}\vec{E} = \text{cste}}

   Le vecteur densité de courant volumique associé au mouvement d'ensemble de ces porteurs de charge s'écrit :

   \vec{\jmath} = (-e)\, n_{\mathrm{e}}\,\vec{v}_{\infty} = (-e)\, n_{\mathrm{e}}\left(-\frac{e\tau_{\mathrm{d}}}{m}\vec{E}\right) = \frac{n_{\mathrm{e}} e^2 \tau_{\mathrm{d}}}{m}\vec{E}

   Par identification avec la loi d'Ohm locale \vec{\jmath} = \sigma \vec{E}, on en déduit l'expression de la conductivité électrique :

   \boxed{\sigma = \frac{n_{\mathrm{e}} e^2 \tau_{\mathrm{d}}}{m}}

   Résultat

   $$\vec{v}(t)\underset{t\gg {\tau }_{\mathrm{d}}}{\to }{\vec{v}}_{\infty }=-\frac{e{\tau }_{\mathrm{d}}}{m}\vec{E}=\text{cste}$$

   $$\sigma =\frac{n_{\mathrm{e}}{e}^2{\tau }_{\mathrm{d}}}{m}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

10. Exercice 10CentraleSupélec Physique-Chimie 2 PSI 2023, Q1

    Considérons un conducteur cylindrique d'axe Oz, de longueur L et de section droite constante S. Le courant d'intensité I est supposé uniformément réparti sur la section et orienté selon l'axe du cylindre, de sorte que la densité volumique de courant est uniforme :

    \vec{\jmath} = \frac{I}{S} \, \vec{u}_z

    D'après la loi d'Ohm locale, le champ électrique à l'intérieur du conducteur s'écrit :

    \vec{E} = \frac{\vec{\jmath}}{\gamma} = \frac{I}{\gamma S} \, \vec{u}_z

    La différence de potentiel aux bornes du cylindre s'obtient par circulation de ce champ électrique le long d'une ligne de courant :

    U = \int_0^L \vec{E} \cdot \mathrm{d}\vec{\ell} = E L = \frac{L}{\gamma S} I

    Par définition de la résistance électrique R = \frac{U}{I}, on en déduit :

    \boxed{R = \frac{L}{\gamma S}}

    Résultat

    $$R=\frac{L}{\gamma S}$$

    Indice, stratégie et pièges de cette question