Corrigé détaillé Mines Physique 1 PSI 2020

1. Fréquence du fondamental f_1

Sur la figure 3, l'axe des abscisses présente des graduations principales tous les 5\text{ kHz} subdivisées en cinq intervalles, soit 1\text{ kHz} par graduation élémentaire. Le sommet du pic 1 se situe entre 1\text{ kHz} et 2\text{ kHz}, plus précisément aux environs de :

2. Amplitude a_2 du pic 2

L'échelle verticale est graduée en décibels relatifs à l'amplitude du pic 1, puisque ce dernier culmine à 0\text{ dB}. Pour une grandeur d'amplitude (tension électrique), le niveau en décibels s'écrit :

Le sommet du pic 2 se lit à une ordonnée de :

On en déduit le rapport des amplitudes :

Avec a_1 = 100\text{ mV} = 10^2\text{ mV} et 10^{0,5} \approx 3,16 :

Le signal sonore s_a(t) ne comporte, d'après l'énoncé, que deux composantes spectrales : le fondamental à f_1 \approx 1{,}7\text{ kHz} et le deuxième harmonique (pic 2) à f_2 = 2 f_1 \approx 3{,}4\text{ kHz}. La fréquence maximale contenue dans le signal est donc :

D'après le théorème de Shannon-Nyquist, pour éviter tout phénomène de repliement spectral (aliasing) lors de l'échantillonnage, la fréquence d'échantillonnage f_e doit vérifier la condition :

La plus petite valeur de f_e respectant cette condition est donc :

La résolution spectrale \delta f étant l'inverse de la durée d'acquisition T_a, on a :

Pour \delta f = 100\text{ Hz} :

Pour construire le sonogramme, le signal total est découpé en tranches temporelles successives d'enregistrement élémentaire de durée T_a. D'après l'énoncé, la méthode d'analyse spectrale appliquée sur chaque tranche donne une résolution spectrale :

La résolution spectrale \delta f du sonogramme dépend donc de \boldsymbol{T_a} (la durée d'acquisition d'une tranche élémentaire) et non de \tau (la durée totale de l'enregistrement sonore).

Un rectangle élémentaire (pixel) du sonogramme a une largeur temporelle \Delta t = T_a et une hauteur fréquentielle \Delta f = \delta f = \frac{1}{T_a}.

• Le long de l'axe temporel, pour une durée totale \tau, le nombre de tranches est :

  N_t = \frac{\tau}{T_a}

• Le long de l'axe des fréquences, pour une gamme allant de 0 à f_M, le nombre d'intervalles fréquentiels est :

  N_f = \frac{f_M}{\delta f} = f_M T_a

Le nombre total de pixels N_p du sonogramme vaut donc :

On constate que ce nombre est remarquablement indépendant de la durée d'échantillonnage T_a.

Application numérique : Pour f_M = 3,5\text{ kHz} = 3,5 \times 10^3\text{ Hz} et \tau = 500\text{ ms} = 0,500\text{ s} :

1. Condition sur \tau_d :

Le sonogramme est élaboré en découpant le signal en tranches temporelles élémentaires successives de durée T_a. Pour que la fréquence puisse être considérée comme quasi-constante sur chaque tranche et que son évolution temporelle puisse être échantillonnée de manière continue sur plusieurs intervalles d'analyse, il faut que la durée caractéristique d'évolution \tau_d soit très supérieure à la durée d'une fenêtre temporelle :

2. Évolution des fréquences :

Le signal s_b(t) possède deux composantes harmoniques :

• Le fondamental :

  f'_1(t) = f_1 \left(1 - \frac{t}{\tau_d}\right)

  À t = 0, f'_1(0) = f_1 \approx 1{,}7\text{ kHz}.
  À t = 0{,}5\,\tau_d, f'_1(0{,}5\,\tau_d) = \frac{f_1}{2} \approx 0{,}85\text{ kHz}.

• L'harmonique 2 :

  f'_2(t) = 2f'_1(t) = 2f_1 \left(1 - \frac{t}{\tau_d}\right)

  À t = 0, f'_2(0) = 2f_1 \approx 3{,}4\text{ kHz}.
  À t = 0{,}5\,\tau_d, f'_2(0{,}5\,\tau_d) = f_1 \approx 1{,}7\text{ kHz}.

3. Tracé du sonogramme simplifié :

Conformément à la convention de la figure 4a, chaque harmonique est représentée par une ligne reliant les points de coordonnées (t, f).

1. Durée approximative du chant du quetzal

Sur le sonogramme de la figure 5, le signal acoustique (taches sombres) présente :

• un début à la date t_{\text{début}} \approx 70\text{ ms} (entre 60 et 80\text{ ms}) ;
• une fin à la date t_{\text{fin}} \approx 220\text{ ms} (entre 210 et 230\text{ ms}).

La durée \tau_q du chant est donc :

2. Mesure des fréquences à la date t = 140\text{ ms}

En se plaçant à l'abscisse t = 140\text{ ms} (au tiers environ de l'intervalle entre 100 et 200\text{ ms}), on repère trois bandes d'énergie distinctes :

• La première bande, de plus basse fréquence, correspond au fondamental :

  \boxed{f_{q,1} \approx 0,95 \text{ à } 1,0\text{ kHz}}

• La deuxième bande correspond à l'harmonique de rang i=2 :

  \boxed{f_{q,2} \approx 1,9 \text{ à } 2,0\text{ kHz}}

• La troisième bande correspond à l'harmonique de rang i=3 :

  \boxed{f_{q,3} \approx 2,8 \text{ à } 2,9\text{ kHz}}

La propagation le long de l'axe (SS_n) est modélisée par une onde progressive unidimensionnelle, linéaire, non dispersive et sans atténuation, se propageant à la célérité c_s.

Le signal incident en un point M situé sur le segment [SS_n] vérifie :

En S_n, avec SS_n = d_n, l'expression de l'onde incidente s'écrit :

Lors de la diffraction sur l'arête S_n, l'onde retour est générée selon la loi :

Cette onde retour se propage dans la direction S_n S dans les mêmes conditions d'absence de dispersion et d'atténuation. Elle met une durée \tau_n = \frac{d_n}{c_s} pour parcourir la distance S_n S = d_n. On en déduit l'expression en S au temps t :

soit finalement :

À l'émission en S, la composante harmonique de pulsation \omega est donnée par :

D'après le résultat de la question 6, l'onde retour en S après diffraction en S_n s'exprime avec un retard correspondant au temps de parcours aller-retour \Delta t_n = \frac{2d_n}{c_s} :

En injectant l'expression de la composante harmonique :

La phase \phi'_n(t) de cette composante harmonique à l'instant t en S est l'argument du cosinus, soit :

D'après le résultat de la question Q7, la phase à l'instant t en S de l'onde retour diffractée par la marche S_n s'écrit :

De même, pour l'onde issue de la marche consécutive S_{n+1}, la phase en S au même instant vaut :

La différence de phase \Delta\phi'_n = \phi'_n(t) - \phi'_{n+1}(t) s'exprime donc par :

En introduisant la fréquence \nu = \frac{\omega}{2\pi} de la composante considérée, on peut également l'écrire sous la forme :

Les deux ondes retour diffractées par les marches S_n et S_{n+1} se superposent de manière totalement constructive en S si et seulement si leur différence de phase \Delta\phi'_n est un multiple entier de 2\pi :

D'après le résultat de la question Q8, le déphasage en S s'écrit :

La condition de superposition constructive devient donc :

On en déduit l'ensemble des fréquences audibles sélectionnées constructivement :

Dans le plan vertical contenant la ligne de plus grande pente de l'escalier, repérons la position de la source S à l'origine (0, 0). Le bas de la première marche S_0 est situé au sol à la distance a, soit en (a, 0).

Chaque marche ayant une profondeur b et une hauteur b, les coordonnées de l'arête S_n de la n-ième marche (n \in \{0, \dots, N\}) s'écrivent :

La distance d_n = SS_n est donc donnée par :

Calculons la différence des carrés :

Soit sous forme factorisée :

Par identité remarquable :

En utilisant l'approximation d_{n+1} + d_n \simeq 2d_n, il vient :

D'après la question Q9, la fréquence fondamentale entendue est :

On identifie ainsi l'expression sous la forme demandée \nu_1 \simeq \dfrac{c_s}{2ab} g(n) d_n avec :

1. Détermination de la distance d_N :

La figure 7 fournit les valeurs de g(n)d_n pour l'ensemble des marches n \in \{1, \dots, N\} avec N = 91. L'extrémité droite de la courbe correspond à la dernière marche (n = N). Par lecture graphique sur l'axe des abscisses, on lit :

2. Dates d'arrivée t_1 et t_N :

D'après la question Q6, l'onde retour diffractée par la marche n parvient en S après un trajet aller-retour de longueur 2d_n à la célérité c_s \approx 340\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} :

Pour la première marche (n = 1), comme b \ll a, on a d_1 \approx d_0 = a = 20\text{ m} (valeur également lue à l'extrémité gauche du tracé de la figure 7) :

Pour la dernière marche (n = N = 91) :

3. Durée de l'écho :

L'écho s'étend entre les dates t_1 et t_N. Sa durée totale est donc :

D'après la question Q10, la fréquence fondamentale associée à la diffraction par la n-ième marche s'écrit :

Calculons au préalable la constante préfactorielle avec c_s = 340\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}, a = 20\text{ m} et b = 0,263\text{ m} :

• À la date t_1 (début de l'écho) :
  L'onde reçue provient des premières marches, soit d_n \approx d_0 = a = 20\text{ m}.
  Sur la figure 7, pour d_n = 20\text{ m}, on lit :

  [g(n)d_n]_{t_1} \approx 19,7\text{ m}

  On en déduit :

  \begin{aligned} \nu_1(t_1) &\approx 32,3 \times 19,7 \approx 636\text{ Hz} \end{aligned}

  Soit, avec deux chiffres significatifs :

  \boxed{\nu_1(t_1) \approx 6,4 \times 10^2\text{ Hz}}

• À la date t_N (fin de l'écho) :
  L'onde reçue provient de la dernière marche (n = N = 91), soit d_N \approx 50\text{ m} d'après la question Q11.
  Sur la figure 7, pour d_n = 50\text{ m}, on lit :

  [g(n)d_n]_{t_N} \approx 14,6\text{ m}

  On en déduit :

  \begin{aligned} \nu_1(t_N) &\approx 32,3 \times 14,6 \approx 472\text{ Hz} \end{aligned}

  Soit, avec deux chiffres significatifs :

  \boxed{\nu_1(t_N) \approx 4,7 \times 10^2\text{ Hz}}

D'après la question Q9, l'ensemble des fréquences constructives vérifie :

D'après les questions Q11 et Q12, le signal s'étend entre t_1 \approx 118\text{ ms} et t_N \approx 294\text{ ms}, avec les fréquences fondamentales :

On en déduit les fréquences aux bornes d'abscisses t_1 et t_N pour chaque harmonique :

Comme t = \frac{2d_n}{c_s}, la variable temporelle t est proportionnelle à la distance d_n. La dépendance de \nu_m(t) en fonction de t est donc identique à celle de g(n)d_n en fonction de d_n (figure 7 de l'énoncé), présentant une décroissance continue et légèrement convexe.

Voici le tracé correspondant à reproduire sur la feuille réponse :

1. Comparaison des deux sonogrammes :

• Allure temporelle : les deux signaux présentent une modulation de fréquence descendante (hauteur du son qui décroît au cours du temps, analogue à un chirp ou gazouillement).
• Durée : la durée de l'écho calculée à la question Q11 (\Delta t \approx 176\text{ ms}) est remarquablement proche de la durée du chant du jeune quetzal estimée à la question Q5 (\tau_q \approx 150\text{ ms}).
• Contenu spectral : les deux sons sont constitués d'une onde fondamentale accompagnée de plusieurs harmoniques d'ordres entiers supérieurs.

2. Écart fréquentiel : À la date t = 140\text{ ms}, la fréquence fondamentale mesurée pour le jeune quetzal (question Q5) est :

alors que le fondamental de l'écho de la pyramide évolue entre \nu_1(t_1) \approx 640\text{ Hz} et \nu_1(t_N) \approx 470\text{ Hz} (question Q12), soit environ 600\text{ Hz} à cet instant.

L'écart relatif entre ces deux fréquences fondamentales est de l'ordre de :

Cet écart fréquentiel n'est donc pas négligeable : pour l'oreille humaine, il correspond à un intervalle musical de presque une quinte.

3. Chant d'un oiseau adulte : Un oiseau adulte possède des dimensions anatomiques plus importantes qu'un juvénile ; en particulier, son appareil vocal (la syrinx) et ses cavités de résonance ont des tailles caractéristiques plus grandes. Comme pour tout résonateur acoustique, les fréquences propres sont inversement proportionnelles à ces dimensions caractéristiques.

Le chant d'un quetzal adulte est donc plus grave que celui d'un jeune individu (f_{q,1}^{\text{adulte}} < f_{q,1}^{\text{jeune}}). Sa fréquence fondamentale se rapproche ainsi de la gamme de fréquences de l'écho de la pyramide (470\text{ à }640\text{ Hz}) : l'écart fréquentiel se réduirait donc effectivement pour un oiseau adulte.

Sur la photographie de la figure 9, le disque lunaire ne présente aucune zone éblouissante recevant directement la lumière solaire (ce qui serait le cas lors des phases partielles, entre les contacts 1 et 2 ou entre 3 et 4). La Lune est entièrement plongée dans l'ombre de la Terre et diffuse une faible lueur caractéristique.

Il s'agit donc de la phase de totalité de l'éclipse.

Dans la chronologie définie sur la figure 8b, cette étape se situe :

On peut de plus remarquer sur le cliché un gradient de luminosité : le bord supérieur (vers le zénith) est plus lumineux que le bas. Cela concorde avec la trajectoire représentée sur la figure 8b, où la Lune traverse la partie supérieure du cône d'ombre, passant ainsi plus près de la limite ombre-pénombre au nord qu'au sud.

Pour une onde lumineuse de longueur d'onde moyenne dans le domaine visible \lambda \approx 500\text{ nm} = 5 \times 10^{-7}\text{ m}, la diffraction par un obstacle circulaire (ou une ouverture circulaire selon le théorème de Babinet) de diamètre D = 2R_T donne un demi-angle caractéristique de diffraction :

Avec R_T \approx 6,37 \times 10^6\text{ m}, soit D \approx 1,27 \times 10^7\text{ m} :

Dans le plan d'observation \mathscr{P}_e situé à la distance r_L = 3,84 \times 10^8\text{ m} de la Terre, la taille caractéristique de la diffraction est :

Soit numériquement :

Le rayon du cône d'ombre de la Terre au niveau de l'orbite lunaire ainsi que le rayon de la Lune (R_L \approx 1,74 \times 10^6\text{ m}) sont de l'ordre de plusieurs milliers de kilomètres. La lumière diffractée ne pénètre dans l'ombre que sur une distance a_d \sim 10\ \mu\text{m}, qui est strictement négligeable devant la taille de la zone d'ombre.

Dans l'hypothèse d'une Terre sans atmosphère, les autres sources potentielles d'éclairage du disque lunaire sont :

• la lumière stellaire issue des étoiles et de la Voie lactée ;
• la lumière diffusée ou réfléchie par les autres planètes du Système solaire (notamment Vénus et Jupiter) ;
• la lumière provenant de la couronne solaire externe (qui dépasse le disque terrestre vu depuis la Lune) ;
• la lumière zodiacale (diffusion par les poussières interplanétaires).

L'atmosphère est supposée au repos dans le référentiel terrestre supposé galiléen. La relation fondamentale de la statique des fluides s'écrit, en projection sur l'axe vertical ascendant défini par le vecteur unitaire \boldsymbol{e}_Z (où le champ de pesanteur s'exprime par \boldsymbol{g} = -g\,\boldsymbol{e}_Z) :

L'air étant assimilé à un gaz parfait de masse molaire M_a à température T uniforme, l'équation d'état s'écrit pour une masse m occupant un volume V :

La température T étant uniforme et stationnaire, la dérivation par rapport à Z conduit à :

En injectant cette relation dans l'équation de la statique des fluides, il vient :

En introduisant la hauteur caractéristique (hauteur d'échelle) :

l'équation différentielle se résout immédiatement sous la forme :

Application numérique : Avec T = 20\,^\circ\text{C} = 293\text{ K}, R = 8,31\text{ J}\cdot\text{mol}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}, M_a = 29\times 10^{-3}\text{ kg}\cdot\text{mol}^{-1} et g = 9,80\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} :

L'air étant assimilé à un gaz parfait, l'équation d'état relie la pression P, le volume V, le nombre de moles n et la masse m par :

Au niveau de la mer (Z = 0), pour P(0) = P_0 = 1\text{ bar} = 1{,}0\times 10^5\text{ Pa} et T = 20^\circ\text{C} = 293\text{ K} :

Au sommet du mont Everest, à l'altitude Z_E = 8\,848\text{ m}, le rapport à la hauteur caractéristique H_c \approx 8{,}6\text{ km} (établie en Q17) vaut :

D'après la loi exponentielle \rho_a(Z) = \rho_a(0)\exp(-Z/H_c) et l'indication \exp(-1) \approx 1/3 :

Critique du modèle isotherme :

• Pression et masse volumique prédites : Selon le modèle isotherme, la pression au sommet vaut P(Z_E) = P_0\exp(-Z_E/H_c) \approx \frac{1000\text{ hPa}}{3} \approx 333\text{ hPa}, ce qui est remarquablement proche de la valeur moyenne mesurée (321\text{ hPa}, soit moins de 4\,\% d'écart). La masse volumique réelle déduite des mesures locales vaut :

  \rho_{\text{réelle}} = \frac{P_E M_a}{R T_E} = \frac{321\times 10^2 \times 29\times 10^{-3}}{8{,}31 \times (273 - 23)} = \frac{931}{8{,}31 \times 250} \approx 0{,}45\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}

  L'ordre de grandeur de la masse volumique prédite (0{,}40\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}) est tout à fait satisfaisant (environ 11\,\% d'écart).

• Hypothèse isotherme : En revanche, la température varie de +20^\circ\text{C} au niveau de la mer à -23^\circ\text{C} à 8\,848\text{ m}, soit une chute de plus de 40^\circ\text{C} (gradient thermique moyen d'environ -5\text{ K}\cdot\text{km}^{-1}). L'hypothèse d'une température uniforme n'est donc pas réaliste à l'échelle de la troposphère, où un modèle à gradient thermique constant (atmosphère standard) ou adiabatique est physiquement plus adapté.

L'onde est plane, progressive, monochromatique, de pulsation \omega, et se propage dans le vide selon +\boldsymbol{e}_x. Le vecteur d'onde s'écrit donc :

Le champ électrique est polarisé rectilignement selon \boldsymbol{e}_y et sa phase à l'origine spatio-temporelle (x=0, t=0) est nulle. Son expression réelle est donc :

Pour une onde plane progressive dans le vide, la relation de structure issue de l'équation de Maxwell-Faraday \boldsymbol{\nabla}\wedge\boldsymbol{E} = -\dfrac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t} relie le champ magnétique au champ électrique par :

Comme \boldsymbol{e}_x \wedge \boldsymbol{e}_y = \boldsymbol{e}_z, on obtient :

avec :

À une date t donnée (par exemple choisie telle que \omega t \equiv 0 \pmod{2\pi}, soit t=0), les composantes spatiales oscillent avec la période spatiale \lambda = \dfrac{2\pi c}{\omega} :

Les champs \boldsymbol{E} et \boldsymbol{B} sont en phase, orthogonaux entre eux et transverses (perpendiculaires à la direction de propagation \boldsymbol{e}_x).

Par définition, dans le vide, le vecteur de Poynting s'écrit :

En utilisant les expressions des champs électrique et magnétique obtenues à la question Q19, avec \boldsymbol{e}_y \wedge \boldsymbol{e}_z = \boldsymbol{e}_x et B_m = \frac{E_m}{c} :

L'intensité I_0 véhiculée par l'onde électromagnétique correspond à la puissance surfacique moyenne, c'est-à-dire à la moyenne temporelle de la norme du vecteur de Poynting. Sachant que la moyenne temporelle de \cos^2 vaut \frac{1}{2} :

On en déduit l'expression de l'amplitude E_m :

Avec les valeurs fournies par l'énoncé :

• \mu_0 \approx 10^{-6}\text{ H}\cdot\text{m}^{-1}
• c \approx 3 \times 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}
• I_0 = 1\text{ kW}\cdot\text{m}^{-2} = 10^3\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}

Le calcul donne :

L'ordre de grandeur de E_m est donc :

Considérons un volume mésoscopique V d'air situé au point d'abscisse x. La masse correspondante de ce gaz s'écrit :

Le nombre de moles d'air contenu dans ce volume est donné par n = \frac{m}{M_a}, où M_a est la masse molaire moyenne de l'air.

Le nombre total de molécules présentes dans ce volume vaut ainsi :

où \mathcal{N}_A désigne le nombre d'Avogadro (constante d'Avogadro).

Par définition, le nombre de molécules par unité de volume (densité particulaire) \eta_a(x) = \frac{N}{V} s'exprime donc selon :

On peut également exprimer ce résultat sous la forme \eta_a(x) = \frac{\rho_a(x)}{m_{\text{moléc}}}, où m_{\text{moléc}} = \frac{M_a}{\mathcal{N}_A} représente la masse moyenne d'une molécule d'air.

Considérons une tranche d'atmosphère d'épaisseur \mathrm{d}x, délimitée par les plans d'abscisses x et x+\mathrm{d}x, et d'aire transverse S. Le volume de cette tranche est :

Le nombre de molécules d'air et le nombre de particules de poussière contenus dans cette tranche s'écrivent respectivement :

L'intensité I(x) représente la puissance électromagnétique moyenne traversant l'unité de surface orthogonale à la direction de propagation. Le bilan de puissance moyenne pour la tranche d'air en régime stationnaire s'écrit :

où :

• la puissance incidente en x est \mathscr{P}_{\text{entrant}} = I(x)\,S ;
• la puissance émergente en x+\mathrm{d}x est \mathscr{P}_{\text{sortant}} = I(x+\mathrm{d}x)\,S ;

• la puissance moyenne totale diffusée par les molécules est :

  \mathrm{d}\mathscr{P}_{\text{diff}} = \mathrm{d}N_a \cdot \mathscr{P}_a = \eta_a(x)\,S\,\mathrm{d}x \cdot k_a\left(\frac{\omega}{\omega_0}\right)^4 I(x)

• la puissance moyenne totale absorbée par les poussières est :

  \mathrm{d}\mathscr{P}_{\text{abs}} = \mathrm{d}N_p \cdot \mathscr{P}_p = \eta_p(x)\,S\,\mathrm{d}x \cdot k_p\,I(x)

En injectant ces expressions dans le bilan et en simplifiant par la surface S, il vient :

Soit, sous la forme reliant directement I(x+\mathrm{d}x) à I(x) :

Ce que l'on peut également écrire sous forme différentielle :

D'après le bilan effectué à la question Q22, la dérivée spatiale de l'intensité vérifie :

L'intensité I(x) étant strictement positive le long du trajet, on sépare les variables :

En intégrant cette relation entre l'abscisse 0 et une position x quelconque, avec la variable muette \xi :

En prenant l'exponentielle des deux membres, on obtient bien la forme demandée :

où la densité optique d_o(x) s'exprime par :

D'après l'énoncé, l'indice de réfraction de l'air dépend de l'altitude Z par la relation :

Or, la masse volumique \rho_a(Z) décroît continûment avec l'altitude (modèle établi en Q17). Par conséquent :

• l'indice optique n(Z) n'est pas uniforme : l'atmosphère constitue un milieu transparent inhomogène, présentant un gradient d'indice dirigé vers le bas :

  \boldsymbol{\nabla} n = \frac{\mathrm{d}n}{\mathrm{d}Z}\,\boldsymbol{e}_Z \quad \text{avec} \quad \frac{\mathrm{d}n}{\mathrm{d}Z} < 0
• d'après les lois de Snell-Descartes appliquées de proche en proche (ou l'équation des rayons lumineux issue du principe de Fermat), un rayon lumineux se propageant dans un milieu d'indice continûment variable subit une réfraction progressive et s'incurve continûment vers les zones de plus fort indice optique, c'est-à-dire vers les couches d'air les plus denses (vers le sol).

1. Expression approchée de \sqrt{\dfrac{r^2}{r_0^2}-1} :

Par définition, r = R_T + Z et r_0 = R_T + Z_0, d'où :

Comme Z \ll R_T et Z_0 \ll R_T, on a r_0 \simeq R_T et u \ll r_0. On peut alors développer le quotient :

On en déduit :

2. Expression de \mathrm{d}n en fonction de \mathrm{d}\rho_a :

La relation liant l'indice à la masse volumique s'écrit, à longueur d'onde \lambda fixée :

En différentiant cette relation, on obtient directement :

3. Expression de \mathrm{d}\rho_a en fonction de H_c, \rho_a(Z_0), u et \mathrm{d}u :

D'après le modèle d'atmosphère isotherme (question Q17), la masse volumique varie avec l'altitude selon :

En introduisant Z = Z_0 + u, il vient :

Pour une trajectoire donnée, l'altitude minimale Z_0 est fixée. En différentiant par rapport à la variable u, on trouve :

D'après la question Q25, on dispose des approximations et relations suivantes :

avec, d'après la loi barométrique établie en Q17 :

Les bornes d'intégration sur l'indice n correspondent aux altitudes :

• n = 1 \iff Z \to +\infty \iff u \to +\infty ;
• n = n_0 \iff Z = Z_0 \iff u = 0.

L'expression de la déviation totale s'écrit alors :

Effectuons le changement de variable sans dimension v = \frac{u}{H_c}, d'où u = H_c v et \mathrm{d}u = H_c\,\mathrm{d}v :

En regroupant les termes :

On identifie bien la forme demandée \theta_d(Z_0, \lambda) \approx \Theta(Z_0)\,\varepsilon_\lambda avec :

La fonction \Theta(Z_0) est une fonction strictement décroissante de Z_0. L'altitude Z_0 d'un rayon traversant l'atmosphère sans toucher la Terre étant nécessairement positive ou nulle (Z_0 \ge 0), la déviation est maximale pour un rayon rasant la surface terrestre :

D'après le résultat de la question Q26, l'angle de déviation totale d'un rayon monochromatique de longueur d'onde \lambda passant au plus près de la Terre à l'altitude Z_0 s'écrit :

avec :

Pour une altitude minimale Z_0 fixée, la fonction géométrique \Theta(Z_0) est constante. La dépendance chromatique de la déviation provient exclusivement du terme \varepsilon_\lambda.

En différenciant \theta_d(Z_0, \lambda) par rapport à la longueur d'onde \lambda :

Pour un écart fini élémentaire \delta\lambda entre deux longueurs d'ondes, l'écart de déviation associé \delta\theta_d s'obtient au premier ordre selon :

En valeur absolue, l'écart angulaire de dispersion s'écrit :

Considérons le plan contenant l'axe optique (ST) et un point M_0 situé au limbe de la Terre (altitude Z_0 \ll R_T).

1. Analyse angulaire des rayons parvenant en N :

• Depuis le point N, le rayon terrestre R_T est vu sous l'angle :

  \theta_T \approx \frac{R_T}{r_L} \approx 57'.

  Tout rayon lumineux rasant la Terre au point M_0 et atteignant le point N doit donc faire, après traversée de l'atmosphère, un angle \theta_T \approx 57' avec la direction de l'axe (ST).

• Avant réfraction, les rayons lumineux provenant du Soleil font avec l'axe (ST) un angle \alpha compris entre -\theta_S et +\theta_S (où \theta_S \approx 16' est le demi-diamètre angulaire du Soleil vu depuis la Terre) :

  • pour un rayon issu du bord supérieur du Soleil, le faisceau est incliné vers le bas d'un angle \alpha = +\theta_S = +16' par rapport à l'axe (ST) ;
  • pour un rayon issu du centre du Soleil, \alpha = 0' ;
  • pour un rayon issu du bord inférieur du Soleil, \alpha = -\theta_S = -16'.

• L'atmosphère terrestre dévie les rayons vers les zones de plus fort indice, c'est-à-dire vers la Terre (vers l'axe (ST)), d'un angle de déviation \theta_d \ge 0. L'angle du rayon émergent avec l'axe (ST) vaut donc :

  \theta_{\text{émergent}} = \alpha + \theta_d.

Pour que le rayon atteigne N, il faut que \theta_{\text{émergent}} = \theta_T, soit :

2. Condition quantitative : La déviation \theta_d nécessaire pour focaliser la lumière solaire en N doit donc être comprise dans l'intervalle :

Pour un rayon issu du centre du Soleil (\alpha = 0), la déviation requise est exactement :

Or, d'après le texte, la déviation atmosphérique peut varier continûment entre 0' et :

Puisque \theta_d = 57' \le \theta_{d,M} = 70' (et plus généralement [41', 70'] \subset [0', \theta_{d,M}]), une très large fraction de la lumière émise par le disque solaire subit une déviation suffisante pour atteindre le point N.

D'après la loi d'atténuation établie à la question Q23, la densité spectrale de puissance lumineuse I_\lambda(N) reçue par la Lune au point N s'obtient en multipliant le spectre incident hors atmosphère I_{\lambda,0}(\lambda) par le facteur d'atténuation spectral \exp[-d_o(\lambda)] :

Par lecture conjointe sur les deux graphes de la figure 12, on relève les valeurs suivantes :

Conclusion sur la couleur de la Lune : Les courtes longueurs d'onde du spectre visible (bleu, vert, jaune pour \lambda < 600\text{ nm}) sont très fortement diffusées par l'atmosphère terrestre en raison de la diffusion de Rayleigh (\mathscr{P}_a \propto \omega^4 \propto \lambda^{-4}) et ne parviennent quasiment pas jusqu'à la Lune. En revanche, les grandes longueurs d'onde (rouge et proche infrarouge pour \lambda > 650\text{ nm}) traversent l'atmosphère avec une atténuation modérée et sont déviées par réfraction vers le cône d'ombre.

La lumière parvenant sur la Lune étant exclusivement constituée de composantes rouges, la surface lunaire rediffuse cette lumière vers la Terre :