Feuille d'entraînement : Équations de Maxwell et ondes électromagnétiques dans le vide

Corrigés

1. Exercice 1CCINP Physique-Chimie TSI 2026, Q9

   Dans le vide, en l'absence de charges électriques (\rho = 0) et de courants électriques (\vec{\jmath} = \vec{0}), les équations locales de Maxwell s'écrivent :

   • Équation de Maxwell-Gauss :

     \boxed{\operatorname{div} \vec{E} = 0}

   • Équation de Maxwell-Thomson (ou conservation du flux magnétique) :

     \boxed{\operatorname{div} \vec{B} = 0}

   • Équation de Maxwell-Faraday :

     \boxed{\vec{\operatorname{rot}} \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}}

   • Équation de Maxwell-Ampère :

     \boxed{\vec{\operatorname{rot}} \vec{B} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}}

   où \varepsilon_0 désigne la permittivité diélectrique du vide et \mu_0 la perméabilité magnétique du vide.

   Résultat

   $$\mathrm{div}\vec{E}=0$$

   $$\mathrm{div}\vec{B}=0$$

   $$\overrightarrow{\mathrm{rot}}\vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$$

   $$\overrightarrow{\mathrm{rot}}\vec{B}={\mu }_0{\epsilon }_0\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2CCINP Physique-Chimie TSI 2026, Q10

   D'après la question Q9, les équations de Maxwell dans le vide en l'absence de charges et de courants s'écrivent :

   \begin{aligned} \operatorname{div}\vec{E} &= 0 \quad (\text{M-G}) \\ \vec{\operatorname{rot}}\vec{E} &= -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \quad (\text{M-F}) \\ \vec{\operatorname{rot}}\vec{B} &= \mu_0\varepsilon_0\frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \quad (\text{M-A}) \end{aligned}

   Prenons le rotationnel de l'équation de Maxwell-Faraday :

   \vec{\operatorname{rot}}(\vec{\operatorname{rot}}\vec{E}) = \vec{\operatorname{rot}}\left(-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\right)

   En permutant les dérivations spatiale et temporelle (théorème de Schwarz), puis en injectant l'équation de Maxwell-Ampère :

   \vec{\operatorname{rot}}(\vec{\operatorname{rot}}\vec{E}) = -\frac{\partial}{\partial t}(\vec{\operatorname{rot}}\vec{B}) = -\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2}

   Par ailleurs, d'après l'identité vectorielle fournie dans l'énoncé :

   \vec{\operatorname{rot}}(\vec{\operatorname{rot}}\vec{E}) = \vec{\operatorname{grad}}(\operatorname{div}\vec{E}) - \vec{\Delta}\vec{E}

   Or \operatorname{div}\vec{E} = 0 (Maxwell-Gauss dans le vide), d'où :

   \vec{\operatorname{rot}}(\vec{\operatorname{rot}}\vec{E}) = -\vec{\Delta}\vec{E}

   En égalant les deux expressions du double rotationnel, on obtient :

   \vec{\Delta}\vec{E} - \mu_0\varepsilon_0\frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2} = \vec{0}

   On introduit la célérité de la lumière dans le vide c, définie par :

   \boxed{c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}}}

   Le champ électrique vérifie ainsi l'équation de d'Alembert :

   \boxed{\vec{\Delta}\vec{E} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2} = \vec{0}}

   Résultat

   $$c=\frac{1}{\sqrt{{\mu }_0{\epsilon }_0}}$$

   $$\vec{\Delta }\vec{E}-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2\vec{E}}{\partial t^2}=\vec{0}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3CCINP Physique-Chimie TSI 2026, Q12

   D'après l'équation de Maxwell-Faraday énoncée à la question Q9 :

   \vec{\operatorname{rot}}\vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}

   Le champ électrique s'écrit \vec{E}(M, t) = E_x(z, t)\,\vec{e}_x avec E_x(z, t) = E_0 \cos(\omega t - kz). En coordonnées cartésiennes, le rotationnel s'exprime par :

   \vec{\operatorname{rot}}\vec{E} = \left(\frac{\partial E_z}{\partial y} - \frac{\partial E_y}{\partial z}\right)\vec{e}_x + \left(\frac{\partial E_x}{\partial z} - \frac{\partial E_z}{\partial x}\right)\vec{e}_y + \left(\frac{\partial E_y}{\partial x} - \frac{\partial E_x}{\partial y}\right)\vec{e}_z = \frac{\partial E_x}{\partial z}\,\vec{e}_y

   On calcule la dérivée spatiale :

   \frac{\partial E_x}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z}\big[E_0 \cos(\omega t - kz)\big] = k E_0 \sin(\omega t - kz)

   L'équation de Maxwell-Faraday devient alors :

   \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} = -k E_0 \sin(\omega t - kz)\,\vec{e}_y

   En intégrant par rapport au temps t, et en écartant toute composante statique uniforme indépendante de l'onde, il vient :

   \vec{B}(M, t) = \frac{k}{\omega} E_0 \cos(\omega t - kz)\,\vec{e}_y

   Comme l'onde se propage dans le vide à la célérité c, la relation de dispersion donne \frac{\omega}{k} = c, soit \frac{k}{\omega} = \frac{1}{c}. On obtient finalement :

   \boxed{\vec{B}(M, t) = \frac{E_0}{c}\cos(\omega t - kz)\,\vec{e}_y = \frac{k}{\omega}E_0\cos(\omega t - kz)\,\vec{e}_y}

   Résultat

   $$\vec{B}(M,t)=\frac{E_0}{c}\cos (\omega t-kz){\vec{e}}_y=\frac{k}{\omega }{E}_0\cos (\omega t-kz){\vec{e}}_y$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4CentraleSupélec Physique-Chimie 1 TSI 2024, Q49

   Dans le cas général, en présence de sources caractérisées par une densité volumique de charge \rho(M, t) et une densité volumique de courant \vec{\jmath}(M, t), les équations locales du champ électromagnétique, appelées équations de Maxwell, s'écrivent :

   • Équation de Maxwell-Gauss (MG) :

     \mathrm{div}\,\vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}

   • Équation de Maxwell-Thomson (ou Maxwell-flux) (MT) :

     \mathrm{div}\,\vec{B} = 0

   • Équation de Maxwell-Faraday (MF) :

     \vec{\mathrm{rot}}\,\vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}

   • Équation de Maxwell-Ampère (MA) :

     \vec{\mathrm{rot}}\,\vec{B} = \mu_0\left(\vec{\jmath} + \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}\right)

   Dans un milieu vide de charges et de courants électriques, on a en tout point \rho = 0 et \vec{\jmath} = \vec{0}. Les équations de Maxwell se réduisent alors à :

   \boxed{ \begin{aligned} \mathrm{div}\,\vec{E} &= 0 \quad &\text{(MG)} \\[4pt] \mathrm{div}\,\vec{B} &= 0 \quad &\text{(MT)} \\[4pt] \vec{\mathrm{rot}}\,\vec{E} &= -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \quad &\text{(MF)} \\[4pt] \vec{\mathrm{rot}}\,\vec{B} &= \mu_0\varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \quad &\text{(MA)} \end{aligned} }

   Résultat

   $$\begin{array}{rlr}\mathrm{div}\vec{E}& =0& \text{(MG)}\\ \mathrm{div}\vec{B}& =0& \text{(MT)}\\ \overrightarrow{\mathrm{rot}}\vec{E}& =-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}& \text{(MF)}\\ \overrightarrow{\mathrm{rot}}\vec{B}& ={\mu }_0{\epsilon }_0\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}& \text{(MA)}\end{array}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5CentraleSupélec Physique-Chimie 1 TSI 2024, Q50

   Dans la cavité, le milieu est assimilé au vide dépourvu de charges (\rho = 0) et de courants (\vec{\jmath} = \vec{0}). D'après la question Q49, les équations de Maxwell s'écrivent :

   \begin{aligned} \mathrm{div}\,\vec{E} &= 0 \quad \text{(Maxwell-Gauss)} \\ \vec{\mathrm{rot}}\,\vec{E} &= -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \quad \text{(Maxwell-Faraday)} \\ \vec{\mathrm{rot}}\,\vec{B} &= \varepsilon_0 \mu_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \quad \text{(Maxwell-Ampère)} \end{aligned}

   Prenons le rotationnel de l'équation de Maxwell-Faraday :

   \vec{\mathrm{rot}}\left(\vec{\mathrm{rot}}\,\vec{E}\right) = \vec{\mathrm{rot}}\left(-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\right)

   En inversant l'ordre des dérivations spatio-temporelles, puis en substituant \vec{\mathrm{rot}}\,\vec{B} par son expression issue de l'équation de Maxwell-Ampère, on obtient :

   \vec{\mathrm{rot}}\left(\vec{\mathrm{rot}}\,\vec{E}\right) = -\frac{\partial}{\partial t}\left(\vec{\mathrm{rot}}\,\vec{B}\right) = -\frac{\partial}{\partial t}\left(\varepsilon_0 \mu_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}\right) = -\varepsilon_0 \mu_0 \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2}

   D'autre part, d'après l'identité vectorielle fournie dans le formulaire :

   \vec{\mathrm{rot}}\left(\vec{\mathrm{rot}}\,\vec{E}\right) = \vec{\mathrm{grad}}\left(\mathrm{div}\,\vec{E}\right) - \Delta \vec{E}

   Or, en l'absence de charges volumiques, \mathrm{div}\,\vec{E} = 0, d'où :

   \vec{\mathrm{rot}}\left(\vec{\mathrm{rot}}\,\vec{E}\right) = -\Delta \vec{E}

   En égalant les deux expressions obtenues :

   -\Delta \vec{E} = -\varepsilon_0 \mu_0 \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2}

   soit finalement :

   \boxed{\Delta \vec{E}(M, t) - \varepsilon_0 \mu_0 \frac{\partial^2 \vec{E}(M, t)}{\partial t^2} = \vec{0}}

   Cette équation est usuellement appelée équation de d'Alembert (ou équation des ondes).

   Résultat

   $$\Delta \vec{E}(M,t)-{\epsilon }_0{\mu }_0\frac{{\partial }^2\vec{E}(M,t)}{\partial t^2}=\vec{0}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6CCINP Physique-Chimie TSI 2023, Q29

   Partons de l'équation de Maxwell-Faraday dans le vide (établie à la question Q28) :

   \vec{\mathrm{rot}}\,\vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}

   Prenons le rotationnel de cette relation :

   \vec{\mathrm{rot}}\!\left(\vec{\mathrm{rot}}\,\vec{E}\right) = \vec{\mathrm{rot}}\!\left(-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\right) = -\frac{\partial}{\partial t}\left(\vec{\mathrm{rot}}\,\vec{B}\right)

   En utilisant l'équation de Maxwell-Ampère dans le vide sans courant (\vec{\jmath} = \vec{0}) :

   \vec{\mathrm{rot}}\,\vec{B} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}

   il vient :

   \vec{\mathrm{rot}}\!\left(\vec{\mathrm{rot}}\,\vec{E}\right) = -\mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2}

   D'après l'identité d'analyse vectorielle donnée en formulaire :

   \vec{\mathrm{rot}}\!\left(\vec{\mathrm{rot}}\,\vec{E}\right) = \vec{\mathrm{grad}}(\mathrm{div}\,\vec{E}) - \Delta\vec{E}

   Or, en l'absence de charges (\rho = 0), l'équation de Maxwell-Gauss donne \mathrm{div}\,\vec{E} = 0, d'où \vec{\mathrm{grad}}(\mathrm{div}\,\vec{E}) = \vec{0}. On en déduit :

   -\Delta\vec{E} = -\mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2}

   soit finalement :

   \boxed{\Delta\vec{E} - \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2} = \vec{0}}

   Résultat

   $$\Delta \vec{E}-{\mu }_0{\epsilon }_0\frac{{\partial }^2\vec{E}}{\partial t^2}=\vec{0}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

7. Exercice 7CCINP Physique-Chimie TSI 2023, Q31

   Le champ électrique s'écrit \vec{E}(y,t) = E_0 \cos(\omega t - ky)\,\vec{u}_x.

   Calculons ses dérivées partielles :

   • Dérivée temporelle seconde :

     \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} = -\omega E_0 \sin(\omega t - ky)\,\vec{u}_x \implies \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2} = -\omega^2 E_0 \cos(\omega t - ky)\,\vec{u}_x = -\omega^2 \vec{E}

   • Laplacien vectoriel (le champ ne dépendant spatialement que de la coordonnée y) :

     \Delta \vec{E} = \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial y^2} = -(-k)^2 E_0 \cos(\omega t - ky)\,\vec{u}_x = -k^2 \vec{E}

   D'après la question Q29, le champ électrique vérifie dans le vide l'équation d'onde :

   \begin{aligned} \Delta \vec{E} - \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2} &= \vec{0} \\ -k^2 \vec{E} - \mu_0 \varepsilon_0 \left(-\omega^2 \vec{E}\right) &= \vec{0} \\ \left(-k^2 + \mu_0 \varepsilon_0 \omega^2\right) \vec{E} &= \vec{0} \end{aligned}

   Cette relation étant vraie à tout instant et en tout point, on en déduit :

   k^2 = \mu_0 \varepsilon_0 \omega^2

   Par identification avec l'équation de d'Alembert sous sa forme standard \Delta \vec{E} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2} = \vec{0}, la célérité c de l'onde dans le vide s'exprime par :

   \boxed{c = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0 \mu_0}}}

   Puisque k > 0, \omega > 0 et c > 0, il vient directement :

   \boxed{k = \frac{\omega}{c}}

   Résultat

   $$c=\frac{1}{\sqrt{{\epsilon }_0{\mu }_0}}$$

   $$k=\frac{\omega }{c}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

8. Exercice 8CCINP Physique-Chimie TSI 2023, Q36

   L'équation de Maxwell-Faraday dans le vide s'écrit :

   \vec{\mathrm{rot}}\,\vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}

   Pour une onde plane progressive harmonique dépendant du temps et de l'espace par le facteur \exp[j(\omega t - \vec{k}\cdot\vec{r})], les opérateurs différentiels spatiaux et temporels se traduisent en notation complexe par :

   \vec{\nabla} \equiv -j\vec{k} \quad \implies \quad \vec{\mathrm{rot}}\,\underline{\vec{E}} = -j\vec{k}\wedge\underline{\vec{E}}

   \frac{\partial}{\partial t} \equiv j\omega \quad \implies \quad \frac{\partial \underline{\vec{B}}}{\partial t} = j\omega\underline{\vec{B}}

   L'équation de Maxwell-Faraday devient alors :

   \begin{aligned} -j\vec{k}\wedge\underline{\vec{E}} &= -j\omega\underline{\vec{B}} \\ \underline{\vec{B}} &= \frac{\vec{k}\wedge\underline{\vec{E}}}{\omega} \end{aligned}

   En repassant aux grandeurs réelles :

   \vec{B} = \frac{\vec{k}\wedge\vec{E}}{\omega}

   Analysons les propriétés géométriques de cette relation :

   • Par définition du produit vectoriel, \vec{B} est orthogonal à la fois à \vec{k} et à \vec{E} (\vec{B}\perp\vec{k} et \vec{B}\perp\vec{E}).

   • L'onde est ici polarisée selon \vec{u}_x et se propage selon \vec{u}_y (\vec{k} = k\,\vec{u}_y), on a donc immédiatement :

     \vec{k}\cdot\vec{E} = 0 \quad (\vec{k}\perp\vec{E})

     ce qui découle également de l'équation de Maxwell-Gauss dans le vide (\mathrm{div}\,\vec{E}=0 \implies \vec{k}\cdot\underline{\vec{E}}=0).

   • Comme \omega > 0, le scalaire \frac{1}{\omega} est strictement positif, de sorte que le produit vectoriel \vec{k}\wedge\vec{E} est directement colinéaire et de même sens que \vec{B}.

   Les trois vecteurs étant deux à deux orthogonaux et vérifiant \vec{B} \propto \vec{k}\wedge\vec{E} avec un coefficient positif :

   \boxed{(\vec{k}, \vec{E}, \vec{B}) \text{ forment un trièdre droit direct.}}

   Résultat

   $$(\vec{k},\vec{E},\vec{B})\text{ forment un trieˋdre droit direct.}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

9. Exercice 9CentraleSupélec Physique-Chimie 2 TSI 2023, Q20

   Dans le vide dépourvu de charges et de courants, les densités volumiques de charge et de courant sont nulles :

   \rho = 0 \quad \text{et} \quad \vec{\jmath} = \vec{0}

   Les quatre équations de Maxwell locales s'écrivent alors :

   • Équation de Maxwell-Gauss (MG) :

     \boxed{\operatorname{div} \vec{E} = 0}

   • Équation de Maxwell-Thomson (ou conservation du flux magnétique) (MT) :

     \boxed{\operatorname{div} \vec{B} = 0}

   • Équation de Maxwell-Faraday (MF) :

     \boxed{\vec{\operatorname{rot}}\,\vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}}

   • Équation de Maxwell-Ampère (MA) :

     \boxed{\vec{\operatorname{rot}}\,\vec{B} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} = \frac{1}{c^2}\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}}

     avec c = \dfrac{1}{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}} la vitesse de la lumière dans le vide.

   Résultat

   $$\mathrm{div}\vec{E}=0$$

   $$\mathrm{div}\vec{B}=0$$

   $$\overrightarrow{\mathrm{rot}}\vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$$

   $$\overrightarrow{\mathrm{rot}}\vec{B}={\mu }_0{\epsilon }_0\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}=\frac{1}{c^2}\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

10. Exercice 10CentraleSupélec Physique-Chimie 2 TSI 2023, Q21

    Partons de l'équation de Maxwell-Faraday dans le vide rappelée en Q20 :

    \vec{\operatorname{rot}}\vec{E} = -\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}

    Prenons le rotationnel de cette relation :

    \vec{\operatorname{rot}}\left(\vec{\operatorname{rot}}\vec{E}\right) = -\vec{\operatorname{rot}}\left(\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}\right)

    D'une part, en utilisant l'identité vectorielle du formulaire :

    \vec{\operatorname{rot}}\left(\vec{\operatorname{rot}}\vec{E}\right) = \vec{\operatorname{grad}}\left(\operatorname{div}\vec{E}\right) - \vec{\Delta}\vec{E}

    Comme le milieu est le vide dépourvu de charges électriques (\rho = 0), l'équation de Maxwell-Gauss impose \operatorname{div}\vec{E} = 0. Il vient :

    \vec{\operatorname{rot}}\left(\vec{\operatorname{rot}}\vec{E}\right) = -\vec{\Delta}\vec{E}

    D'autre part, les opérateurs spatiaux et temporels commutent selon le théorème de Schwarz :

    -\vec{\operatorname{rot}}\left(\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}\right) = -\frac{\partial}{\partial t}\left(\vec{\operatorname{rot}}\vec{B}\right)

    En injectant l'équation de Maxwell-Ampère dans le vide (\vec{\jmath} = \vec{0}) :

    \vec{\operatorname{rot}}\vec{B} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial\vec{E}}{\partial t} = \frac{1}{c^2}\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}

    où la vitesse de la lumière dans le vide est définie par c = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0 \mu_0}}. On obtient alors :

    -\vec{\Delta}\vec{E} = -\mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2} = -\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2}

    Soit finalement l'équation de d'Alembert vérifiée par \vec{E} :

    \boxed{\vec{\Delta}\vec{E} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2} = \vec{0}}

    Résultat

    $$\vec{\Delta }\vec{E}-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2\vec{E}}{\partial t^2}=\vec{0}$$

    Indice, stratégie et pièges de cette question