Feuille d'entraînement : Équations de Maxwell et ondes électromagnétiques dans le vide

Corrigés

1. Exercice 1Banque PT Modelisation PT 2026, Q16

   D'après la loi d'Ohm locale (question Q15), le vecteur densité de courant de conduction s'écrit :

   \vec{j} = \gamma \vec{E}

   La densité volumique de courant de déplacement introduite par Maxwell est :

   \vec{j}_{\mathrm{d}} = \epsilon \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}

   Pour une onde monochromatique de champ électrique \vec{E}(x,y,z,t) = E_0\,\mathrm{e}^{i(\omega t - \underline{k}z)}\vec{e}_x, la dérivation temporelle correspond à une multiplication par i\omega :

   \underline{\vec{j}}_{\mathrm{d}} = i \epsilon \omega \underline{\vec{E}}

   En prenant la norme de ces grandeurs complexes, on a :

   \begin{aligned} \|\underline{\vec{j}}\| &= \gamma \|\underline{\vec{E}}\| \\ \|\underline{\vec{j}}_{\mathrm{d}}\| &= \epsilon \omega \|\underline{\vec{E}}\| \end{aligned}

   Le courant de déplacement est donc négligeable devant le courant de conduction (\|\vec{j}_{\mathrm{d}}\| \ll \|\vec{j}\|) si et seulement si :

   \epsilon \omega \ll \gamma \iff \omega \ll \frac{\gamma}{\epsilon}

   La pulsation critique cherchée est donc :

   \boxed{\omega_c = \frac{\gamma}{\epsilon}}

   Résultat

   $${\omega }_c=\frac{\gamma }{ϵ}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2Banque PT Physique A PT 2022, Q14

   Dans le vide de charges (\rho = 0) et de courants (\vec{\jmath} = \vec{0}), comme c'est le cas pour le milieu diélectrique idéal \mathscr{S} séparant les deux conducteurs, les équations de Maxwell s'écrivent sous forme locale :

   • Équation de Maxwell-Gauss :

     \boxed{\mathrm{div}\,\vec{E} = 0}

   • Équation de Maxwell-Thomson (conservation du flux magnétique) :

     \boxed{\mathrm{div}\,\vec{B} = 0}

   • Équation de Maxwell-Faraday :

     \boxed{\vec{\mathrm{rot}}\,\vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}}

   • Équation de Maxwell-Ampère :

     \boxed{\vec{\mathrm{rot}}\,\vec{B} = \mu_0\varepsilon_0\,\frac{\partial \vec{E}}{\partial t} = \frac{1}{c^2}\,\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}}

   Résultat

   $$\mathrm{div}\vec{E}=0$$

   $$\mathrm{div}\vec{B}=0$$

   $$\overrightarrow{\mathrm{rot}}\vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$$

   $$\overrightarrow{\mathrm{rot}}\vec{B}={\mu }_0{\epsilon }_0\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}=\frac{1}{c^2}\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3Banque PT Physique A PT 2020, Q15

   Dans le vide séparant les deux conducteurs situés en x=0 et x=L, la densité volumique de charge est nulle (\rho = 0) et la densité volumique de courant est nulle (\vec{\jmath} = \vec{0}).

   Les équations de Maxwell s'écrivent donc :

   \begin{aligned} \operatorname{div}\vec{E} &= 0 \quad \text{(Maxwell-Gauss)} \\ \vec{\operatorname{rot}}\vec{E} &= -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \quad \text{(Maxwell-Faraday)} \\ \operatorname{div}\vec{B} &= 0 \quad \text{(Maxwell-Thomson)} \\ \vec{\operatorname{rot}}\vec{B} &= \mu_0\varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \quad \text{(Maxwell-Ampère)} \end{aligned}

   Prenons le rotationnel de l'équation de Maxwell-Faraday :

   \vec{\operatorname{rot}}(\vec{\operatorname{rot}}\vec{E}) = -\frac{\partial}{\partial t}(\vec{\operatorname{rot}}\vec{B})

   En substituant \vec{\operatorname{rot}}\vec{B} par son expression issue de l'équation de Maxwell-Ampère et en utilisant l'identité vectorielle \vec{\operatorname{rot}}(\vec{\operatorname{rot}}\vec{E}) = \vec{\operatorname{grad}}(\operatorname{div}\vec{E}) - \vec{\Delta}\vec{E} :

   \vec{\operatorname{grad}}(\operatorname{div}\vec{E}) - \vec{\Delta}\vec{E} = -\mu_0\varepsilon_0 \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2}

   Comme \operatorname{div}\vec{E} = 0 dans le vide, et sachant que c = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}}, on obtient l'équation de d'Alembert :

   \boxed{\vec{\Delta}\vec{E} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2} = \vec{0}}

   Dans le cas d'une onde ne dépendant que de la coordonnée spatiale x, cette équation se réduit à :

   \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial x^2} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2} = \vec{0}

   Résultat

   $$\vec{\Delta }\vec{E}-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2\vec{E}}{\partial t^2}=\vec{0}$$

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4. Exercice 4Banque PT Modelisation PT 2026, Q21

   La longueur d'onde dans le vide \lambda_0 associée à une onde électromagnétique de fréquence f est donnée par :

   \lambda_0 = \frac{c}{f}

   où c \approx 3\cdot 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} désigne la célérité de la lumière dans le vide.

   Pour f = 5\cdot 10^{14}\text{ Hz} :

   \lambda_0 = \frac{3\cdot 10^8}{5\cdot 10^{14}} = 6\cdot 10^{-7}\text{ m} = 600\text{ nm}

   Cette longueur d'onde appartient au domaine visible, classiquement situé entre 400\text{ nm} et 800\text{ nm} (plus particulièrement dans le spectre visible jaune-orangé).

   \boxed{\text{Une fréquence de } 5\cdot 10^{14}\text{ Hz correspond au domaine du \textbf{visible}}.}

   Résultat

   $$\text{Une freˊquence de }5\cdot 10^{14}\text{ Hz correspond au domaine du visible}.$$

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5. Exercice 5Banque PT Physique A PT 2022, Q15

   Dans le milieu \mathscr{S} assimilé au vide, la densité volumique de charge est nulle (\rho = 0). L'équation de Maxwell-Gauss s'écrit :

   \mathrm{div}\,\vec{E} = 0

   Le champ électrique ne possédant qu'une composante selon \vec{u}_r, le formulaire donne en coordonnées cylindriques :

   \mathrm{div}\,\vec{E} = \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\big(r\,E_r(r,z,t)\big) = \frac{1}{r}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\big(r\,E(r)\big)\cos(\omega t - kz)

   Cette égalité devant être vérifiée en tout point du milieu \mathscr{S} et à chaque instant t, on en déduit :

   \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\big(r\,E(r)\big) = 0

   La quantité r\,E(r) est donc constante sur le domaine R_1 \leqslant r \leqslant R_2 :

   r\,E(r) = \text{cte}

   En utilisant la condition à la limite E(R_1) = E_0, on obtient \text{cte} = R_1 E_0, d'où :

   \boxed{E(r) = E_0\,\frac{R_1}{r}}

   Résultat

   $$E(r)=E_0\frac{R_1}{r}$$

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6. Exercice 6Banque PT Physique A PT 2022, Q16

   D'après la question précédente, le champ électrique s'écrit :

   \vec{E}(r,z,t) = \frac{E_0 R_1}{r}\cos(\omega t - kz)\,\vec{u}_r

   Le champ \vec{E} n'ayant qu'une composante radiale E_r(r,z,t) indépendante de \theta, l'expression du rotationnel en coordonnées cylindriques donnée par l'énoncé se réduit à sa composante selon \vec{u}_\theta :

   \begin{aligned} \vec{\mathrm{rot}}\,\vec{E} &= \left(\frac{\partial E_r}{\partial z} - \frac{\partial E_z}{\partial r}\right)\vec{u}_\theta \\ &= \frac{\partial}{\partial z}\left[\frac{E_0 R_1}{r}\cos(\omega t - kz)\right]\vec{u}_\theta \\ &= k\,\frac{E_0 R_1}{r}\sin(\omega t - kz)\,\vec{u}_\theta \end{aligned}

   D'après l'équation de Maxwell-Faraday :

   \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} = -\vec{\mathrm{rot}}\,\vec{E} = -k\,\frac{E_0 R_1}{r}\sin(\omega t - kz)\,\vec{u}_\theta

   Par intégration par rapport au temps t :

   \vec{B}(r,z,t) = \frac{k}{\omega}\frac{E_0 R_1}{r}\cos(\omega t - kz)\,\vec{u}_\theta + \vec{B}_0(r,z)

   En l'absence de composante statique, la constante d'intégration \vec{B}_0(r,z) est nulle, d'où :

   \boxed{\vec{B}(r,z,t) = \frac{k}{\omega}\frac{E_0 R_1}{r}\cos(\omega t - kz)\,\vec{u}_\theta}

   Résultat

   $$\vec{B}(r,z,t)=\frac{k}{\omega }\frac{E_0{R}_1}{r}\cos (\omega t-kz){\vec{u}}_{\theta }$$

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7. Exercice 7Banque PT Physique A PT 2020, Q16

   La forme proposée pour le champ électrique est :

   \vec{E}(x,t) = g(x) \cos(2\pi ft) \, \vec{u}_y

   Cette forme présente plusieurs caractéristiques physiques :

   • Onde stationnaire : les variables spatiale x et temporelle t sont factorisées sous la forme d'un produit g(x) \times \cos(2\pi ft). L'onde ne dépend pas d'une combinaison de propagation du type (t \pm x/c) : il n'y a pas de transport net d'énergie selon Ox, mais une oscillation synchrone en tous points avec une amplitude locale modulée par g(x), définissant des ventres et des nœuds d'oscillation.
   • Onde monochromatique (ou harmonique) : l'évolution temporelle est purement sinusoïdale de fréquence bien déterminée f.
   • Onde polarisée rectilignement : la direction du champ électrique est fixe au cours du temps et parallèle à l'axe vertical \vec{u}_y.
   • Onde plane transverse : le champ ne dépend spatialement que de la seule coordonnée cartésienne x, et il est orthogonal à la direction de variation spatiale (\vec{E} \cdot \vec{u}_x = 0).

   \boxed{\text{Il s'agit d'une onde plane monochromatique stationnaire, polarisée rectilignement selon } \vec{u}_y.}

   Résultat

   $$\text{Il s’agit d’une onde plane monochromatique stationnaire, polariseˊe rectilignement selon }{\vec{u}}_y.$$

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8. Exercice 8Banque PT Physique A PT 2020, Q1

   L'expression du champ électrique complexe de l'onde incidente est :

   \underline{\vec{E}}(x,t) = E_0 \exp\bigl(j(\omega t - kx)\bigr)\,\vec{u}_z

   Cette onde présente les caractéristiques suivantes :

   • Plane : la phase \omega t - kx et l'amplitude complexe sont uniformes dans tout plan x = \text{cte} perpendiculaire à la direction de propagation ;
   • Progressive : l'argument est de la forme \omega t - kx, ce qui correspond à une onde se propageant dans le sens des x croissants à la célérité c = \omega/k ;
   • Harmonique (ou monochromatique) : la dépendance temporelle est sinusoïdale, caractérisée par une pulsation unique \omega ;
   • Polarisée rectilignement : la direction du champ électrique reste constamment parallèle à l'axe fixe porté par \vec{u}_z ;
   • Transverse : le vecteur champ électrique \vec{E} est orthogonal à la direction de propagation \vec{u}_x (\vec{E} \cdot \vec{u}_x = 0).

   Il s'agit donc d'une onde plane progressive harmonique (OPPH) transverse, polarisée rectilignement selon \vec{u}_z.

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9. Exercice 9Banque PT Physique A PT 2022, Q17

   Les deux autres équations de Maxwell à vérifier sont Maxwell-Thomson et Maxwell-Ampère dans le vide.

   1. Équation de Maxwell-Thomson : Le champ magnétique établi à la question précédente s'écrit :

   \vec{B}(r,z,t) = \frac{k}{\omega}\frac{E_0 R_1}{r}\cos(\omega t - kz)\,\vec{u}_\theta

   En coordonnées cylindriques, l'expression de la divergence est :

   \mathrm{div}\,\vec{B} = \frac{1}{r}\frac{\partial(r B_r)}{\partial r} + \frac{1}{r}\frac{\partial B_\theta}{\partial \theta} + \frac{\partial B_z}{\partial z}

   Comme B_r = 0, B_z = 0 et que B_\theta est indépendant de \theta, on a :

   \mathrm{div}\,\vec{B} = 0

   Cette équation est donc identiquement satisfaite, quelle que soit la valeur de k.

   2. Équation de Maxwell-Ampère dans le vide : Elle s'écrit :

   \vec{\mathrm{rot}}\,\vec{B} = \mu_0\varepsilon_0\,\frac{\partial \vec{E}}{\partial t} = \frac{1}{c^2}\,\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}

   Calculons les composantes du rotationnel de \vec{B} à l'aide de la formule fournie :

   \begin{aligned} (\vec{\mathrm{rot}}\,\vec{B})_r &= \frac{1}{r}\frac{\partial B_z}{\partial \theta} - \frac{\partial B_\theta}{\partial z} = -\frac{\partial B_\theta}{\partial z} = -\frac{k^2}{\omega}\frac{E_0 R_1}{r}\sin(\omega t - kz) \\ (\vec{\mathrm{rot}}\,\vec{B})_\theta &= \frac{\partial B_r}{\partial z} - \frac{\partial B_z}{\partial r} = 0 \\ (\vec{\mathrm{rot}}\,\vec{B})_z &= \frac{1}{r}\frac{\partial(r B_\theta)}{\partial r} - \frac{1}{r}\frac{\partial B_r}{\partial \theta} = \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left[\frac{k}{\omega}E_0 R_1\cos(\omega t - kz)\right] = 0 \end{aligned}

   D'autre part, en dérivant le champ électrique \vec{E}(r,z,t) = \frac{E_0 R_1}{r}\cos(\omega t - kz)\,\vec{u}_r par rapport au temps :

   \mu_0\varepsilon_0\,\frac{\partial \vec{E}}{\partial t} = -\mu_0\varepsilon_0\,\omega\,\frac{E_0 R_1}{r}\sin(\omega t - kz)\,\vec{u}_r

   L'équation de Maxwell-Ampère est satisfaite si et seulement si les composantes radiales coïncident, soit :

   -\frac{k^2}{\omega} = -\mu_0\varepsilon_0\,\omega = -\frac{\omega}{c^2}

   Comme k et \omega sont des constantes positives, on en déduit la condition :

   \boxed{k = \frac{\omega}{c} = \omega\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}}

   Résultat

   $$k=\frac{\omega }{c}=\omega \sqrt{{\epsilon }_0{\mu }_0}$$

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10. Exercice 10Banque PT Physique A PT 2022, Q18

    Soit \mathcal{C} le contour circulaire de rayon r \in [R_1, R_2], centré sur l'axe Oz, situé à la cote z et orienté selon le vecteur unitaire orthoradial \vec{u}_\theta. On l'appuie sur une surface plane \Sigma, constituée du disque de rayon r à cette même cote z. La règle de la main droite oriente la normale à cette surface selon l'axe longitudinal : \mathrm{d}\vec{S} = \mathrm{d}S\,\vec{u}_z.

    D'après le théorème de Stokes appliqué à l'équation de Maxwell-Ampère :

    \oint_{\mathcal{C}} \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{\ell} = \iint_\Sigma \vec{\mathrm{rot}}\,\vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{S} = \mu_0 \iint_\Sigma \vec{\jmath} \cdot \mathrm{d}\vec{S} + \mu_0 \varepsilon_0 \iint_\Sigma \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \cdot \mathrm{d}\vec{S}

    Or, le champ électrique de l'onde est purement radial :

    \vec{E}(r', z, t) = E(r') \cos(\omega t - kz)\,\vec{u}_r

    Comme la base locale cylindrique est orthonormée, \vec{u}_r \cdot \vec{u}_z = 0. Il en résulte que le flux du courant de déplacement à travers \Sigma est strictement nul :

    \iint_\Sigma \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \cdot \mathrm{d}\vec{S} = \iint_\Sigma \frac{\partial E_r}{\partial t} \underbrace{(\vec{u}_r \cdot \vec{u}_z)}_{=0} \mathrm{d}S = 0

    L'équation se réduit ainsi à la somme des courants de conduction enlacés :

    \oint_{\mathcal{C}} \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{\ell} = \mu_0 I_{\text{enlacé}}

    On retrouve bien la formulation classique du théorème d'Ampère statique.

    Le seul conducteur traversé par la surface \Sigma est le cylindre intérieur (de rayon R_1 < r). Le courant enlacé algébrique, orienté suivant \vec{u}_z, est l'intensité i(t, z) qui le parcourt :

    I_{\text{enlacé}} = i(t, z)

    Le champ magnétique étant purement orthoradial et de norme uniforme le long du contour \mathcal{C} où \mathrm{d}\vec{\ell} = r\,\mathrm{d}\theta\,\vec{u}_\theta :

    \begin{aligned} \oint_{\mathcal{C}} \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{\ell} &= \int_0^{2\pi} B_\theta(r, z, t)\, r\,\mathrm{d}\theta = 2\pi r \, B_\theta(r, z, t) \end{aligned}

    En utilisant l'expression du champ obtenue aux questions Q16 et Q17, avec k/\omega = 1/c :

    B_\theta(r, z, t) = \frac{E_0 R_1}{c\,r}\cos(\omega t - kz)

    La circulation vaut donc :

    \oint_{\mathcal{C}} \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{\ell} = 2\pi \frac{E_0 R_1}{c} \cos(\omega t - kz)

    On en déduit :

    \mu_0 \, i(t, z) = 2\pi \frac{E_0 R_1}{c} \cos(\omega t - kz)

    Comme c = 1/\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}, on a \frac{1}{\mu_0 c} = \sqrt{\frac{\varepsilon_0}{\mu_0}}. On obtient finalement :

    \boxed{i(t, z) = \frac{2\pi E_0 R_1}{\mu_0 c}\cos(\omega t - kz) = 2\pi \sqrt{\frac{\varepsilon_0}{\mu_0}} E_0 R_1 \cos(\omega t - kz)}

    Résultat

    $$i(t,z)=\frac{2\pi E_0{R}_1}{{\mu }_{0}c}\cos (\omega t-kz)=2\pi \sqrt{\frac{{\epsilon }_0}{{\mu }_0}}{E}_0{R}_1\cos (\omega t-kz)$$

    Indice, stratégie et pièges de cette question