Corrigé détaillé Mines Physique 2 PC 2020

Les objets étant situés à l'infini (très au-delà du punctum remotum), l'œil emmétrope observe sans accommoder. D'après le document 1, la distance focale image vaut alors :

Les images des deux objets ponctuels se forment dans le plan focal image, c'est-à-dire directement sur la rétine au niveau de la fovéa.

La surface moyenne occupée par un cône est S_{\text{cône}} \approx \frac{1}{N}. En modélisant la répartition des cônes par un réseau régulier, la distance moyenne entre deux cônes adjacents est :

Deux objets ponctuels sont discernables si leurs images géométriques sur la rétine sont séparées par une distance minimale \Delta x.

• Au sens le plus strict (résolution géométrique élémentaire), les deux images doivent stimuler deux récepteurs distincts :

  \Delta x \ge d = \frac{1}{\sqrt{N}}
• Si l'on impose la présence d'au moins un photorécepteur non stimulé entre les deux images pour détecter un contraste (critère d'échantillonnage de Nyquist-Shannon), il faut \Delta x \ge 2d = \frac{2}{\sqrt{N}}.

Dans l'approximation des petits angles, l'écart angulaire \alpha_1 et l'écart rétinien \Delta x sont liés par :

En retenant la condition de séparation sur deux cônes adjacents (\Delta x = d) :

Application numérique : Avec N = 160\,000\text{ mm}^{-2} = 1{,}6 \times 10^{11}\text{ m}^{-2} et f' = 17\text{ mm} = 17 \times 10^{-3}\text{ m} :

Sachant que 1' = 2{,}9 \times 10^{-4}\text{ rad} :

Remarque : avec le critère à un cône intermédiaire non stimulé (\Delta x = 2d), on obtiendrait \alpha_1 = \frac{2}{f'\sqrt{N}} \approx 2{,}9 \times 10^{-4}\text{ rad} \approx 1'.

La pupille d'entrée de l'œil, assimilable à une ouverture circulaire de diamètre D, diffracte la lumière émise par chaque source ponctuelle. L'image sur la rétine est une tache d'Airy dont le rayon angulaire du premier anneau sombre est donné d'après le document 2 par :

D'après le critère de Rayleigh (illustré par le cas limite (b) du document 3), deux sources ponctuelles incohérentes sont discernables lorsque le maximum central de la figure de diffraction de l'une coïncide avec le premier zéro de celle de l'autre. La séparation angulaire minimale est donc :

Avec \bar{\lambda} = 500\text{ nm} = 5{,}0 \times 10^{-7}\text{ m} et D = 3\text{ mm} = 3 \times 10^{-3}\text{ m} :

Sachant que 1' = 2{,}9 \times 10^{-4}\text{ rad}, on obtient :

Comparaison avec \alpha_1 : On constate que la limite imposée par la diffraction est du même ordre de grandeur que la limite imposée par le pavage des récepteurs rétiniens obtenue à la question 1 :

Pour minimiser la taille a_1 d'un motif résolu par l'œil sous le diamètre angulaire minimal \alpha_2, l'observateur doit placer l'objet à la distance minimale de vision distincte, c'est-à-dire au punctum proximum (PP).

D'après le document 1, la distance séparant la pupille du PP vaut :

Dans le cadre de l'approximation des petits angles :

On en déduit l'expression du plus petit motif discernable :

L'énoncé donne \alpha_2 = 1' = 2{,}9 \times 10^{-4}\text{ rad}. L'application numérique conduit à :

Une dimension de l'ordre de 70 à 100\text{ }\mu\text{m} correspond typiquement au diamètre d'un cheveu humain (ou à l'épaisseur d'une feuille de papier).

Le microscope simple de Van Leeuwenhoek fonctionne sur le principe d'une loupe de très courte distance focale f'_L.

L'intérêt d'interposer cette lentille entre l'échantillon et l'observateur est double :

• Observation sans fatigue visuelle : En plaçant l'échantillon AB dans le plan focal objet de la lentille (A=F), l'image A'B' est rejetée à l'infini. Un œil emmétrope placé juste derrière la lentille observe ainsi l'image sans accommoder.

• Augmentation spectaculaire de l'angle apparent (grossissement) : À l'œil nu, pour voir un objet le plus gros possible, l'observateur doit le placer au punctum proximum (d_{PP} \approx 25\text{ cm}), sous un angle apparent :

  \alpha_{\text{nu}} \approx \frac{AB}{d_{PP}}

  Avec la lentille boule, l'angle sous lequel est vue l'image à l'infini s'exprime dans les conditions de Gauss par :

  \alpha' \approx \frac{AB}{f'_L}

  Le grossissement commercial associé est alors :

  \boxed{G_c = \frac{\alpha'}{\alpha_{\text{nu}}} = \frac{d_{PP}}{f'_L}}

Comme le rayon de la bille de silice est millimétrique, sa distance focale f'_L est extrêmement courte (f'_L \approx 1\text{ mm}), ce qui procure un grossissement commercial considérable (G_c \approx 250). Des détails microscopiques invisibles à l'œil nu deviennent ainsi discernables.

1. Relation entre i_1 et i_2 :

Au point d'entrée I, la loi de Snell-Descartes s'écrit :

Le triangle CIJ est isocèle en C car CI = CJ = R. Les angles à la base sont donc égaux :

Au point de sortie J, la réfraction vers l'air donne :

On en déduit immédiatement \sin i_2 = n \sin r_1 = \sin i_1, soit, les angles étant aigus :

2. Expression de i_1 en fonction de x et R :

Le rayon incident étant parallèle à l'axe optique (Cz) à la distance x, la normale (CI) fait un angle i_1 avec l'axe (Cz). Dans le triangle rectangle formé par le centre C, le point I et la projection de I sur l'axe :

Dans l'approximation de Gauss (x \ll R), il vient :

3. Expression de \beta_r :

Dans le triangle isocèle CIJ, l'angle au sommet vaut \widehat{ICJ} = \pi - 2r_1. La droite (CI) faisant un angle i_1 avec la direction -\vec{u}_z, l'angle \beta_r = \widehat{F'CJ} entre (CJ) et l'axe optique +\vec{u}_z vérifie :

Dans l'approximation de Gauss, r_1 \approx i_1/n, d'où :

4. Expression de \beta :

Considérons le triangle CJF'. La somme de ses angles intérieurs vaut \pi :

L'angle \widehat{CJF'} entre le rayon intérieur (CJ) et le rayon émergent (JF') vaut \pi - i_2 = \pi - i_1. Il vient donc :

En remplaçant \beta_r par son expression :

Soit en fonction de x, R et n :

5. Détermination de la distance focale f'_L = CF' :

Dans le triangle CJF', appliquons la loi des sinus :

Dans l'approximation de Gauss (\sin i_1 \approx i_1 et \sin \beta \approx \beta) :

On obtient l'expression de la distance focale :

6. Application numérique :

Avec n = 1{,}5 et R = 0{,}60\text{ mm} :

L'objet A et son image A' sont séparés d'une distance axiale \ell = \overline{AA'} = 195\text{ mm} > 0. En décomposant selon le centre optique C de la lentille :

En injectant cette relation dans la formule de conjugaison avec origine au centre :

On obtient l'équation du second degré en \overline{CA} :

Le discriminant associé s'écrit :

Comme \ell \gg 4f'_L, \Delta > 0, l'équation admet deux solutions réelles négatives :

Le grandissement transversal est donné par \gamma = \frac{\overline{CA'}}{\overline{CA}} = 1 + \frac{\ell}{\overline{CA}}. Pour une image réelle (\overline{CA'} > 0) d'un objet réel (\overline{CA} < 0), la condition |\gamma| > 1 équivaut à :

La seule solution vérifiant cette condition est la plus grande racine :

Sous l'hypothèse \ell \gg 4f'_L, effectuons un développement limité au premier ordre en f'_L/\ell :

D'où l'expression approchée de la position de l'objet :

L'objet est donc situé très près du foyer objet F. On en déduit l'expression approchée du grandissement transversal :

Application numérique : avec \ell = 195\text{ mm} et f'_L = 1{,}0\text{ mm}, on obtient \gamma \approx -195.

1. Dispositif expérimental pour générer \underline{s}_i(z,t)

L'onde incidente \underline{s}_i(z,t) = \underline{A}_0 e^{i(\omega t - k_0 z)} est une onde plane progressive monochromatique se propageant selon l'axe optique (Oz) dans l'air. Elle peut être obtenue expérimentalement par :

• un laser de longueur d'onde \lambda = 500\text{ nm} associé à un télescope afocal (élargisseur de faisceau) pour obtenir un faisceau collimaté de large diamètre ;
• ou une lampe spectrale munie d'un filtre interférentiel centré sur \lambda, éclairant un diaphragme de très petit diamètre (source quasi-ponctuelle) placé au foyer objet d'une lentille convergente (collimateur).

2. Décomposition de l'onde transmise en trois ondes planes

La transmittance de la mire s'écrit sous forme d'exponentielles complexes selon la formule d'Euler :

En z = 0^+, le signal transmis vaut \underline{s}_t(x, 0, t) = t_1(x)\,\underline{s}_i(0, t) :

Pour z > 0, dans un milieu homogène d'indice n=1, chaque composante harmonique se propage comme une onde plane progressive monochromatique de vecteur d'onde \vec{k}_m = k_{mx}\widehat{u}_x + k_{mz}\widehat{u}_z vérifiant la relation de dispersion :

Avec la condition de propagation vers les z croissants (k_{mz} > 0) et a > \lambda :

On identifie alors les trois ondes de l'expression \underline{s}_t(x,z,t) = \sum_{m=1}^3 \underline{A}_m e^{i(\omega t - \vec{k}_m \cdot \vec{r})} :

3. Figure observée dans le plan focal image de la lentille

Chaque onde plane arrivant sur la lentille converge en un point de son plan focal image :

• L'onde 1 d'ordre 0 se propage selon l'axe optique (\theta_1 = 0) et converge au foyer principal image F' :

  x'_1 = 0

• Les ondes 2 et 3 d'ordres +1 et -1 se propagent avec des angles d'inclinaison \pm \theta par rapport à l'axe optique tels que \sin\theta = \frac{k_x}{k_0} = \frac{\lambda}{a}. Dans l'approximation de Gauss (\theta \ll 1), \tan\theta \approx \sin\theta \approx \frac{\lambda}{a}, et elles convergent aux foyers secondaires d'abscisses :

  x'_2 = + f'_L \frac{\lambda}{a} \quad \text{et} \quad x'_3 = - f'_L \frac{\lambda}{a}

1. Estimation numérique de \tan U

D'après les données de l'énoncé, le rayon de la lentille est R = 0{,}60\text{ mm} et sa distance focale équivalente est f'_L = 1{,}0\text{ mm}. On obtient directement :

2. Expression du pas minimal a_2

D'après la question Q7, l'onde transmise par la mire est décomposée en trois ondes planes correspondant aux ordres 0 et \pm 1. L'ordre 0 se propage suivant l'axe optique, tandis que les ordres \pm 1 se propagent sous un angle \theta avec l'axe (Oz) tel que :

Selon la théorie d'Abbe, pour que la mire soit résolue dans le plan image, il est indispensable qu'au moins deux faisceaux interfèrent (l'ordre central non dévié et au moins l'un des ordres diffractés \pm 1). L'angle de diffraction \theta ne doit donc pas dépasser le demi-angle d'ouverture U collecté par l'objectif :

Le pas minimal observable s'écrit donc en fonction de U et \lambda :

Dans le cadre de l'approximation de Gauss adoptée par l'énoncé, \sin U \approx \tan U = \frac{R}{f'_L} (ou de manière équivalente, en considérant que la position de la tache dans le plan focal image doit vérifier |x'_{2,3}| = f'_L \frac{\lambda}{a} \le R), ce qui donne :

Remarque : Si l'on ne fait pas l'approximation paraxiale pour l'angle U, avec \sin U = \frac{\tan U}{\sqrt{1 + \tan^2 U}} = \frac{R}{\sqrt{{f'_L}^2 + R^2}}, on obtiendrait a_2 = \frac{\lambda\sqrt{{f'_L}^2 + R^2}}{R}.

3. Application numérique et comparaison à a_1

Avec \lambda = 500\text{ nm} = 0{,}50\,\mu\text{m}, le calcul numérique donne :

(La formule avec \sin U \approx 0{,}514 conduit à a_2 \approx 0{,}97\,\mu\text{m} \approx 1{,}0\,\mu\text{m}). On retient donc un ordre de grandeur :

À la question Q3, la limite de résolution spatiale de l'œil nu a été évaluée à a_1 \approx 73\,\mu\text{m} \approx 70\,\mu\text{m}. Le rapport vaut :

Commentaire : La lentille de Van Leeuwenhoek permet un gain de résolution de près de deux ordres de grandeur par rapport à l'œil nu. Elle permet ainsi d'atteindre l'échelle micrométrique, rendant pour la première fois observables des micro-organismes (bactéries, globules sanguins, levures).

Une onde incidente plane se propageant selon +z présente des surfaces d'onde équiphases perpendiculaires à l'axe (Oz).

Entre les plans z = 0 et z = e, le chemin optique parcouru dépend de la zone transverse considérée :

• pour |x| > b (milieu extérieur d'indice n = 1) :

  L_2 = 1 \times e = e

• pour |x| < b (échantillon d'indice n' supérieur à 1) :

  L_1 = n' \times e

Comme n' > 1, la célérité de la lumière dans l'échantillon v = c/n' est plus faible que dans le milieu extérieur (c). L'onde subit un retard de phase dans la partie centrale :

Une surface d'onde étant le lieu des points de même phase (ou atteints au même instant par l'onde issue d'une même surface d'onde incidente), la portion de surface d'onde ayant traversé l'échantillon présente un retard géométrique spatialisé de :

vers l'amont (les z décroissants).

La surface d'onde transmise \Sigma_t reste plane par morceaux : elle est en avance pour |x| > b et en retrait d'une distance \Delta z = (n'-1)e dans la région centrale |x| < b.

Le retard de phase accumulé par une onde monochromatique de longueur d'onde dans le vide \lambda lors d'un trajet géométrique e dans un milieu d'indice n s'écrit \varphi = \frac{2\pi}{\lambda} L, où L = n e est le chemin optique associé.

• Pour |x| > b, l'onde se propage dans le milieu environnant d'indice n = 1, d'où le chemin optique L_2 = e :

  \boxed{\varphi_2 = \frac{2\pi}{\lambda} e}

• Pour -b < x < b, l'onde traverse l'échantillon d'indice n' sur l'épaisseur e, soit un chemin optique L_1 = n'e :

  \boxed{\varphi_1 = \frac{2\pi}{\lambda} n' e}

En prenant comme onde de référence en sortie l'onde ayant traversé le milieu d'indice 1, d'amplitude \underline{s}_{\text{ref}}(e,t) = \underline{A}_0 e^{i(\omega t - \varphi_2)}, l'onde transmise s'écrit :

Par identification avec l'expression donnée dans l'énoncé :

• pour |x| > b : \underline{t}_2(x) = 1 ;

• pour -b < x < b : \underline{s}_t(e,t) = \underline{A}_0 e^{i(\omega t - \varphi_1)} = e^{-i(\varphi_1 - \varphi_2)} \underline{s}_{\text{ref}}(e,t), ce qui conduit à :

  \underline{t}_2(x) = e^{-i(\varphi_1 - \varphi_2)} = e^{-i\varphi'}

On en déduit l'expression du déphasage relatif \varphi' :

D'après la question Q10, la transmittance dans la région -b < x < b est donnée par :

Un développement limité au premier ordre de l'exponentielle s'écrit :

Pour pouvoir écrire \underline{t}_2(x) \approx 1 - i\varphi', il est mathématiquement nécessaire que le module du déphasage soit très petit devant 1 radian :

En utilisant l'expression établie à la question Q10, \varphi' = \dfrac{2\pi}{\lambda}(n'-1)e, cette condition se traduit physiquement par :

Cette condition physique est satisfaite lorsque :

• le contraste d'indice est très faible : l'indice n' de l'échantillon biologique est très proche de l'indice du milieu environnant (|n'-1| \ll 1) ;
• l'échantillon est de très faible épaisseur e (typiquement microscopique), de sorte que le retard de marche optique \Delta L = |n'-1|e reste très inférieur à la longueur d'onde de la lumière \lambda.

Considérons une onde plane diffractée par l'objet faisant un angle \theta avec l'axe optique (Oz). Dans le cadre de l'approximation de Gauss (rayons peu inclinés sur l'axe, soit \theta \ll 1), cette onde plane converge dans le plan focal image de la lentille en un foyer secondaire situé à l'ordonnée transverse x' telle que :

Par ailleurs, la composante suivant l'axe (Ox) du vecteur d'onde \vec{k} de cette onde plane progressive dans l'air s'écrit :

En éliminant l'angle \theta entre ces deux relations, on obtient :

D'après la définition rappelée par l'énoncé, la fréquence spatiale u est définie par u = \frac{k_x}{2\pi}. On en déduit :

D'après la question Q11, la transmittance de l'échantillon s'écrit :

Par linéarité de la transformée de Fourier et de la transformée de Fourier inverse, et à l'aide des correspondances données dans le tableau de l'énoncé :

La condition |x| < b sur l'objet correspond dans le plan image à \left|\dfrac{X}{\gamma}\right| < b, soit |X| < |\gamma|b. On en déduit l'expression de l'amplitude complexe sur les deux domaines :

L'intensité lumineuse observée dans le plan image est donnée par I_1(X) = \underline{S}_1(X)\underline{S}_1^*(X) = |\underline{S}_1(X)|^2. La constante \alpha étant réelle :

Les intensités extrémales dans le plan image sont donc :

On en déduit le contraste C_1 :

D'après l'approximation d'objet de phase faible (question Q11), la transmittance dans le plan objet s'écrit :

Dans le plan focal image, la transformée de Fourier de cette transmittance vaut \delta(u) - i\Phi(u) (question Q13).

Le disque placé en F' (u=0), de taille négligeable, n'intercepte que la composante d'onde non diffractée décrite par \delta(u) et lui applique un déphasage de +\pi/2, soit une multiplication par e^{i\pi/2} = i. La lumière diffractée -i\Phi(u) passe en dehors du disque et ne subit aucune modification. L'amplitude dans le plan focal devient donc :

Par transformée de Fourier inverse (T.F.^{-1}) et linéarité, l'amplitude complexe dans le plan image s'écrit :

On distingue ainsi les deux intervalles en X :

• Pour |X| > |\gamma|b (fond hors de l'image de l'échantillon) :

  \boxed{\underline{S}_2(X) = i\alpha}

• Pour |X| < |\gamma|b (zone conjuguée de l'échantillon) :

  \boxed{\underline{S}_2(X) = i\alpha(1 - \varphi')}

L'intensité correspondante I_2(X) = \underline{S}_2(X)\,\underline{S}_2^*(X) vaut :

• Pour |X| > |\gamma|b :

  \boxed{I_2(X) = \alpha^2}

• Pour |X| < |\gamma|b :

  \boxed{I_2(X) = \alpha^2(1 - \varphi')^2}

Pour un milieu plus réfringent que l'air (n' > 1), on a \varphi' > 0, donc I_2(|X| < |\gamma|b) < I_2(|X| > |\gamma|b). Les extrema d'intensité valent donc I_{\max} = \alpha^2 et I_{\min} = \alpha^2(1 - \varphi')^2. Le contraste s'exprime par :

Dans le cadre de l'approximation de phase faible (\varphi' \ll 1), en ne retenant que le premier ordre non nul :

(ou plus généralement C_2 \approx |\varphi'| si le signe de \varphi' n'est pas fixé).

Le disque placé en F' n'intercepte que l'onde non diffractée d'ordre zéro associée à la distribution de Dirac \delta(u). En plus d'imposer un déphasage de +\pi/2 (facteur e^{i\pi/2} = i), il atténue l'amplitude d'un facteur |\underline{t}_3| < 1. Sa transmittance s'écrit donc au point focal x'=0 :

L'onde diffractée (u \neq 0), qui passe en dehors du disque ponctuel, demeure inchangée. Par linéarité de la transformation de Fourier inverse, l'amplitude complexe dans le plan image devient :

• pour |X| > |\gamma| b (fond) :

  \underline{S}_3(X) = i |\underline{t}_3| \alpha

• pour |X| < |\gamma| b (image de l'échantillon) :

  \underline{S}_3(X) = i |\underline{t}_3| \alpha - i\alpha \varphi' = i\alpha \left( |\underline{t}_3| - \varphi' \right)

Les intensités correspondantes dans le plan image sont données par I_3(X) = |\underline{S}_3(X)|^2 :

En supposant l'atténuation modérée devant le faible déphasage (|\underline{t}_3| > \varphi'), on a I_{\min} = I_{\text{éch}} et I_{\max} = I_{\text{fond}}. Les écarts et sommes d'intensité valent :

Le contraste C_3 = \frac{I_{\max} - I_{\min}}{I_{\max} + I_{\min}} s'écrit alors rigoureusement :

Au premier ordre par rapport à \varphi' \ll |\underline{t}_3|, on obtient l'expression approchée :

Commentaire du résultat :

• Puisque |\underline{t}_3| < 1, on a C_3 \approx \frac{C_2}{|\underline{t}_3|} > C_2 : l'atténuation de l'onde directe amplifie le contraste d'un facteur 1/|\underline{t}_3|.
• Sur le plan physique, l'onde d'ordre zéro non atténuée est beaucoup plus intense que l'onde diffractée par l'objet de phase faible. Atténuer l'ordre zéro permet d'équilibrer les amplitudes des deux ondes qui interfèrent dans le plan image, ce qui augmente la visibilité des franges (ou le contraste de l'image).
• En contrepartie, l'intensité totale reçue par le détecteur diminue comme |\underline{t}_3|^2, ce qui nécessite une source lumineuse plus intense pour conserver un bon rapport signal sur bruit.

Le système étudié est la charge q, de masse m, assimilée à un point matériel mobile le long de l'axe (Ox). Dans le référentiel de l'échantillon supposé galiléen, le bilan des forces comprend :

• la force électrique exercée par le champ de l'onde : \vec{F}_e = q \vec{E}(t) = q E_0 \left(e^{i\omega t} + e^{-i\omega t}\right) \widehat{u}_x ;
• la force de rappel élastique harmonique : \vec{F}_1 = -m\omega_p^2 x\,\widehat{u}_x ;
• la force de frottement fluide : \vec{f} = -m\Gamma \dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\,\widehat{u}_x avec \Gamma > 0 ;
• les effets du champ magnétique et de la pesanteur étant négligés.

Le principe fondamental de la dynamique appliqué à la charge s'écrit :

En projetant suivant le vecteur unitaire \widehat{u}_x et en divisant par m, on obtient l'équation différentielle du mouvement :

En régime sinusoïdal forcé établi, la réponse est la somme des réponses associées à chaque terme harmonique du second membre. En posant :

et en injectant la composante à pulsation \omega dans l'équation différentielle, les dérivées temporelles successives s'écrivent \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \equiv i\omega et \dfrac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}t^2} \equiv -\omega^2, d'où :

En définissant la fonction polynomiale complexe \underline{D}(\omega) par :

l'amplitude complexe s'écrit :

De même, pour le terme source proportionnel à e^{-i\omega t}, l'opérateur temporel devient \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \equiv -i\omega, ce qui conduit au dénominateur :

Les grandeurs q, E_0 et m étant réelles, la composante conjuguée s'écrit directement :

On retrouve bien la fonction décrivant le mouvement de la charge en régime établi :

La force de rappel \vec{F}_2 = -m\left(\omega_p^2 x + \beta x^2\right)\widehat{u}_x dérive d'une énergie potentielle V(x) selon :

On en déduit :

Par intégration, en choisissant l'origine de l'énergie potentielle en x = 0 (V(0) = 0) :

Si l'entité possède un centre de symétrie en O, la transformation x \to -x laisse le système invariant. L'énergie potentielle doit donc vérifier la condition de parité :

Or, en remplaçant x par -x :

Pour que V(-x) = V(x), il faut nécessairement que le terme impair s'annule :

Par conséquent, cette énergie potentielle ne peut pas concerner une entité possédant un centre de symétrie en O si \beta \neq 0.

Le principe fondamental de la dynamique appliqué à la charge q dans le référentiel galiléen de l'échantillon, projeté selon l'axe (Ox), s'écrit en présence de la force de rappel non linéaire \vec{F}_2 :

soit, en divisant par la masse m :

On injecte la décomposition x(t) = x_1(t) + x_2(t) dans cette équation différentielle :

D'après la question Q16, le mouvement d'ordre linéaire x_1(t) satisfait exactement :

L'équation se simplifie donc sous la forme :

Puisque |x_2(t)| \ll |x_1(t)| à tout instant, les termes non linéaires d'ordre supérieur en perturbation sont négligeables :

De plus, dans l'approximation des faibles perturbations (\beta |x_1| \ll \omega_p^2), le terme de couplage 2\beta x_1 x_2 est totalement négligeable devant \omega_p^2 x_2.

On obtient donc bien l'équation régissant la perturbation x_2(t) :

L'équation différentielle (2) s'écrit sous la forme d'un oscillateur amorti excité par un second membre non linéaire :

D'après la question Q16, le mouvement linéaire s'écrit sous la forme :

En élevant cette expression au carré, on obtient le terme source :

Le second membre est donc la somme :

• d'un terme constant (composante continue, de pulsation nulle) : -2\beta \left|\underline{X}_1(\omega)\right|^2 ;
• de deux termes harmoniques aux pulsations +2\omega et -2\omega, complexes conjugués l'un de l'autre.

L'opérateur différentiel \mathcal{L} = \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}t^2} + \Gamma \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} + \omega_p^2 étant linéaire à coefficients constants et le terme d'amortissement \Gamma > 0 assurant l'extinction du régime transitoire, la solution en régime forcé établi est la somme des réponses particulières à chacune de ces composantes (principe de superposition) :

• la composante continue engendre une réponse stationnaire constante K ;
• les termes à pulsation \pm 2\omega engendrent une réponse harmonique à la pulsation 2\omega.

La grandeur physique x_2(t) étant réelle, la contribution oscillante doit être égale à la somme de deux termes complexes conjugués à la pulsation 2\omega. On en déduit bien la forme cherchée :

D'après la question Q16, le déplacement linéaire s'écrit :

En élevant cette expression au carré, on obtient :

L'équation différentielle (2) régissant la perturbation x_2(t) s'écrit :

En introduisant l'opérateur linéaire \mathcal{L} = \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}t^2} + \Gamma \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} + \omega_p^2 et en appliquant cet opérateur à chaque terme de x_2(t) = \underline{X}_2(\omega) e^{2i\omega t} + \underline{X}_2^*(\omega) e^{-2i\omega t} + K :

où l'on a utilisé la définition \underline{D}(\Omega) = \omega_p^2 - \Omega^2 + i\Gamma\Omega pour \Omega = 2\omega et \Omega = 0.

Par unicité de la décomposition en séries de Fourier, l'identification harmonique terme à terme conduit à :

• Sur la composante à la pulsation 2\omega (e^{2i\omega t}) :

  \underline{D}(2\omega) \underline{X}_2(\omega) = -\beta \underline{X}_1^2(\omega) = -\frac{\beta q^2 E_0^2}{m^2 \underline{D}^2(\omega)}

• Sur la composante à la pulsation -2\omega (e^{-2i\omega t}) :

  \underline{D}^*(2\omega) \underline{X}_2^*(\omega) = -\beta \left(\underline{X}_1^*(\omega)\right)^2 = -\frac{\beta q^2 E_0^2}{m^2 (\underline{D}^*(\omega))^2}

• Sur la composante continue (fréquence nulle) :

  \omega_p^2 K = -2\beta \underline{X}_1(\omega)\underline{X}_1^*(\omega) = -\frac{2\beta q^2 E_0^2}{m^2 \underline{D}(\omega)\underline{D}^*(\omega)}

On en déduit ainsi les expressions demandées :

D'après la relation de Planck-Einstein, un photon de l'onde incidente de pulsation \omega transporte une énergie :

L'onde rayonnée par l'échantillon et sélectionnée par le filtre passe-haut possède une pulsation 2\omega. Chaque photon émis transporte donc une énergie :

En vertu du principe de conservation de l'énergie, l'émission d'un tel photon (de fréquence double) résulte de l'annihilation ou de l'absorption simultanée de deux photons incidents de pulsation \omega :

On parle donc de microscopie à deux photons (ou microscopie biphotonique).

D'après la figure 6, la courbe d'émission relative du cristal de Ti : Saphir présente une bande très large :

• le maximum d'émission est centré autour de \lambda_0 \approx 780\text{ à } 800\text{ nm} ;

• la largeur spectrale à mi-hauteur (pour une intensité relative de 0{,}5) s'étend d'environ 700\text{ nm} à 900\text{ nm}, ce qui donne une largeur :

  \Delta\lambda \approx 150\text{ à } 200\text{ nm} \sim 2 \times 10^{-7}\text{ m}.

La fréquence du rayonnement est liée à sa longueur d'onde par \nu = \frac{c}{\lambda}. En différentiant cette relation, on obtient la largeur en fréquence :

Avec \lambda_0 \approx 800\text{ nm} = 8{,}0 \times 10^{-7}\text{ m}, c = 3{,}0 \times 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} et \Delta\lambda \approx 2 \times 10^{-7}\text{ m} :

En utilisant la relation liant la durée d'un train d'onde à sa largeur spectrale, \tau_c \Delta\nu \sim 1, il vient :

D'où l'ordre de grandeur de la durée des impulsions :

1. Estimation de la pulsation centrale \omega_0

Sur la figure 6, la courbe d'émission relative du cristal de Ti : Saphir présente un maximum bien marqué centré sur la longueur d'onde :

La pulsation optique associée s'écrit :

Application numérique avec c = 3{,}0 \times 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} :

2. Expression et valeur numérique de \delta\omega

Le train d'impulsions est périodique de période T. D'après la théorie des séries de Fourier, son spectre est discontinu et constitué d'un peigne de fréquences dont les composantes sont séparées de \delta\nu = 1/T. L'espacement en pulsation entre deux raies consécutives est donc :

Application numérique avec T = 1{,}25 \times 10^{-8}\text{ s} :

3. Expression et valeur numérique de \Delta\omega

L'enveloppe spectrale est liée à la transformée de Fourier d'une impulsion individuelle de durée \tau_c. D'après la relation temps-fréquence \tau_c\,\Delta\nu \sim 1 introduite à la question Q22, la largeur en fréquence vaut \Delta\nu \sim 1/\tau_c. Par conséquent, la largeur à mi-hauteur en pulsation s'écrit :

Application numérique avec \tau_c = 10\text{ fs} = 1{,}00 \times 10^{-14}\text{ s} :

L'intensité lumineuse I (ou éclairement) d'une onde électromagnétique dans un milieu non magnétique est proportionnelle à la moyenne temporelle de la norme du vecteur de Poynting, c'est-à-dire au carré de l'amplitude du champ électrique :

De plus, d'après les questions précédentes (Q20 et Q21), l'amplitude de vibration anharmonique \underline{X}_2(\omega) est proportionnelle à E_0^2, et l'intensité rayonnée à la pulsation 2\omega varie comme E_0^4 = (E_0^2)^2. Comparer les carrés des champs revient donc directement à comparer les intensités crêtes incidentes, qui pilotent l'efficacité des processus non linéaires.

Considérons un faisceau de section droite \mathcal{S} = \pi W_0^2 identique pour les deux sources :

• Pour le laser continu : le champ a une amplitude constante E_0', de sorte que la puissance moyenne transportée s'écrit :

  P = \frac{1}{2}\varepsilon_0 c E_0'^2 \, \mathcal{S}

• Pour le laser pulsé : faisons l'hypothèse simplificatrice d'impulsions de forme rectangulaire de durée \tau_c, répétées avec la période T, au cours desquelles l'amplitude crête vaut E_0. La puissance instantanée vaut P_{\text{crête}} = \frac{1}{2}\varepsilon_0 c E_0^2 \, \mathcal{S} pendant la durée \tau_c, et elle est nulle le reste de la période. La puissance moyenne sur une période T est donc :

  P = \frac{1}{T}\int_0^T P(t)\,\mathrm{d}t \approx \frac{\tau_c}{T} P_{\text{crête}} = \frac{\tau_c}{T} \left(\frac{1}{2}\varepsilon_0 c E_0^2 \, \mathcal{S}\right)

À puissance moyenne P et section \mathcal{S} égales, on en déduit immédiatement le rapport :

Application numérique avec T = 1{,}25 \times 10^{-8}\text{ s} et \tau_c = 1{,}00 \times 10^{-14}\text{ s} :

Commentaire : L'intensité crête délivrée par le laser pulsé est environ un million de fois plus grande que celle délivrée par un laser continu de même puissance moyenne. Comme le signal généré à 2\omega est proportionnel à E_0^4 = (E_0^2)^2, l'utilisation du laser impulsionnel amplifie l'émission non linéaire d'un facteur (10^6)^2 = 10^{12}.

Cela permet d'obtenir un signal détectable tout en maintenant une puissance moyenne faible (P = 1\text{ W}), ce qui évite l'échauffement destructeur et la photodégradation de l'échantillon biologique.

D'après l'énoncé, la longueur de Rayleigh associée au faisceau gaussien s'écrit :

Avec un waist W_0 = 0{,}50\text{ mm} = 5{,}0 \times 10^{-4}\text{ m} et une longueur d'onde centrale \lambda_0 \approx 800\text{ nm} = 8{,}0 \times 10^{-7}\text{ m} (déterminée à partir du spectre d'émission du cristal de Ti : Saphir à la question Q23) :

La longueur de Rayleigh z_R \approx 1{,}0\text{ m} est très grande devant les dimensions optiques de l'objectif (focale f'_L = 1{,}00\text{ mm}) et de l'ordre de grandeur de la distance parcourue par le faisceau entre le laser et le microscope. Pour une distance |z| \ll z_R par rapport au waist de sortie du laser :

• le rayon du faisceau reste pratiquement constant : W(z) = W_0 \sqrt{1 + (z/z_R)^2} \approx W_0 ;
• le rayon de courbure des surfaces d'onde R(z) = z\left[1 + (z_R/z)^2\right] \approx z_R^2 / z \gg z est extrêmement grand, si bien que les fronts d'onde sont plans et normaux à l'axe optique (Oz).

Le faisceau incident sur l'objectif est donc équivalent à un paquet d'ondes planes se propageant parallèlement à l'axe optique (faisceau de rayons parallèles, correspondant à un objet situé à l'infini sur l'axe). Par les propriétés d'une lentille mince convergente dans les conditions de Gauss, ces rayons émergent en convergeant au foyer image F'. Le faisceau sera donc focalisé au foyer image F' de l'objectif.

D'après la question Q25, le faisceau incident a une longueur de Rayleigh z_R \approx 1{,}0\text{ m} \gg f_L' : l'onde incidente sur la lentille est quasi-plane et le waist incident de demi-largeur W_0 est situé au niveau de la lentille.

Après traversée de la lentille mince convergente de distance focale f_L', le faisceau converge vers un nouveau waist de demi-largeur W_0' situé en F'. En choisissant l'origine des cotes axiales z' au foyer image F', le profil du faisceau focalisé s'écrit :

Au niveau de la lentille, située en z' = -f_L', la demi-largeur du faisceau coïncide avec celle du faisceau incident, soit W(-f_L') = W_0. Dans l'hypothèse où la lentille est en zone de champ lointain par rapport au waist focalisé (f_L' \gg z_R'), on a :

On en déduit l'expression du waist focalisé :

Application numérique : D'après l'étude spectrale du laser Ti : Saphir (figure 6, question Q23), la longueur d'onde centrale d'émission est \lambda \approx 800\text{ nm} = 8{,}0 \times 10^{-7}\text{ m}. Avec f_L' = 1{,}00\text{ mm} = 1{,}00 \times 10^{-3}\text{ m} et W_0 = 0{,}50\text{ mm} = 5{,}0 \times 10^{-4}\text{ m} :

D'après l'expression du faisceau gaussien après la lentille, l'amplitude sur l'axe optique (x = 0) s'écrit :

où z'_R = \dfrac{\pi {W'_0}^2}{\lambda} désigne la longueur de Rayleigh du faisceau focalisé au voisinage de F', avec l'origine prise en F' (z'=0). En ce point, le champ est maximal et vaut E_0(W'_0, 0, 0) = A'_0.

La condition imposée sur la profondeur \delta z' s'écrit :

Il vient successivement :

En remplaçant la longueur de Rayleigh par son expression z'_R = \dfrac{\pi {W'_0}^2}{\lambda}, on obtient :

Application numérique : Avec \sqrt{10} \approx 3{,}16, on a \sqrt{\sqrt{10} - 1} = \sqrt{2{,}16} \approx 1{,}47. D'après la question Q26, z'_R = \dfrac{\pi {W'_0}^2}{\lambda} \approx 1{,}0\,\mu\text{m} (avec W'_0 \approx 0{,}51\,\mu\text{m} et \lambda \approx 800\text{ nm}) :

La formation d'une image tridimensionnelle sans coloration repose sur les étapes suivantes :

1. Contraste endogène sans coloration : Comme établi en partie IV.A, les fibres de collagène présentent une organisation moléculaire non centrosymétrique (\beta \neq 0). Sous l'action du champ électrique intense du laser pulsé Ti : Saphir à la pulsation \omega_0 (\lambda_0 \approx 800\text{ nm}), la réponse non linéaire du milieu engendre une polarisation oscillant à 2\omega_0 (\lambda = \lambda_0 / 2 \approx 400\text{ nm}). Le collagène émet ainsi spontanément un signal à la fréquence double (génération de seconde harmonique) sans qu'il soit nécessaire d'introduire des colorants exogènes perturbateurs.
2. Sectionnement optique intrinsèque : L'intensité du signal émis à 2\omega_0 dépend de manière quadratique de l'intensité d'excitation, soit I(2\omega_0) \propto E_0^4. Cette émission n'atteint un niveau détectable qu'au voisinage immédiat du foyer image F' de l'objectif, au sein d'un minuscule volume focal (voxel) de dimensions transverses 2W_0' \approx 1{,}0\,\mu\text{m} et de profondeur axiale \delta z' \approx 3\,\mu\text{m} (questions Q26 et Q27). En dehors de ce volume, la divergence du faisceau fait chuter l'intensité incidente et annule quasi totalement la génération du signal : il n'y a donc aucun signal parasite issu des plans hors focus, conférant au système une résolution axiale native sans trou sténopéïque (contrairement à la microscopie confocale).

3. Séparation spectrale par miroir dichroïque : D'après la courbe du document 4, le miroir dichroïque présente une transmission quasi unitaire à \lambda_0 \approx 800\text{ nm} et une réflexion quasi totale à 400\text{ nm}.

   • Le faisceau laser incident à 800\text{ nm} traverse le miroir et est focalisé sur l'échantillon par l'objectif.
   • Une fraction du signal à 2\omega_0 (\lambda = 400\text{ nm}) émis par les fibres est collectée en retour par l'objectif (épi-détection) ; elle est ensuite réfléchie à 90^\circ par le miroir dichroïque vers le photodétecteur, sans être polluée par la lumière laser rétrodiffusée.

4. Balayage spatial et reconstruction 3D :

   • Balayage transverse (x, y) : Le couple de miroirs mobiles selon deux directions orthogonales dévie angulairement le faisceau en amont de l'objectif, ce qui déplace le point focal dans le plan focal image de façon à balayer une tranche bidimensionnelle de l'échantillon. Le photodétecteur mesure point par point l'intensité lumineuse pour reconstituer une image 2D.
   • Balayage axial z : Un déplacement micrométrique relatif entre l'objectif et l'échantillon le long de l'axe Oz permet de translater le plan de coupe focal et d'acquérir une pile de coupes optiques à différentes profondeurs.

L'empilement numérique de ces coupes bidimensionnelles permet de reconstruire l'architecture tridimensionnelle complète du réseau de collagène avec une résolution micrométrique.