Feuille d'entraînement : Diffusion thermique

Corrigés

1. Exercice 1CCINP Modelisation PC 2026, Q46

   Conformément au principe exposé par l'énoncé, la recherche s'effectue tant que la largeur de l'intervalle de recherche excède la précision p.

   Le code des instructions 5 s'écrit (en respectant la majuscule employée dans l'instruction d'affichage ultérieure) :

   def Dichotomie(f, b, c, p):
       while abs(c - b) > p:
           m = (b + c) / 2
           if f(b) * f(m) > 0:
               b = m
           else:
               c = m
       return (b + c) / 2
   
   # Alias pour concorder strictement avec l'intitule de la question
   dichotomie = Dichotomie

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2CentraleSupélec Physique 1 PC 2026, Q12

   Dans l'air ambiant (r \ge r_{\mathrm{g}}), le transfert thermique est purement diffusif et régi par la loi de Fourier :

   \vec{j}_{\mathrm{th}} = -\lambda_{\mathrm{air}} \vec{\mathrm{grad}}\,T = -\lambda_{\mathrm{air}} \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}r}\,\vec{e}_r

   En régime quasi-stationnaire et sans terme source dans l'air, le vecteur densité de courant thermique est à flux conservatif :

   \mathrm{div}\,\vec{j}_{\mathrm{th}} = 0 \iff \Delta T = 0

   Compte tenu de la symétrie sphérique, le laplacien s'écrit :

   \frac{1}{r^2} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\left(r^2 \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}r}\right) = 0 \implies r^2 \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}r} = C = \text{cte}

   Par intégration, la température dans l'air est de la forme :

   T(r) = -\frac{C}{r} + B

   Les conditions aux limites s'écrivent :

   • à la surface de la goutte : T(r_{\mathrm{g}}) = T_{\mathrm{g}} ;
   • loin de la goutte : \lim_{r \to \infty} T(r) = T_\infty.

   On en déduit immédiatement B = T_\infty, puis C = r_{\mathrm{g}}(T_\infty - T_{\mathrm{g}}), soit :

   T(r) = T_\infty - \frac{r_{\mathrm{g}}}{r}(T_\infty - T_{\mathrm{g}})

   Le flux thermique \phi_{\mathrm{th,d}} reçu par la goutte correspond au flux de \vec{j}_{\mathrm{th}} à travers la surface de la goutte orientée vers l'intérieur (selon -\vec{e}_r) :

   \begin{aligned} \phi_{\mathrm{th,d}} &= \iint_{r = r_{\mathrm{g}}} \vec{j}_{\mathrm{th}} \cdot (-\vec{e}_r)\,\mathrm{d}S \\ &= 4\pi r_{\mathrm{g}}^2 \left(\lambda_{\mathrm{air}} \left.\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}r}\right|_{r=r_{\mathrm{g}}}\right) \\ &= 4\pi r_{\mathrm{g}}^2 \lambda_{\mathrm{air}} \left(\frac{T_\infty - T_{\mathrm{g}}}{r_{\mathrm{g}}}\right) \\ &= 4\pi \lambda_{\mathrm{air}} r_{\mathrm{g}} (T_\infty - T_{\mathrm{g}}) \end{aligned}

   Par identification avec l'expression \phi_{\mathrm{th,d}} = \dfrac{T_\infty - T_{\mathrm{g}}}{R_{\mathrm{th,d}}}, on obtient :

   \boxed{R_{\mathrm{th,d}} = \frac{1}{4\pi \lambda_{\mathrm{air}} r_{\mathrm{g}}}}

   D'après la relation \phi_{\mathrm{th,d}} = \Delta T / R_{\mathrm{th,d}}, où \phi_{\mathrm{th,d}} est en watts (\mathrm{W}) et \Delta T en kelvins (\mathrm{K}), l'unité de la résistance thermique dans le Système International est :

   \boxed{\mathrm{K\cdot W^{-1}}}

   Résultat

   $$R_{\mathrm{th},\mathrm{d}}=\frac{1}{4\pi {\lambda }_{\mathrm{air}}{r}_{\mathrm{g}}}$$

   $$\mathrm{K}\cdot {\mathrm{W}}^{-1}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3CCINP Physique PC 2025, Q2

   La loi de Fourier sous forme locale relie le vecteur densité de courant thermique \vec{j}_{\text{th}} au gradient de la température T par :

   \boxed{\vec{j}_{\text{th}} = -\lambda \, \overrightarrow{\operatorname{grad}}(T)}

   où \lambda est la conductivité thermique du matériau.

   Pour établir la résistance thermique R_{\text{th}} du cylindre par analogie thermoélectrique, comparons les grandeurs et lois locales associées :

   • La densité de courant électrique \vec{j}_{\text{él}} = -\sigma \, \overrightarrow{\operatorname{grad}}(V) correspond à la densité de flux thermique \vec{j}_{\text{th}} = -\lambda \, \overrightarrow{\operatorname{grad}}(T).
   • L'intensité électrique I = \iint_S \vec{j}_{\text{él}} \cdot \mathrm{d}\vec{S} correspond au flux thermique total \Phi_{\text{th}} = \iint_S \vec{j}_{\text{th}} \cdot \mathrm{d}\vec{S}.
   • La différence de potentiel V_1 - V_2 correspond à l'écart de température T_1 - T_2.
   • La conductivité électrique \sigma correspond à la conductivité thermique \lambda.

   De la relation macroscopique thermique T_1 - T_2 = R_{\text{th}} \Phi_{\text{th}}, analogue à la loi d'Ohm V_1 - V_2 = R_{\text{él}} I, et sachant d'après la question Q1 que R_{\text{él}} = \dfrac{L}{\sigma S}, on en déduit immédiatement par substitution de \sigma par \lambda :

   \boxed{R_{\text{th}} = \frac{L}{\lambda S}}

   Résultat

   $${\vec{j}}_{\text{th}}=-\lambda \overrightarrow{\mathrm{grad}}(T)$$

   $$R_{\text{th}}=\frac{L}{\lambda S}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4CCINP Physique PC 2025, Q17

   Considérons le système fermé constitué de la matière contenue dans la tranche de jambe comprise entre x et x+\mathrm{d}x, de volume \mathrm{d}V = S\,\mathrm{d}x, entre les instants t et t+\mathrm{d}t.

   La surface latérale étant calorifugée, les transferts d'énergie avec l'extérieur se font uniquement :

   • par conduction thermique à travers les sections en x et x+\mathrm{d}x :

     \begin{aligned} \delta Q &= \Phi_{\text{th}}(x)\,\mathrm{d}t - \Phi_{\text{th}}(x+\mathrm{d}x)\,\mathrm{d}t \\ &= \left[j_{\text{th}}(x) - j_{\text{th}}(x+\mathrm{d}x)\right] S\,\mathrm{d}t \\ &= -\frac{\mathrm{d}j_{\text{th}}}{\mathrm{d}x} S\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}t \end{aligned}

   • par apport d'énergie électrique : le champ électrique cède aux porteurs de charge une puissance volumique p_v, transférée au réseau cristallin, soit un travail électrique reçu :

     \delta W_{\text{él}} = p_v\,\mathrm{d}V\,\mathrm{d}t = p_v\,S\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}t

   Le premier principe de la thermodynamique appliqué à cette tranche s'écrit :

   \mathrm{d}U = \delta Q + \delta W_{\text{él}}

   Le régime étant stationnaire, la température de la tranche est indépendante du temps, d'où \mathrm{d}U = 0. Il vient alors :

   -\frac{\mathrm{d}j_{\text{th}}}{\mathrm{d}x} S\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}t + p_v\,S\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}t = 0

   En simplifiant par le volume élémentaire S\,\mathrm{d}x et la durée \mathrm{d}t, on obtient l'équation différentielle :

   \boxed{\frac{\mathrm{d}j_{\text{th}}}{\mathrm{d}x} = p_v}

   Résultat

   $$\frac{\mathrm{d}{j}_{\text{th}}}{\mathrm{d}x}=p_v$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5CentraleSupélec Physique 2 PC 2025, Q2

   Considérons le système fermé constitué par la matière contenue dans l'élément de volume délimité par les plans x et x + \mathrm{d}x, de surface transverse S perpendiculaire à l'axe (Ox), de volume \mathrm{d}V = S\,\mathrm{d}x.

   Le problème étant unidimensionnel selon l'axe (Ox), la température ne dépend que de x : T = T(x). Le vecteur densité de flux thermique s'écrit \vec{j} = j(x)\,\vec{e}_x.

   En régime stationnaire et en l'absence de puissance volumique dissipée dans le matériau, le bilan thermique sur cet élément de volume pendant la durée \mathrm{d}t s'écrit :

   \mathrm{d}U = \delta Q = \big(\Phi(x) - \Phi(x + \mathrm{d}x)\big)\,\mathrm{d}t = 0

   où \Phi(x) est le flux thermique traversant la section S à l'abscisse x orientée selon \vec{e}_x :

   \Phi(x) = \vec{j}(x)\cdot (S\,\vec{e}_x) = j(x)\,S

   Par développement de Taylor au premier ordre :

   \Phi(x + \mathrm{d}x) = \Phi(x) + \frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}x}\,\mathrm{d}x = j(x)\,S + \frac{\mathrm{d}j}{\mathrm{d}x}\,S\,\mathrm{d}x

   Le bilan d'énergie conduit à :

   -\frac{\mathrm{d}j}{\mathrm{d}x}\,S\,\mathrm{d}x = 0 \iff \frac{\mathrm{d}j}{\mathrm{d}x} = 0

   D'après la loi de Fourier, le transfert conductif vérifie :

   \vec{j}(x) = -\kappa\,\vec{\mathrm{grad}}\,T(x) = -\kappa\,\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x}\,\vec{e}_x \implies j(x) = -\kappa\,\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x}

   En supposant la conductivité thermique \kappa uniforme dans le matériau, on obtient :

   \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(-\kappa\,\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x}\right) = 0

   soit finalement :

   \boxed{\frac{\mathrm{d}^2 T}{\mathrm{d}x^2} = 0}

   Résultat

   $$\frac{{\mathrm{d}}^{2}T}{\mathrm{d}{x}^2}=0$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6ENS Physique C PC 2024, Q33

   Le fluide est à l'équilibre thermodynamique. En l'absence de toute source ou puits d'énergie interne, l'équilibre thermique exige l'absence de tout transfert thermique par conduction au sein du fluide.

   D'après la loi de Fourier, la densité de flux thermique s'écrit \vec{\jmath}_Q = -\kappa\,\overrightarrow{\operatorname{grad}} T. L'annulation de \vec{\jmath}_Q dans tout le fluide impose :

   \overrightarrow{\operatorname{grad}} T = \vec{0}

   Par conséquent, la température T est uniforme dans tout le volume occupé par le fluide :

   \boxed{T(\vec{r}) = T = \text{constante}}

   Résultat

   $$T(\vec{r})=T=\text{constante}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

7. Exercice 7Mines-Ponts Physique 1 PC 2024, Q9

   1. Définition de la résistance thermique

   Par analogie formelle avec la loi d'Ohm en électrocinétique (U = R_{\text{él}} I), la résistance thermique R_{\mathrm{th}} d'un milieu séparant deux zones isothermes de températures respectives T_1 et T_2 traversé par un flux thermique \Phi (puissance thermique transférée) en régime stationnaire est définie par :

   \boxed{R_{\mathrm{th}} = \frac{T_1 - T_2}{\Phi} = \frac{\Delta T}{\Phi}}

   Elle s'exprime en \mathrm{K}\cdot\mathrm{W}^{-1}.

   2. Résistance thermique de conduction de la paroi latérale R_{\mathrm{p}}

   On modélise l'enveloppe gonflable verticale par un cylindre creux d'air de hauteur H, compris entre le rayon intérieur r_{\text{int}} = d_{\text{int}}/2 et le rayon extérieur r_{\text{ext}} = d_{\text{ext}}/2. L'épaisseur du plastique étant négligée, le milieu conducteur est l'air de conductivité thermique \lambda_{\mathrm{a}}.

   En adoptant les coordonnées cylindriques d'axe vertical et compte tenu de la symétrie axiale, la température ne dépend que de la coordonnée radiale r : T = T(r).

   D'après la loi de Fourier, la densité de flux thermique s'écrit \vec{j}_{\mathrm{th}} = -\lambda_{\mathrm{a}} \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}r}\,\widehat{e}_r. Le flux thermique à travers un cylindre de rayon r et de hauteur H est donc :

   \begin{aligned} \Phi(r) = j_{\mathrm{th}}(r) \times (2\pi r H) = -2\pi \lambda_{\mathrm{a}} H r \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}r} \end{aligned}

   En régime stationnaire et en l'absence de terme source volumique, le flux thermique est conservatif : \Phi(r) = \Phi = \text{cte}. On sépare les variables :

   \begin{aligned} \mathrm{d}T = -\frac{\Phi}{2\pi \lambda_{\mathrm{a}} H} \frac{\mathrm{d}r}{r} \end{aligned}

   En intégrant entre le rayon intérieur r_{\text{int}} et le rayon extérieur r_{\text{ext}} :

   \begin{aligned} T(r_{\text{int}}) - T(r_{\text{ext}}) = \frac{\Phi}{2\pi \lambda_{\mathrm{a}} H} \ln\left(\frac{r_{\text{ext}}}{r_{\text{int}}}\right) = \frac{\Phi}{2\pi \lambda_{\mathrm{a}} H} \ln\left(\frac{d_{\text{ext}}}{d_{\text{int}}}\right) \end{aligned}

   Par identification avec la relation \Delta T = R_{\mathrm{p}} \Phi, on obtient :

   \boxed{R_{\mathrm{p}} = \frac{\ln(d_{\text{ext}}/d_{\text{int}})}{2\pi \lambda_{\mathrm{a}} H}}

   3. Résistance thermique de conduction du tapis d'herbe R_{\mathrm{t}}

   Le tapis d'herbe d'épaisseur e_{\mathrm{h}} et de conductivité \lambda_{\mathrm{h}} est soumis à un transfert thermique unidimensionnel selon la direction verticale. À travers une surface d'échange S_{\mathrm{t}}, le flux s'exprime selon la loi de conduction plane :

   \begin{aligned} \Phi = \lambda_{\mathrm{h}} S_{\mathrm{t}} \frac{\Delta T}{e_{\mathrm{h}}} \end{aligned}

   Sous toute l'emprise au sol de l'installation, la surface de contact circulaire est de diamètre d_{\text{ext}}, soit S_{\mathrm{t}} = \frac{\pi d_{\text{ext}}^2}{4} (ou S_{\mathrm{int}} = \frac{\pi d_{\text{int}}^2}{4} si l'on considère uniquement la surface au fond de l'eau).

   La résistance thermique s'écrit donc :

   \boxed{R_{\mathrm{t}} = \frac{e_{\mathrm{h}}}{\lambda_{\mathrm{h}} S_{\mathrm{t}}} = \frac{4 e_{\mathrm{h}}}{\pi \lambda_{\mathrm{h}} d_{\text{ext}}^2}}

   Résultat

   $$R_{\mathrm{th}}=\frac{T_1-T_2}{\Phi }=\frac{\Delta T}{\Phi }$$

   $$R_{\mathrm{p}}=\frac{\ln (d_{\text{ext}}/d_{\text{int}})}{2\pi {\lambda }_{\mathrm{a}}H}$$

   $$R_{\mathrm{t}}=\frac{e_{\mathrm{h}}}{{\lambda }_{\mathrm{h}}{S}_{\mathrm{t}}}=\frac{4e_{\mathrm{h}}}{\pi {\lambda }_{\mathrm{h}}{d}_{\text{ext}}^2}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

8. Exercice 8Mines-Ponts Physique 1 PC 2024, Q10

   1. Bilan thermique et équation différentielle

   On applique le premier principe de la thermodynamique au système fermé constitué par l'eau du spa, de masse m_{\mathrm{eau}} = \rho_{\mathrm{e}} V_{\mathrm{eau}} = 1{,}2 \times 10^3\text{ kg} (d'après la question Q4) et de capacité thermique C = m_{\mathrm{eau}} c_{\mathrm{e}}, supposée à température uniforme T_{\mathrm{int}}(t).

   Pendant la durée \mathrm{d}t, en l'absence de travail utile et en régime quasi-stationnaire :

   \mathrm{d}U = C\,\mathrm{d}T_{\mathrm{int}} = \delta Q = -\Phi_{\mathrm{pertes}}\,\mathrm{d}t

   où \Phi_{\mathrm{pertes}} = \dfrac{T_{\mathrm{int}}(t) - T_{\mathrm{ext}}}{R_{\text{eq}}} désigne le flux thermique total perdu vers l'extérieur à travers la résistance thermique équivalente R_{\text{eq}}.

   L'équation différentielle vérifiée par l'écart de température \theta(t) = T_{\mathrm{int}}(t) - T_{\mathrm{ext}} s'écrit donc :

   \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t} + \frac{\theta}{\tau} = 0 \quad \text{avec} \quad \tau = R_{\text{eq}} C

   Par intégration avec la condition initiale \theta(0) = T_{\mathrm{int}}(0) - T_{\mathrm{ext}}, on obtient bien :

   \boxed{T_{\mathrm{int}}(t) - T_{\mathrm{ext}} = \left(T_{\mathrm{int}}(0) - T_{\mathrm{ext}}\right)\mathrm{e}^{-\frac{t}{\tau}}}

   2. Détermination de la résistance équivalente R_{\text{eq}}

   Les déperditions thermiques de l'eau s'effectuent par trois voies en parallèle :

   • la surface libre de l'eau en contact avec l'air (convection) : R_{\mathrm{surf}} = R_{\mathrm{s}} = 6 \times 10^{-2}\text{ K}\cdot\text{W}^{-1} ;
   • le fond en contact avec le sol à travers l'herbe tassée (conduction) : R_{\mathrm{fond}} = R_{\mathrm{t}} = 5 \times 10^{-2}\text{ K}\cdot\text{W}^{-1} ;
   • les parois latérales verticales (convection eau-paroi puis conduction dans l'enveloppe en série) : R_{\mathrm{lat}} = R_{\mathrm{pc}} + R_{\mathrm{p}} \approx R_{\mathrm{p}} = 3\text{ K}\cdot\text{W}^{-1} puisque R_{\mathrm{p}} \gg R_{\mathrm{pc}}.

   La conductance thermique globale associée à ces trois branches en parallèle vaut :

   \begin{aligned} G_{\text{eq}} = \frac{1}{R_{\text{eq}}} &= \frac{1}{R_{\mathrm{s}}} + \frac{1}{R_{\mathrm{t}}} + \frac{1}{R_{\mathrm{lat}}} \\ &= \frac{1}{6 \times 10^{-2}} + \frac{1}{5 \times 10^{-2}} + \frac{1}{3} \\ &\approx 16{,}7 + 20 + 0{,}33 \approx 37\text{ W}\cdot\text{K}^{-1} \end{aligned}

   soit R_{\text{eq}} \approx \dfrac{1}{37} \approx 2{,}7 \times 10^{-2}\text{ K}\cdot\text{W}^{-1}.

   3. Calcul de la capacité thermique et du temps caractéristique \tau

   La capacité thermique de l'eau vaut :

   C = m_{\mathrm{eau}} c_{\mathrm{e}} = 1{,}2 \times 10^3 \times 4{,}2 \times 10^3 = 5{,}04 \times 10^6\text{ J}\cdot\text{K}^{-1}

   On en déduit la constante de temps :

   \tau = \frac{C}{G_{\text{eq}}} = \frac{5{,}04 \times 10^6}{37} \approx 1{,}36 \times 10^5\text{ s} \approx 38\text{ h}

   \boxed{\tau \approx 1{,}4 \times 10^5\text{ s} \approx 38\text{ h}}

   Commentaire : La valeur élevée de \tau (environ 1,5 jour) s'explique par la très grande inertie thermique de la masse d'eau (1{,}2\text{ tonne}) associée à la capacité thermique massique élevée de l'eau. Cela justifie pleinement l'hypothèse de régime quasi-stationnaire formulée dans l'énoncé. Toutefois, à l'échelle d'une journée (24\text{ h}), la baisse de température reste importante (environ 6^\circ\text{C}), ce qui motive l'utilisation d'une couverture et d'un tapis de sol isolant.

   Résultat

   $$T_{\mathrm{int}}(t)-T_{\mathrm{ext}}=\left(T_{\mathrm{int}}(0)-T_{\mathrm{ext}}\right){\mathrm{e}}^{-\frac{t}{\tau }}$$

   $$\tau \approx 1,4\times 10^5\text{ s}\approx 38\text{ h}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

9. Exercice 9Polytechnique Physique A PC 2023, Q19

   Considérons une tranche élémentaire de matériau comprise entre les cotes z et z + \mathrm{d}z, de section droite d'aire S selon le plan (Oxy), de volume \mathrm{d}V = S\,\mathrm{d}z. Le milieu étant un solide indéformable, les capacités thermiques à volume et à pression constantes sont confondues (c_v \approx c_p).

   Pendant l'intervalle de temps \mathrm{d}t, le premier principe de la thermodynamique appliqué à ce système fermé s'écrit :

   \mathrm{d}U = \delta Q + \delta W_{\text{autre}}

   • La variation d'énergie interne s'exprime par :

     \mathrm{d}U = (\rho\,\mathrm{d}V)\,c_p\,\mathrm{d}T = \rho c_p S\,\mathrm{d}z\,\frac{\partial T}{\partial t}(z,t)\,\mathrm{d}t

   • Le transfert thermique net reçu par conduction à travers les faces en z et z+\mathrm{d}z s'écrit, en notant \vec{\jmath}_Q = j_{Q,z}\,\vec{u}_z le vecteur densité de flux thermique :

     \delta Q_{\text{cond}} = \left[ j_{Q,z}(z,t) - j_{Q,z}(z+\mathrm{d}z,t) \right] S\,\mathrm{d}t = -\frac{\partial j_{Q,z}}{\partial z} S\,\mathrm{d}z\,\mathrm{d}t

   • Le travail électrique reçu et converti en chaleur par effet Joule correspond à un apport volumique d'énergie :

     \delta W_J = P_J(z)\,\mathrm{d}V\,\mathrm{d}t = P_J(z)\,S\,\mathrm{d}z\,\mathrm{d}t

   En divisant par S\,\mathrm{d}z\,\mathrm{d}t, le bilan d'énergie locale s'écrit :

   \rho c_p \frac{\partial T}{\partial t} = -\frac{\partial j_{Q,z}}{\partial z} + P_J(z)

   D'après la loi de Fourier, la conduction thermique dans ce milieu homogène et isotrope de conductivité k s'écrit :

   \vec{\jmath}_Q = -k\,\vec{\operatorname{grad}} T = -k \frac{\partial T}{\partial z}\vec{u}_z \implies \frac{\partial j_{Q,z}}{\partial z} = -k \frac{\partial^2 T}{\partial z^2}

   En injectant cette relation dans le bilan local, on obtient l'équation de la chaleur avec terme source :

   \boxed{\rho c_p \frac{\partial T(z, t)}{\partial t} - k \frac{\partial^2 T(z, t)}{\partial z^2} = P_J(z)}

   Interprétation physique de chaque terme :

   • \rho c_p \dfrac{\partial T(z, t)}{\partial t} : terme d'accumulation thermique volumique, traduisant la variation temporelle d'énergie interne emmagasinée par unité de volume du solide.
   • -k \dfrac{\partial^2 T(z, t)}{\partial z^2} = \operatorname{div}\vec{\jmath}_Q : terme de diffusion thermique par conduction (loi de Fourier), correspondant au bilan de transfert d'énergie net évacué par conduction hors du volume élémentaire.
   • P_J(z) : terme source de puissance volumique, représentant la chaleur dégagée localement par effet Joule due aux courants de Foucault induits.

   Résultat

   $$\rho c_p\frac{\partial T(z,t)}{\partial t}-k\frac{{\partial }^{2}T(z,t)}{\partial z^2}=P_J(z)$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

10. Exercice 10CCINP Physique PC 2022, Q23

    Le fil étant assimilé à un cylindre d'axe (Ox) et de diamètre d, sa section droite transverse vaut :

    S = \frac{\pi d^2}{4}

    D'après la loi de Fourier, le transfert de chaleur par conduction au sein du fil est décrit par le vecteur densité de flux thermique :

    \vec{\jmath}_{\mathrm{th}}(x) = -\lambda_{\mathrm{f}} \frac{\mathrm{d}T_{\mathrm{f}}}{\mathrm{d}x}(x)\,\vec{e}_x

    La portion de fil \Sigma(x) échange de la chaleur par conduction à travers :

    • la face d'entrée en x, orientée vers l'extérieur par -\vec{e}_x, d'où un flux entrant algébrique :

      \Phi_{\mathrm{cond}}(x) = \vec{\jmath}_{\mathrm{th}}(x)\cdot (\vec{e}_x S) = -\lambda_{\mathrm{f}} S \frac{\mathrm{d}T_{\mathrm{f}}}{\mathrm{d}x}(x)

    • la face de sortie en x+\mathrm{d}x, de vecteur normal sortant +\vec{e}_x, d'où un flux sortant :

      \Phi_{\mathrm{cond}}(x+\mathrm{d}x) = -\lambda_{\mathrm{f}} S \frac{\mathrm{d}T_{\mathrm{f}}}{\mathrm{d}x}(x+\mathrm{d}x)

    Le flux net reçu par conduction par la portion \Sigma(x) s'écrit alors :

    \begin{aligned} \Phi_{\mathrm{net, cond}} &= \Phi_{\mathrm{cond}}(x) - \Phi_{\mathrm{cond}}(x+\mathrm{d}x) \\ &= -\lambda_{\mathrm{f}} S \left( \frac{\mathrm{d}T_{\mathrm{f}}}{\mathrm{d}x}(x) - \frac{\mathrm{d}T_{\mathrm{f}}}{\mathrm{d}x}(x+\mathrm{d}x) \right) \\ &= \lambda_{\mathrm{f}} S \frac{\mathrm{d}^2 T_{\mathrm{f}}}{\mathrm{d}x^2}\,\mathrm{d}x \end{aligned}

    Le transfert thermique reçu pendant la durée \mathrm{d}t est donc :

    \boxed{\delta Q_{\mathrm{cond}} = \lambda_{\mathrm{f}} \frac{\pi d^2}{4} \frac{\mathrm{d}^2 T_{\mathrm{f}}}{\mathrm{d}x^2}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}t}

    Résultat

    $$\delta Q_{\mathrm{cond}}={\lambda }_{\mathrm{f}}\frac{\pi d^2}{4}\frac{{\mathrm{d}}^2{T}_{\mathrm{f}}}{\mathrm{d}{x}^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}t$$

    Indice, stratégie et pièges de cette question