Feuille d'entraînement : Approche énergétique et oscillateurs mécaniques

Corrigés

1. Exercice 1CCINP Modelisation TSI 2026, Q35

   Dans le référentiel galiléen \mathscr{R}_0 = (O, \vec{x}_0, \vec{y}_0, \vec{z}_0), le champ de pesanteur uniforme est dirigé selon le vecteur unitaire vertical descendant \vec{x}_0, de sorte que le poids appliqué au point matériel G de masse m s'écrit :

   \vec{P} = m\vec{g} = mg\vec{x}_0.

   Le vecteur position du point G dans \mathscr{R}_0 est donné par :

   \overrightarrow{OG} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AG} = \lambda \vec{y}_0 + \ell \vec{x}_1 = \ell\cos\theta\,\vec{x}_0 + (\lambda + \ell\sin\theta)\,\vec{y}_0.

   Le déplacement élémentaire de G dans \mathscr{R}_0 vaut alors :

   \mathrm{d}\overrightarrow{OG} = -\ell\sin\theta\,\mathrm{d}\theta\,\vec{x}_0 + (\mathrm{d}\lambda + \ell\cos\theta\,\mathrm{d}\theta)\,\vec{y}_0.

   Le travail élémentaire du poids dans \mathscr{R}_0 s'obtient par produit scalaire :

   \begin{aligned} \delta W(\vec{P}) &= \vec{P} \cdot \mathrm{d}\overrightarrow{OG} \\ &= (mg\vec{x}_0) \cdot \left[ -\ell\sin\theta\,\mathrm{d}\theta\,\vec{x}_0 + (\mathrm{d}\lambda + \ell\cos\theta\,\mathrm{d}\theta)\,\vec{y}_0 \right] \\ &= -mg\ell\sin\theta\,\mathrm{d}\theta. \end{aligned}

   Soit, sous forme condensée :

   \boxed{\delta W(\vec{P}) = -mg\ell\sin\theta\,\mathrm{d}\theta = \mathrm{d}(mg\ell\cos\theta)}

   Caractère conservatif Une force est dite conservative si la forme différentielle de son travail élémentaire est une différentielle totale exacte, c'est-à-dire s'il existe une fonction scalaire E_p (énergie potentielle) dépendant uniquement de la position telle que \delta W = -\mathrm{d}E_p.

   Ici, \delta W(\vec{P}) = \mathrm{d}(mg\ell\cos\theta), ce qui montre que le travail élémentaire dérive de l'énergie potentielle de pesanteur :

   E_p(\theta) = -mg\ell\cos\theta + \text{cte} = -mg x_G + \text{cte}.

   Le travail du poids entre deux positions quelconques ne dépend donc que des positions initiale et finale, et est indépendant du chemin suivi (et en particulier indépendant de la trajectoire temporelle \lambda(t) du point d'attache). Par conséquent, le poids est une force rigoureusement conservative dans le référentiel galiléen.

   Résultat

   $$\delta W(\vec{P})=-mg\ell \sin \theta \mathrm{d}\theta =\mathrm{d}(mg\ell \cos \theta )$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2CCINP Modelisation TSI 2026, Q38

   L'équation différentielle linéaire d'ordre 2 à coefficients constants s'écrit :

   \ddot{\theta}(t) + \omega^2 \theta(t) = \Gamma \sin(\Omega t)

   1. Solution de l'équation homogène :
   L'équation homogène \ddot{\theta}(t) + \omega^2 \theta(t) = 0 a pour solution générale :

   \theta_h(t) = A \cos(\omega t) + B \sin(\omega t), \quad (A, B) \in \mathbb{R}^2

   2. Recherche d'une solution particulière :
   Comme \Omega \neq \omega, le second membre n'est pas en résonance avec la pulsation propre du système. On cherche donc une solution particulière de la forme :

   \theta_p(t) = C \sin(\Omega t)

   En dérivant deux fois par rapport au temps, il vient \ddot{\theta}_p(t) = -C \Omega^2 \sin(\Omega t). En réinjectant dans l'équation différentielle :

   \left(-\Omega^2 + \omega^2\right) C \sin(\Omega t) = \Gamma \sin(\Omega t) \implies C = \frac{\Gamma}{\omega^2 - \Omega^2}

   La solution particulière s'écrit ainsi :

   \theta_p(t) = \frac{\Gamma}{\omega^2 - \Omega^2} \sin(\Omega t)

   3. Solution générale et conditions initiales :
   La solution générale est la somme de la solution homogène et de la solution particulière :

   \theta(t) = A \cos(\omega t) + B \sin(\omega t) + \frac{\Gamma}{\omega^2 - \Omega^2} \sin(\Omega t)

   Sa dérivée temporelle est donnée par :

   \dot{\theta}(t) = -A \omega \sin(\omega t) + B \omega \cos(\omega t) + \frac{\Gamma \Omega}{\omega^2 - \Omega^2} \cos(\Omega t)

   L'application des conditions initiales \theta(0) = 0 et \dot{\theta}(0) = 0 fournit le système :

   \begin{aligned} \theta(0) &= A = 0 \\ \dot{\theta}(0) &= B \omega + \frac{\Gamma \Omega}{\omega^2 - \Omega^2} = 0 \implies B = -\frac{\Gamma \Omega}{\omega(\omega^2 - \Omega^2)} \end{aligned}

   On en déduit l'expression de \theta(t) pour tout t \in \mathbb{R} :

   \boxed{\theta(t) = \frac{\Gamma}{\omega^2 - \Omega^2} \left( \sin(\Omega t) - \frac{\Omega}{\omega} \sin(\omega t) \right)}

   Résultat

   $$\theta (t)=\frac{\Gamma }{{\omega }^2-{\Omega }^2}\left(\sin (\Omega t)-\frac{\Omega }{\omega }\sin (\omega t)\right)$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3CCINP Modelisation TSI 2026, Q47

   La matrice M \in \mathscr{M}_2(\mathbb{R}) est définie par :

   M = \begin{pmatrix} \dfrac{\omega\delta}{4} & -(\Omega - \omega) \\[6pt] \Omega - \omega & -\dfrac{\omega\delta}{4} \end{pmatrix}.

   Déterminons son polynôme caractéristique \chi_M(\lambda) = \det(\lambda I_2 - M) :

   \begin{aligned} \chi_M(\lambda) &= \begin{vmatrix} \lambda - \dfrac{\omega\delta}{4} & \Omega - \omega \\[6pt] -(\Omega - \omega) & \lambda + \dfrac{\omega\delta}{4} \end{vmatrix} \\ &= \left(\lambda - \frac{\omega\delta}{4}\right)\left(\lambda + \frac{\omega\delta}{4}\right) + (\Omega - \omega)^2 \\ &= \lambda^2 - \left(\frac{\omega\delta}{4}\right)^2 + (\Omega - \omega)^2. \end{aligned}

   Les valeurs propres de M sont les racines dans \mathbb{C} de l'équation \chi_M(\lambda) = 0, soit :

   \lambda^2 = \left(\frac{\omega\delta}{4}\right)^2 - (\Omega - \omega)^2.

   On en déduit les deux valeurs propres (éventuellement confondues) de M :

   \boxed{\lambda = \pm \sqrt{\left(\frac{\omega\delta}{4}\right)^2 - (\Omega - \omega)^2}}

   Plus précisément, selon le signe du terme sous le radical :

   • si \left|\dfrac{\omega\delta}{4}\right| > |\Omega - \omega|, M admet deux valeurs propres réelles opposées distinctes :

     \lambda_{1,2} = \pm \sqrt{\left(\frac{\omega\delta}{4}\right)^2 - (\Omega - \omega)^2} \in \mathbb{R} ;

   • si \left|\dfrac{\omega\delta}{4}\right| < |\Omega - \omega|, M admet deux valeurs propres imaginaires pures conjuguées distinctes :

     \lambda_{1,2} = \pm i \sqrt{(\Omega - \omega)^2 - \left(\frac{\omega\delta}{4}\right)^2} \in i\mathbb{R}^* ;
   • si \left|\dfrac{\omega\delta}{4}\right| = |\Omega - \omega|, M admet une unique valeur propre double nulle : \lambda = 0.

   Résultat

   $$\lambda =\pm \sqrt{{\left(\frac{\omega \delta }{4}\right)}^2-(\Omega -\omega {)}^2}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4CCINP Physique-Chimie TSI 2025, Q2

   Énoncé du théorème de l'énergie cinétique :
   Dans un référentiel galiléen, la variation de l'énergie cinétique d'un point matériel entre deux positions A et B est égale à la somme des travaux de toutes les forces extérieures appliquées à ce point matériel entre ces deux positions :

   \Delta E_c = E_c(B) - E_c(A) = \sum W_{A \to B}(\vec{F}_{\text{ext}})

   Application à l'enfant :

   • Système : enfant modélisé par le point matériel \text{M} de masse m.
   • Référentiel : terrestre, supposé galiléen.

   • Bilan des forces :

     • le poids \vec{P} ;
     • la réaction normale de la piste \vec{R}_N, orthogonale à tout instant au déplacement élémentaire \mathrm{d}\vec{\ell} (glissade sans frottement), d'où un travail nul : W_{A \to B}(\vec{R}_N) = 0.

   L'enfant partant sans vitesse initiale depuis le point A, on a v_A = 0, soit E_c(A) = 0. Au point B, son énergie cinétique s'écrit E_c(B) = \frac{1}{2} m v_{B\_{sans\_frottement}}^2.

   En appliquant le théorème de l'énergie cinétique entre A et B et en utilisant l'expression du travail du poids établie à la question Q1 :

   \begin{aligned} \frac{1}{2} m v_{B\_{sans\_frottement}}^2 - 0 &= W_{A \to B}(\vec{P}) + W_{A \to B}(\vec{R}_N) \\ \frac{1}{2} m v_{B\_{sans\_frottement}}^2 &= m g (H - h) \end{aligned}

   On en déduit l'expression de la vitesse atteinte au point B :

   \boxed{v_{B\_{sans\_frottement}} = \sqrt{2g(H - h)}}

   Résultat

   $$v_{B\_sans\_frottement}=\sqrt{2g(H-h)}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5CCINP Physique-Chimie TSI 2022, Q8

   On étudie le système constitué par le voilier (ou l'ensemble de la charge suspendue) de masse m dans le référentiel terrestre supposé galiléen.

   On repère l'altitude suivant un axe vertical (Oz) orienté vers le haut, dont l'origine z = 0 est prise au niveau de la surface de l'eau. Le bas de la quille se trouve initialement sans vitesse à l'altitude z_i = H = 10\text{ m}.

   Le treuil étant débrayé et les frottements négligés, le système est uniquement soumis à son poids \vec{P} = -m g \vec{u}_z, qui dérive de l'énergie potentielle de pesanteur :

   E_{pp}(z) = m g z \quad (\text{en choisissant } E_{pp}(0) = 0)

   Le poids étant une force conservative et aucune autre force n'intervenant, l'énergie mécanique E_m = E_c + E_{pp} se conserve au cours de la chute :

   \Delta E_m = 0 \iff E_m(z = 0) = E_m(z = H)

   En développant avec v_i = 0 et v_f = v :

   \begin{aligned} \frac{1}{2} m v^2 + 0 &= 0 + m g H \\ v^2 &= 2 g H \end{aligned}

   On en déduit l'expression littérale de la vitesse d'impact :

   \boxed{v = \sqrt{2 g H}}

   Application numérique :

   v = \sqrt{2 \times 10 \times 10} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2} \approx 14\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}

   Résultat

   $$v=\sqrt{2gH}$$

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6. Exercice 6CentraleSupélec Physique-Chimie 1 TSI 2022, Q53

   D'après la question Q46, l'équation du mouvement de la tige s'écrit :

   m\,\frac{\mathrm{d}v(t)}{\mathrm{d}t} = F + i(t)\,L\,B

   En multipliant cette relation par la vitesse scalaire v(t), on obtient le théorème de la puissance mécanique :

   m\,v(t)\,\frac{\mathrm{d}v(t)}{\mathrm{d}t} = F\,v(t) + i(t)\,L\,B\,v(t)

   En identifiant les termes grâce aux questions Q50, Q51 et Q52 :

   • m\,v(t)\,\frac{\mathrm{d}v(t)}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{1}{2}m\,v(t)^2\right) = \frac{\mathrm{d}\mathcal{E}_{\mathrm{c}}}{\mathrm{d}t}, dérivée temporelle de l'énergie cinétique de la barre ;
   • F\,v(t) = \mathcal{P}_{\mathrm{op}}, puissance mécanique fournie par l'opérateur extérieur ;
   • i(t)\,L\,B\,v(t) = \mathcal{P}_{\mathrm{L}} = -\mathcal{P}_{\mathrm{J}}, opposé de la puissance dissipée par effet Joule dans le circuit.

   Le bilan de puissance s'écrit donc :

   \boxed{\mathcal{P}_{\mathrm{op}} = \frac{\mathrm{d}\mathcal{E}_{\mathrm{c}}}{\mathrm{d}t} + \mathcal{P}_{\mathrm{J}}}

   ou, sous forme équivalente, \frac{\mathrm{d}\mathcal{E}_{\mathrm{c}}}{\mathrm{d}t} = \mathcal{P}_{\mathrm{op}} - \mathcal{P}_{\mathrm{J}}.

   Interprétation physique des termes :

   • \mathcal{P}_{\mathrm{op}} = F\,v(t) est la puissance mécanique injectée dans le système par l'opérateur extérieur (source motrice).
   • \frac{\mathrm{d}\mathcal{E}_{\mathrm{c}}}{\mathrm{d}t} représente la fraction de cette puissance stockée sous forme d'énergie cinétique pour accélérer la tige pendant le régime transitoire.
   • \mathcal{P}_{\mathrm{J}} = R\,i(t)^2 est la puissance électrique dissipée par effet Joule (ou délivrée à la charge électrique modélisée par R).

   Résultat

   $${\mathcal{P}}_{\mathrm{op}}=\frac{\mathrm{d}{\mathcal{E}}_{\mathrm{c}}}{\mathrm{d}t}+{\mathcal{P}}_{\mathrm{J}}$$

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7. Exercice 7CCINP Physique-Chimie TSI 2020, Q14

   L'équation différentielle (1) établie à la question Q11 s'écrit :

   J\ddot{\theta} + Mgh\sin\theta = 0

   Multiplions cette relation par \dot{\theta} :

   J\dot{\theta}\ddot{\theta} + Mgh\dot{\theta}\sin\theta = 0

   En reconnaissant des dérivées par rapport au temps :

   \begin{aligned} J\dot{\theta}\ddot{\theta} &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{1}{2}J\dot{\theta}^2\right) \\ Mgh\dot{\theta}\sin\theta &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(-Mgh\cos\theta\right) \end{aligned}

   L'équation se met donc sous la forme d'une dérivée temporelle nulle :

   \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{1}{2}J\dot{\theta}^2 - Mgh\cos\theta\right) = 0

   Par intégration par rapport au temps t, on obtient une intégrale première du mouvement, notée (3) :

   \boxed{\frac{1}{2}J\dot{\theta}^2 - Mgh\cos\theta = \text{cte} \quad (3)}

   Remarque : On peut également écrire cette relation sous la forme :

   \frac{1}{2}J\dot{\theta}^2 + Mgh(1 - \cos\theta) = \text{cte}'

   en choisissant la référence de l'énergie potentielle de pesanteur à la position d'équilibre stable (\theta = 0).

   Résultat

   $$\frac{1}{2}J{\dot{\theta }}^2-Mgh\cos \theta =\text{cte}(3)$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

8. Exercice 8CentraleSupélec Physique-Chimie 1 TSI 2020, Q10

   On étudie la masse m dans le référentiel non galiléen lié à la voiture, muni de la base (\vec{u}_x, \vec{u}_y). La vitesse et l'accélération relatives de la masse sont :

   \vec{V} = \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\vec{u}_x \quad \text{et} \quad \vec{a}_{\text{rel}} = \frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2}\vec{u}_x

   D'après le bilan des forces établi à la question Q9, la masse est soumise à :

   • son poids \vec{P} = -m g \vec{u}_y ;
   • la réaction normale du support horizontal \vec{R}_N = R_N \vec{u}_y (le déplacement s'effectuant sans frottement solide) ;
   • la force de rappel élastique du ressort \vec{F}_{\text{é}} = -k(x(t) - L_0)\vec{u}_x ;
   • la force de frottement fluide \vec{f} = -\alpha \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\vec{u}_x ;
   • la force d'inertie d'entraînement \vec{F}_{ie} = m a \vec{u}_x.

   Le mouvement relatif s'effectuant selon la direction horizontale, l'équilibre vertical donne \vec{P} + \vec{R}_N = \vec{0}.

   Le principe fondamental de la dynamique appliqué dans le référentiel lié à la voiture s'écrit :

   m \frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2}\vec{u}_x = \vec{P} + \vec{R}_N + \vec{F}_{\text{é}} + \vec{f} + \vec{F}_{ie}

   En projetant suivant le vecteur unitaire \vec{u}_x :

   m \frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} = -k(x - L_0) - \alpha \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} + m a

   La longueur à vide L_0 étant constante au cours du temps, la variable X(t) = x(t) - L_0 vérifie :

   \frac{\mathrm{d}X}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} \quad \text{et} \quad \frac{\mathrm{d}^2X}{\mathrm{d}t^2} = \frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2}

   L'équation du mouvement devient ainsi :

   m \frac{\mathrm{d}^2X}{\mathrm{d}t^2} + \alpha \frac{\mathrm{d}X}{\mathrm{d}t} + k X = m a

   En divisant par la masse m, on obtient :

   \frac{\mathrm{d}^2X}{\mathrm{d}t^2} + \frac{\alpha}{m}\frac{\mathrm{d}X}{\mathrm{d}t} + \frac{k}{m}X = a

   Par identification avec la forme canonique d'un oscillateur amorti du second ordre :

   \frac{\mathrm{d}^2X}{\mathrm{d}t^2} + \frac{\omega_0}{Q}\frac{\mathrm{d}X}{\mathrm{d}t} + \omega_0^2 X = a

   on en déduit par comparaison des coefficients :

   \begin{aligned} \omega_0^2 &= \frac{k}{m} \implies \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}} \\ \frac{\omega_0}{Q} &= \frac{\alpha}{m} \implies Q = \frac{m\omega_0}{\alpha} = \frac{\sqrt{km}}{\alpha} \end{aligned}

   \boxed{\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}} \quad \text{et} \quad Q = \frac{\sqrt{k m}}{\alpha}}

   Résultat

   $${\omega }_0=\sqrt{\frac{k}{m}}\text{et}Q=\frac{\sqrt{km}}{\alpha }$$

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9. Exercice 9CentraleSupélec Physique-Chimie 1 TSI 2020, Q21

   L'équation différentielle régissant le déplacement vertical z(t) du centre d'inertie de la poutre s'écrit :

   M \frac{\mathrm{d}^2 z}{\mathrm{d}t^2} + \alpha \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t} + k z = F_0 \cos(\omega t)

   En régime sinusoïdal forcé, on adopte la notation complexe en posant z(t) = \operatorname{Re}(\underline{z}(t)) avec \underline{z}(t) = \underline{Z}_m \mathrm{e}^{i\omega t}, et F_E(t) = \operatorname{Re}(\underline{F}_E(t)) avec \underline{F}_E(t) = F_0 \mathrm{e}^{i\omega t} (l'amplitude complexe de la force étant choisie réelle et égale à F_0).

   Les dérivées temporelles se traduisent par :

   \begin{aligned} \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t} &\longleftrightarrow i\omega \underline{Z}_m \mathrm{e}^{i\omega t} \\ \frac{\mathrm{d}^2 z}{\mathrm{d}t^2} &\longleftrightarrow -\omega^2 \underline{Z}_m \mathrm{e}^{i\omega t} \end{aligned}

   L'équation différentielle devient alors dans le domaine complexe :

   \left(-M\omega^2 + i\alpha\omega + k\right) \underline{Z}_m \mathrm{e}^{i\omega t} = F_0 \mathrm{e}^{i\omega t}

   En simplifiant par le terme temporel \mathrm{e}^{i\omega t} \neq 0, on obtient directement l'expression de l'amplitude complexe :

   \boxed{\underline{Z}_m = \frac{F_0}{k - M\omega^2 + i\alpha\omega}}

   En introduisant la pulsation propre \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{M}}, cette expression peut également s'écrire sous forme canonique :

   \underline{Z}_m = \frac{F_0}{k\left(1 - \frac{\omega^2}{\omega_0^2}\right) + i\alpha\omega}

   Résultat

   $${\underline{Z}}_m=\frac{F_0}{k-M{\omega }^2+i\alpha \omega }$$

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10. Exercice 10CCINP Physique-Chimie TSI 2026, Q42

    L'énoncé précise que l'intégralité de la puissance fournie par le moteur est transmise aux roues pour générer la force de propulsion \vec{F}_p.

    La puissance mécanique \mathcal{P} développée par la force de propulsion \vec{F}_p s'écrit :

    \mathcal{P} = \vec{F}_p \cdot \vec{v}_0

    En utilisant l'expression établie à la question Q41, \vec{F}_p = \kappa v_0^2 \vec{e}_x, et le vecteur vitesse \vec{v}_0 = v_0 \vec{e}_x :

    \mathcal{P} = \left(\kappa v_0^2 \vec{e}_x\right) \cdot \left(v_0 \vec{e}_x\right)

    On en déduit :

    \boxed{\mathcal{P} = \kappa v_0^3}

    Résultat

    $$\mathcal{P}=\kappa v_0^3$$

    Indice, stratégie et pièges de cette question