Feuille d'entraînement : Induction et forces de Laplace

Corrigés

1. Exercice 1E3A Physique-Chimie MP 2025, Q12

   1. Origine qualitative du courant induit et de son sens

   Au cours du mouvement de la spire à la vitesse \vec{v}_0 = v_0 \vec{u}_x, la surface S(t) de la spire plongée dans la zone de champ magnétique \vec{B}_0 = B_0 \vec{u}_z augmente au cours du temps :

   S(t) = a\,x(t) = a\,v_0 t \quad \text{pour } t \in \left[0, \frac{a}{v_0}\right]

   Le flux du champ magnétique à travers la spire varie donc au cours du temps, ce qui donne naissance à un phénomène d'induction (loi de Faraday).

   D'après la loi de Lenz, les effets induits s'opposent à la cause qui leur donne naissance :

   • La cause est ici l'augmentation du flux magnétique à travers la spire (selon +\vec{u}_z).
   • Le courant induit i doit donc créer un champ magnétique induit \vec{B}_{\text{ind}} de sens opposé, c'est-à-dire dirigé selon -\vec{u}_z.
   • D'après la règle de la main droite (ou du tire-bouchon), pour générer un champ selon -\vec{u}_z, le courant doit circuler dans le sens horaire dans le plan de la figure, ce qui correspond exactement au sens de i indiqué sur la figure 6.

   2. Détermination quantitative de l'intensité i

   On oriente le contour de la spire selon le sens algébrique du courant i (sens horaire). La normale unitaire \vec{n} associée par la règle de la main droite est alors :

   \vec{n} = -\vec{u}_z

   Le flux magnétique à travers la spire à l'instant t s'écrit donc :

   \begin{aligned} \Phi(t) &= \iint_{\text{spire}} \vec{B} \cdot \vec{n} \, \mathrm{d}S \\ &= \iint_{\text{zone } B_0} (B_0 \vec{u}_z) \cdot (-\vec{u}_z) \, \mathrm{d}S + 0 \\ &= - B_0 S(t) = - B_0 a v_0 t \end{aligned}

   D'après la loi de Faraday, la force électromotrice induite e vaut :

   \begin{aligned} e &= -\frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t} = B_0 a v_0 \end{aligned}

   En négligeant l'auto-inductance de la spire, la loi d'Ohm pour le circuit fermé de résistance R donne directement :

   e = R\,i \implies i = \frac{e}{R}

   \boxed{i = \frac{B_0 a v_0}{R}}

   L'intensité i est donc constante et positive pendant toute la phase d'entrée de la spire dans la zone de champ magnétique.

   Résultat

   $$i=\frac{B_{0}a{v}_0}{R}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2X-ENS Physique MP 2024, Q3

   1. Approximations utilisées :

   • Approximation des régimes quasi-stationnaires (ARQS) : l'énoncé précise que l'ARQS est applicable. Le champ magnétique \vec{B}_{\mathrm{sol}}(M, t) à l'instant t est donc identique au champ magnétostatique créé par un courant continu de valeur instantanée i(t).
   • Modèle du solénoïde infini : la longueur L étant suffisamment grande devant le rayon b (L \gg b), on néglige les effets de bord aux extrémités et on assimile le solénoïde à un solénoïde infiniment long le long de l'axe (Oz), comportant une densité linéique d'enroulement n = N/L.

   2. Symétries et invariances :

   • Tout plan contenant l'axe (Oz) est un plan d'anti-symétrie de la distribution de courant. Le champ magnétique en tout point d'un tel plan lui est perpendiculaire, ce qui implique que le champ magnétique est purement axial :

     \vec{B}_{\mathrm{sol}}(M, t) = B_z(r, \theta, z, t)\,\vec{e}_z

   • Pour un solénoïde infini, la distribution de courant est invariante par translation selon z et par rotation autour de (Oz) (invariance selon \theta). Ainsi, B_z ne dépend spatialement que de la distance radiale r :

     \vec{B}_{\mathrm{sol}}(M, t) = B_z(r, t)\,\vec{e}_z

   3. Détermination du champ magnétique par le théorème d'Ampère : On applique le théorème d'Ampère à un contour rectangulaire fermé de côtés parallèles à \vec{e}_z (de longueur h) et orienté selon la règle du tire-bouchon :

   • Pour un contour entièrement à l'extérieur (r > b) : le courant enlacé est nul, donc B_z(r_1, t) - B_z(r_2, t) = 0. Le champ est uniforme à l'extérieur. Les sources de courant étant localisées à distance finie, le champ doit s'annuler à l'infini (r \to +\infty), d'où :

     \vec{B}_{\mathrm{sol, ext}}(M, t) = \vec{0} \quad \text{pour } r > b

   • Pour un contour traversant la nappe de courant (un côté à l'intérieur r < b, un côté à l'extérieur r > b) :

     \oint \vec{B}\cdot\mathrm{d}\vec{\ell} = B_z(r, t)\,h - B_{z,\mathrm{ext}}\,h = \mu_0 I_{\text{enlacé}} = \mu_0 \left(\frac{N}{L} h\right) i(t)

     Puisque B_{z,\mathrm{ext}} = 0, on obtient :

     \vec{B}_{\mathrm{sol, int}}(M, t) = \mu_0 \frac{N}{L} i(t)\,\vec{e}_z \quad \text{pour } r < b

   4. Expressions selon les phases temporelles :

   • Phase 1 : t < 0 (i(t) = i_0) :

     \begin{cases} \vec{B}_{\mathrm{sol}}(M, t) = \mu_0 \dfrac{N}{L} i_0\,\vec{e}_z & \text{pour } r < b\\[6pt] \vec{B}_{\mathrm{sol}}(M, t) = \vec{0} & \text{pour } r > b \end{cases}

   • Phase 2 : t \in [0, \tau[ (i(t) décroît de i_0 à 0) :

     \begin{cases} \vec{B}_{\mathrm{sol}}(M, t) = \mu_0 \dfrac{N}{L} i(t)\,\vec{e}_z & \text{pour } r < b\\[6pt] \vec{B}_{\mathrm{sol}}(M, t) = \vec{0} & \text{pour } r > b \end{cases}

   • Phase 3 : t \geq \tau (i(t) = 0) :

     \vec{B}_{\mathrm{sol}}(M, t) = \vec{0} \quad \text{dans tout l'espace}

   Ces résultats se résument par :

   \boxed{\vec{B}_{\mathrm{sol}}(M, t) = \begin{cases} \mu_0 \dfrac{N}{L} i(t)\,\vec{e}_z & \text{si } r < b \\ \vec{0} & \text{si } r > b \end{cases}}

   5. Homogénéité :

   • À l'intérieur (r < b), le champ ne dépend pas des coordonnées d'espace (r, \theta, z) : le champ est donc homogène (uniforme) à l'intérieur du solénoïde à chaque instant.
   • À l'extérieur (r > b), le champ est identiquement nul partout : il est donc également homogène (uniforme) à l'extérieur.

   Résultat

   $${\vec{B}}_{\mathrm{sol}}(M,t)=\{\begin{array}{ll}{\mu }_0\frac{N}{L}i(t){\vec{e}}_z& \text{si }r<b\\ \vec{0}& \text{si }r>b\end{array}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3X-ENS Physique MP 2024, Q4

   Dans le cadre de l'approximation des régimes quasi-stationnaires (ARQS), le solénoïde est modélisé comme infini le long de l'axe (Oz). Le fil est supposé non chargé, de sorte qu'il n'y a pas de terme de charge statique et le champ électrique est purement induit.

   Symétries et invariances : La distribution de courant présente une invariance par translation selon z et par rotation autour de (Oz). Les composantes du champ ne dépendent donc que de la coordonnée radiale r. De plus, le champ magnétique est dirigé selon \vec{e}_z. D'après l'équation de Maxwell-Faraday sous forme locale \vec{\mathrm{rot}}\,\vec{E}_{\mathrm{sol}} = -\frac{\partial \vec{B}_{\mathrm{sol}}}{\partial t}, le champ électrique présente une composante orthoradiale :

   \vec{E}_{\mathrm{sol}}(M, t) = E_\theta(r, t)\,\vec{e}_\theta

   Théorème de Faraday : Soit un cercle orienté \mathcal{C} de rayon r, d'axe (Oz), contenu dans un plan orthogonal à (Oz) et orienté par sa normale \vec{e}_z. La circulation du champ électrique le long de ce contour vaut :

   \oint_{\mathcal{C}} \vec{E}_{\mathrm{sol}}\cdot\mathrm{d}\vec{\ell} = E_\theta(r, t) \times 2\pi r

   D'après la loi de Faraday, cette circulation est reliée au flux du champ magnétique \Phi(t) = \iint_{\mathcal{S}} \vec{B}_{\mathrm{sol}}\cdot\mathrm{d}\vec{S} à travers le disque \mathcal{S} délimité par \mathcal{C} :

   \oint_{\mathcal{C}} \vec{E}_{\mathrm{sol}}\cdot\mathrm{d}\vec{\ell} = -\frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t}

   D'après la question Q3, \vec{B}_{\mathrm{sol}} = \mu_0 \frac{N}{L} i(t)\,\vec{e}_z pour r < b et \vec{B}_{\mathrm{sol}} = \vec{0} pour r > b.

   • À l'intérieur du solénoïde (r < b) :

     \begin{aligned} \Phi(t) &= \pi r^2 B_{\mathrm{sol}}(t) = \mu_0 \frac{N}{L} \pi r^2 i(t) \\ E_\theta(r, t) \times 2\pi r &= -\mu_0 \frac{N}{L} \pi r^2 \frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t} \implies \vec{E}_{\mathrm{sol}}(M, t) = -\frac{\mu_0 N}{2L} r \frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}\,\vec{e}_\theta \end{aligned}

   • À l'extérieur du solénoïde (r > b) : Le flux magnétique est confiné dans le rayon b :

     \begin{aligned} \Phi(t) &= \pi b^2 B_{\mathrm{sol}}(t) = \mu_0 \frac{N}{L} \pi b^2 i(t) \\ E_\theta(r, t) \times 2\pi r &= -\mu_0 \frac{N}{L} \pi b^2 \frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t} \implies \vec{E}_{\mathrm{sol}}(M, t) = -\frac{\mu_0 N b^2}{2L r} \frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}\,\vec{e}_\theta \end{aligned}

   Étude selon les différentes phases temporelles :

   • Pour t < 0 : i(t) = i_0 = \text{cte}, donc \frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t} = 0 :

     \boxed{\vec{E}_{\mathrm{sol}}(M, t) = \vec{0} \quad \text{pour tout } r}

   • Pour t \in [0, \tau[ : le courant i(t) varie dans le temps, ainsi :

     \boxed{\vec{E}_{\mathrm{sol}}(M, t) = \begin{cases} \displaystyle -\frac{\mu_0 N}{2L} r \frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}\,\vec{e}_\theta & \text{pour } r < b \\[1em] \displaystyle -\frac{\mu_0 N b^2}{2L r} \frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}\,\vec{e}_\theta & \text{pour } r > b \end{cases}}

   • Pour t \geq \tau : i(t) = 0 = \text{cte}, donc \frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t} = 0 :

     \boxed{\vec{E}_{\mathrm{sol}}(M, t) = \vec{0} \quad \text{pour tout } r}

   Homogénéité : Pour t \in [0, \tau[, \vec{E}_{\mathrm{sol}} dépend explicitement de la position radiale r (linéaire en r à l'intérieur, en 1/r à l'extérieur) et sa direction dépend de \theta via \vec{e}_\theta. Le champ électrique n'est donc homogène ni à l'intérieur ni à l'extérieur du solénoïde (il est en revanche uniformément nul pour les phases t < 0 et t \geq \tau).

   Résultat

   $${\vec{E}}_{\mathrm{sol}}(M,t)=\vec{0}\text{pour tout }r$$

   $${\vec{E}}_{\mathrm{sol}}(M,t)=\{\begin{array}{ll}-\frac{{\mu }_{0}N}{2L}r\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}{\vec{e}}_{\theta }& \text{pour }r<b\\ -\frac{{\mu }_{0}N{b}^2}{2Lr}\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}{\vec{e}}_{\theta }& \text{pour }r>b\end{array}$$

   $${\vec{E}}_{\mathrm{sol}}(M,t)=\vec{0}\text{pour tout }r$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4CentraleSupélec Physique-Chimie 2 MP 2022, Q44

   1. Définition de l'inductance mutuelle

   Le coefficient d'inductance mutuelle M entre le circuit \mathcal{C}_1 parcouru par un courant i_1 et le circuit \mathcal{C}_2 orienté est défini par la relation de proportionnalité reliant le flux magnétique \Phi_{1\to 2} créé par \mathcal{C}_1 à travers \mathcal{C}_2 à l'intensité i_1 :

   \Phi_{1\to 2} = M\,i_1

   D'après le théorème de réciprocité de Neumann, on a également \Phi_{2\to 1} = M\,i_2. Le coefficient M s'exprime en henrys (\mathrm{H}).

   2. Expression de M

   La bobine-sonde \mathcal{C}_2 est située au centre du dispositif de Helmholtz, dans la région où le champ magnétique créé par \mathcal{C}_1 est considéré comme quasi-uniforme. D'après la relation établie à la question Q42, ce champ s'écrit :

   \vec{B}_1 \simeq B_{\text{axe}}(0)\,\vec{u}_3 = \mu N_1 i_1\,\vec{u}_3

   Les N_2 spires de rayon R_2 de la bobine \mathcal{C}_2 sont orientées selon la normale \vec{u}_z (verticale ascendante). Le flux à travers une spire de surface S_2 = \pi R_2^2 vaut :

   \phi_{1\to 2,\,\text{spire}} = \iint_{S_2} \vec{B}_1 \cdot \vec{u}_z\,\mathrm{d}S = \vec{B}_1 \cdot \vec{u}_z\,\pi R_2^2

   Le flux total à travers l'ensemble des N_2 spires de \mathcal{C}_2 s'en déduit :

   \Phi_{1\to 2} = N_2\,\phi_{1\to 2,\,\text{spire}} = N_2\,\pi R_2^2\,(\vec{B}_1 \cdot \vec{u}_z) = \mu N_1 N_2 \pi R_2^2\,(\vec{u}_3 \cdot \vec{u}_z)\,i_1

   D'après la figure 8, l'axe vertical du pendule est dirigé par \vec{u}_z vers le haut. L'axe \vec{u}_3 des bobines de Helmholtz, initialement orthogonal à \vec{u}_z dans le plan horizontal, est incliné de l'angle \varphi vers le bas sous l'effet de l'inclinaison de la sphère. L'angle entre \vec{u}_3 et \vec{u}_z est donc un angle obtus égal à \frac{\pi}{2} + \varphi, ce qui donne :

   \vec{u}_3 \cdot \vec{u}_z = \cos\left(\frac{\pi}{2} + \varphi\right) = -\sin\varphi

   Par identification avec \Phi_{1\to 2} = M\,i_1, on obtient :

   \boxed{M = -\mu N_1 N_2 \pi R_2^2 \sin\varphi}

   En valeur absolue, on a :

   |M| = \mu N_1 N_2 \pi R_2^2 \sin\varphi

   Résultat

   $$M=-\mu N_1{N}_2\pi R_2^2\sin \phi$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5E3A Physique-Chimie MP 2022, Q16

   D'après les résultats de la question Q11 et l'hypothèse de l'énoncé, le champ magnétique à l'intérieur du solénoïde (r < R) en régime lentement variable s'écrit :

   \vec{B}(M, t) = \mu_0 n i(t)\,\vec{u}_z = \mu_0 n I \cos(\omega t)\,\vec{u}_z = B_0 \cos(\omega t)\,\vec{u}_z

   avec B_0 = \mu_0 n I.

   D'après la question Q15, le champ électrique est de la forme \vec{E}(M, t) = E(r, t)\,\vec{u}_\theta.

   Considérons un cercle \mathcal{C} d'axe Oz, de rayon r < R, orienté par \vec{u}_\theta. Il s'appuie sur le disque \mathcal{D} orienté selon sa normale \vec{u}_z.

   • La circulation du champ électrique le long de \mathcal{C} s'écrit :

     \oint_{\mathcal{C}} \vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{\ell} = \int_0^{2\pi} E(r, t)\,\vec{u}_\theta \cdot (r\,\mathrm{d}\theta\,\vec{u}_\theta) = 2\pi r \, E(r, t)

   • Le flux magnétique à travers la surface du disque \mathcal{D} s'écrit :

     \Phi(t) = \iint_{\mathcal{D}} \vec{B}(M, t)\cdot\mathrm{d}\vec{S} = \pi r^2 B_0 \cos(\omega t)

   D'après la loi de Faraday issue de l'équation de Maxwell-Faraday :

   \oint_{\mathcal{C}} \vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{\ell} = -\frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t}

   d'où :

   2\pi r \, E(r, t) = - \pi r^2 \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left[ B_0 \cos(\omega t) \right] = \pi r^2 B_0 \omega \sin(\omega t)

   On en déduit :

   E(r, t) = \frac{1}{2} B_0 \omega r \sin(\omega t) = \frac{1}{2} \mu_0 n I \omega r \sin(\omega t)

   Le champ électrique est bien de la forme E(r, t) = E_0(r)\sin(\omega t), avec :

   \boxed{E_0(r) = \frac{1}{2}\mu_0 n I \omega r = \frac{1}{2} B_0 \omega r}

   Résultat

   $$E_0(r)=\frac{1}{2}{\mu }_{0}nI\omega r=\frac{1}{2}{B}_0\omega r$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6E3A Physique-Chimie MP 2020, Q11

   D'après l'équation mécanique (E2) établie à la question Q10 :

   \left(\mathrm{j}\omega M_{ms}^* + R_{ms} + \frac{1}{\mathrm{j}\omega C_{ms}}\right) \underline{V} = B_0 \ell \, \underline{I}

   d'où l'expression de l'amplitude complexe de la vitesse :

   \underline{V} = \frac{B_0 \ell}{\mathrm{j}\omega M_{ms}^* + R_{ms} + \dfrac{1}{\mathrm{j}\omega C_{ms}}} \, \underline{I}.

   D'après l'équation électrique (E1) issue de la question Q2 :

   \underline{E} = (R_e + \mathrm{j} L_e \omega)\underline{I} + B_0 \ell \, \underline{V}.

   En substituant l'expression de \underline{V}, il vient :

   \begin{aligned} \underline{E} &= (R_e + \mathrm{j} L_e \omega)\underline{I} + \frac{(B_0 \ell)^2}{\mathrm{j}\omega M_{ms}^* + R_{ms} + \dfrac{1}{\mathrm{j}\omega C_{ms}}} \, \underline{I} \\ &= \left[ \underline{Z_e} + \underline{Z_m} \right] \underline{I} = \underline{Z} \, \underline{I}, \end{aligned}

   ce qui montre que le haut-parleur se comporte vis-à-vis du générateur comme un dipôle linéaire d'impédance électrique équivalente \underline{Z} = \underline{Z_e} + \underline{Z_m}, où :

   \underline{Z_e} = R_e + \mathrm{j} L_e \omega

   représente l'impédance électrique propre (ou impédance bloquée, obtenue pour \underline{V} = 0), et \underline{Z_m} représente l'impédance motionnelle due au couplage électromécanique :

   \underline{Z_m} = \frac{(B_0 \ell)^2}{\mathrm{j}\omega M_{ms}^* + R_{ms} + \dfrac{1}{\mathrm{j}\omega C_{ms}}} = \frac{1}{\mathrm{j}\omega \dfrac{M_{ms}^*}{(B_0 \ell)^2} + \dfrac{R_{ms}}{(B_0 \ell)^2} + \dfrac{1}{\mathrm{j}\omega (B_0 \ell)^2 C_{ms}}}.

   Par identification avec la forme demandée :

   \underline{Z_m} = \frac{1}{\mathrm{j}\omega C_m^* + \dfrac{1}{R_m} + \dfrac{1}{\mathrm{j}\omega L_m}},

   on obtient les expressions des paramètres équivalents :

   \boxed{C_m^* = \frac{M_{ms}^*}{(B_0 \ell)^2}}

   \boxed{R_m = \frac{(B_0 \ell)^2}{R_{ms}}}

   \boxed{L_m = (B_0 \ell)^2 C_{ms}}

   Résultat

   $$C_m^{\ast }=\frac{M_{ms}^{\ast }}{(B_0\ell {)}^2}$$

   $$R_m=\frac{(B_0\ell {)}^2}{R_{ms}}$$

   $$L_m=(B_0\ell {)}^2{C}_{ms}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

7. Exercice 7CCINP Physique MP 2025, Q38

   D'après l'énoncé, le champ magnétique responsable de la force de Laplace s'exerçant sur la voile est :

   \vec{B}_{\text{eff}}(x = 0, t) = \frac{1}{2} \vec{B}_{\text{tot}}(0^-, t)

   Or, en x = 0, les champs incidents et réfléchis s'ajoutent :

   \vec{B}_{\text{tot}}(0^-, t) = \vec{B}_i(0, t) + \vec{B}_r(0, t)

   D'après la question Q37, \vec{B}_r(0, t) = \vec{B}_i(0, t), de sorte que :

   \vec{B}_{\text{tot}}(0^-, t) = 2\vec{B}_i(0, t) \implies \vec{B}_{\text{eff}}(x = 0, t) = \vec{B}_i(0, t)

   Considérons l'élément rectiligne de voile de longueur a suivant \vec{e}_z et de largeur \mathrm{d}y, parcouru par le courant \delta i = j_s(t)\,\mathrm{d}y orienté selon \vec{e}_z. La force de Laplace élémentaire qui s'exerce sur cette bande s'écrit :

   \begin{aligned} \overrightarrow{\delta F_L} &= \int_{z} \delta i\,\mathrm{d}z\,\vec{e}_z \wedge \vec{B}_{\text{eff}}(0, t) \\ &= \left(\int_{0}^{a} \mathrm{d}z\right) j_s(t)\,\mathrm{d}y\,\vec{e}_z \wedge \vec{B}_i(0, t) \\ &= a\,\mathrm{d}y \left(\vec{j}_s(t) \wedge \vec{B}_i(0, t)\right) \end{aligned}

   On obtient ainsi :

   \boxed{\overrightarrow{\delta F_L} = a\,\mathrm{d}y\,\vec{j}_s(t) \wedge \vec{B}_i(x = 0, t)}

   La force électromagnétique totale \vec{F}_L exercée sur l'ensemble de la voile s'obtient en sommant sur la largeur totale a selon y. Les champs et la densité de courant étant uniformes dans le plan de la voile :

   \begin{aligned} \vec{F}_L &= \int_{y=0}^a \overrightarrow{\delta F_L} \\ &= a \left(\int_{0}^{a}\mathrm{d}y\right) \vec{j}_s(t) \wedge \vec{B}_i(x=0, t) \end{aligned}

   D'où :

   \boxed{\vec{F}_L = a^2\,\vec{j}_s(t) \wedge \vec{B}_i(x = 0, t)}

   Résultat

   $$\overrightarrow{\delta F_L}=a\mathrm{d}y{\vec{j}}_s(t)\wedge {\vec{B}}_i(x=0,t)$$

   $${\vec{F}}_L=a^2{\vec{j}}_s(t)\wedge {\vec{B}}_i(x=0,t)$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

8. Exercice 8CCINP Physique-Chimie MP 2025, Q10

   Au laboratoire, la mesure d'un champ magnétique s'effectue principalement à l'aide d'un teslamètre équipé d'une sonde à effet Hall :

   • Principe de l'effet Hall : un courant électrique d'intensité I traverse un barreau conducteur ou semi-conducteur. En présence d'un champ magnétique \vec{B} perpendiculaire au courant, les porteurs de charge subissent la composante magnétique de la force de Lorentz :

     \vec{F}_m = q\,\vec{v} \wedge \vec{B}

     Cette déviation transversale crée une accumulation de charges sur les faces latérales, générant un champ électrostatique transverse dit « de Hall » \vec{E}_H. À l'équilibre, la tension de Hall U_H ainsi créée est directement proportionnelle à la composante normale du champ magnétique :

     \boxed{U_H = K_H \, I \, B_{\perp}}

     où K_H est une constante dépendant de la géométrie et du matériau de la sonde. La mesure de la tension électrique U_H donne ainsi directement accès à la valeur de B_{\perp}.

   D'autres méthodes peuvent également être employées :

   • La bobine exploratrice (ou sonde fluxmétrique) : pour un champ variable (ou en faisant tourner/déplaçant rapidement une petite bobine dans un champ stationnaire), la variation de flux magnétique induit une force électromotrice selon la loi de Faraday e(t) = -\frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t}. L'intégration du signal à l'aide d'un fluxmètre ou d'un oscilloscope permet de remonter à l'amplitude du champ.
   • La résonance magnétique nucléaire (RMN) : méthode métrologique de très haute précision reliant la pulsation de précession des spins nucléaires au champ magnétique par la relation de Larmor \omega_0 = \gamma_N B.

   Résultat

   $$U_H=K_{H}I{B}_{\perp }$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

9. Exercice 9E3A Physique-Chimie MP 2025, Q13

   La résultante des actions mécaniques d'origine électromagnétique s'exerçant sur la spire fermée est la force de Laplace :

   \vec{F} = \oint_{\text{spire}} i\,\mathrm{d}\vec{\ell} \wedge \vec{B}

   Décomposons cette intégrale sur les quatre côtés de la spire carrée :

   • Côté arrière CD : il se trouve dans la zone de champ magnétique nul, d'où \vec{F}_{CD} = \vec{0}.

   • Côtés latéraux : les brins sont parallèles à \vec{u}_x et baignent dans le même champ uniforme \vec{B}_0 = B_0 \vec{u}_z. Comme ils sont parcourus par le même courant i en sens opposés, leurs forces de Laplace respectives, dirigées selon \pm \vec{u}_y, se compensent exactement :

     \vec{F}_{\text{latéraux}} = \vec{0}
   • Côté avant EF : situé entièrement dans la zone où règne \vec{B}_0 = B_0 \vec{u}_z, il a pour longueur a. Compte tenu du sens de circulation du courant i > 0 défini à la question Q12 (sens horaire sur la figure 6), le courant traverse le brin EF selon la direction et le sens du vecteur -a\,\vec{u}_y.

   La force totale subie par la spire se réduit donc à la force sur le segment EF :

   \vec{F} = (-a\,\vec{u}_y) \wedge (B_0 \vec{u}_z) \cdot i = - i\,a\,B_0\,(\vec{u}_y \wedge \vec{u}_z) = - i\,a\,B_0\,\vec{u}_x

   En injectant l'expression de l'intensité i = \dfrac{B_0 a v_0}{R} établie à la question Q12, on obtient :

   \boxed{\vec{F} = - \frac{B_0^2 a^2}{R} v_0\,\vec{u}_x}

   Pendant toute la phase d'entrée, les grandeurs B_0, a, R et v_0 sont constantes : la force exercée sur la spire est donc constante et uniforme.

   Justification qualitative du sens : D'après la loi de modération de Lenz, les effets du phénomène d'induction s'opposent à la cause qui les produit. La cause de l'induction étant le déplacement de la spire à la vitesse \vec{v}_0 = v_0 \vec{u}_x vers la zone de champ, les forces de Laplace induites doivent s'opposer à ce mouvement : il s'agit d'une force de freinage dirigée selon -\vec{u}_x.

   Résultat

   $$\vec{F}=-\frac{B_0^2{a}^2}{R}{v}_0{\vec{u}}_x$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

10. Exercice 10E3A Physique-Chimie MP 2025, Q14

    Soit un repère orthonormé direct (\mathrm{O}, \vec{u}_x, \vec{u}_y, \vec{u}_z) où la zone de champ magnétique \vec{B}_0 = B_0 \vec{u}_z s'étend de x = 0 à x = a.

    Pendant la phase de sortie, le côté avant (EF) est sorti de la zone de champ (x_{\mathrm{EF}} > a), tandis que le côté arrière (CD) s'y trouve encore (0 \leqslant x_{\mathrm{CD}} \leqslant a). La surface de la spire baignée par le champ magnétique s'écrit :

    S(t) = a \, (a - x_{\mathrm{CD}}(t))

    Comme la spire se déplace à la vitesse \vec{v}_0 = v_0 \vec{u}_x, on a \dfrac{\mathrm{d}x_{\mathrm{CD}}}{\mathrm{d}t} = v_0, d'où :

    \frac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}t} = - a v_0

    En choisissant la normale à la spire \vec{n} = \vec{u}_z, le flux magnétique s'écrit \Phi(t) = B_0 S(t). D'après la loi de Faraday, la force électromotrice induite vaut :

    e = -\frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t} = - B_0 \frac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}t} = B_0 a v_0

    L'intensité du courant induit dans la spire de résistance R est donc :

    i = \frac{e}{R} = \frac{B_0 a v_0}{R}

    Le contour étant orienté selon la règle du tire-bouchon par rapport à \vec{n} = \vec{u}_z, le courant circule sur le côté CD dans le sens -\vec{u}_y.

    Calculons la force de Laplace globale \vec{F} exercée sur la spire :

    • Le côté avant (EF) est en dehors de la zone de champ : \vec{F}_{\mathrm{EF}} = \vec{0}.
    • Sur les deux brins latéraux (parallèles à \vec{u}_x), les courants circulent en sens opposés dans le même champ \vec{B}_0 ; les forces élémentaires valent \mathrm{d}\vec{F}_L = i\,\mathrm{d}\vec{\ell} \wedge \vec{B}_0 \propto \pm \vec{u}_y et se compensent deux à deux : \vec{F}_{\text{lat}} = \vec{0}.

    • Sur le côté arrière (CD), de longueur a orienté par -\vec{u}_y :

      \vec{F}_{\mathrm{CD}} = i \,(-a \vec{u}_y) \wedge (B_0 \vec{u}_z) = - i a B_0 (\vec{u}_y \wedge \vec{u}_z) = - i a B_0 \vec{u}_x

    En remplaçant i par son expression, on obtient bien :

    \boxed{\vec{F} = - \frac{B_0^2 a^2}{R} v_0 \vec{u}_x}

    Résultat

    $$\vec{F}=-\frac{B_0^2{a}^2}{R}{v}_0{\vec{u}}_x$$

    Indice, stratégie et pièges de cette question