Corrigé détaillé CCINP Physique-Chimie PSI 2024

Non, on ne peut pas appliquer directement le principe fondamental de la dynamique (deuxième loi de Newton) à ce système.

En effet, le principe fondamental de la dynamique est formulé pour un système fermé, constitué d'une quantité de matière fixée (de masse constante et d'identité de particules invariante).

Or, le système {candidat + flyboard + eau qu'il contient} est un système ouvert : il échange continûment de la matière avec l'extérieur via l'entrée d'eau par le tuyau d'alimentation (section S_{\mathrm{e}}) et la sortie d'eau par les deux tuyères (section S_{\mathrm{s}}).

Pour déterminer les efforts ou le bilan dynamique, il convient de définir un système fermé coïncident \Sigma entre deux instants voisins t et t + \mathrm{d}t.

Par définition, un écoulement est en régime stationnaire (ou régime permanent) lorsque les grandeurs physiques en tout point fixe de l'espace sont indépendantes du temps :

Concrètement, pour les grandeurs associées aux sections d'entrée et de sortie du système :

• les sections S_{\mathrm{e}} et S_{\mathrm{s}} des conduites sont géométriquement indéformables au cours du temps :

  \boxed{\frac{\mathrm{d}S_{\mathrm{e}}}{\mathrm{d}t} = 0 \quad \text{et} \quad \frac{\mathrm{d}S_{\mathrm{s}}}{\mathrm{d}t} = 0}

• les normes des vitesses de l'eau à l'entrée v_{\mathrm{e}} et aux sorties v_{\mathrm{s}} (ainsi que les vecteurs vitesse \vec{v}_{\mathrm{e}} et \vec{v}_{\mathrm{s}}) sont constantes au cours du temps :

  \boxed{\frac{\mathrm{d}v_{\mathrm{e}}}{\mathrm{d}t} = 0 \quad \text{et} \quad \frac{\mathrm{d}v_{\mathrm{s}}}{\mathrm{d}t} = 0}

Le système fermé \Sigma est constitué de l'ensemble de la matière présente dans le flyboard à l'instant t, complétée par la masse d'eau qui y entre entre t et t + \mathrm{d}t.

Sa composition aux deux instants s'écrit :

• À l'instant t :

  \Sigma(t) = \Sigma^*(t) \cup \mathrm{d}m_{\mathrm{e}}

  où \Sigma^*(t) est l'eau contenue dans le flyboard à l'instant t, et \mathrm{d}m_{\mathrm{e}} = \mu S_{\mathrm{e}} v_{\mathrm{e}} \, \mathrm{d}t est la tranche infinitésimale de fluide située juste avant la section d'entrée, qui va pénétrer dans le flyboard durant l'intervalle [t, t + \mathrm{d}t].

• À l'instant t + \mathrm{d}t :

  \Sigma(t + \mathrm{d}t) = \Sigma^*(t + \mathrm{d}t) \cup \mathrm{d}m_{\mathrm{s}}

  où \Sigma^*(t + \mathrm{d}t) est l'eau contenue dans le flyboard à l'instant t + \mathrm{d}t, et \mathrm{d}m_{\mathrm{s}} = \mathrm{d}m_{\mathrm{s},1} + \mathrm{d}m_{\mathrm{s},2} = 2 \mu S_{\mathrm{s}} v_{\mathrm{s}} \, \mathrm{d}t représente la masse d'eau expulsée à travers les deux tuyères de sortie durant l'intervalle [t, t + \mathrm{d}t].

Le débit volumique D_{\mathrm{v}} à travers une surface orientée \mathcal{S} traversée par un fluide de vitesse \vec{v} est défini par le flux du champ de vitesse :

Il représente le volume de fluide traversant cette surface par unité de temps : D_{\mathrm{v}} = \dfrac{\delta V}{\mathrm{d}t}.

Le fluide étant supposé incompressible et homogène (\mu = \text{cste}), l'équation locale de conservation de la masse s'écrit \mathrm{div}\,\vec{v} = 0. De plus, en régime stationnaire, il n'y a pas d'accumulation de matière au sein du système. Par conséquent, le débit massique D_{\mathrm{m}} = \mu D_{\mathrm{v}} est conservé le long de l'écoulement. La masse volumique \mu étant uniforme et constante, le débit volumique D_{\mathrm{v}} se conserve également.

L'écoulement étant supposé uniforme sur chaque section :

• À l'entrée, à travers l'unique tuyau de section S_{\mathrm{e}} :

  \boxed{D_{\mathrm{v}} = S_{\mathrm{e}} v_{\mathrm{e}}}

• À la sortie, à travers les deux tuyères identiques de section S_{\mathrm{s}} chacune :

  \boxed{D_{\mathrm{v}} = 2 S_{\mathrm{s}} v_{\mathrm{s}}}

Considérons le système fermé \Sigma défini à la question Q3, constitué du fluide contenu dans le flyboard \Sigma^*(t) et de la masse entrante \mathrm{d}m_{\mathrm{e}} à l'instant t.

En régime permanent, la masse élémentaire entrant pendant \mathrm{d}t est égale à la masse élémentaire sortant par les deux tuyères :

La quantité de mouvement du système fermé \Sigma s'écrit aux instants t et t+\mathrm{d}t :

Le régime étant stationnaire, l'état du fluide dans \Sigma^* ne dépend pas du temps : \vec{P}_{\Sigma^*}(t+\mathrm{d}t) = \vec{P}_{\Sigma^*}(t).

Avec \vec{v}_{\mathrm{e}} = v_{\mathrm{e}}\vec{e}_z et \vec{v}_{\mathrm{s}} = -v_{\mathrm{s}}\vec{e}_z, la variation de quantité de mouvement est :

Faisons le bilan des forces extérieures s'exerçant sur \Sigma (qui coïncide géométriquement avec \Sigma^* à l'ordre 0 en \mathrm{d}t) :

• le poids de l'eau contenue dans le flyboard : \vec{P}_{\mathrm{poids}} = -M_{\mathrm{eau}}g\vec{e}_z ;
• la force pressante en entrée de section S_{\mathrm{e}} (la normale sortante étant -\vec{e}_z) : \vec{F}_{P,\mathrm{e}} = P_{\mathrm{e}}S_{\mathrm{e}}\vec{e}_z ;
• la force pressante atmosphérique aux deux sorties de section cumulée 2S_{\mathrm{s}} (la normale sortante étant également -\vec{e}_z) : \vec{F}_{P,\mathrm{s}} = 2P_0S_{\mathrm{s}}\vec{e}_z ;
• l'action mécanique exercée par les parois intérieures du flyboard sur le fluide, qui vaut par la troisième loi de Newton : \vec{F}_{\mathrm{parois}\to\mathrm{eau}} = -F\vec{e}_z.

D'après le principe fondamental de la dynamique appliqué à \Sigma dans le référentiel d'étude galiléen :

En projetant sur \vec{e}_z :

soit :

En utilisant les relations établies à la question Q4, v_{\mathrm{e}} = \frac{D_{\mathrm{v}}}{S_{\mathrm{e}}} et v_{\mathrm{s}} = \frac{D_{\mathrm{v}}}{2S_{\mathrm{s}}} :

On identifie bien la forme recherchée :

avec :

Pour appliquer le théorème de Bernoulli, les conditions suivantes doivent être satisfaites :

• le fluide est supposé parfait (viscosité négligée) ;
• le fluide est homogène et incompressible (\mu = \text{cte}) ;
• l'écoulement s'effectue en régime stationnaire ;
• la seule force volumique à distance est la pesanteur, qui dérive d'une énergie potentielle volumique e_{\mathrm{p,vol}} = \mu g z.

Ces conditions étant vérifiées, la quantité P + \frac{1}{2}\mu v^2 + \mu g z est constante le long d'une ligne de courant.

On applique ce théorème entre :

• un point \mathrm{E} situé à l'entrée du tube central à la surface libre : z_{\mathrm{e}} = 0, P(\mathrm{E}) = P_{\mathrm{e}} et v(\mathrm{E}) = v_{\mathrm{e}} ;
• un point \mathrm{S} situé à la section de sortie de l'une des deux tuyères : z_{\mathrm{s}} = H, v(\mathrm{S}) = v_{\mathrm{s}}, et la pression y vaut la pression atmosphérique extérieure P(\mathrm{S}) = P_0 par continuité de la pression à la traversée de la surface libre d'un jet libre dans l'air.

La relation de Bernoulli s'écrit :

Soit, avec z_{\mathrm{e}} = 0 et z_{\mathrm{s}} = H :

D'après la question Q4, on a v_{\mathrm{e}} = \dfrac{D_{\mathrm{v}}}{S_{\mathrm{e}}} et v_{\mathrm{s}} = \dfrac{D_{\mathrm{v}}}{2S_{\mathrm{s}}}. On en déduit l'expression demandée :

D'après le résultat de la question Q5, la projection sur \vec{e}_z de la force exercée par l'eau sur les parois intérieures du flyboard s'écrit :

En injectant l'expression de la pression d'entrée P_{\mathrm{e}} établie à la question Q6 :

on obtient :

En remplaçant \alpha par son expression :

On retrouve bien l'expression demandée avec :

D'après l'énoncé, la masse d'eau contenue dans les tuyaux de la plateforme est négligeable devant celle du tube d'alimentation de hauteur H et de section S_{\mathrm{e}} car H \gg h. La masse totale d'eau contenue dans le flyboard s'écrit donc simplement comme le produit de la masse volumique \mu par le volume du tube d'alimentation :

D'après le résultat de la question Q7, la force F exercée par l'eau sur les parois intérieures du flyboard s'exprime selon :

En substituant l'expression de M_{\mathrm{eau}}, les deux termes de pesanteur se compensent exactement :

On obtient ainsi l'expression simplifiée de F :

On applique le principe fondamental de la dynamique (PFD) au système fermé {candidat + flyboard à vide} de masse M, dans le référentiel terrestre supposé galiléen.

À l'équilibre à l'altitude H, l'accélération du système est nulle :

Le système est soumis aux actions extérieures suivantes :

• Son poids :

  \vec{P} = -M g \vec{e}_z

• La force de contact exercée par l'eau sur les parois intérieures, dont l'expression simplifiée a été établie à la question Q8 :

  \vec{F}_{\text{eau} \to \text{parois}} = F \vec{e}_z = \left[ P_0(2S_{\mathrm{s}} + S_{\mathrm{e}}) + \mu D_{\mathrm{v}}^2 \beta \right] \vec{e}_z

• La résultante des forces de pression exercées par l'air atmosphérique uniforme à la pression P_0 sur l'ensemble de la surface extérieure du système, notée \mathcal{S}_{\text{ext}} :

  \vec{F}_{\text{atm}} = \iint_{\mathcal{S}_{\text{ext}}} -P_0 \vec{n}_{\text{ext}} \, \mathrm{d}S

Pour évaluer \vec{F}_{\text{atm}}, on remarque que la surface \mathcal{S}_{\text{ext}}, complétée par la section d'entrée S_{\mathrm{e}} et les deux sections de sortie 2S_{\mathrm{s}}, délimite un volume fermé. Les vecteurs normaux extérieurs à ce volume fermé au niveau des ouvertures sont tous orientés vers le bas, soit \vec{n}_{\text{ext}} = -\vec{e}_z (l'eau entrant par le bas et étant éjectée vers le bas).

Pour une pression uniforme P_0, l'intégrale sur toute surface fermée est nulle :

On en déduit :

La projection du PFD sur l'axe vertical \vec{e}_z s'écrit alors :

soit :

Les termes de pression atmosphérique P_0 se compensent exactement, ce qui conduit à :

Comme \beta > 0 et D_{\mathrm{v,eq}} > 0, on obtient bien :

D'après la question Q4, la conservation du débit volumique s'écrit :

On en déduit immédiatement les expressions littérales des vitesses :

Applications numériques : Avec D_{\mathrm{v,eq}} = 6,0 \cdot 10^{-2}\text{ m}^3\cdot\text{s}^{-1}, S_{\mathrm{e}} = 80\text{ cm}^2 = 8,0 \cdot 10^{-3}\text{ m}^2 et S_{\mathrm{s}} = 25\text{ cm}^2 = 2,5 \cdot 10^{-3}\text{ m}^2 :

D'après l'application du théorème de Bernoulli à la question Q6, la surpression \Delta P = P_{\mathrm{e}} - P_0 s'écrit :

En introduisant les vitesses v_{\mathrm{s}} = \dfrac{D_{\mathrm{v}}}{2S_{\mathrm{s}}} et v_{\mathrm{e}} = \dfrac{D_{\mathrm{v}}}{S_{\mathrm{e}}}, cette relation devient :

Évaluons séparément les deux contributions :

• Contribution de la hauteur de colonne d'eau (pesanteur) :

  \begin{aligned} \Delta P_{\mathrm{pes}} &= \mu g H \\ \Delta P_{\mathrm{pes}} &= 1,0 \cdot 10^3 \times 10 \times 5,0 = 5,0 \cdot 10^4\text{ Pa} = 0,50\text{ bar} \end{aligned}

• Contribution cinétique : avec v_{\mathrm{s}} = 12,0\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} et v_{\mathrm{e}} = 7,5\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} (d'après la question Q10) :

  \begin{aligned} v_{\mathrm{s}}^2 - v_{\mathrm{e}}^2 &= 12,0^2 - 7,5^2 = 144 - 56,25 = 87,75\text{ m}^2\cdot\text{s}^{-2} \approx 90\text{ m}^2\cdot\text{s}^{-2} \\ \Delta P_{\mathrm{cin}} &= \frac{1}{2} \times 1,0 \cdot 10^3 \times 87,75 \approx 4,4 \cdot 10^4\text{ Pa} = 0,44\text{ bar} \end{aligned}

On en déduit la surpression totale :

Parmi les trois valeurs proposées, la bonne valeur numérique est donc :

La perte de charge \Delta P_{\mathrm{c}} a la dimension d'une pression :

Examinons les dimensions des grandeurs intervenant dans l'expression proposée :

• [\mu] = \mathrm{M}\cdot\mathrm{L}^{-3} (masse volumique) ;
• [v_{\mathrm{e}}] = \mathrm{L}\cdot\mathrm{T}^{-1} (vitesse) ;
• [\ell] = \mathrm{L} (longueur du tuyau) ;
• [\varepsilon] = \mathrm{L} (rugosité absolue) ;
• [d] = \mathrm{L} (diamètre du tuyau) ;
• [K] = 1 (K étant un coefficient adimensionné).

Le terme de droite s'écrit dimensionnellement :

Par identification des exposants avec [\Delta P_{\mathrm{c}}] = \mathrm{M}\cdot\mathrm{L}^{-1}\cdot\mathrm{T}^{-2} :

• sur la dimension de temps \mathrm{T} :

  -a = -2 \implies a = 2

• sur la dimension de longueur \mathrm{L} :

  a + b - 4 = -1 \implies 2 + b - 4 = -1 \implies b = 1

La dimension de la masse \mathrm{M} est quant à elle automatiquement vérifiée (1 = 1).

On en déduit :

Pour un fluide incompressible s'écoulant avec un débit volumique D_{\mathrm{v}}, la puissance des forces de pression reçue par le fluide lors de sa traversée de la pompe s'écrit :

La pompe aspire l'eau à la pression atmosphérique P_{\text{entrée}} = P_0 et la refoule à la base du tuyau d'alimentation à la pression P_{\text{sortie}} = P_{\mathrm{e}} + \Delta P_{\mathrm{c}}. La rehausse totale de pression procurée par la pompe est donc :

En identifiant la puissance fournie par la pompe à la puissance des forces de pression, on obtient :

Commentaire sur la faiblesse de la puissance obtenue :

La valeur de 12\text{ kW} ne représente que la puissance hydraulique utile minimale nécessaire pour maintenir le flyboard en équilibre stationnaire à H = 5\text{ m}. L'écart très important avec la gamme recommandée (75\text{ kW} à 125\text{ kW}, soit un facteur 6 à 10) s'explique par plusieurs facteurs physiques :

• Le rendement global du groupe moto-pompe : la turbine (hydrojet) et le moteur thermique du jetski présentent un rendement mécanique et hydraulique bien inférieur à 1 (typiquement \eta \approx 0{,}6 pour la pompe et 0{,}35 pour le moteur), ce qui augmente considérablement la puissance moteur requise.
• Les pertes de charge négligées : l'aspiration à la grille du jetski, les singularités (coudes, changements de section, bifurcations dans la plateforme vers les deux tuyères) engendrent des pertes de charge singulières non comptabilisées ici.
• Le besoin d'une réserve de puissance dynamique : la puissance calculée correspond à une sustentation purement statique. Pour décoller, accélérer, compenser les mouvements du pilote, s'élever plus haut ou exécuter des figures acrobatiques, une réserve de puissance importante est impérative.

D'après l'énoncé, les cations \mathrm{Na^+} forment un réseau cubique à faces centrées (cfc). Dans une maille conventionnelle, ils occupent :

• les 8 sommets du cube, chacun étant partagé par 8 mailles adjacentes, soit une contribution de 8 \times \dfrac{1}{8} = 1 ion ;
• les centres des 6 faces du cube, chacun étant partagé par 2 mailles adjacentes, soit une contribution de 6 \times \dfrac{1}{2} = 3 ions.

Le nombre d'ions sodium propres à chaque maille (ou multiplicité de la maille pour le sous-réseau des cations) vaut donc :

Dans un réseau cubique à faces centrées (cfc) formé par les cations \mathrm{Na}^+, les centres des sites octaédriques sont situés :

• au centre du cube ;
• au milieu de chacune des 12 arêtes du cube.

Calculons le nombre de sites octaédriques appartenant en propre à la maille (multiplicité) :

• le site situé au centre du cube est entièrement interne à la maille, sa contribution est de 1 ;
• les sites situés au milieu des arêtes sont partagés entre 4 mailles adjacentes, leur contribution est de 12 \times \frac{1}{4} = 3.

Le nombre total de sites octaédriques par maille est donc :

D'après la question Q14, la maille contient N(\mathrm{Na^+}) = 4 cations sodium. La formule chimique du cristal étant \mathrm{NaCl} (stœchiométrie 1:1), la neutralité et la composition macroscopique imposent la présence de 4 ions chlorure \mathrm{Cl}^- par maille.

Puisque le nombre d'ions chlorure par maille est égal au nombre de sites octaédriques disponibles (4 pour 4), tous les sites octaédriques sont occupés.

1. Tangence des ions \mathrm{Na}^+ entre eux :

Dans un réseau cubique à faces centrées (cfc), les ions \mathrm{Na}^+ les plus proches sont situés aux sommets et au centre des faces. La distance minimale séparant deux cations \mathrm{Na}^+ correspond à une demi-diagonale de face :

Or, la somme des rayons de deux cations vaut :

Comme 2r < d(\mathrm{Na}^+ - \mathrm{Na}^+) :

2. Tangence entre les ions \mathrm{Na}^+ et \mathrm{Cl}^- :

Les anions \mathrm{Cl}^- occupent le milieu des arêtes et le centre de la maille. La plus courte distance séparant un cation \mathrm{Na}^+ (situé à un sommet) et un anion \mathrm{Cl}^- (situé au milieu d'une arête adjacente) est égale à une demi-arête du cube :

D'autre part, la somme des rayons cationique et anionique vaut :

On constate que d(\mathrm{Na}^+ - \mathrm{Cl}^-) = r + R = \frac{a}{2}. Par conséquent :

La compacité C d'un cristal est le rapport du volume occupé par les sphères dures modélisant les ions présents dans une maille au volume de cette maille :

D'après les questions Q14 et Q15, une maille élémentaire contient N(\mathrm{Na^+}) = 4 cations et N(\mathrm{Cl^-}) = 4 anions. Le volume occupé par ces ions s'écrit donc :

Le volume de la maille cubique de paramètre a est V_{\text{maille}} = a^3. Or, d'après la condition de tangence cation-anion le long des arêtes établie à la question Q16, on a a = 2(r + R), d'où :

On en déduit l'expression de la compacité :

D'après les questions Q14 et Q15, la maille élémentaire contient 4 cations \mathrm{Na}^+ et 4 anions \mathrm{Cl}^-, soit Z = 4 unités formulaires de \mathrm{NaCl}. La masse de la maille est donc :

Le volume de la maille cubique de paramètre a s'écrit, en exploitant la condition de tangence le long des arêtes a = 2(r+R) établie à la question Q16 :

On en déduit la masse volumique du cristal :

Pour identifier la valeur numérique correcte parmi les propositions :

• 21,6\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} est l'ordre de grandeur de la masse volumique d'une mousse de polymère ;
• 216\text{ g}\cdot\text{dm}^{-3} = 216\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} est inférieur à la masse volumique de l'eau (1\,000\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}), ce qui ferait flotter le sel gemme ;
• 2,16\text{ g}\cdot\text{cm}^{-3} = 2,16\cdot 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} est une valeur cohérente pour un solide minéral dense qui coule dans l'eau.

Le calcul direct avec M = 58,5\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1} et a = 5,56\cdot 10^{-8}\text{ cm} confirme :

La valeur correcte est donc :

Considérons le système fermé constitué du calorimètre (avec le thermomètre et le barreau aimanté) et des deux masses d'eau m_1 et m_2.

L'enceinte est calorifugée (transformation adiabatique, Q = 0) et ouverte à la pression atmosphérique constante P_0 (transformation monobare). Le premier principe de la thermodynamique s'écrit alors :

Par additivité de l'enthalpie pour les phases condensées incompressibles et indilatables, la variation d'enthalpie totale est la somme des variations d'enthalpie de chacun des constituants :

Le bilan enthalpique s'écrit donc :

En isolant la capacité thermique C du calorimètre et de ses accessoires, on obtient :

soit :

Considérons le système fermé constitué par le calorimètre équipé de ses accessoires, la masse m_3 d'eau liquide et la masse m_4 de chlorure de sodium.

La transformation est monobare (à la pression atmosphérique) et s'effectue dans un calorimètre athermane, sans travail utile. D'après le premier principe de la thermodynamique :

L'enthalpie étant une fonction d'état, on décompose la transformation en deux étapes fictives :

• Étape 1 : dissolution isotherme à la température T_1 de la masse m_4 de \mathrm{NaCl} dans la masse m_3 d'eau. La variation d'enthalpie associée s'écrit :

  \Delta H_1 = m_4 \Delta_{\mathrm{diss}} h

• Étape 2 : variation de température du calorimètre et de la solution obtenue, de la température T_1 à la température finale T_1 + \Delta T. Selon l'énoncé, la capacité thermique de la solution est assimilée à celle de l'eau pure qu'elle contient, soit m_3 c_{\mathrm{e}}. La capacité thermique de l'ensemble calorimètre + solution est donc :

  C_{\mathrm{tot}} = C + m_3 c_{\mathrm{e}}

  La variation d'enthalpie s'écrit alors :

  \Delta H_2 = (C + m_3 c_{\mathrm{e}}) \Delta T

Le bilan enthalpique global s'écrit :

On en déduit l'expression de l'enthalpie massique de dissolution :

L'équation de dissolution du chlorure de sodium solide dans l'eau s'écrit :

La dissolution dans le calorimètre s'accompagne d'une baisse de température (\Delta T = -1,5\text{ }^\circ\text{C} < 0), ce qui montre que cette transformation est endothermique :

L'évolution de la constante d'équilibre K^\circ(T) avec la température est régie par la loi de Van 't Hoff à pression constante :

Puisque \Delta_{\mathrm{diss}} H^\circ > 0, on a :

La constante d'équilibre K^\circ(T) est donc une fonction strictement croissante de la température.

Dans l'eau pure, pour une solution saturée de \mathrm{NaCl} de solubilité molaire s, on a :

La solubilité s varie dans le même sens que K^\circ.

Dans le métal, le transport de charge est assuré par les électrons libres. Dans la goutte d'eau, qui constitue un milieu électrolytique, le rebouclage du courant électrique est assuré par la migration des ions :

• les cations (ions métalliques \mathrm{M}^{n+} créés au centre, ions \mathrm{H}_3\mathrm{O}^+, etc.) qui migrent vers la périphérie (zone cathodique) ;
• les anions (ions hydroxyde \mathrm{HO}^- formés à la périphérie par réduction de \mathrm{O}_2, etc.) qui migrent vers le centre (zone anodique).

Le phénomène de corrosion est plus prononcé en milieu marin que dans les terres car :

• l'eau de mer présente une très forte concentration en sel dissous (\mathrm{Na}^+ et \mathrm{Cl}^-), ce qui lui confère une conductivité ionique bien plus élevée que celle de l'eau douce ou de pluie ;
• la résistance électrique de l'électrolyte est donc beaucoup plus faible, ce qui minimise la chute ohmique et augmente l'intensité du courant de corrosion ;
• de plus, les ions chlorure \mathrm{Cl}^- sont particulièrement agressifs et favorisent la dégradation des couches protectrices d'oxydes (rupture de passivité, piqûres).

D'après les données fournies :

Le zinc est un réducteur plus fort que le fer : en présence d'un oxydant, c'est le zinc qui s'oxyde préférentiellement, protégeant ainsi le fer contre la corrosion.

L'oxydant présent est le dioxygène dissous dans la goutte d'eau (E^\circ(\mathrm{O_2/H_2O}) = 1{,}23\text{ V}). Les demi-équations électroniques s'écrivent :

En combinant ces deux demi-équations, on obtient l'équation de la réaction d'oxydoréduction :

Remarque : En milieu acide, l'équation s'écrirait de manière équivalente 2\,\mathrm{Zn(s)} + \mathrm{O_2(aq)} + 4\,\mathrm{H^+(aq)} \longrightarrow 2\,\mathrm{Zn^{2+}(aq)} + 2\,\mathrm{H_2O(\ell)}.

Le zinc se corrode à la place du fer en fournissant les électrons nécessaires à la réduction du dioxygène : le fer joue le rôle de cathode et est ainsi protégé. Ce type de protection s'appelle la protection cathodique par anode sacrificielle.

La protection de la ferronnerie est assurée tant qu'il reste du zinc métallique. L'oxydation du zinc à l'anode sacrificielle s'écrit selon la demi-équation :

Chaque mole de zinc oxydée libère donc 2\text{ mol} d'électrons :

La charge électrique totale Q transférée lors de la consommation totale de la masse m_{\mathrm{Zn}} de zinc vaut :

Le courant de corrosion I étant supposé constant au cours du temps, la charge transportée s'exprime également par Q = I\,\Delta t. On en déduit la durée de protection :

1. Condition d'équilibre et flottaison du verre

On étudie le système constitué du verre et de n pièces, de masse totale :

Le verre est soumis à deux forces selon l'axe vertical ascendant \vec{e}_z :

• son poids total : \vec{P} = - M_{\mathrm{tot}}(n)\,g\,\vec{e}_z ;
• la poussée d'Archimède exercée par l'eau : \vec{\Pi} = \mu\,V_{\mathrm{imm}}\,g\,\vec{e}_z = \mu\,S\,h_{\mathrm{i}}\,g\,\vec{e}_z, où h_{\mathrm{i}} désigne la hauteur immergée (tirant d'eau) du verre et S l'aire de sa base.

À l'équilibre mécanique, \vec{P} + \vec{\Pi} = \vec{0}, soit :

2. Nombre maximal de pièces avant immersion totale

Le verre flotte de manière stable tant que le bord supérieur n'est pas submergé par l'eau, c'est-à-dire tant que la hauteur immergée reste inférieure à la hauteur totale h du cylindre :

La masse maximale d'eau que le volume extérieur du verre peut déplacer vaut :

Le nombre maximal de pièces n permettant la flottaison vérifie donc :

Avec M = 125\text{ g} et m = 10\text{ g} :

Le nombre de pièces étant nécessairement entier, le verre peut contenir au maximum :

Pour n = 7, la hauteur immergée est h_{\mathrm{i}}(7) = \frac{195\cdot 10^{-3}}{1000 \times 2{,}0\cdot 10^{-3}} = 9{,}75\text{ cm} < 10\text{ cm} : le verre flotte encore, son rebord dépassant de 2{,}5\text{ mm} au-dessus de l'eau.
En revanche, avec une 8^{\text{e}} pièce, M_{\mathrm{tot}}(8) = 205\text{ g} > 200\text{ g}, le rebord passe sous la surface libre : l'eau s'engouffre dans le verre, qui coule instantanément au fond de l'aquarium.

3. Analyse du duel

Le Maître du temps joue en premier et les deux adversaires jouent alternativement une pièce chacun :

• les pièces de rang impair (n = 1, 3, 5, 7) sont déposées par le Maître du temps ;
• les pièces de rang pair (n = 2, 4, 6, 8) sont déposées par le candidat.

Le Maître du temps pose donc la 7^{\text{e}} pièce en toute sécurité. C'est ensuite au candidat de jouer : il est contraint de poser la 8^{\text{e}} pièce, ce qui fait couler le verre.

Puisque le premier joueur à faire couler le verre a perdu :

Soit un axe vertical (Oz) orienté vers le haut, dont l'origine z = 0 correspond au niveau de la surface libre de l'eau dans le bocal.

Le verre est immergé d'une profondeur correspondant à son tirant d'eau h_{\mathrm{i}}(n). Le fond intérieur du verre se situe donc à la cote :

L'épaisseur d'une pièce étant notée e, la hauteur occupée par une pile de n pièces posées au fond du verre vaut n e. L'altitude du sommet de la pile par rapport à la surface de l'eau est ainsi :

Lors de l'ajout d'une pièce supplémentaire (passage de n à n+1 pièces), la variation d'altitude du sommet de la pile s'écrit :

Application numérique :

• e = 2{,}0\text{ mm} = 2{,}0 \cdot 10^{-3}\text{ m} ;
• m = 10\text{ g} = 1{,}0 \cdot 10^{-2}\text{ kg} ;
• \mu = 1{,}0 \cdot 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} ;
• S = 2{,}0 \cdot 10^{-3}\text{ m}^2.

L'enfoncement supplémentaire du verre dû au poids d'une pièce vaut :

On en déduit :

Puisque \Delta z < 0, le sommet de la pile est descendu de 3{,}0\text{ mm} par rapport à la surface de l'eau.

Le champ magnétique total \vec{B}_{S_1}(\theta, t) créé par l'enroulement S_1 est la superposition des champs créés par chacune des n spires élémentaires décalées.

Pour une spire unique (figure 10) :

• la fonction B_{\text{spire}}(\theta, t) présente deux discontinuités sur l'intervalle [-\pi, \pi] (à \theta = -\pi/2 et \theta = \pi/2), correspondant respectivement au passage devant le conducteur « aller » et le conducteur « retour » ;
• sur le demi-tour \theta \in [0, \pi], il n'y a qu'un seul saut de champ (marche descendante).

Chaque spire supplémentaire décalée angulairement introduit un nouveau palier et une nouvelle marche descendante sur l'intervalle [0, \pi].

Sur la figure 11, on compte sur le demi-espace \theta \in [0, \pi] :

• le palier supérieur centré en \theta = 0 ;
• trois décrochements successifs (trois sauts descendants) pour atteindre le palier inférieur centré en \theta = \pi.

On en déduit que l'enroulement S_1 est constitué de :

D'après le principe de superposition, le champ magnétique total \vec{B}_S créé par les deux enroulements du stator dans l'entrefer s'écrit :

En remplaçant les expressions des courants imposés i_{S_1}(t) et i_{S_2}(t) :

En posant B_{S0} = K_S I_{S\max} et en utilisant la relation trigonométrique fournie \cos(a-b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b avec a = \theta et b = \omega_s t :

Caractère tournant du champ :

En tout instant t, la composante radiale présente un extremum positif (le pôle Nord statorique) pour la position angulaire \theta_{\max}(t) telle que :

La distribution angulaire du champ magnétique se déplace donc rigidement le long de la périphérie de l'entrefer dans le sens trigonométrique à la vitesse angulaire constante :

Il s'agit donc bien d'un champ magnétique tournant à la pulsation des courants d'alimentation.

L'inductance mutuelle M_{S_1 S_2} est définie par la relation liant le flux \phi_{S_1 \to S_2} créé par le courant i_{S_1} à travers le circuit S_2 :

Les enroulements S_1 et S_2 du stator sont décalés spatialement d'un angle de \pi/2 : leurs axes magnétiques sont orthogonaux (\vec{e}_x et \vec{e}_y). Le champ magnétique \vec{B}_{S_1} présente une répartition spatiale proportionnelle à \cos\theta\,\vec{e}_r, impaire par rapport à l'axe de l'enroulement S_2. Par raison de symétrie géométrique, le flux total de \vec{B}_{S_1} à travers les spires de S_2 est nul :

De façon tout à fait analogue, les deux enroulements R_1 et R_2 du rotor sont portés par des axes orthogonaux (\vec{e}_u et \vec{e}_v, décalés d'un angle de \pi/2). Le flux créé par l'un à travers l'autre est donc identiquement nul :

L'enroulement R_1 a pour normale le vecteur unitaire \vec{e}_u, repéré par l'angle \theta_R par rapport à \vec{e}_x. D'après la figure 12 et la définition de la base orthonormée directe (\vec{e}_u, \vec{v}, \vec{e}_z), l'enroulement R_2 a pour normale le vecteur unitaire \vec{e}_v, faisant un angle \theta_R + \frac{\pi}{2} avec \vec{e}_x.

On peut donc obtenir les inductances mutuelles liant les enroulements statoriques à R_2 en remplaçant l'angle \theta_R par \theta_R + \frac{\pi}{2} dans les expressions de M_{S_1 R_1} et M_{S_2 R_1} :

D'où les expressions recherchées :

L'apparition d'un courant dans l'enroulement R_1 s'explique par le phénomène d'induction électromagnétique :

• les courants alternatifs circulant dans les enroulements statoriques créent un champ magnétique tournant dans l'entrefer ;
• en raison de la variation temporelle de ce champ et de la rotation éventuelle du rotor, le flux magnétique envoyé par le stator à travers l'enroulement R_1 varie au cours du temps (\frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}t} \neq 0) ;

• d'après la loi de Faraday, cette variation de flux induit une force électromotrice (f.é.m.) :

  e = -\frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}t}
• l'enroulement R_1 étant fermé sur lui-même en court-circuit, cette f.é.m. induite fait circuler un courant induit i_{R_1}(t) dans ce circuit conducteur fermé.

Par définition de l'inductance mutuelle entre deux circuits électriques, le flux magnétique envoyé par un circuit inducteur à travers un circuit induit est proportionnel au courant circulant dans l'inducteur.

Pour le flux créé à travers l'enroulement R_1 du rotor par l'enroulement S_1 du stator parcouru par i_{S_1}(t) :

En utilisant l'expression de l'inductance mutuelle fournie dans le sujet, M_{S_1 R_1} = M_{SR}\cos(\theta_R), on obtient :

De même, le flux créé à travers l'enroulement R_1 par le courant i_{S_2}(t) parcourant l'enroulement S_2 s'écrit :

Avec M_{S_2 R_1} = M_{SR}\sin(\theta_R), il vient :

D'après la question Q32, le flux magnétique créé par l'enroulement S_1 à travers l'enroulement R_1 s'écrit :

D'après la loi de Faraday, la force électromotrice induite par S_1 dans R_1 est :

Soit :

De même, d'après la question Q32, le flux créé par S_2 dans R_1 est :

Par application de la loi de Faraday :

Soit :

L'enroulement R_1 du rotor est fermé sur lui-même (en court-circuit). Sachant que le couplage mutuel avec R_2 est nul (M_{R_1 R_2} = 0, d'après Q29), la loi des mailles s'écrit en convention récepteur :

soit encore :

En utilisant les expressions obtenues à la question Q33 :

on obtient la première forme de l'équation différentielle :

Injectons maintenant les expressions des courants statoriques :

Le second membre, noté \mathrm{SM}(t), devient :

En utilisant la formule \sin(a-b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b avec a = \omega_S t et b = \Omega t :

Par identification avec la forme A\sin(\omega t), il vient :

D'après l'équation différentielle établie à la question Q34, l'enroulement rotorique R_1 est un système linéaire du premier ordre à coefficients constants excité par une force électromotrice sinusoïdale de pulsation \omega :

En régime sinusoïdal permanent, la réponse forcée d'un circuit linéaire s'effectue à la même pulsation que l'excitation. La pulsation \omega_R du courant rotorique i_{R_1}(t) est donc égale à la pulsation \omega du terme source. Comme \omega_S > \Omega, cette grandeur est positive :

L'équation différentielle régissant le courant i_{R_1}(t) s'écrit (d'après les questions Q34 et Q35) :

avec A = M_{SR} I_{S\max}(\omega_S - \Omega) et \omega_R = \omega_S - \Omega > 0.

En régime sinusoïdal permanent, en adoptant la représentation complexe \underline{i}_{R_1}(t) = \underline{I}_{R_1} \mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega_R t} :

En prenant le module de chaque membre, l'amplitude I_{R\max} = |\underline{I}_{R_1}| vaut :

En remplaçant A et \omega_R par leurs expressions :

Cas particulier \omega_S = \Omega : Pour \omega_S = \Omega, on obtient :

Aucun courant n'est induit dans les enroulements rotoriques.

Justification du qualificatif « asynchrone » : Si le rotor tournait à la vitesse de synchronisme (\Omega = \omega_S), il tournerait à la même vitesse angulaire que le champ magnétique tournant statorique. Dans le référentiel du rotor, le champ magnétique serait alors stationnaire : le flux embrassé par les circuits rotoriques ne varierait plus au cours du temps, la force électromotrice induite serait nulle et aucun courant ne circulerait (I_{R\max} = 0).

Par conséquent, les forces de Laplace et le couple électromagnétique s'annuleraient. Pour produire un couple moteur non nul, la vitesse mécanique \Omega doit obligatoirement différer de la vitesse synchrone \omega_S (\Omega < \omega_S en mode moteur) : le rotor ne tourne jamais au synchronisme avec le champ statorique, ce qui justifie l'appellation de machine asynchrone.

Le champ magnétique total créé par les enroulements rotoriques s'obtient par superposition :

En remplaçant les courants i_{R_1}(t) et i_{R_2}(t) par leurs expressions :

À l'aide de la formule trigonométrique \sin(a - b) = \sin a \cos b - \sin b \cos a avec a = \omega_R t - \varphi et b = \theta - \theta_R :

Or, d'après les données de l'énoncé, \theta_R(t) = \Omega t, et d'après la question Q35, \omega_R = \omega_S - \Omega. On a donc :

Le champ rotorique s'écrit ainsi :

La phase de cette onde spatio-temporelle s'écrit \theta - \omega_S t + \text{cste}. La condition de phase constante \theta(t) - \omega_S t = \text{cste} conduit par dérivation par rapport au temps à :

Commentaire :

• Bien que le rotor tourne mécaniquement à la vitesse angulaire \Omega < \omega_S, les courants induits oscillent exactement à la pulsation de glissement \omega_R = \omega_S - \Omega, de sorte que la vitesse de rotation du champ par rapport au rotor (\omega_R) s'ajoute à la vitesse de rotation mécanique du rotor (\Omega), redonnant \Omega + \omega_R = \omega_S.
• Dans le référentiel du stator, le champ rotorique \vec{B}_R et le champ statorique \vec{B}_S tournent à la même vitesse angulaire \omega_S : ils sont synchrones et donc immobiles l'un par rapport à l'autre.
• Cette synchronisation mutuelle des deux champs magnétiques dans l'entrefer est la condition indispensable pour que la machine puisse délivrer un couple électromagnétique de valeur moyenne non nulle.

Dans une machine à courant continu (MCC) :

• Le champ statorique (inducteur) est produit par des aimants permanents ou des bobinages alimentés en courant continu ; il est donc stationnaire (vitesse angulaire nulle dans le référentiel du stator).
• Pour produire un couple électromagnétique moyen non nul, le champ créé par le rotor (induit) doit également être stationnaire dans le référentiel du stator. Les champs statorique et rotorique sont donc bien synchrones (tous deux de vitesse angulaire nulle par rapport au stator), et ce quelle que soit la vitesse de rotation \Omega du rotor.

Cette synchronisation est assurée mécaniquement par l'ensemble collecteur à lames – balais :

• Les balais, immobiles par rapport au stator, amènent le courant d'alimentation continu aux lames conductrices du collecteur solidaire de l'arbre tournant.
• Lors de la rotation du rotor, le passage des lames sous les balais inverse périodiquement le sens du courant dans les brins d'induit qui franchissent la ligne neutre.
• Vu du stator, la répartition spatiale des courants rotoriques reste ainsi rigoureusement fixe au cours du temps, ce qui maintient le champ magnétique créé par le rotor stationnaire dans l'espace, indépendamment de sa vitesse de rotation \Omega.