Feuille d'entraînement : Induction et forces de Laplace

Corrigés

1. Exercice 1CentraleSupélec Physique-Chimie 1 TSI 2025, Q42

   Le freinage inductif repose sur l'enchaînement de plusieurs phénomènes physiques :

   1. Induction électromagnétique (loi de Faraday) : Lors du déplacement du train à la vitesse \vec{v}, les zones de champ magnétique \vec{B} créées par les aimants embarqués se déplacent par rapport aux spires conductrices fixes du stator. Le flux du champ magnétique \Phi(t) à travers chaque spire fixe varie au cours du temps, ce qui fait apparaître une force électromotrice induite :

      e(t) = -\frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t}
   2. Circulation de courants induits : Les spires de cuivre étant fermées sur elles-mêmes et de résistance non nulle R, cette f.é.m. induite y fait circuler des courants induits d'intensité i(t) = \frac{e(t)}{R}.

   3. Action mécanique de Laplace et loi de Lenz : Les brins des spires parcourus par ces courants induits et baignés dans le champ magnétique \vec{B} subissent des forces de Laplace :

      \mathrm{d}\vec{F}_{\text{aimant}\to\text{spire}} = i\,\mathrm{d}\vec{\ell}\wedge\vec{B}

      Par le principe des actions réciproques (troisième loi de Newton), le train (porteur des aimants) subit en retour la force directement opposée :

      \vec{F}_{\text{spires}\to\text{train}} = -\vec{F}_{\text{aimant}\to\text{spire}}

      D'après la loi de modération de Lenz, les effets de l'induction s'opposent aux causes qui leur ont donné naissance (le déplacement relatif du train) : cette force s'oppose à la vitesse \vec{v} du train et constitue donc une force de frottement fluide, assurant le freinage.

   4. Bilan énergétique : L'énergie cinétique perdue par le train est convertie par couplage électromécanique en puissance électrique induite, intégralement dissipée sous forme thermique par effet Joule dans les spires du stator.

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2CentraleSupélec Physique-Chimie 2 TSI 2025, Q13

   Inductance propre L d'un circuit : Considérons un circuit filiforme \mathcal{C} fermé, orienté et parcouru par un courant d'intensité i. D'après les lois de la magnétostatique (loi de Biot et Savart), le champ magnétique propre \vec{B}_{\mathrm{p}} créé par ce courant en tout point de l'espace est proportionnel à i.

   Le flux propre \Phi_{\mathrm{p}} de ce champ magnétique à travers toute surface ouverte s'appuyant sur le circuit \mathcal{C} et orientée en cohérence avec le sens de parcours du courant (règle de la main droite) est donc proportionnel à i :

   \boxed{\Phi_{\mathrm{p}} = L \, i}

   Le coefficient de proportionnalité L est l'inductance propre du circuit. Il s'exprime en henrys (\mathrm{H}). Avec la convention d'orientation adoptée, L est une grandeur strictement positive qui ne dépend que de la géométrie du circuit et de la perméabilité magnétique du milieu.

   Inductance mutuelle M entre deux circuits : Considérons deux circuits fermés \mathcal{C}_1 et \mathcal{C}_2, orientés et parcourus respectivement par des courants d'intensités i_1 et i_2.

   • Le courant i_1 circulant dans \mathcal{C}_1 crée un champ magnétique \vec{B}_1. Le flux de \vec{B}_1 à travers une surface orientée s'appuyant sur \mathcal{C}_2 est noté \Phi_{1 \to 2}. Par linéarité, il est proportionnel à i_1 :

     \Phi_{1 \to 2} = M_{12} \, i_1

   • Réciproquement, le courant i_2 circulant dans \mathcal{C}_2 crée un flux \Phi_{2 \to 1} à travers \mathcal{C}_1 proportionnel à i_2 :

     \Phi_{2 \to 1} = M_{21} \, i_2

   D'après le théorème de réciprocité (formule de Neumann), les deux coefficients sont égaux :

   M_{12} = M_{21} = M

   Le flux magnétique intercepté par un circuit en présence de l'autre s'écrit ainsi :

   \boxed{\Phi_{1 \to 2} = M \, i_1 \quad \text{et} \quad \Phi_{2 \to 1} = M \, i_2}

   Le coefficient M est l'inductance mutuelle entre les deux circuits. Il s'exprime en henrys (\mathrm{H}). Son signe dépend des sens relatifs choisis pour l'orientation des deux circuits.

   Résultat

   $${\Phi }_{\mathrm{p}}=Li$$

   $${\Phi }_{1\to 2}=M{i}_1\text{et}{\Phi }_{2\to 1}=M{i}_2$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3CentraleSupélec Physique-Chimie 2 TSI 2025, Q14

   Considérons le solénoïde \mathcal{S}_a comportant N_a spires réparties sur une longueur \ell, soit un nombre de spires par unité de longueur n_a = \dfrac{N_a}{\ell}.

   D'après l'énoncé, en négligeant les effets de bord, le champ magnétique propre créé à l'intérieur de \mathcal{S}_a est uniforme et s'écrit :

   \vec{B}_a = \mu_0 \frac{N_a}{\ell} i_a \vec{u}_z

   Le flux magnétique propre à travers une section circulaire de rayon r_a et de normale \vec{u}_z s'exprime par :

   \phi_{1,\mathrm{p},a} = \iint_{S_a} \vec{B}_a \cdot \vec{u}_z \, \mathrm{d}S = B_a (\pi r_a^2) = \mu_0 \frac{N_a}{\ell} \pi r_a^2 i_a

   Le flux propre total \Phi_{\mathrm{p},a} à travers l'ensemble des N_a spires identiques en série est donc :

   \Phi_{\mathrm{p},a} = N_a \phi_{1,\mathrm{p},a} = \frac{\mu_0 \pi r_a^2 N_a^2}{\ell} i_a

   Par identification avec la relation de définition \Phi_{\mathrm{p},a} = L_a i_a, on en déduit l'inductance propre L_a :

   \boxed{L_a = \frac{\mu_0 \pi r_a^2 N_a^2}{\ell}}

   Par un raisonnement rigoureusement identique appliqué au solénoïde \mathcal{S}_b de rayon r_b comportant N_b spires sur la même longueur \ell, on obtient :

   \boxed{L_b = \frac{\mu_0 \pi r_b^2 N_b^2}{\ell}}

   Résultat

   $$L_a=\frac{{\mu }_0\pi r_a^2{N}_a^2}{\ell }$$

   $$L_b=\frac{{\mu }_0\pi r_b^2{N}_b^2}{\ell }$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4CentraleSupélec Physique-Chimie 2 TSI 2025, Q18

   Les deux enroulements n'ayant pas de résistance ohmique significative et étant orientés en convention récepteur relativement aux courants i_a(t) et i_b(t), les tensions à leurs bornes s'expriment par la loi de Faraday :

   \begin{aligned} u_a(t) &= L_a \frac{\mathrm{d}i_a}{\mathrm{d}t} + M \frac{\mathrm{d}i_b}{\mathrm{d}t} \\ u_b(t) &= M \frac{\mathrm{d}i_a}{\mathrm{d}t} + L_b \frac{\mathrm{d}i_b}{\mathrm{d}t} \end{aligned}

   Dans le cas où r_a = r_b (couplage parfait k=1), d'après les résultats de la question Q17, on a :

   \frac{L_a}{N_a^2} = \frac{L_b}{N_b^2} = \frac{M}{N_a N_b} = \Lambda \quad \text{avec} \quad \Lambda = \frac{\mu_0 \pi r_a^2}{\ell}

   On peut donc réécrire les inductances sous la forme :

   L_a = \Lambda N_a^2, \quad L_b = \Lambda N_b^2 \quad \text{et} \quad M = \Lambda N_a N_b

   En injectant ces expressions dans les équations électriques :

   \begin{aligned} u_a(t) &= \Lambda N_a^2 \frac{\mathrm{d}i_a}{\mathrm{d}t} + \Lambda N_a N_b \frac{\mathrm{d}i_b}{\mathrm{d}t} = N_a \Lambda \left( N_a \frac{\mathrm{d}i_a}{\mathrm{d}t} + N_b \frac{\mathrm{d}i_b}{\mathrm{d}t} \right) \\ u_b(t) &= \Lambda N_a N_b \frac{\mathrm{d}i_a}{\mathrm{d}t} + \Lambda N_b^2 \frac{\mathrm{d}i_b}{\mathrm{d}t} = N_b \Lambda \left( N_a \frac{\mathrm{d}i_a}{\mathrm{d}t} + N_b \frac{\mathrm{d}i_b}{\mathrm{d}t} \right) \end{aligned}

   En divisant respectivement par N_a et N_b, on obtient le même membre de droite :

   \frac{u_a(t)}{N_a} = \frac{u_b(t)}{N_b} = \Lambda \left( N_a \frac{\mathrm{d}i_a}{\mathrm{d}t} + N_b \frac{\mathrm{d}i_b}{\mathrm{d}t} \right)

   D'où la relation fondamentale du transformateur idéal :

   \boxed{\frac{u_a(t)}{N_a} = \frac{u_b(t)}{N_b}}

   Résultat

   $$\frac{u_a(t)}{N_a}=\frac{u_b(t)}{N_b}$$

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5. Exercice 5CCINP Physique-Chimie TSI 2022, Q23

   1. Élément constitutif additionnel et rôle de la bobine : La lampe contient un aimant permanent mobile (barreau aimanté coulissant le long du corps de la lampe). On trouve également un pont de diodes (redresseur) pour convertir le courant alternatif induit en courant continu afin de charger le condensateur.

      Lorsque l'utilisateur secoue la lampe, le mouvement de va-et-vient de l'aimant à travers la bobine engendre une variation temporelle du champ magnétique, et donc du flux magnétique à travers la bobine. La bobine est le siège d'un courant induit qui convertit l'énergie mécanique fournie par l'utilisateur en énergie électrique.

   2. Principe physique : La recharge repose sur le phénomène d'induction électromagnétique (induction de Neumann, le circuit étant fixe et le champ magnétique variable dans le temps au niveau de la bobine).

   3. Loi s'y rapportant : Ce phénomène est régi par la loi de Faraday, qui relie la force électromotrice induite e(t) à la variation temporelle du flux magnétique \Phi(t) à travers les spires de la bobine :

      \boxed{e(t) = -\frac{\mathrm{d}\Phi(t)}{\mathrm{d}t}}

      Le signe négatif traduit la loi de Lenz, selon laquelle les effets du courant induit s'opposent à la cause qui lui donne naissance (ici, le mouvement de l'aimant).

   Résultat

   $$e(t)=-\frac{\mathrm{d}\Phi (t)}{\mathrm{d}t}$$

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6. Exercice 6CentraleSupélec Physique-Chimie 1 TSI 2022, Q44

   Orientons le contour fermé dans le sens trigonométrique (sens direct dans le plan (xOy)). D'après la règle de la main droite, le vecteur normal unitaire à la surface s'écrit :

   \vec{n} = \vec{e}_z

   À un instant t, la position de la barre est repérée par son abscisse x(t). En prenant l'origine de l'abscisse au niveau du conducteur ohmique fixe, l'aire de la spire rectangulaire vaut :

   S(t) = L \, x(t)

   Le champ magnétique \vec{B} = B\,\vec{e}_z étant uniforme et stationnaire, le flux magnétique à travers le circuit orienté s'écrit :

   \Phi(t) = \iint_{\mathcal{S}} \vec{B} \cdot \vec{n} \, \mathrm{d}S = B \, S(t) = B L \, x(t)

   D'après la loi de Faraday, la force électromotrice induite e(t) s'obtient par dérivation du flux :

   e(t) = -\frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t} = - B L \, \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}

   Sachant que la vitesse de la barre est v(t) = \dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}, on obtient :

   \boxed{e(t) = - B L v(t)}

   Remarque (méthode équivalente par le champ de Lorentz) :
   Les porteurs de charge dans la tige se déplacent à la vitesse \vec{v} = v(t)\,\vec{e}_x. Ils subissent le champ électromoteur de Lorentz :

   \vec{E}_{\mathrm{m}} = \vec{v} \wedge \vec{B} = \left(v\,\vec{e}_x\right) \wedge \left(B\,\vec{e}_z\right) = - B v(t)\,\vec{e}_y

   La circulation de \vec{E}_{\mathrm{m}} le long de la barre mobile de M à N (\mathrm{d}\vec{\ell} = \mathrm{d}y\,\vec{e}_y) donne directement :

   e(t) = \int_M^N \vec{E}_{\mathrm{m}} \cdot \mathrm{d}\vec{\ell} = \int_0^L \left(- B v(t)\,\vec{e}_y\right) \cdot \left(\mathrm{d}y\,\vec{e}_y\right) = - B L v(t)

   Résultat

   $$e(t)=-BLv(t)$$

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7. Exercice 7CentraleSupélec Physique-Chimie 1 TSI 2022, Q46

   On étudie la barre conductrice MN de masse m, assimilée à un point matériel en translation le long de l'axe (Ox), dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen.

   La barre est soumise aux actions mécaniques suivantes :

   • la force constante appliquée par l'opérateur : \vec{F} = F\,\vec{e}_x ;
   • la force de Laplace, d'expression algébrique établie à la question Q42 : \vec{F}_{\mathrm{L}} = i(t)LB\,\vec{e}_x ;
   • le poids de la tige et la réaction normale des rails, dont la somme est orthogonale à l'axe (Ox) (les frottements étant négligés).

   D'après le principe fondamental de la dynamique :

   m\,\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t} = \vec{F} + \vec{F}_{\mathrm{L}} + \vec{P} + \vec{R}_n

   En projetant cette relation vectorielle sur le vecteur unitaire \vec{e}_x, on obtient l'équation mécanique du système :

   \boxed{m\,\dot{v}(t) = F + i(t)LB}

   Résultat

   $$m\dot{v}(t)=F+i(t)LB$$

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8. Exercice 8CentraleSupélec Physique-Chimie 1 TSI 2022, Q47

   D'après l'équation électrique obtenue à la question Q45 (utilisant la f.é.m. d'induction de la question Q44), l'intensité algébrique du courant s'exprime en fonction de la vitesse v(t) par :

   i(t) = -\frac{BL}{R}v(t)

   En injectant cette relation dans l'équation différentielle du mouvement obtenue à la question Q46 :

   m\,\frac{\mathrm{d}v(t)}{\mathrm{d}t} = F + i(t)LB

   on obtient :

   \begin{aligned} m\,\frac{\mathrm{d}v(t)}{\mathrm{d}t} &= F - \frac{B^2 L^2}{R}v(t) \end{aligned}

   Soit, en réarrangeant sous forme canonique :

   \boxed{\frac{\mathrm{d}v(t)}{\mathrm{d}t} + \frac{B^2 L^2}{mR} v(t) = \frac{F}{m}}

   ou sous la forme équivalente :

   m\,\frac{\mathrm{d}v(t)}{\mathrm{d}t} + \frac{B^2 L^2}{R} v(t) = F

   Résultat

   $$\frac{\mathrm{d}v(t)}{\mathrm{d}t}+\frac{B^2{L}^2}{mR}v(t)=\frac{F}{m}$$

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9. Exercice 9CentraleSupélec Physique-Chimie 1 TSI 2025, Q43

   Considérons la spire fixe de côté \ell et l'aimant mobile se déplaçant à la vitesse \vec{v} = v\,\vec{e}_x avec v = \dot{x}. Pour 0 < x < \ell, la zone de recouvrement entre l'aimant et la spire est un rectangle de largeur x et de hauteur \ell.

   On choisit le vecteur normal à la surface de la spire selon \vec{n} = \vec{e}_y (orienté vers l'avant, colinéaire et de même sens que \vec{B}). Par la règle de la main droite (avec \vec{e}_x vers la droite et \vec{e}_z vers le bas), le sens positif de parcours du contour et du courant induit i est le sens trigonométrique :

   • de gauche à droite sur le brin inférieur ;
   • du bas vers le haut sur le brin droit ;
   • de droite à gauche sur le brin supérieur ;
   • du haut vers le bas (+\vec{e}_z) sur le brin gauche.

   Le champ magnétique n'étant non nul que dans la zone de recouvrement de surface S(t) = \ell\,x(t), le flux magnétique à travers la spire s'écrit :

   \Phi(t) = \iint_{\mathcal{S}} \vec{B} \cdot \vec{n}\,\mathrm{d}S = B\,S(t) = B\,\ell\,x(t)

   D'après la loi de Faraday, la force électromotrice induite dans la spire vaut :

   e = -\frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t} = - B\,\ell\,\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = - B\,\ell\,v

   \boxed{e = - B\,\ell\,v}

   En négligeant l'auto-inductance de la spire (L \approx 0), la loi des mailles (ou loi d'Ohm pour le circuit induit) s'écrit, en convention générateur pour e :

   e - R\,i = 0 \iff R\,i = e

   ce qui donne l'équation électrique liant B, v, \ell, R et i :

   \boxed{R\,i + B\,\ell\,v = 0 \quad \iff \quad i = -\frac{B\,\ell\,v}{R}}

   Résultat

   $$e=-B\ell v$$

   $$Ri+B\ell v=0⟺i=-\frac{B\ell v}{R}$$

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10. Exercice 10CentraleSupélec Physique-Chimie 1 TSI 2025, Q44

    Puisque le bord avant de l'aimant est à la position x avec 0 < x < \ell et que la zone de champ magnétique a pour largeur \ell, la zone occupée par le champ \vec{B} = B\,\vec{e}_y s'étend sur l'intervalle [x-\ell,\, x]. La spire, fixe entre les abscisses 0 et \ell, n'est donc baignée par le champ magnétique que sur le domaine [0,\, x].

    Par conséquent, les éléments du circuit soumis à la force de Laplace \vec{\mathrm{d}F} = i\,\vec{\mathrm{d}\ell} \wedge \vec{B} sont :

    • le brin vertical gauche, situé en abscisse x' = 0, entièrement immergé dans le champ sur toute sa longueur \ell ;
    • les deux segments horizontaux (haut et bas), immergés entre les abscisses 0 et x ;
    • le brin vertical droit, situé en x' = \ell, qui se trouve hors du champ magnétique (\vec{B} = \vec{0}) et ne subit donc aucune force.

    Pour les deux segments horizontaux, les éléments de longueur sont \vec{\mathrm{d}\ell}_{\text{haut}} = -\mathrm{d}x'\,\vec{e}_x et \vec{\mathrm{d}\ell}_{\text{bas}} = \mathrm{d}x'\,\vec{e}_x. Les forces subies s'écrivent :

    \begin{aligned} \vec{F}_{\text{haut}} &= \int_x^0 i\,(-\mathrm{d}x'\,\vec{e}_x) \wedge (B\,\vec{e}_y) = -i B x\,(\vec{e}_x \wedge \vec{e}_y) = -i B x\,\vec{e}_z \\ \vec{F}_{\text{bas}} &= \int_0^x i\,(\mathrm{d}x'\,\vec{e}_x) \wedge (B\,\vec{e}_y) = i B x\,(\vec{e}_x \wedge \vec{e}_y) = i B x\,\vec{e}_z \end{aligned}

    Ces deux forces sont opposées et se compensent parfaitement :

    \vec{F}_{\text{haut}} + \vec{F}_{\text{bas}} = \vec{0}

    Sur le brin vertical gauche, avec l'orientation définie à la question Q43 (\vec{n} = \vec{e}_y), le contour est orienté selon +\vec{e}_z : \vec{\mathrm{d}\ell} = \mathrm{d}z\,\vec{e}_z. La force de Laplace exercée par l'aimant sur ce brin est :

    \begin{aligned} \vec{F}_{\text{aimant}\to\text{spire}} &= \int_0^\ell i\,\mathrm{d}z\,\vec{e}_z \wedge (B\,\vec{e}_y) \\ &= i B \ell\,(\vec{e}_z \wedge \vec{e}_y) \end{aligned}

    Le trièdre (\vec{e}_x, \vec{e}_y, \vec{e}_z) étant direct, on a \vec{e}_z \wedge \vec{e}_y = -\vec{e}_x. En remplaçant l'intensité par son expression obtenue à la question Q43, i = -\frac{B \ell v}{R} :

    \begin{aligned} \vec{F}_{\text{aimant}\to\text{spire}} &= - i B \ell\,\vec{e}_x \\ &= -\left(-\frac{B \ell v}{R}\right) B \ell\,\vec{e}_x \\ &= \frac{B^2 \ell^2}{R}\,v\,\vec{e}_x \end{aligned}

    Cette force est bien de la forme annoncée \vec{F}_{\text{aimant}\to\text{spire}} = \alpha v \vec{e}_x, avec :

    \boxed{\alpha = \frac{B^2 \ell^2}{R}}

    Résultat

    $$\alpha =\frac{B^2{\ell }^2}{R}$$

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