Feuille d'entraînement : Facteur de Boltzmann et physique statistique

Corrigés

1. Exercice 1ENS Physique BCPST 2022, Q17

   À une échelle spatiale caractéristique z, les ordres de grandeur spatiaux des termes d'advection et de diffusion intervenant dans l'équation régissant la concentration (question Q16) s'écrivent :

   \left| v_z^\star \frac{\partial c}{\partial z} \right| \sim \frac{|v_z^\star| \, c}{z} \quad \text{et} \quad \left| D_R \frac{\partial^2 c}{\partial z^2} \right| \sim \frac{D_R \, c}{z^2}

   La diffusion domine l'advection dès lors que :

   \frac{D_R \, c}{z^2} > \frac{|v_z^\star| \, c}{z} \iff z < \frac{D_R}{|v_z^\star|}

   La distance caractéristique cherchée est donc :

   \boxed{z_\star = \frac{D_R}{|v_z^\star|}}

   D'après la relation de Stokes-Einstein (équation (4)) :

   D_R = \frac{k_{\mathrm{B}} T}{6\pi \eta R}

   Par ailleurs, à la vitesse limite de sédimentation, le poids compense exactement la traînée de Stokes (la poussée d'Archimède étant négligée) :

   m g = 6\pi \eta R |v_z^\star| \iff |v_z^\star| = \frac{m g}{6\pi \eta R}

   En effectuant le rapport des deux grandeurs, le facteur de friction hydrodynamique 6\pi\eta R se simplifie :

   \boxed{z_\star = \frac{k_{\mathrm{B}}T}{m g}}

   Analyse du résultat : Cette longueur z_\star correspond à l'altitude pour laquelle l'énergie potentielle de pesanteur d'une gouttelette compense l'énergie d'agitation thermique :

   m g z_\star = k_{\mathrm{B}}T

   Il s'agit précisément de la hauteur d'échelle (ou longueur de sédimentation) apparaissant dans le facteur de Boltzmann d'une atmosphère isotherme, \exp\left(-\frac{mgz}{k_{\mathrm{B}}T}\right) = \exp\left(-\frac{z}{z_\star}\right). Pour des altitudes inférieures à z_\star, l'agitation thermique empêche la sédimentation et homogénéise la répartition des particules.

   Application numérique : Pour une gouttelette de rayon R = 1\text{ }\mu\mathrm{m} = 10^{-6}\text{ m}, avec \pi = 3 et \rho = 10^3\text{ kg}\cdot\mathrm{m}^{-3} :

   m = \frac{4}{3}\pi R^3 \rho = \frac{4}{3} \times 3 \times (10^{-6})^3 \times 10^3 = 4 \times 10^{-15}\text{ kg}

   Avec g = 10\text{ m}\cdot\mathrm{s}^{-2} et k_{\mathrm{B}}T = 4 \times 10^{-21}\text{ J} :

   z_\star = \frac{4 \times 10^{-21}}{4 \times 10^{-15} \times 10} = 10^{-7}\text{ m}

   \boxed{z_\star = 10^{-7}\text{ m} = 0{,}1\text{ }\mu\mathrm{m} = 100\text{ nm}}

   Résultat

   $$z_{\star }=\frac{D_R}{|v_z^{\star }|}$$

   $$z_{\star }=\frac{k_{\mathrm{B}}T}{mg}$$

   $$z_{\star }=10^{-7}\text{ m}=0,1\mu \mathrm{m}=100\text{ nm}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2ENS Physique BCPST 2022, Q44

   D'après la question Q43, la coque étant chargée positivement (Q > 0, \sigma > 0), le potentiel électrostatique V(r) vérifie les propriétés suivantes :

   • V(r) > 0 en tout point de l'espace ;
   • V(r) présente une tangente horizontale en r=0, croît strictement pour r \in [0, R_{\mathrm{v}}] jusqu'à un maximum en r=R_{\mathrm{v}} ;
   • V(r) décroît strictement vers 0 lorsque r \to +\infty.

   D'après les relations (25) :

   c_+(r) = c_\infty \exp\left(-\frac{eV(r)}{k_{\mathrm{B}}T}\right) \quad \text{et} \quad c_-(r) = c_\infty \exp\left(\frac{eV(r)}{k_{\mathrm{B}}T}\right)

   Puisque V(r) > 0, on a pour tout r \ge 0 :

   c_+(r) < c_\infty < c_-(r)

   L'étude des variations donne :

   • Pour les cations (c_+) : la fonction x \mapsto \exp(-x) étant strictement décroissante, c_+(r) décroît sur [0, R_{\mathrm{v}}] depuis sa valeur centrale c_+(0) < c_\infty (avec tangente horizontale car \left.\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}r}\right|_{0} = 0) jusqu'à un minimum strict en r = R_{\mathrm{v}}, puis croît de manière monotone vers c_\infty lorsque r \to +\infty.
   • Pour les anions (c_-) : la fonction x \mapsto \exp(x) étant strictement croissante, c_-(r) croît sur [0, R_{\mathrm{v}}] depuis sa valeur centrale c_-(0) > c_\infty (avec tangente horizontale) jusqu'à un maximum strict en r = R_{\mathrm{v}}, puis décroît de manière monotone vers c_\infty lorsque r \to +\infty.

   Dans le cadre de l'approximation de Debye-Hückel (\frac{eV(r)}{k_{\mathrm{B}}T} \ll 1), un développement à l'ordre 1 donne :

   c_\pm(r) \simeq c_\infty \left(1 \mp \frac{eV(r)}{k_{\mathrm{B}}T}\right)

   Les deux profils présentent donc une allure quasi symétrique par rapport à la valeur limite c_\infty.

   Commentaires des tracés :

   • Attraction et répulsion électrostatiques : la charge de la coque virale étant positive (Q > 0), les contre-ions (anions de charge -e) sont attirés électrostatiquement vers la membrane, d'où un enrichissement local en anions (c_- > c_\infty) qui culmine précisément à la surface de la coque en r=R_{\mathrm{v}}. À l'inverse, les co-ions (cations de charge +e) sont repoussés par la coque, conduisant à une déplétion (c_+ < c_\infty) avec un minimum à la surface.
   • Écrantage et électroneutralité macroscopique : à grande distance de la coque virale (r \gg R_{\mathrm{v}} + \kappa^{-1}), l'excès d'anions compense exactement la charge positive de la coque : le potentiel s'annule par écrantage de Debye-Hückel, et les deux concentrations convergent vers la concentration homogène c_\infty, garantissant l'électroneutralité de la solution au repos.

   Indice, stratégie et pièges de cette question