Feuille d'entraînement : Facteur de Boltzmann et physique statistique

Corrigés

1. Exercice 1Mines-Ponts Physique 2 PSI 2024, Q25

   À l'équilibre, le courant total de particules s'annule en tout point :

   \vec{j}_\text{tot} = \vec{j}_g + \vec{j}_d = \vec{0}

   En utilisant les expressions établies aux questions Q22 et Q23 :

   \vec{j}_g = -n^*(z) g_0 \tau\,\vec{e}_z \quad \text{et} \quad \vec{j}_d = -D \frac{\mathrm{d}n^*}{\mathrm{d}z}\,\vec{e}_z

   la projection selon l'axe vertical ascendant \vec{e}_z donne :

   -n^*(z) g_0 \tau - D \frac{\mathrm{d}n^*}{\mathrm{d}z} = 0

   D'après la relation D = u^2 \tau introduite à la question Q24, le paramètre \tau se simplifie :

   -n^*(z) g_0 \tau - u^2 \tau \frac{\mathrm{d}n^*}{\mathrm{d}z} = 0 \iff \frac{\mathrm{d}n^*}{\mathrm{d}z} + \frac{g_0}{u^2} n^*(z) = 0

   Il s'agit d'une équation différentielle linéaire homogène du premier ordre à coefficients constants. Sa solution générale est :

   n^*(z) = C \exp\left(-\frac{g_0}{u^2} z\right)

   En imposant la condition à la limite au niveau du sol (z = 0), n^*(0) = n_0^*, il vient C = n_0^*. On retrouve bien la loi exponentielle sous la forme :

   \boxed{n^*(z) = n_0^* \exp\left(-\frac{z}{H}\right)}

   avec une hauteur caractéristique (ou hauteur d'échelle) :

   \boxed{H = \frac{u^2}{g_0}}

   Résultat

   $$n^{\ast }(z)=n_0^{\ast }\exp \left(-\frac{z}{H}\right)$$

   $$H=\frac{u^2}{g_0}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2X-ENS Physique PSI 2020, Q8

   À l'équilibre thermodynamique à la température uniforme T_0, en présence d'un potentiel extérieur d'énergie W_{\text{ad}}(z) et en l'absence d'interactions mutuelles entre particules, la densité volumique de particules n(z) suit la loi de distribution de Boltzmann :

   n(z) = n(+\infty)\exp\left(-\frac{W_{\text{ad}}(z)}{k_{\text{B}}T_0}\right)

   Le gaz étant localement assimilé à un gaz parfait, la pression locale vérifie p(z) = n(z)k_{\text{B}}T_0, et en z = +\infty, où W_{\text{ad}}(+\infty) = 0, on a p(+\infty) = n(+\infty)k_{\text{B}}T_0. Il s'ensuit que :

   p(z) = p(+\infty)\exp\left(-\frac{W_{\text{ad}}(z)}{k_{\text{B}}T_0}\right)

   En substituant l'expression de l'énergie d'interaction W_{\text{ad}}(z) = -\dfrac{K_{\text{ad}}}{z^3}, on obtient :

   \boxed{p(z) = p(+\infty)\exp\left(\frac{K_{\text{ad}}}{k_{\text{B}}T_0 z^3}\right)}

   Résultat

   $$p(z)=p(+\infty )\exp \left(\frac{K_{\text{ad}}}{k_{\text{B}}{T}_0{z}^3}\right)$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3ENS Physique U PSI 2025, Q14

   Pour un ion négatif \mathrm{Cl}^-, la charge portée est q_- = -e. Son énergie potentielle électrostatique dans le potentiel \phi vaut donc :

   \mathcal{E}_{p,-} = q_- \phi = -e\phi

   D'après la loi de Boltzmann à l'équilibre thermique, la concentration c_- en ions négatifs est proportionnelle au facteur de Boltzmann \exp\left(-\frac{\mathcal{E}_{p,-}}{k_B T}\right) = \exp\left(+\frac{e\phi}{k_B T}\right). Avec la définition adimensionnée \psi = \frac{e\phi}{k_B T}, la distribution s'écrit donc :

   \boxed{ c_- = c_\infty \exp(\psi) }

   Justification de l'utilisation de la même constante c_\infty :

   • Loin de la paroi (z \to \infty), le potentiel électrostatique est nul par convention (\phi \to 0, d'où \psi \to 0). Les exponentielles tendent vers 1, si bien que :

     \lim_{z \to \infty} c_+(z) = c_\infty \quad \text{et} \quad \lim_{z \to \infty} c_-(z) = c_{\infty,-}

   • Au sein de la solution loin de la paroi chargée, le milieu ionique est électriquement neutre :

     \rho_e(z \to \infty) = \mathcal{N}_A \left( e\,c_+ - e\,c_- \right)_{z \to \infty} = e\,\mathcal{N}_A (c_\infty - c_{\infty,-}) = 0

     ce qui impose c_{\infty,-} = c_\infty.

   • Cette électroneutralité à l'infini est naturellement garantie par la dissociation totale du chlorure de sodium selon \mathrm{NaCl} \to \mathrm{Na}^+ + \mathrm{Cl}^-, qui libère autant de cations que d'anions.

   Résultat

   $$c_{-}=c_{\infty }\exp (\psi )$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4ENS Physique U PSI 2025, Q37

   D'après l'équation (14), la longueur de Bjerrum s'écrit :

   \ell_B = \frac{e^2}{4\pi \epsilon_0 \epsilon_r k_B T}

   À température ambiante (T \simeq 300\text{ K}), avec les données du formulaire :

   • e = 1,6 \times 10^{-19}\text{ C}, d'où e^2 = 2,56 \times 10^{-38}\text{ C}^2 ;
   • \epsilon_0 = 8,9 \times 10^{-12}\text{ F}\cdot\text{m}^{-1} et \epsilon_r = 80 ;
   • k_B = 1,4 \times 10^{-23}\text{ J}\cdot\text{K}^{-1}, soit k_B T \simeq 4,2 \times 10^{-21}\text{ J}.

   Le dénominateur vaut :

   \begin{aligned} 4\pi \epsilon_0 \epsilon_r k_B T &\simeq 4\pi \times (8,9 \times 10^{-12}) \times 80 \times (4,2 \times 10^{-21}) \\ &\simeq 1,12 \times 10^{-10} \times 80 \times 4,2 \times 10^{-21} \\ &\simeq 3,8 \times 10^{-29}\text{ J}\cdot\text{m} \end{aligned}

   On en déduit :

   \ell_B \simeq \frac{2,56 \times 10^{-38}}{3,8 \times 10^{-29}} \simeq 0,7 \times 10^{-9}\text{ m}

   \boxed{\ell_B \simeq 0,7\text{ nm}}

   Par définition, à la distance r = \ell_B, on a :

   \frac{e^2}{4\pi \epsilon_0 \epsilon_r \ell_B} = k_B T

   La longueur de Bjerrum permet de comparer :

   1. L'énergie potentielle d'interaction électrostatique (coulombienne) entre deux charges élémentaires e distantes de r dans le milieu de permittivité relative \epsilon_r :

      E_{\text{elec}}(r) = \frac{e^2}{4\pi \epsilon_0 \epsilon_r r}
   2. L'énergie thermique caractéristique E_{\text{th}} = k_B T, liée à l'agitation désordonnée des molécules et des ions.

   Résultat

   $${\ell }_B\simeq 0,7\text{ nm}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5Mines-Ponts Physique 1 PSI 2024, Q15

   Entre deux collisions, le frottement phénoménologique n'intervient pas : l'électron n'est soumis qu'à la force électrostatique \vec{F} = -e\vec{E}. Le principe fondamental de la dynamique appliqué à un électron dans le référentiel du conducteur (galiléen) s'écrit :

   m \frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t} = -e\vec{E}

   Le champ \vec{E} étant uniforme et constant, une intégration directe entre t_0 et t_0 + \delta t donne :

   \boxed{\vec{v} = \vec{v}_0 - \frac{e\vec{E}}{m}\delta t}

   Moyennons cette expression sur un très grand nombre de collisions. Après une collision, l'électron est diffusé dans une direction aléatoire isotrope, de sorte que la vitesse moyenne après choc est nulle : \langle \vec{v}_0 \rangle = \vec{0}. La vitesse moyenne juste avant un choc vaut donc :

   \langle \vec{v} \rangle = -\frac{e\vec{E}}{m}\langle \delta t \rangle

   Par identification avec la vitesse stationnaire de dérive établie à la question Q14, \vec{v}_\infty = -\dfrac{e\tau_{\mathrm{d}}}{m}\vec{E}, on en déduit :

   \boxed{\tau_{\mathrm{d}} = \langle \delta t \rangle}

   Le paramètre \tau_{\mathrm{d}} s'interprète donc physiquement comme le temps de vol libre moyen (ou durée moyenne entre deux collisions successives subies par un électron).

   Effet de la température sur la résistance :

   • Lorsque la température T augmente, l'agitation thermique des ions du réseau cristallin s'amplifie (accroissement de l'amplitude de vibration du réseau, modélisable par des phonons) et la vitesse thermique des électrons augmente également (v_{\mathrm{th}} \propto \sqrt{T}).
   • La probabilité de collision par unité de temps augmente : le libre parcours moyen et le temps moyen entre collisions \tau_{\mathrm{d}} diminuent donc lorsque T augmente.
   • D'après la question Q14, la conductivité s'écrit \sigma = \dfrac{n_{\mathrm{e}} e^2 \tau_{\mathrm{d}}}{m}, donc \sigma diminue avec la température (le nombre de porteurs libres n_{\mathrm{e}} restant essentiellement constant dans un métal).
   • D'après la question Q13, la résistance électrique vaut R_{\text{él}} = \dfrac{L}{\sigma S} : la diminution de \sigma entraîne donc l'augmentation de la résistance avec la température.

   Résultat

   $$\vec{v}={\vec{v}}_0-\frac{e\vec{E}}{m}\delta t$$

   $${\tau }_{\mathrm{d}}=⟨\delta t⟩$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6X-ENS Physique PSI 2024, Q43

   1. Atomes susceptibles d'être ralentis

   La force radiative donnée par l'équation (12) s'exerce dans le sens de propagation de l'onde lumineuse :

   \vec{F} \propto \vec{k} = k \vec{u},

   où \vec{u} est le vecteur unitaire orienté de la source vers l'atome. Pour ralentir l'atome, cette force doit être opposée à la vitesse, soit \vec{F} \cdot \vec{v} < 0, ce qui impose :

   \vec{v} \cdot \vec{u} < 0.

   Les atomes doivent donc se propager à contre-courant du faisceau laser (se diriger vers la source : \vec{v} = - v \vec{u} avec v > 0).

   D'après la question précédente (Q42), la pulsation de l'onde perçue par un tel atome s'écrit :

   \omega' = \omega \left(1 + \frac{v}{c}\right) > \omega.

   L'interaction est significative uniquement si la pulsation perçue se situe dans la bande passante de la résonance atomique, de largeur à mi-hauteur \Delta\omega = \Gamma (Q38), centrée sur \omega_0 :

   \omega' \simeq \omega_0 \iff \omega \left(1 + \frac{v}{c}\right) \simeq \omega_0.

   Cette condition requiert :

   • un laser désaccordé vers le rouge : \omega < \omega_0 (\delta = \omega - \omega_0 < 0) ;

   • une vitesse des atomes proche de la vitesse de résonance :

     v \simeq v_{\mathrm{r}} = c \frac{\omega_0 - \omega}{\omega_0} = -c \frac{\delta}{\omega_0},

     dans un intervalle de capture lié à la largeur radiative :

     \Delta v \simeq c \frac{\Gamma}{\omega_0}.

   \boxed{\text{Seuls les atomes se déplaçant vers la source à une vitesse } v \approx -c\,\frac{\delta}{\omega_0} \text{ (avec } \delta < 0\text{) sont ralentis.}}

   2. Possibilité d'immobiliser complètement les atomes

   Ce processus ne permet pas d'immobiliser complètement les atomes (v = 0), pour trois raisons physiques majeures :

   • Sortie de résonance Doppler : au cours du ralentissement, la vitesse v décroît. Le décalage Doppler \omega v/c diminue, si bien que la pulsation perçue \omega' s'éloigne de \omega_0. L'atome sort rapidement de la bande de résonance (\Delta v \sim c\Gamma/\omega_0) et la force radiative devient négligeable bien avant que l'atome ne s'arrête.
   • Caractère unidirectionnel de la force : même si l'atome atteignait une vitesse nulle, le laser continuerait d'exercer une force dans le sens de \vec{u} (pression de radiation résiduelle), accélérant l'atome dans le sens du faisceau au lieu de le maintenir immobile.
   • Fluctuations quantiques (recul spontané) : le ralentissement s'accompagne d'émissions spontanées de photons dans des directions aléatoires et isotropes. Chaque émission confère à l'atome une impulsion de recul \hbar k, créant un mouvement brownien dans l'espace des impulsions (chauffage par recul) qui interdit une vitesse strictement nulle.

   \boxed{\text{Non, un faisceau laser unique ne permet pas d'immobiliser complètement les atomes.}}

   Résultat

   $$\text{Seuls les atomes se deˊplac¸ant vers la source aˋ une vitesse }v\approx -c\frac{\delta }{{\omega }_0}\text{ (avec }\delta <0\text{) sont ralentis.}$$

   $$\text{Non, un faisceau laser unique ne permet pas d’immobiliser compleˋtement les atomes.}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

7. Exercice 7ENS Physique U PSI 2020, Q55

   L'événement « le bit a subi au moins une commutation accidentelle pendant un temps t » est le complémentaire de l'événement « le bit n'a pas commuté accidentellement pendant la durée t ».

   D'après la relation (31) de l'énoncé, la probabilité de non-commutation est P(t) = \exp(-t/\tau). Par conséquent, la probabilité d'erreur pour un bit s'écrit directement :

   \boxed{P_{\mathrm{erreur}}^{(1)}(t) = 1 - \exp\left(-\frac{t}{\tau}\right)}

   Résultat

   $$P_{\mathrm{erreur}}^{(1)}(t)=1-\exp \left(-\frac{t}{\tau }\right)$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

8. Exercice 8ENS Physique U PSI 2020, Q56

   On suppose que les commutations thermiques des différents bits sont des événements mutuellement indépendants.

   D'après l'énoncé (équation 31), la probabilité pour un bit donné de ne pas commuter accidentellement pendant la durée t est :

   P(t) = \exp\left(-\frac{t}{\tau}\right)

   L'événement « aucun des N bits n'a commuté pendant le temps t » correspond à l'intersection des événements indépendants de non-commutation pour chacun des N bits. Sa probabilité est donc :

   P_{\text{aucun}}^{(N)}(t) = [P(t)]^N = \left[\exp\left(-\frac{t}{\tau}\right)\right]^N = \exp\left(-\frac{Nt}{\tau}\right)

   L'événement « au moins un des N bits a subi une commutation accidentelle » est l'événement complémentaire. On en déduit :

   \boxed{P_{\mathrm{erreur}}^{(N)}(t) = 1 - \exp\left(-\frac{Nt}{\tau}\right) = 1 - \left(1 - P_{\mathrm{erreur}}^{(1)}(t)\right)^N}

   Résultat

   $$P_{\mathrm{erreur}}^{(N)}(t)=1-\exp \left(-\frac{Nt}{\tau }\right)=1-{\left(1-P_{\mathrm{erreur}}^{(1)}(t)\right)}^N$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

9. Exercice 9ENS Physique U PSI 2020, Q57

   D'après la question Q56, la probabilité qu'au moins une commutation accidentelle survienne parmi N bits indépendants pendant une durée t s'écrit :

   P_{\mathrm{erreur}}^{(N)}(t) = 1 - \exp\left(-\frac{Nt}{\tau}\right)

   La condition imposée P_{\mathrm{erreur}}^{(N)}(t) \le p est équivalente à :

   \begin{aligned} 1 - \exp\left(-\frac{Nt}{\tau}\right) &\le p \\ \exp\left(-\frac{Nt}{\tau}\right) &\ge 1 - p \\ -\frac{Nt}{\tau} &\ge \ln(1 - p) \\ \tau &\ge \frac{Nt}{-\ln(1-p)} \end{aligned}

   D'après la loi d'Arrhenius (équation 30), le temps caractéristique vaut \tau = \tau_0 \exp\left(\frac{\Delta E}{k_{\mathrm{B}}T}\right). En substituant cette expression, il vient :

   \exp\left(\frac{\Delta E}{k_{\mathrm{B}}T}\right) \ge \frac{Nt}{-\tau_0 \ln(1-p)}

   La fonction logarithme népérien étant strictement croissante sur \mathbb{R}^{+*}, on en déduit l'expression exacte de la condition sur le rapport :

   \frac{\Delta E}{k_{\mathrm{B}}T} \ge \ln\left(\frac{Nt}{-\tau_0 \ln(1-p)}\right)

   Dans le cadre d'une mémoire numérique fiable, le taux d'erreur toléré est extrêmement faible (p \ll 1). Au premier ordre, on a -\ln(1-p) \simeq p, ce qui conduit à l'expression usuelle :

   \boxed{\frac{\Delta E}{k_{\mathrm{B}}T} \ge \ln\left(\frac{Nt}{\tau_0 p}\right)}

   Le rapport minimal nécessaire pour garantir une probabilité d'erreur inférieure à p est donc :

   \boxed{\left(\frac{\Delta E}{k_{\mathrm{B}}T}\right)_{\min} = \ln\left(\frac{Nt}{\tau_0 p}\right)}

   Résultat

   $$\frac{\Delta E}{k_{\mathrm{B}}T}\ge \ln \left(\frac{Nt}{{\tau }_{0}p}\right)$$

   $${\left(\frac{\Delta E}{k_{\mathrm{B}}T}\right)}_{\min }=\ln \left(\frac{Nt}{{\tau }_{0}p}\right)$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

10. Exercice 10X-ENS Physique PSI 2020, Q9

    D'après le résultat de la question 8, la pression du gaz à la distance z > 0 de la paroi s'écrit :

    p(z) = p(+\infty) \exp\left(\frac{K_{\text{ad}}}{k_{\text{B}} T_0 z^3}\right)

    Puisque la constante d'adsorption K_{\text{ad}} et la température T_0 sont strictement positives, l'exposant tend vers +\infty lorsque z tend vers 0 par valeurs supérieures :

    \lim_{z \to 0^+} \frac{K_{\text{ad}}}{k_{\text{B}} T_0 z^3} = +\infty

    On en déduit immédiatement la limite de la pression :

    \boxed{\lim_{z \to 0^+} p(z) = +\infty}

    D'un point de vue thermodynamique, à la température T_0, un gaz ne peut exister à l'équilibre sous forme de vapeur stable à une pression strictement supérieure à sa pression de vapeur saturante p_{\text{s}}(T_0).

    Lorsque p(z) dépasse p_{\text{s}}(T_0), la vapeur se trouve dans un état sursaturé métastable ou instable : il se produit un changement d'état, à savoir la liquéfaction (ou condensation) du gaz. Le fluide se dépose alors sous forme d'une phase liquide à la surface de la paroi.

    Résultat

    $$\underset{z\to 0^{+}}{\lim }p(z)=+\infty$$

    Indice, stratégie et pièges de cette question