Feuille d'entraînement : Facteur de Boltzmann et physique statistique

Corrigés

1. Exercice 1X-ENS Physique MPI 2023, Q22

   Soit \Pi(\theta) la probabilité qu'une molécule ne subisse aucune collision pendant une durée \theta.

   Considérons une durée \theta + \mathrm{d}\theta. En supposant les collisions statistiquement indépendantes au cours d'intervalles de temps disjoints (processus sans mémoire), l'absence de collision sur une durée \theta + \mathrm{d}\theta équivaut à l'absence de collision sur une durée \theta et l'absence de collision pendant l'intervalle élémentaire \mathrm{d}\theta suivant :

   \Pi(\theta + \mathrm{d}\theta) = \Pi(\theta) \times \left(1 - \frac{\mathrm{d}\theta}{\tau}\right)

   En développant au premier ordre en \mathrm{d}\theta :

   \Pi(\theta) + \frac{\mathrm{d}\Pi}{\mathrm{d}\theta}\,\mathrm{d}\theta = \Pi(\theta) - \frac{\Pi(\theta)}{\tau}\,\mathrm{d}\theta

   On en déduit l'équation différentielle régissant \Pi(\theta) :

   \frac{\mathrm{d}\Pi}{\mathrm{d}\theta} = -\frac{1}{\tau}\,\Pi(\theta)

   Sachant qu'à durée nulle aucune collision n'a pu avoir lieu (\Pi(0) = 1), la solution s'écrit :

   \Pi(\theta) = e^{-\theta/\tau}

   La variable \theta désignant le temps écoulé depuis la dernière collision, l'événement « la dernière collision a eu lieu entre \theta et \theta + \mathrm{d}\theta » correspond à :

   • aucune collision pendant la durée \theta précédant l'instant t (probabilité \Pi(\theta)) ;
   • une collision dans l'intervalle de temps élémentaire \mathrm{d}\theta antérieur (probabilité \mathrm{d}\theta/\tau).

   Par indépendance de ces événements, la probabilité recherchée est :

   P(\theta)\,\mathrm{d}\theta = \Pi(\theta) \times \frac{\mathrm{d}\theta}{\tau} = \frac{1}{\tau}e^{-\theta/\tau}\,\mathrm{d}\theta

   On en déduit la densité de probabilité :

   \boxed{P(\theta) = \frac{1}{\tau}\,e^{-\theta/\tau} \quad (\theta \ge 0)}

   Résultat

   $$P(\theta )=\frac{1}{\tau }{e}^{-\theta /\tau }(\theta \ge 0)$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2X-ENS Physique MPI 2023, Q23

   D'après la question Q21, l'amplitude complexe pour un temps écoulé \theta depuis le dernier choc s'écrit :

   \underline{C}(\theta) = \underline{A}\left(1 - \mathrm{e}^{-i(\omega - \omega_0)\theta}\right)

   avec \underline{A} = \dfrac{qE}{m(\omega_0^2 - \omega^2)} (question Q20).

   La moyenne de \underline{C} selon la distribution P(\theta) = \dfrac{1}{\tau}\mathrm{e}^{-\theta/\tau} (\theta \ge 0) est donnée par :

   \begin{aligned} \langle \underline{C} \rangle &= \int_0^{+\infty} \underline{C}(\theta) P(\theta) \, \mathrm{d}\theta \\ &= \underline{A} \int_0^{+\infty} \left(1 - \mathrm{e}^{-i(\omega - \omega_0)\theta}\right) \frac{1}{\tau}\mathrm{e}^{-\theta/\tau} \, \mathrm{d}\theta \\ &= \underline{A} \left[ 1 - \frac{1}{\tau} \int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-\left(\frac{1}{\tau} + i(\omega - \omega_0)\right)\theta} \, \mathrm{d}\theta \right] \end{aligned}

   Comme \operatorname{Re}\left(\frac{1}{\tau} + i(\omega - \omega_0)\right) = \frac{1}{\tau} > 0, l'intégrale converge :

   \int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-\left(\frac{1}{\tau} + i(\omega - \omega_0)\right)\theta} \, \mathrm{d}\theta = \frac{1}{\frac{1}{\tau} + i(\omega - \omega_0)}

   Il vient ainsi :

   \langle \underline{C} \rangle = \underline{A} \left(1 - \frac{1}{1 + i(\omega - \omega_0)\tau}\right) = \underline{A} \frac{i(\omega - \omega_0)\tau}{1 + i(\omega - \omega_0)\tau}

   En remarquant que \underline{A} = -\dfrac{qE}{m(\omega - \omega_0)(\omega + \omega_0)}, le facteur (\omega - \omega_0) se simplifie :

   \boxed{ \langle \underline{C} \rangle = \underline{A} \frac{i(\omega - \omega_0)\tau}{1 + i(\omega - \omega_0)\tau} = -\frac{i q E \tau}{m(\omega + \omega_0)(1 + i(\omega - \omega_0)\tau)} }

   Résultat

   $$⟨\underline{C}⟩=\underline{A}\frac{i(\omega -{\omega }_0)\tau }{1+i(\omega -{\omega }_0)\tau }=-\frac{iqE\tau }{m(\omega +{\omega }_0)(1+i(\omega -{\omega }_0)\tau )}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question