Feuille d'entraînement : Diffusion thermique

Corrigés

1. Exercice 1CCINP Physique-Chimie MP 2026, Q20

   Par analogie formelle avec la résistance électrique (R = \frac{U}{I}), la résistance thermique R_{\mathrm{th}} d'un élément conducteur reliant deux isothermes de températures T_1 et T_2 (T_1 > T_2) est définie par le quotient de la différence de température par le flux thermique (ou puissance thermique) \Phi qui le traverse de la face chaude vers la face froide :

   \boxed{R_{\mathrm{th}} = \frac{T_1 - T_2}{\Phi}}

   où T_1 - T_2 s'exprime en kelvins (\mathrm{K}), \Phi en watts (\mathrm{W}) et R_{\mathrm{th}} en \mathrm{K}\cdot\mathrm{W}^{-1}.

   Considérons un conducteur cylindrique de longueur l, d'axe (Oz), de section constante s perpendiculaire à (Oz), en régime stationnaire et sans source thermique interne. Le transfert s'effectue selon z : le profil de température ne dépend que de z, T(z), avec T(0) = T_1 et T(l) = T_2.

   D'après la loi de Fourier, le vecteur densité de flux thermique est :

   \vec{j} = -\lambda \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}z}\,\vec{u}_z

   Le flux thermique traversant une section droite s orientée suivant \vec{u}_z s'écrit :

   \Phi = \iint_s \vec{j}\cdot \vec{u}_z\,\mathrm{d}S = -\lambda s \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}z}

   En régime permanent et sans terme source, la conservation de l'énergie implique que le flux \Phi est indépendant de z. Par intégration entre z = 0 et z = l :

   \begin{aligned} \int_0^l \Phi\,\mathrm{d}z &= -\lambda s \int_{T_1}^{T_2}\mathrm{d}T \\ \Phi\, l &= \lambda s (T_1 - T_2) \end{aligned}

   On obtient ainsi :

   T_1 - T_2 = \frac{l}{\lambda s}\,\Phi

   Par identification avec la relation de définition, on en déduit l'expression de la résistance thermique :

   \boxed{R_{\mathrm{th}} = \frac{l}{\lambda s}}

   Résultat

   $$R_{\mathrm{th}}=\frac{T_1-T_2}{\Phi }$$

   $$R_{\mathrm{th}}=\frac{l}{\lambda s}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2CCINP Physique-Chimie MP 2026, Q28

   Considérons comme système thermodynamique fermé le milieu contenu à l'instant t dans la coquille sphérique fixe délimitée par les sphères de rayons r et r+\mathrm{d}r.

   1. Volume et masse du système
   L'épaisseur \mathrm{d}r étant infinitésimale, le volume élémentaire de la coquille s'écrit :

   \mathrm{d}V = 4\pi r^2 \mathrm{d}r

   La Terre étant supposée homogène de masse volumique \mu, la masse de cette coquille est :

   \mathrm{d}m = \mu \, \mathrm{d}V = \mu \, 4\pi r^2 \mathrm{d}r

   2. Variation de l'énergie interne
   Le solide étant une phase condensée indilatable et incompressible, la variation d'énergie interne coïncide avec la variation d'enthalpie. Pendant la durée \mathrm{d}t, la température varie de \mathrm{d}T = \frac{\partial T}{\partial t}\mathrm{d}t ; la variation d'énergie interne du système vaut ainsi :

   \mathrm{d}U = \mathrm{d}m \, C \, \mathrm{d}T = \mu C 4\pi r^2 \frac{\partial T}{\partial t} \mathrm{d}t \mathrm{d}r

   3. Premier principe de la thermodynamique
   En l'absence de travail utile et de travail des forces de pression (solide indilatable), le premier principe s'écrit :

   \mathrm{d}U = \delta Q_{\text{cond}} + \delta Q_{\text{source}}

   • Transfert thermique par conduction :
     Le flux thermique traversant vers l'extérieur une sphère de rayon r est :

     \Phi(r) = \iint_{S(r)} \vec{j}(r,t)\cdot \vec{u}_r \, \mathrm{d}S = j(r,t) \times 4\pi r^2

     La chaleur nette reçue par la coquille à travers ses deux surfaces limites en r (entrant) et r+\mathrm{d}r (sortant) pendant la durée \mathrm{d}t est :

     \begin{aligned} \delta Q_{\text{cond}} &= \big[\Phi(r) - \Phi(r+\mathrm{d}r)\big] \mathrm{d}t \\ &= -\mathrm{d}\Phi \, \mathrm{d}t = -\mathrm{d}\!\left(j \, 4\pi r^2\right) \mathrm{d}t \end{aligned}

   • Énergie issue des sources internes :
     Pendant la durée \mathrm{d}t, la radioactivité libère dans le volume \mathrm{d}V l'énergie thermique :

     \delta Q_{\text{source}} = p_v' \, \mathrm{d}V \, \mathrm{d}t = p_v' 4\pi r^2 \mathrm{d}r \mathrm{d}t

   En rassemblant ces contributions dans le bilan énergétique \mathrm{d}U = \delta Q_{\text{cond}} + \delta Q_{\text{source}}, on obtient la relation demandée :

   \boxed{\mu C 4\pi r^2 \frac{\partial T}{\partial t}\mathrm{d}t\mathrm{d}r = -\mathrm{d}\!\left(j 4\pi r^2\right)\mathrm{d}t + p_v' 4\pi r^2 \mathrm{d}r \mathrm{d}t}

   4. Signification physique des trois termes

   • \mu C 4\pi r^2 \frac{\partial T}{\partial t}\mathrm{d}t\mathrm{d}r représente le terme d'accumulation (ou de stockage) : c'est la variation élémentaire de l'énergie interne \mathrm{d}U emmagasinée par la coquille pendant la durée \mathrm{d}t.
   • -\mathrm{d}\!\left(j 4\pi r^2\right)\mathrm{d}t représente le terme d'échange conductif net : c'est l'énergie thermique nette reçue par conduction à travers les parois de la coquille pendant \mathrm{d}t.
   • p_v' 4\pi r^2 \mathrm{d}r \mathrm{d}t représente le terme de création ou de source : c'est l'énergie thermique générée au sein du volume de la coquille par la radioactivité pendant \mathrm{d}t.

   Résultat

   $$\mu C4\pi r^2\frac{\partial T}{\partial t}\mathrm{d}t\mathrm{d}r=-\mathrm{d}\left(j4\pi r^2\right)\mathrm{d}t+p_v^{\prime }4\pi r^2\mathrm{d}r\mathrm{d}t$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3CentraleSupélec Physique-Chimie 2 MP 2026, Q13

   Considérons le système fermé constitué par une tranche de filament comprise entre les abscisses x et x+\mathrm{d}x, de section droite constante S et de masse :

   \mathrm{d}m = \mu S\,\mathrm{d}x.

   Entre les instants t et t+\mathrm{d}t, le filament étant une phase condensée indilatable et incompressible (C_v \approx C_p), la variation d'énergie interne de cette tranche s'écrit :

   \mathrm{d}U = \mathrm{d}m \, c \, [T(x, t+\mathrm{d}t) - T(x,t)] = \mu c S \frac{\partial T}{\partial t}(x,t)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}t.

   D'après le premier principe de la thermodynamique appliqué à cette tranche fixe :

   \mathrm{d}U = \delta Q_{\text{cond}} + \delta W_J.

   • Transferts conductifs : l'écoulement de chaleur étant unidimensionnel selon l'axe Ox et les échanges latéraux (convection avec l'air et rayonnement) étant négligés, la chaleur nette reçue par conduction à travers les sections en x et x+\mathrm{d}x est :

     \delta Q_{\text{cond}} = \left[\Phi(x,t) - \Phi(x+\mathrm{d}x,t)\right]\mathrm{d}t = -\frac{\partial \Phi}{\partial x}(x,t)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}t,

     où le flux thermique traversant une section d'aire S orientée selon \vec{u}_x est donné par la loi de Fourier :

     \Phi(x,t) = \vec{j}(x,t)\cdot\vec{u}_x \, S = -\lambda S \frac{\partial T}{\partial x}(x,t).

     La conductivité thermique \lambda étant supposée uniforme, il vient :

     \delta Q_{\text{cond}} = \lambda S \frac{\partial^2 T}{\partial x^2}(x,t)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}t.

   • Effet Joule : la puissance thermique linéique générée étant notée p_{\mathrm{J,lin}}, l'énergie électrique dissipée par effet Joule dans la tranche s'écrit :

     \delta W_J = p_{\mathrm{J,lin}}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}t.

   En égalant les deux expressions de \mathrm{d}U et en simplifiant par \mathrm{d}x\,\mathrm{d}t, on obtient bien l'équation de la diffusion thermique :

   \boxed{\mu c S \frac{\partial T}{\partial t} = \lambda S \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} + p_{\mathrm{J,lin}}}

   Résultat

   $$\mu cS\frac{\partial T}{\partial t}=\lambda S\frac{{\partial }^{2}T}{\partial x^2}+p_{\mathrm{J},\mathrm{lin}}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4CentraleSupélec Physique-Chimie 2 MP 2026, Q19

   Compte tenu de la géométrie de l'échantillon (demi-espace z \le 0) et de l'isothermie de la demi-boule de contact à la température T_1, le champ de température ne dépend que de la distance radiale r au centre du contact : T = T(r).

   D'après la loi de Fourier, le vecteur densité de flux thermique dans l'échantillon s'écrit :

   \vec{j}_{\mathrm{th}}(r) = -\lambda_{\mathrm{e}} \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}r} \vec{u}_r

   Le flux thermique \Phi traversant une demi-sphère de rayon r \ge b (de surface S(r) = 2\pi r^2, orientée vers l'extérieur selon \vec{u}_r) vaut :

   \Phi = \iint_{\text{demi-sphère}} \vec{j}_{\mathrm{th}} \cdot \mathrm{d}\vec{S} = 2\pi r^2 \left(-\lambda_{\mathrm{e}} \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}r}\right) = -2\pi \lambda_{\mathrm{e}} r^2 \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}r}

   En régime permanent et en l'absence de sources thermiques dans le matériau pour r > b, le flux thermique se conserve à travers toute surface fermée, donc \Phi est indépendant de r. On sépare les variables :

   \mathrm{d}T = -\frac{\Phi}{2\pi \lambda_{\mathrm{e}}} \frac{\mathrm{d}r}{r^2}

   On intègre cette relation entre la surface de contact r = b, où T(b) = T_1, et l'infini r \to \infty, où T(\infty) = T_0 :

   \begin{aligned} \int_{T_1}^{T_0} \mathrm{d}T &= -\frac{\Phi}{2\pi \lambda_{\mathrm{e}}} \int_{b}^{+\infty} \frac{\mathrm{d}r}{r^2} \\ T_0 - T_1 &= -\frac{\Phi}{2\pi \lambda_{\mathrm{e}}} \left[-\frac{1}{r}\right]_b^{+\infty} = -\frac{\Phi}{2\pi \lambda_{\mathrm{e}} b} \end{aligned}

   Il vient ainsi :

   T_1 - T_0 = \frac{\Phi}{2\pi \lambda_{\mathrm{e}} b}

   Par définition de la conductance thermique G_{\mathrm{e}} assurant le transfert entre la demi-boule à température T_1 et l'infini à température T_0, on a \Phi = G_{\mathrm{e}} (T_1 - T_0), ce qui donne immédiatement :

   \boxed{G_{\mathrm{e}} = 2\pi \lambda_{\mathrm{e}} b}

   Résultat

   $$G_{\mathrm{e}}=2\pi {\lambda }_{\mathrm{e}}b$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5CentraleSupélec Physique-Chimie 2 MP 2026, Q29

   D'après la question Q14, en négligeant les variations de la résistivité \rho_0 avec la température, la puissance linéique dissipée par effet Joule dans une tranche de filament de section S parcourue par un courant instantané i(t) s'écrit :

   p_{\mathrm{J,lin}}(t) = \frac{\rho_0}{S}\,i(t)^2

   Avec i(t) = I_0 \cos(\omega t), on a :

   p_{\mathrm{J,lin}}(t) = \frac{\rho_0 I_0^2}{S} \cos^2(\omega t)

   En utilisant l'identité trigonométrique \cos^2(\omega t) = \dfrac{1 + \cos(2\omega t)}{2}, on obtient :

   \boxed{ p_{\mathrm{J,lin}}(t) = \frac{\rho_0 I_0^2}{2S} + \frac{\rho_0 I_0^2}{2S} \cos(2\omega t) }

   Cette puissance thermique linéique est donc bien la somme :

   • d'une contribution constante (indépendante du temps) : p_{\mathrm{DC}} = \dfrac{\rho_0 I_0^2}{2S} ;
   • d'une contribution oscillante à la pulsation 2\omega : p_{\mathrm{AC}}(t) = \dfrac{\rho_0 I_0^2}{2S} \cos(2\omega t).

   D'après la question Q13, l'équation de la diffusion thermique s'écrit :

   \mu c S \frac{\partial T}{\partial t} = \lambda S \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} + p_{\mathrm{J,lin}}(t)

   En y injectant l'expression de p_{\mathrm{J,lin}}(t), on obtient :

   \boxed{ \mu c S \frac{\partial T}{\partial t} = \lambda S \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} + \frac{\rho_0 I_0^2}{2S}\bigl(1 + \cos(2\omega t)\bigr) }

   Comme T(x,t) = T_0 + \theta(x,t) avec T_0 constante, l'échauffement \theta(x,t) vérifie exactement la même équation aux dérivées partielles.

   Résultat

   $$p_{\mathrm{J},\mathrm{lin}}(t)=\frac{{\rho }_0{I}_0^2}{2S}+\frac{{\rho }_0{I}_0^2}{2S}\cos (2\omega t)$$

   $$\mu cS\frac{\partial T}{\partial t}=\lambda S\frac{{\partial }^{2}T}{\partial x^2}+\frac{{\rho }_0{I}_0^2}{2S}(1+\cos (2\omega t))$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6X-ENS Physique MP 2025, Q17

   Le transfert thermique entre la particule à la température T et le gaz thermostaté à la température T_0 est modélisé par la loi phénoménologique de Newton (transfert conducto-convectif à l'interface).

   La puissance thermique (ou quantité d'énergie perdue par unité de temps) cédée par la surface S de la particule vers le milieu extérieur s'écrit :

   \boxed{\Phi = h S (T - T_0)}

   Pour une particule sphérique de diamètre d, la surface d'échange vaut S = 4\pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 = \pi d^2.

   Résultat

   $$\Phi =hS(T-T_0)$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

7. Exercice 7X-ENS Physique MP 2025, Q18

   Considérons comme système la particule de diamant de masse m, modélisée comme une phase condensée incompressible et indilatable, de capacité thermique massique c_m. Sa capacité thermique est donc C = m c_m.

   La température T(t) étant supposée spatialement homogène au sein de la particule, l'énergie interne U vérifie :

   \frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}t} = m c_m \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t}

   Pendant une durée \mathrm{d}t, le système échange de l'énergie thermique :

   • en recevant la puissance lumineuse absorbée issue du laser :

     \mathcal{P}_{\mathrm{abs}}(t) = \frac{\mathcal{P}_\ell(t)}{10} = \mathcal{P}_{\mathrm{abs},0} \left[1 + \cos(\omega_m t)\right]

   • en cédant au gaz thermostaté le flux thermique surfacique \Phi(t) établi à la question précédente :

     \Phi(t) = h S (T(t) - T_0) = K (T(t) - T_0)

   D'après le premier principe de la thermodynamique sous forme de bilan de puissance, on a :

   \frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}t} = \mathcal{P}_{\mathrm{abs}}(t) - \Phi(t)

   soit :

   m c_m \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t} = \mathcal{P}_{\mathrm{abs},0} \left[1 + \cos(\omega_m t)\right] - K(T - T_0)

   En regroupant les termes dépendant de T(t) dans le membre de gauche, on obtient l'équation différentielle linéaire du premier ordre régissant T(t) :

   \boxed{m c_m \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t} + K(T - T_0) = \mathcal{P}_{\mathrm{abs},0} \left[1 + \cos(\omega_m t)\right]}

   ou, sous forme canonique :

   \boxed{\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t} + \frac{K}{m c_m} T(t) = \frac{K}{m c_m} T_0 + \frac{\mathcal{P}_{\mathrm{abs},0}}{m c_m} \left[1 + \cos(\omega_m t)\right]}

   Résultat

   $$m{c}_m\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t}+K(T-T_0)={\mathcal{P}}_{\mathrm{abs},0}\left[1+\cos ({\omega }_{m}t)\right]$$

   $$\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t}+\frac{K}{m{c}_m}T(t)=\frac{K}{m{c}_m}{T}_0+\frac{{\mathcal{P}}_{\mathrm{abs},0}}{m{c}_m}\left[1+\cos ({\omega }_{m}t)\right]$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

8. Exercice 8Mines-Ponts Physique 2 MP 2024, Q1

   1. Unités de k et \lambda :

   • D'après l'énoncé, le flux thermique surfacique pariétal s'exprime selon la loi de Newton :

     j_{\mathrm{par}} = k (T - T_f)

     Un flux thermique surfacique représente une puissance par unité de surface, soit [j_{\mathrm{par}}] = \mathrm{W}\cdot\mathrm{m}^{-2}. Une différence de température s'exprime en kelvins (\mathrm{K}). On en déduit :

     \boxed{ [k] = \mathrm{W}\cdot\mathrm{m}^{-2}\cdot\mathrm{K}^{-1} }

   • La loi de Fourier relie le vecteur densité de courant thermique au gradient de température : \vec{\jmath}_{\mathrm{th}} = -\lambda \, \vec{\operatorname{grad}} T. En coordonnées cartésiennes selon une direction x :

     j_{\mathrm{th}} = -\lambda \frac{\partial T}{\partial x}

     Le gradient thermique s'exprime en \mathrm{K}\cdot\mathrm{m}^{-1} et la densité de flux thermique en \mathrm{W}\cdot\mathrm{m}^{-2}. Il vient donc :

     \boxed{ [\lambda] = \mathrm{W}\cdot\mathrm{m}^{-1}\cdot\mathrm{K}^{-1} }

   2. Établissement de l'équation de diffusion thermique unidimensionnelle :

   Considérons un barreau cylindrique conducteur de section constante S, d'axe (Ox), sans source interne d'énergie. On isole le système fermé constitué de la matière contenue entre les abscisses x et x+\mathrm{d}x.

   Le volume de cette tranche élémentaire est \mathrm{d}V = S\,\mathrm{d}x, et sa masse vaut \mathrm{d}m = \rho S\,\mathrm{d}x.

   Durant l'intervalle de temps [t, t+\mathrm{d}t], la variation d'énergie interne de la tranche s'écrit, en l'absence de travail utile et pour une phase condensée indilatable et incompressible :

   \mathrm{d}U = \mathrm{d}m \, c \, [T(x, t+\mathrm{d}t) - T(x, t)] = \rho c S\,\mathrm{d}x \, \frac{\partial T}{\partial t}(x, t) \, \mathrm{d}t

   D'après le premier principe de la thermodynamique, cette variation est due aux transferts thermiques conductifs à travers les frontières en x et en x+\mathrm{d}x :

   \begin{aligned} \delta Q &= \Phi(x, t)\,\mathrm{d}t - \Phi(x+\mathrm{d}x, t)\,\mathrm{d}t \\ &= \left[ j_{\mathrm{th}}(x, t)S - j_{\mathrm{th}}(x+\mathrm{d}x, t)S \right] \mathrm{d}t \\ &= - \frac{\partial j_{\mathrm{th}}}{\partial x}(x, t) \, S\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}t \end{aligned}

   En égalant \mathrm{d}U et \delta Q, puis en simplifiant par S\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}t \neq 0, on obtient l'équation locale de conservation de l'énergie :

   \rho c \frac{\partial T}{\partial t} = - \frac{\partial j_{\mathrm{th}}}{\partial x}

   En appliquant la loi de Fourier unidimensionnelle j_{\mathrm{th}}(x, t) = -\lambda \frac{\partial T}{\partial x}(x, t) avec \lambda supposée uniforme :

   - \frac{\partial j_{\mathrm{th}}}{\partial x} = \lambda \frac{\partial^2 T}{\partial x^2}

   On en déduit directement l'équation de diffusion thermique unidimensionnelle :

   \boxed{ \rho c \frac{\partial T}{\partial t} = \lambda \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} }

   qui correspond bien à \rho c \frac{\partial T}{\partial t} = \lambda \Delta T en dimension 1, où le laplacien scalaire se réduit à \Delta = \frac{\partial^2}{\partial x^2}.

   Résultat

   $$[k]=\mathrm{W}\cdot {\mathrm{m}}^{-2}\cdot {\mathrm{K}}^{-1}$$

   $$[\lambda ]=\mathrm{W}\cdot {\mathrm{m}}^{-1}\cdot {\mathrm{K}}^{-1}$$

   $$\rho c\frac{\partial T}{\partial t}=\lambda \frac{{\partial }^{2}T}{\partial x^2}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

9. Exercice 9Mines-Ponts Physique 2 MP 2024, Q6

   Le transfert thermique depuis la surface du supraconducteur jusqu'au fluide à l'infini met en jeu l'association en série de deux résistances thermiques :

   • la résistance pariétale d'interface R_{\text{th}} = \dfrac{1}{4\pi R^2 k} (établie à la question Q3) ;
   • la résistance conductive du fluide environnant R'_{\text{th}} = \dfrac{1}{4\pi \lambda' R} (établie à la question Q5).

   Le rapport de ces deux résistances vaut :

   \frac{R'_{\text{th}}}{R_{\text{th}}} = \frac{Rk}{\lambda'}

   L'hypothèse \lambda' \gg Rk implique donc :

   R'_{\text{th}} \ll R_{\text{th}} \implies R_{\text{tot}} = R_{\text{th}} + R'_{\text{th}} \approx R_{\text{th}} \quad \text{(ou encore } T_s(t) \approx T_0 \text{)}

   Le flux thermique \Phi cédé par la boule au milieu extérieur à température T_0 s'écrit alors :

   \Phi(t) = \frac{T(t) - T_0}{R_{\text{th}}} = 4\pi R^2 k \left[T(t) - T_0\right]

   Appliquons le premier principe de la thermodynamique à la boule solide entre les instants t et t + \mathrm{d}t, en l'absence de travail et de source interne :

   \mathrm{d}U = \delta Q = -\Phi(t)\,\mathrm{d}t

   Sachant que \mathrm{d}U = C_{\text{th}}\,\mathrm{d}T avec C_{\text{th}} = \dfrac{4}{3}\pi R^3 \rho c (question Q3), on obtient :

   \frac{4}{3}\pi R^3 \rho c \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t} = -4\pi R^2 k \left[T(t) - T_0\right]

   Soit, en simplifiant par 4\pi R^2 :

   \frac{\rho R c}{3k} \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t} + T(t) = T_0

   En posant \tau = \dfrac{\rho R c}{3k}, on aboutit à l'équation différentielle du premier ordre :

   \boxed{\tau \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t} + T(t) = T_0 \quad \text{ou} \quad \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t} + \frac{T(t) - T_0}{\tau} = 0}

   Résultat

   $$\tau \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t}+T(t)=T_0\text{ou}\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t}+\frac{T(t)-T_0}{\tau }=0$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

10. Exercice 10CCINP Physique MP 2023, Q51

    Considérons comme système la tranche de glace indéformable comprise entre les abscisses x et x + \mathrm{d}x, de section droite constante S et de volume \mathrm{d}V = S\,\mathrm{d}x.

    Appliquons le premier principe de la thermodynamique à ce système fermé entre les instants t et t + \mathrm{d}t :

    \mathrm{d}U = \delta Q + \delta W

    Le milieu étant condensé et indéformable, le travail des forces de pression est nul : \delta W = 0. De plus, le régime est stationnaire, donc l'énergie interne du système est constante au cours du temps : \mathrm{d}U = 0.

    Le transfert thermique élémentaire \delta Q reçu par la tranche de glace pendant \mathrm{d}t se décompose en :

    • le flux thermique entrant par la face en x : \delta Q_{\mathrm{ent}} = j_Q(x)\,S\,\mathrm{d}t ;
    • le flux thermique sortant par la face en x+\mathrm{d}x : \delta Q_{\mathrm{sort}} = - j_Q(x+\mathrm{d}x)\,S\,\mathrm{d}t ;
    • l'énergie thermique produite en volume par d'éventuelles sources internes : \delta Q_{\mathrm{source}} = \sigma\,\mathrm{d}V\,\mathrm{d}t = \sigma\,S\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}t ;
    • les échanges avec l'atmosphère à travers la surface latérale étant négligés à ce stade, aucun flux latéral n'intervient.

    Le bilan s'écrit donc :

    \mathrm{d}U = \left[ j_Q(x) - j_Q(x + \mathrm{d}x) \right] S\,\mathrm{d}t + \sigma\,S\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}t = 0

    En effectuant un développement limité au premier ordre, j_Q(x + \mathrm{d}x) - j_Q(x) = \frac{\mathrm{d}j_Q}{\mathrm{d}x}\,\mathrm{d}x, on obtient après division par le volume S\,\mathrm{d}x et par \mathrm{d}t :

    -\frac{\mathrm{d}j_Q}{\mathrm{d}x} + \sigma = 0

    Puisque le vecteur densité de courant thermique est unidimensionnel, \vec{j}_Q = j_Q(x)\,\vec{u}_x, on a \operatorname{div}\vec{j}_Q = \frac{\mathrm{d}j_Q}{\mathrm{d}x}. L'équation différentielle s'écrit sous forme scalaire ou vectorielle :

    \boxed{\frac{\mathrm{d}j_Q}{\mathrm{d}x} = \sigma \quad \iff \quad \operatorname{div}\vec{j}_Q = \sigma}

    Résultat

    $$\frac{\mathrm{d}{j}_Q}{\mathrm{d}x}=\sigma ⟺\mathrm{div}{\vec{j}}_Q=\sigma$$

    Indice, stratégie et pièges de cette question