Feuille d'entraînement : Diffusion thermique

Corrigés

1. Exercice 1Banque PT Physique A PT 2026, Q47

   La lenteur des phases de compression et de détente (qui durent plusieurs minutes d'après le cahier des charges) entraîne deux conséquences directes sur la transformation subie par le gaz :

   • Caractère quasi-statique : La vitesse de déplacement du piston est extrêmement faible devant la vitesse du son dans le gaz. Les ondes de pression s'équilibrent quasi-instantanément, si bien que le gaz passe par une succession continue d'états d'équilibre mécanique interne, avec une pression P(t) uniforme à chaque instant.

   • Caractère isotherme : La cuve est métallique (bon conducteur thermique) et se trouve en contact thermique direct avec l'atmosphère extérieure, qui se comporte comme un thermostat à la température constante T_0 = 20\ ^\circ\mathrm{C}. La durée des phases de compression et de détente (plusieurs minutes) est bien supérieure au temps caractéristique de diffusion thermique à travers la cuve. Les transferts thermiques ont donc le temps d'assurer en permanence l'équilibre thermique avec le milieu extérieur :

     T(t) = T_0 = \text{cte}

   En supposant de surcroît l'absence de frottements mécaniques lors du glissement du piston, l'évolution du gaz est une transformation isotherme et réversible à la température T_0.

   \boxed{\text{Les évolutions du gaz sont isothermes à la température constante } T_0 = 20\ ^\circ\mathrm{C} \text{ (et quasi-statiques).}}

   Par conséquent, pour le gaz parfait contenu dans la cuve, le produit de la pression par son volume vérifie la loi de Boyle-Mariotte : P\,V_{\text{gaz}} = \text{cte}.

   Résultat

   $$\text{Les eˊvolutions du gaz sont isothermes aˋ la tempeˊrature constante }{T}_0=20{}^{\circ }\mathrm{C}\text{ (et quasi-statiques).}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2Banque PT Physique B PT 2026, Q28

   Considérons le volume de contrôle fixe délimité par les sections droites aux abscisses x et x + \mathrm{d}x, traversé par un écoulement permanent de dioxygène liquide avec un débit massique D_m.

   Bilan enthalpique élémentaire : En régime permanent et en l'absence de parties mobiles (\mathcal{P}_u = 0) ainsi qu'en négligeant les variations d'énergies cinétique et potentielle, le premier principe en système ouvert s'écrit :

   \mathrm{d}\dot{H} = \delta \Phi

   où \mathrm{d}\dot{H} est le flux d'enthalpie algébriquement reçu par la tranche de fluide, soit :

   \mathrm{d}\dot{H} = D_m \, \mathrm{d}h = D_m \, c_{\text{dio}} \, \mathrm{d}\theta = D_m \, c_{\text{dio}} \, \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}x} \, \mathrm{d}x

   Flux thermique traversant la paroi : La résistance thermique d'une géométrie cylindrique (conduction radiale et convection externe) est inversement proportionnelle à la longueur du cylindre :

   R_{th}(L) \propto \frac{1}{L}

   Par conséquent, la résistance thermique élémentaire \mathrm{d}R_{th} associée à un tronçon de longueur \mathrm{d}x est reliée à la résistance équivalente totale R_{th-eq} de la conduite de longueur L par :

   \mathrm{d}R_{th} = R_{th-eq} \, \frac{L}{\mathrm{d}x}

   Le flux thermique élémentaire \delta\Phi entrant de l'extérieur (à la température \theta_e) vers le fluide (à la température \theta(x)) s'exprime alors par :

   \delta\Phi = \frac{\theta_e - \theta(x)}{\mathrm{d}R_{th}} = \frac{\theta_e - \theta(x)}{R_{th-eq} L} \, \mathrm{d}x

   Équation différentielle : En égalant les deux expressions du flux :

   D_m \, c_{\text{dio}} \, \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}x} \, \mathrm{d}x = \frac{\theta_e - \theta(x)}{R_{th-eq} L} \, \mathrm{d}x

   Ce qui donne l'équation différentielle vérifiée par \theta(x) :

   \boxed{\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}x} + \frac{\theta(x) - \theta_e}{D_m \, c_{\text{dio}} \, R_{th-eq} \, L} = 0}

   ou, sous forme équivalente :

   D_m \, c_{\text{dio}} \, R_{th-eq} \, L \, \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}x} + \theta(x) = \theta_e

   Résultat

   $$\frac{\mathrm{d}\theta }{\mathrm{d}x}+\frac{\theta (x)-{\theta }_e}{D_m{c}_{\text{dio}}{R}_{th-eq}L}=0$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3Banque PT Physique A PT 2025, Q1

   La loi phénoménologique de Fourier relie le vecteur densité de courant thermique \vec{\jmath} au gradient du champ scalaire de température T au sein du matériau conducteur :

   \boxed{\vec{\jmath} = -\lambda \, \vec{\mathrm{grad}}\, T}

   où \lambda > 0 désigne la conductivité thermique du milieu (exprimée en \mathrm{W\cdot m^{-1}\cdot K^{-1}}).

   Justification du signe « - » :

   • Par définition mathématique, le vecteur gradient \vec{\mathrm{grad}}\, T pointe vers les zones de température croissante (les zones les plus chaudes).
   • Conformément au second principe de la thermodynamique, le transfert thermique s'effectue spontanément des régions les plus chaudes vers les régions les plus froides (sens des températures décroissantes).

   Le signe « - » assure ainsi que le vecteur densité de courant thermique \vec{\jmath} est orienté dans le sens opposé au gradient de température, c'est-à-dire dans le sens réel de propagation de l'énergie thermique.

   Résultat

   $$\vec{ȷ}=-\lambda \overrightarrow{\mathrm{grad}}T$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4Banque PT Physique A PT 2025, Q2

   Considérons le système fermé constitué par la tranche d'isolant comprise entre les plans d'abscisses x et x + \mathrm{d}x, de surface S, pendant l'intervalle de temps \mathrm{d}t.

   Son volume élémentaire est \mathrm{d}V = S \, \mathrm{d}x et sa masse est :

   \mathrm{d}m = \rho \, S \, \mathrm{d}x

   Le matériau étant au repos, indéformable et sans travail mécanique reçu (\delta W = 0), le premier principe de la thermodynamique appliqué à cette tranche entre les instants t et t + \mathrm{d}t s'écrit :

   \mathrm{d}U = \delta Q

   Pour cette phase condensée de capacité thermique massique c, la variation d'énergie interne s'exprime par :

   \mathrm{d}U = \mathrm{d}m \, c \, [T(x, t + \mathrm{d}t) - T(x, t)] = \rho \, c \, S \, \mathrm{d}x \, \frac{\partial T}{\partial t} \, \mathrm{d}t

   Le transfert thermique \delta Q reçu par la tranche provient exclusivement de la conduction à travers les deux faces d'aire S situées en x et x + \mathrm{d}x :

   \delta Q = \left[ \Phi(x, t) - \Phi(x + \mathrm{d}x, t) \right] \mathrm{d}t

   où \Phi(x, t) = j(x, t) \, S désigne le flux thermique orienté selon \vec{u}_x. Au premier ordre en \mathrm{d}x, on a :

   \Phi(x + \mathrm{d}x, t) = \Phi(x, t) + \frac{\partial \Phi}{\partial x} \, \mathrm{d}x \implies \delta Q = - \frac{\partial j}{\partial x} \, S \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}t

   En égalant les deux expressions de \mathrm{d}U = \delta Q et en simplifiant par S \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}t, on obtient l'équation locale de conservation de l'énergie (en l'absence de source interne de chaleur) :

   \rho \, c \, \frac{\partial T}{\partial t} = - \frac{\partial j}{\partial x}

   D'après la loi de Fourier unidimensionnelle rappelée à la question Q1, j(x, t) = -\lambda \, \frac{\partial T}{\partial x}. La conductivité thermique \lambda étant supposée constante et uniforme dans le matériau, il vient :

   \frac{\partial j}{\partial x} = -\lambda \, \frac{\partial^2 T}{\partial x^2}

   En réinjectant cette expression, on obtient finalement l'équation de la diffusion thermique :

   \boxed{\frac{\partial T}{\partial t} = \frac{\lambda}{\rho \, c} \, \frac{\partial^2 T}{\partial x^2}}

   ou encore \dfrac{\partial T}{\partial t} = D \, \dfrac{\partial^2 T}{\partial x^2}, où D = \dfrac{\lambda}{\rho \, c} est la diffusivité thermique du milieu.

   Résultat

   $$\frac{\partial T}{\partial t}=\frac{\lambda }{\rho c}\frac{{\partial }^{2}T}{\partial x^2}$$

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5. Exercice 5Banque PT Physique A PT 2025, Q3

   Par analogie avec la loi d'Ohm électrique, la résistance thermique R_{\mathrm{th}} d'une paroi plane séparant deux surfaces isothermes à des températures T(0) et T(d) est définie par le rapport de la différence de température entre ses faces au flux thermique \Phi qui la traverse (orienté de la face à x=0 vers la face à x=d) :

   R_{\mathrm{th}} = \frac{T(0) - T(d)}{\Phi}

   En régime stationnaire (\partial / \partial t = 0), l'équation de la diffusion thermique établie à la question Q2 devient :

   \frac{\mathrm{d}^2 T}{\mathrm{d}x^2}(x) = 0

   La dérivée spatiale de la température est donc uniforme dans l'épaisseur de la couche :

   \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x} = \frac{T(d) - T(0)}{d} = \text{cte}

   Le flux thermique \Phi traversant la surface plane d'aire S orientée selon \vec{u}_x s'exprime grâce à la loi de Fourier (Q1) :

   \begin{aligned} \Phi &= \iint_S \vec{\jmath} \cdot \vec{u}_x \, \mathrm{d}S = j(x) \, S \\ \Phi &= -\lambda S \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x} = \frac{\lambda S}{d} \left[T(0) - T(d)\right] \end{aligned}

   En identifiant avec la définition de la résistance thermique, on obtient :

   \boxed{R_{\mathrm{th}} = \frac{d}{\lambda S}}

   Résultat

   $$R_{\mathrm{th}}=\frac{d}{\lambda S}$$

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6. Exercice 6Banque PT Physique A PT 2023, Q7

   La loi de Fourier régit le transfert thermique par conduction au sein de la matière. Elle s'écrit sous forme locale et vectorielle :

   \boxed{\vec{\jmath}_{\mathrm{th}} = -\lambda \, \vec{\operatorname{grad}} T}

   où :

   • \vec{\jmath}_{\mathrm{th}} (noté également \vec{\jmath}_Q) est le vecteur densité volumique de courant thermique (ou densité de flux thermique), exprimé en \mathrm{W \cdot m^{-2}}. Sa signification physique est la puissance thermique transitant par conduction à travers une unité de surface orientée : la puissance élémentaire traversant une surface \mathrm{d}\vec{S} s'écrit \delta\phi = \vec{\jmath}_{\mathrm{th}} \cdot \mathrm{d}\vec{S}.
   • \lambda est la conductivité thermique du milieu conducteur, exprimée en \mathrm{W \cdot m^{-1} \cdot K^{-1}}. C'est un paramètre caractéristique du matériau qui quantifie sa capacité à conduire la chaleur.
   • T est le champ scalaire de température, exprimé en kelvins (\mathrm{K}).
   • \vec{\operatorname{grad}} T est le gradient de température, exprimé en \mathrm{K \cdot m^{-1}}, qui indique la direction et le sens de la plus forte augmentation spatiale de la température.

   Résultat

   $${\vec{ȷ}}_{\mathrm{th}}=-\lambda \overrightarrow{\mathrm{grad}}T$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

7. Exercice 7Banque PT Physique A PT 2023, Q10

   Par analogie avec la loi d'Ohm en électrocinétique (U = R_{\text{élec}} I), la résistance thermique R_{\text{th}} d'un élément conducteur reliant une zone à la température T_0 à une zone à la température T_1 est définie par le rapport de l'écart de température sur la puissance thermique \phi qui le traverse de la borne amont vers la borne aval :

   R_{\text{th}} = \frac{T_0 - T_1}{\phi}

   D'après l'expression du flux thermique obtenue à la question Q9, \phi = \frac{\lambda S}{L}(T_0 - T_1), on en déduit l'expression de la résistance thermique en fonction des caractéristiques géométriques et thermophysiques de la barre :

   \boxed{R_{\text{th}} = \frac{L}{\lambda S}}

   Elle s'exprime en kelvins par watt (\mathrm{K\cdot W^{-1}}).

   Résultat

   $$R_{\text{th}}=\frac{L}{\lambda S}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

8. Exercice 8Banque PT Physique A PT 2023, Q11

   Par définition, la résistance thermique \mathcal{R} d'une paroi cylindrique traversée par un flux thermique \phi orienté de l'intérieur (r = R_{\min}) vers l'extérieur (r = R_{\max}) s'écrit :

   \mathcal{R} = \frac{T_{R\min} - T_{R\max}}{\phi}

   Une résistance thermique étant une grandeur intrinsèquement positive, l'expression du flux donnée dans l'énoncé conduit directement à :

   \boxed{\mathcal{R} = \frac{\ln\left(\frac{R_{\max}}{R_{\min}}\right)}{2\pi\lambda l}}

   Application numérique : Pour une longueur de tuyau l = 1\text{ m} :

   • \frac{R_{\max}}{R_{\min}} = \frac{40\text{ cm}}{30\text{ cm}} = \frac{4}{3}
   • \ln\left(\frac{4}{3}\right) \approx 0{,}3
   • \lambda = 1\text{ W}\cdot\text{m}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}

   \begin{aligned} \mathcal{R} &= \frac{0{,}3}{2\pi \times 1 \times 1} \approx \frac{0{,}3}{6{,}28} \approx 4{,}8 \times 10^{-2}\text{ K}\cdot\text{W}^{-1} \end{aligned}

   En retenant deux chiffres significatifs cohérents avec la donnée \ln(4/3) \sim 0{,}3 :

   \boxed{\mathcal{R} \approx 4{,}8 \times 10^{-2}\text{ K}\cdot\text{W}^{-1}} \quad (\text{ou } \mathcal{R} \approx 0{,}05\text{ K}\cdot\text{W}^{-1} \text{ avec } \pi \approx 3)

   Résultat

   $$\mathcal{R}=\frac{\ln \left(\frac{R_{\max }}{R_{\min }}\right)}{2\pi \lambda l}$$

   $$\mathcal{R}\approx 4,8\times 10^{-2}\text{ K}\cdot {\text{W}}^{-1}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

9. Exercice 9Banque PT Physique A PT 2022, Q42

   L'équation de diffusion thermique unidimensionnelle dans la couche de glace s'écrit :

   \lambda \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} = \mu c_g \frac{\partial T}{\partial t}

   Dans le cadre de l'approximation des régimes quasi-stationnaires (ARQS thermique), la température évolue suffisamment lentement dans le temps pour que le terme d'accumulation soit négligeable devant le terme de conduction spatiale à chaque instant t :

   \frac{\partial T}{\partial t} \simeq 0 \quad \Longrightarrow \quad \frac{\mathrm{d}^2 T}{\mathrm{d}x^2} = 0

   Par double intégration par rapport à la variable spatiale x, le profil de température est une fonction affine :

   T(x) = a\,x + b

   Les conditions aux limites aux interfaces s'écrivent :

   • En surface (interface glace-air, x = 0) : T(0) = T_0, d'où :

     b = T_0

   • Au fond de la couche de glace (interface glace-eau, x = \ell) : T(\ell) = T_e, d'où :

     a\,\ell + b = T_e \quad \Longrightarrow \quad a = \frac{T_e - T_0}{\ell}

   On obtient ainsi :

   \boxed{a = \frac{T_e - T_0}{\ell} \quad \text{et} \quad b = T_0}

   soit l'expression complète :

   T(x) = \frac{T_e - T_0}{\ell}x + T_0

   Résultat

   $$a=\frac{T_e-T_0}{\ell }\text{et}b=T_0$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

10. Exercice 10Banque PT Physique B PT 2021, Q24

    La loi phénoménologique de Fourier relie le vecteur densité de flux thermique (ou vecteur densité de courant thermique) \vec{\jmath}_{\mathrm{th}} au gradient local de température T au sein du matériau :

    \boxed{\vec{\jmath}_{\mathrm{th}} = -\lambda_i\,\vec{\mathrm{grad}}(T)}

    où :

    • \vec{\jmath}_{\mathrm{th}} est le vecteur densité de flux thermique, exprimé en \mathrm{W}\cdot\mathrm{m}^{-2} ;
    • \lambda_i est la conductivité thermique du matériau, exprimée en \mathrm{W}\cdot\mathrm{m}^{-1}\cdot\mathrm{K}^{-1} ;
    • \vec{\mathrm{grad}}(T) est le gradient de température au point considéré, exprimé en \mathrm{K}\cdot\mathrm{m}^{-1}.

    Résultat

    $${\vec{ȷ}}_{\mathrm{th}}=-{\lambda }_i\overrightarrow{\mathrm{grad}}(T)$$

    Indice, stratégie et pièges de cette question