Corrigé détaillé Polytechnique Physique A PC 2021

D'après le diagramme simplifié des niveaux d'énergie du laser Nd:YAG (figure 1), la transition radiative correspondant à l'émission stimulée a lieu entre le niveau métastable d'énergie E_2 = 1{,}45\text{ eV} et le niveau inférieur d'énergie E_1 = 0{,}2\text{ eV}.

L'énergie E_{\text{ph}} du photon émis vaut donc :

Avec la charge élémentaire e = 1{,}60 \times 10^{-19}\text{ C}, on obtient en joules :

D'après la relation de Planck-Einstein, la longueur d'onde dans le vide \lambda_0 associée à cette émission s'écrit :

En utilisant la valeur approchée fournie pour la constante de Planck h \simeq \frac{20}{3} \times 10^{-34}\text{ J}\cdot\text{s} et c = 3{,}0 \times 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} :

Cette longueur d'onde étant supérieure à la borne supérieure du spectre visible (\approx 750\text{--}800\text{ nm}), ce faisceau appartient au domaine du proche infrarouge (PIR).

Développons l'expression du champ électrique en sortie du cristal :

En utilisant les relations trigonométriques :

le champ électrique de sortie contient :

• une composante continue (rectification optique) ;
• des composantes aux pulsations doubles 2\omega_1 et 2\omega_2 (génération de seconde harmonique) ;
• des composantes aux pulsations somme \omega_1 + \omega_2 et différence |\omega_1 - \omega_2| (mélange à trois ondes).

Initialement, la seule onde disponible est l'onde issue du laser de pulsation fondamentale \omega_0 (associée à \lambda_0 = 1000\text{ nm} d'après la question 1).

• Génération de seconde harmonique (SHG) : en envoyant l'onde fondamentale (\omega_1 = \omega_2 = \omega_0), on obtient la pulsation 2\omega_0, ce qui correspond à la longueur d'onde :

  \lambda_2 = \frac{\lambda_0}{2} = 500\text{ nm}

• Génération de somme de fréquences (SFG) : en combinant l'onde fondamentale \omega_0 et l'onde de seconde harmonique 2\omega_0, on obtient la troisième harmonique 3\omega_0 = \omega_0 + 2\omega_0, soit :

  \lambda_3 = \frac{\lambda_0}{3} \simeq 333\text{ nm}

• Second doublage de fréquence : en doublant l'onde à 2\omega_0 (ou en combinant \omega_0 et 3\omega_0), on obtient la quatrième harmonique 4\omega_0, soit :

  \lambda_4 = \frac{\lambda_0}{4} = 250\text{ nm}

Par cascade de processus non linéaires, toutes les harmoniques d'ordre entier n \in \mathbb{N}^* sont théoriquement accessibles :

soit en pratique pour les premiers ordres :

D'après la figure 2, l'absorption des tissus biologiques est principalement régie par deux espèces :

• l'hémoglobine (\text{Hb}), dont l'absorbance est très élevée dans le domaine ultraviolet et visible (\lambda < 600\text{ nm}), mais chute de plusieurs ordres de grandeur au-delà de 600\text{--}700\text{ nm} ;
• l'eau (\text{H}_2\text{O}), dont l'absorbance est très faible en deçà de 1000\text{ nm}, mais augmente brutalement pour dépasser 10\text{ cm}^{-1} au-delà de 1200\text{--}1300\text{ nm}.

Il existe donc un creux d'absorption conjoint où les tissus sont particulièrement transparents, constituant la « fenêtre de transparence biologique » (située dans le proche infrarouge) :

(on admettra toute fourchette comprise entre environ 650\text{ nm} et 1300\text{ nm}).

Parmi les longueurs d'onde accessibles déterminées à la question Q2 :

• \lambda_4 = 250\text{ nm} et \lambda_3 \simeq 333\text{ nm} (proche UV) ainsi que \lambda_2 = 500\text{ nm} (visible) se situent dans la zone de forte absorption de l'hémoglobine (\text{absorbance} > 100\text{ cm}^{-1}), ce qui limiterait la pénétration du faisceau à une fraction de millimètre sous la peau ;
• \lambda_0 = 1000\text{ nm} tombe précisément dans le creux d'absorption, où l'eau et l'hémoglobine ont une absorbance minimale (inférieure à 1\text{ cm}^{-1}).

Pour réaliser une imagerie en profondeur, on choisira donc la radiation fondamentale du laser Nd:YAG :

1. Surface de la tache focale

Par diffraction à travers l'ouverture circulaire de diamètre D = 1\text{ mm} de l'objectif de focale f' = 1\text{ cm}, le faisceau converge en formant dans le plan focal une tache d'Airy dont le rayon au premier zéro d'intensité vaut :

En utilisant la longueur d'onde retenue \lambda_0 = 1{,}0\,\mu\text{m} = 1{,}0 \times 10^{-6}\text{ m} (question Q1) :

La surface de la tache focale est donc :

Numériquement :

Remarque : Une estimation sans le facteur 1{,}22 donne r_0 \simeq \frac{\lambda_0 f'}{D} = 10\,\mu\text{m}, conduisant à S \simeq \pi \times 10^{-10}\text{ m}^2 \simeq 3{,}1 \times 10^{-6}\text{ cm}^2.

2. Puissance crête maximale

L'énergie lumineuse reçue par seconde et par unité de surface correspond à l'éclairement moyen (ou flux surfacique moyen) :

La puissance moyenne maximale admissible au foyer est donc :

Pour un laser impulsionnel délivrant des impulsions rectangulaires d'énergie E_{\text{imp}} = P_{\text{crête}} \tau_p à la fréquence de répétition f_{\text{rep}}, la puissance moyenne s'écrit :

On en déduit l'expression de la puissance crête maximale :

Avec \tau_p = 5\text{ ns} = 5 \times 10^{-9}\text{ s} et f_{\text{rep}} = 1\text{ kHz} = 10^3\text{ Hz}, le rapport cyclique vaut \tau_p f_{\text{rep}} = 5 \times 10^{-6}.

Application numérique :

(Avec la convention r_0 = \lambda_0 f'/D, on obtiendrait P_{\text{crête, max}} \simeq 63\text{ W}.)

1. Formes de conversion de l'énergie optique absorbée

Lorsqu'un photon est absorbé par un système microscopique (atome, molécule, bande d'énergie ou plasmon d'une nanoparticule), celui-ci passe dans un état excité. L'énergie absorbée peut ensuite être convertie sous différentes formes :

• Énergie thermique (chaleur) : par désexcitation non radiative (relaxation vibrationnelle, conversion interne, diffusion électron-phonon). L'agitation microscopique se traduit par une élévation locale de la température du milieu (phénomène au cœ ur de l'effet photoacoustique) ;
• Énergie radiative (lumière) : par réémission spontanée d'un photon d'énergie généralement inférieure (déplacement de Stokes) lors d'un processus de photoluminescence (fluorescence ou phosphorescence) ;
• Énergie chimique : par rupture de liaisons, isomérisation moléculaire ou transfert d'électrons lors de réactions photochimiques (ex. : photosynthèse, photo-isomérisation du rétinal pour la vision, thérapie photodynamique) ;
• Énergie mécanique : par dilatation thermoélastique rapide induisant une onde acoustique de surpression, ou via l'onde de choc lors d'une photo-ablation laser ;
• Énergie électrique : par génération de paires électron-trou et séparation de charge (effet photovoltaïque) ou par photo-ionisation (effet photoélectrique externe).

2. Principaux phénomènes d'interaction lumière-matière

On distingue classiquement plusieurs grands mécanismes d'interaction :

1. L'absorption résonante : un photon incident d'énergie h\nu \simeq \Delta E fait passer le système d'un niveau d'énergie fondamental ou de basse énergie vers un niveau excité. Exemples : absorption par les liaisons hème de l'hémoglobine dans les tissus, ou excitation résonante des plasmons de surface dans les nanoparticules d'or.

2. L'émission de photons :

   • Émission stimulée : un photon incident induit la désexcitation d'un état excité en émettant un second photon strictement identique (même fréquence, phase, polarisation et direction). C'est le principe fondamental de l'amplification laser (comme pour le Nd:YAG étudié en partie I).
   • Émission spontanée (luminescence) : désexcitation radiative sans champ excitateur, rapide (\sim \text{ns}) en fluorescence ou différée par changement d'état de spin en phosphorescence (ex. : marqueurs fluorescents en imagerie biomédicale).

3. La diffusion de la lumière :

   • Diffusion élastique (sans changement de fréquence) : diffusion de Rayleigh pour des diffuseurs de taille très inférieure à la longueur d'onde (ex. : couleur bleue du ciel), ou diffusion de Mie pour des particules de taille comparable ou supérieure à \lambda (ex. : globules rouges, organites cellulaires dans les tissus, gouttelettes de brouillard).
   • Diffusion inélastique (avec transfert d'énergie) : diffusion Raman, où le photon diffusé échange un quantum d'énergie vibrationnelle avec la matière (décalages Stokes et anti-Stokes utilisés en spectroscopie structurale).
4. L'effet photoacoustique (génération thermoélastique) : lorsqu'une impulsion lumineuse brève est absorbée, l'échauffement quasi-instantané du milieu génère un gradient thermique et une contrainte mécanique thermoélastique, source d'une onde ultrasonore se propageant dans le milieu environnant.

1. Transparence de l'eau à la longueur d'onde d'émission

D'après le spectre d'absorption de la figure 2, le coefficient d'absorption de l'eau présente un minimum très marqué aux alentours de \lambda_0 = 1000\text{ nm} (absorbance inférieure à 1\text{ cm}^{-1}), à l'intérieur de la fenêtre de transparence biologique. L'énergie lumineuse laser n'est donc quasiment pas absorbée par l'eau, mais l'est en revanche très fortement par les nanoparticules d'or. Il est ainsi parfaitement légitime de considérer un terme source d'absorption nul dans l'eau (P_V = 0 pour r > a).

2. Équation de la diffusion thermique dans l'eau (r > a)

La géométrie du problème présentant une symétrie sphérique, la température ne dépend que de la distance radiale r et du temps t : T(r, t). Le vecteur densité de courant thermique s'écrit, d'après la loi de Fourier :

où \kappa est la conductivité thermique de l'eau.

On choisit comme système thermodynamique fermé la masse fixe d'eau contenue entre les instants t et t+\mathrm{d}t dans une coquille sphérique comprise entre les rayons r et r+\mathrm{d}r, de volume :

L'eau étant assimilée à une phase condensée incompressible et indilatable de masse volumique \rho et de capacité thermique massique c_p, la variation de son énergie interne (égale à la variation d'enthalpie) entre t et t+\mathrm{d}t s'écrit :

Pendant la durée \mathrm{d}t, ce système n'échange aucun travail et ne reçoit de la chaleur \delta Q que par conduction à travers ses frontières en r et r+\mathrm{d}r :

où le flux thermique sortant à travers une sphère de rayon r est :

On en déduit :

D'après le premier principe de la thermodynamique, \mathrm{d}U = \delta Q, soit :

En simplifiant par 4\pi r^2 \mathrm{d}r \mathrm{d}t, on obtient :

En introduisant le coefficient de diffusivité thermique de l'eau D = \frac{\kappa}{\rho c_p} et l'identité donnée dans le formulaire \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial T}{\partial r}\right) = \frac{1}{r}\frac{\partial^2(rT)}{\partial r^2}, l'équation de la diffusion s'écrit :

ou, sous la forme équivalente (en multipliant par la variable r indépendante de t) :

Considérons le système fermé constitué par la matière contenue dans une coquille sphérique comprise entre les rayons r et r + \mathrm{d}r (avec r + \mathrm{d}r \le a), de volume \mathrm{d}V = 4\pi r^2 \mathrm{d}r, pendant la durée \mathrm{d}t.

Appliquons le premier principe de la thermodynamique à cette coquille entre t et t+\mathrm{d}t :

• Variation d'énergie interne : pour un milieu condensé indilatable et incompressible de masse volumique \rho_g et de capacité thermique massique c_{p_g} :

  \mathrm{d}U = \rho_g c_{p_g} \frac{\partial T}{\partial t} \, \mathrm{d}V \, \mathrm{d}t = 4\pi r^2 \rho_g c_{p_g} \frac{\partial T}{\partial t} \, \mathrm{d}r \, \mathrm{d}t

• Transfert thermique par conduction : la loi de Fourier s'écrit \vec{j}_{\text{th}} = -\kappa_g \frac{\partial T}{\partial r}\vec{u}_r. Le flux thermique net entrant à travers les surfaces en r et r+\mathrm{d}r vaut :

  \begin{aligned} \delta Q_{\text{th}} &= \left[\Phi_{\text{th}}(r,t) - \Phi_{\text{th}}(r+\mathrm{d}r, t)\right]\mathrm{d}t = - \frac{\partial \Phi_{\text{th}}}{\partial r}\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}t \\ &= 4\pi \kappa_g \frac{\partial}{\partial r}\left(r^2 \frac{\partial T}{\partial r}\right)\mathrm{d}r\,\mathrm{d}t \end{aligned}

• Énergie absorbée issue de l'impulsion laser : avec une puissance volumique absorbée P_V(r,t) :

  \delta E_{\text{laser}} = P_V(r,t) \, \mathrm{d}V \, \mathrm{d}t = 4\pi r^2 P_V(r,t)\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}t

En rassemblant les termes et en divisant par 4\pi r^2 \mathrm{d}r \, \mathrm{d}t, on obtient :

D'après le formulaire fourni en fin d'énoncé, pour un champ à symétrie sphérique :

L'équation de diffusion thermique avec terme source au sein de la nanoparticule (r \le a) s'écrit donc :

ou encore, en introduisant la diffusivité thermique de l'or D_g = \frac{\kappa_g}{\rho_g c_{p_g}} :

L'équation de la diffusion thermique s'écrit de manière générique \frac{\partial T}{\partial t} = D_{\text{th}} \Delta T, où D_{\text{th}} = \frac{\kappa}{\rho c_p} est la diffusivité thermique du milieu. Par analyse dimensionnelle, sur une longueur caractéristique spatiale a, le temps caractéristique d'évolution de la température s'estime par :

1. Temps caractéristique dans la nanoparticule d'or \tau_g : La diffusivité thermique de l'or vaut :

On en déduit le temps caractéristique :

2. Temps caractéristique dans l'eau \tau_e à une distance a : Avec \rho \simeq 1000\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} pour l'eau, la diffusivité thermique du milieu environnant est :

Le temps caractéristique associé à une diffusion dans l'eau sur la distance a vaut :

3. Comparaison et discussion des échelles de temps : Avec la durée de l'impulsion laser \tau_p = 5\text{ ns}, on observe la hiérarchie stricte suivante :

• Conséquence de \tau_g \ll \tau_p : La diffusion thermique au sein de la nanoparticule est quasi instantanée à l'échelle de la durée du tir laser. Par conséquent, la température à l'intérieur de la nanoparticule d'or est homogénéisée en permanence et peut être considérée comme spatiellement uniforme : T(\vec{r}, t) \simeq T_g(t) pour r \le a.
• Conséquence de \tau_p \ll \tau_e : L'impulsion laser est beaucoup plus brève que le temps nécessaire à la chaleur pour diffuser dans l'eau sur une distance de l'ordre de grandeur de la taille de la nanoparticule. On se place en régime de confinement thermique : pendant l'impulsion lumineuse, les transferts thermiques vers le fluide environnant sont négligeables (confinés à une très fine couche interfaciale).

4. Scénario temporel de la température :

• Phase 1 : Échauffement (0 \le t \le \tau_p) : La nanoparticule absorbe l'énergie du faisceau laser. En raison du confinement thermique (\tau_p \ll \tau_e), le chauffage de la particule d'or est quasi adiabatique : sa température moyenne T_g(t) s'élève très rapidement et de façon quasi uniforme (\tau_g \ll \tau_p), pour atteindre un maximum à la fin de l'impulsion (t \sim \tau_p). L'eau environnante reste pour sa part quasi inchangée, hormis dans une pellicule nanométrique entourant la particule.
• Phase 2 : Relaxation et retour à l'équilibre (t > \tau_p) : Dès la fin de l'impulsion laser (P_V = 0), l'énergie thermique accumulée dans la nanoparticule diffuse lentement vers le fluide environnant sur une échelle de temps gouvernée par \tau_e \sim 80\text{ ns} (puis sur des temps plus longs pour des distances plus grandes). La température de la nanoparticule décroît tandis que l'eau s'échauffe localement au voisinage de r=a, avant une dispersion globale de la chaleur dans le milieu infini ramenant le système à la température d'équilibre T_0.

D'après la question Q7, l'équation locale de la chaleur au sein de la nanoparticule (r \le a) s'écrit :

où, par hypothèse de chauffage homogène, la puissance volumique absorbée ne dépend pas de l'espace : P_V(r,t) = P_V(t).

Intégrons cette équation sur le volume V = \frac{4}{3}\pi a^3 de la nanoparticule :

Examinons chacun des trois termes :

• Terme d'accumulation : Le volume V étant fixe, l'opérateur de dérivation temporelle commute avec l'intégrale spatiale :

  \iiint_V \frac{\partial T}{\partial t}\,\mathrm{d}V = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left(\iiint_V T(\vec{r},t)\,\mathrm{d}V\right) = V \frac{\mathrm{d}T_g}{\mathrm{d}t}

  en introduisant la température moyenne T_g(t) = \frac{1}{V}\iiint_V T(\vec{r},t)\,\mathrm{d}V.

• Terme de diffusion : Puisque \Delta T = \operatorname{div}(\vec{\nabla}T), le théorème de Green-Ostrogradski permet de transformer l'intégrale volumique en flux à travers la surface fermée S de la sphère de rayon a (orientée par la normale sortante \vec{n}_{\text{ext}} = \vec{u}_r) :

  \iiint_V \Delta T\,\mathrm{d}V = \iint_S \vec{\nabla}T \cdot \vec{u}_r\,\mathrm{d}S = \iint_S \left.\frac{\partial T}{\partial r}\right|_{r=a^-}\,\mathrm{d}S

  Par symétrie sphérique, \frac{\partial T}{\partial r} est uniforme sur la sphère de rayon a, d'où avec S = 4\pi a^2 :

  \iiint_V \Delta T\,\mathrm{d}V = 4\pi a^2 \left.\frac{\partial T}{\partial r}\right|_{r=a^-}

  Remarque : on retrouve ce résultat directement par intégration radiale :

  \int_0^a \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2 \frac{\partial T}{\partial r}\right) 4\pi r^2\,\mathrm{d}r = 4\pi \left[r^2 \frac{\partial T}{\partial r}\right]_0^a = 4\pi a^2 \left.\frac{\partial T}{\partial r}\right|_{r=a^-}

  le terme en r=0 s'annulant par régularité au centre (\frac{\partial T}{\partial r} \to 0 pour r \to 0).

• Terme source : L'absorption étant homogène sur la nanoparticule, P_V sort de l'intégrale :

  \iiint_V P_V(t)\,\mathrm{d}V = P_V(t) \iiint_V \mathrm{d}V = P_V(t)\,V

En rassemblant ces trois contributions :

En divisant par la capacité thermique totale \rho_g c_{p_g} V et en remarquant que \frac{4\pi a^2}{V} = \frac{4\pi a^2}{\frac{4}{3}\pi a^3} = \frac{3}{a}, on obtient :

1. Équation dans l'eau (r > a)

D'après le bilan thermique établi à la question Q6, en l'absence de terme source volumique dans l'eau, l'équation de la diffusion thermique s'écrit en coordonnées sphériques :

En multipliant les deux membres par r et en divisant par \rho c_p, on obtient directement :

où la diffusivité thermique de l'eau s'exprime par :

2. Équation pour la nanoparticule (r \le a)

D'après l'intégration spatiale réalisée à la question Q9, la température moyenne T_g(t) de la nanoparticule obéit à :

Cette équation s'identifie bien à la forme proposée :

avec les coefficients suivants :

3. Applications numériques indicatives

Avec les grandeurs fournies dans l'énoncé (et \rho = 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}) :

• D = \frac{0{,}5}{10^3 \times 4000} = 1{,}25 \times 10^{-7}\text{ m}^2\cdot\text{s}^{-1} ;
• \alpha_g = \frac{3 \times 300}{20\cdot 10^3 \times 120 \times 100\cdot 10^{-9}} = 3{,}75 \times 10^3\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} ;
• \beta_g = \frac{1}{20\cdot 10^3 \times 120} \simeq 4{,}17 \times 10^{-7}\text{ K}\cdot\text{m}^3\cdot\text{J}^{-1}.

D'après l'équation régissant la température moyenne T_g(t) obtenue à la question Q10 :

En négligeant le terme de transfert thermique conductif à l'interface (\alpha_g \left.\frac{\partial T}{\partial r}\right|_{r=a^-} \simeq 0), ce qui est justifié en régime de confinement thermique car \tau_p \ll \tau_e, l'équation différentielle se simplifie en :

Le terme source laser P_V(t) est modélisé par une impulsion gaussienne centrée en t = 0 de durée caractéristique \tau_p :

Par intégration temporelle à partir de la température initiale T_0 :

L'intégrale d'une gaussienne conduit à une fonction d'allure sigmoïdale (proportionnelle à la fonction d'erreur \mathrm{erf}) :

• pour t \ll -\tau_p, \Delta T_g(t) \to 0 ;
• pour t = 0, la pente \frac{\mathrm{d}T_g}{\mathrm{d}t} est maximale et \Delta T_g(0) = \frac{\Delta T_{g,\text{max}}}{2} (point d'inflexion) ;

• pour t \gg \tau_p, l'impulsion s'éteint et la température atteint un palier maximal :

  \Delta T_{g,\text{max}} = \frac{1}{\rho_g c_{p_g}} \int_{-\infty}^{+\infty} P_V(t)\,\mathrm{d}t = \frac{\mathcal{E}_V}{\rho_g c_{p_g}}

  où \mathcal{E}_V est l'énergie volumique totale déposée par l'impulsion.

L'échelle de temps caractéristique de cette élévation de température est la durée de l'impulsion laser :

1. Estimation de la longueur de diffusion thermique \ell_{\mathrm{th}} dans l'eau

La diffusion thermique dans l'eau est régie par la diffusivité thermique D = [\mathrm{L}^2\cdot\mathrm{T}^{-1}] établie à la question Q10. Juste après l'extinction de l'impulsion laser, le temps caractéristique écoulé est la durée de l'impulsion \tau_p. Par analyse dimensionnelle, la distance caractéristique sur laquelle la chaleur s'est propagée dans l'eau s'écrit :

Avec les valeurs numériques du problème :

On obtient :

2. Dépendance mathématique en r de la température

• Dans la nanoparticule (r \le a) :
  Puisque \tau_g \sim 80\text{ ps} \ll \tau_p = 5\text{ ns} (question Q8), la conduction au sein de l'or est extrêmement rapide devant la durée du dépôt d'énergie. La température y est donc quasi-uniforme :

  T(r) \approx T_g(t) = \text{constante} \quad (r \le a)

• Dans l'eau environnante (r > a) :
  La fonction u(r,t) = r\left(T(r,t) - T_0\right) vérifie l'équation de diffusion unidimensionnelle :

  \frac{\partial u}{\partial t} = D \frac{\partial^2 u}{\partial r^2} \quad \text{pour } r > a

  avec la condition aux limites en r = a imposée par la nanoparticule chaude (u(a,t) \approx a \Delta T_g) et u \to 0 pour r \to +\infty.
  La solution invariante d'échelle fait intervenir la fonction d'erreur complémentaire \mathrm{erfc} :

  u(r,t) = a \Delta T_g \operatorname{erfc}\left(\frac{r-a}{2\sqrt{Dt}}\right)

  ce qui donne pour le profil de température dans l'eau juste après l'impulsion (t \approx \tau_p) :

  \boxed{T(r) = T_0 + \Delta T_g\,\frac{a}{r}\operatorname{erfc}\left(\frac{r-a}{2\ell_{\mathrm{th}}}\right)} \quad (r > a)

  Comme \ell_{\mathrm{th}} \approx 25\text{ nm} < a = 100\text{ nm}, l'atténuation est dominée par la décroissance rapide de type gaussien/complémentaire sur la distance \ell_{\mathrm{th}} au voisinage de la surface, le facteur géométrique a/r variant peu sur cette échelle.

3. Allure de la courbe de température T(r)

Considérons un volume fixe \mathcal{V} de fluide délimité par une surface fermée \mathcal{S} orientée vers l'extérieur par le vecteur normal unitaire \vec{n}. Le bilan de masse s'écrit :

En appliquant le théorème de Green-Ostrogradsky au flux massique sortant, on obtient :

Ce résultat étant vrai pour tout volume \mathcal{V}, on en déduit l'équation locale de conservation de la masse :

Le fluide est initialement au repos avec une masse volumique d'équilibre \rho_0 uniforme et indépendante du temps (\frac{\partial \rho_0}{\partial t} = 0, \vec{\operatorname{grad}}\rho_0 = \vec{0}). En introduisant les champs perturbés \rho(\vec{r}, t) = \rho_0 + \rho_a(\vec{r}, t) et \vec{v}(\vec{r}, t) = \vec{v}_a(\vec{r}, t) :

Dans le cadre de l'hypothèse des petites perturbations acoustiques (|\rho_a| \ll \rho_0), le terme \operatorname{div}(\rho_a \vec{v}_a) est du second ordre par rapport aux grandeurs de perturbation et est négligé devant \rho_0 \operatorname{div}\vec{v}_a. L'équation de conservation de la masse linéarisée au premier ordre devient donc :

L'équation générale du mouvement d'un fluide visqueux est donnée par l'équation de Navier-Stokes :

Appliquons successivement les hypothèses et simplifications :

• Fluide parfait : la viscosité du fluide est négligée (\eta = 0), le terme de frottement visqueux \eta \Delta \vec{v} est donc nul. L'équation se réduit alors à l'équation d'Euler :

  \rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v}\cdot\vec{\operatorname{grad}})\vec{v} \right) = \vec{f}_{\text{ext}} - \vec{\operatorname{grad}} P
• Forces extérieures : les forces de pesanteur sont négligées conformément à l'énoncé, soit \vec{f}_{\text{ext}} = \vec{0}.

• Linéarisation (petites perturbations acoustiques) : on injecte les champs perturbés autour de l'état de référence au repos uniforme :

  \vec{v} = \vec{v}_a, \quad P = P_0 + p_a, \quad \rho = \rho_0 + \rho_a

  Le terme convectif (\vec{v}_a \cdot \vec{\operatorname{grad}})\vec{v}_a est d'ordre 2 en amplitude de perturbation ; il est donc négligeable devant l'accélération locale \frac{\partial \vec{v}_a}{\partial t} (d'ordre 1).

  De même, le produit \rho \frac{\partial \vec{v}_a}{\partial t} = (\rho_0 + \rho_a)\frac{\partial \vec{v}_a}{\partial t} = \rho_0 \frac{\partial \vec{v}_a}{\partial t} + \rho_a \frac{\partial \vec{v}_a}{\partial t} se simplifie en \rho_0 \frac{\partial \vec{v}_a}{\partial t} au premier ordre car \rho_a \frac{\partial \vec{v}_a}{\partial t} est du second ordre.

  Enfin, la pression d'équilibre P_0 étant spatio-temporellement constante et uniforme, \vec{\operatorname{grad}} P_0 = \vec{0}, d'où \vec{\operatorname{grad}} P = \vec{\operatorname{grad}} p_a.

On aboutit ainsi à l'équation d'Euler linéarisée de l'acoustique :

D'après l'équation de conservation de la masse linéarisée (question Q13) :

En dérivant cette relation par rapport au temps :

L'équation d'Euler linéarisée (question Q14) s'écrit :

En appliquant l'opérateur divergence à cette égalité et en utilisant l'identité \operatorname{div}(\vec{\operatorname{grad}} p_a) = \Delta p_a, il vient :

En injectant (2) dans (1), on obtient la relation liant la masse volumique et la pression :

L'équation d'état fournie s'écrit :

En dérivant deux fois par rapport au temps :

En reportant cette expression dans (3), on aboutit à l'équation différentielle régissant la pression acoustique :

La source thermique étant modélisée comme ponctuelle et située à l'origine, le problème présente une invariance par rotation autour de celle-ci : le champ de surpression ne dépend que du rayon r et du temps t, soit p_a(\vec{r}, t) = p_a(r, t).

D'après le formulaire, le laplacien d'une fonction à symétrie sphérique s'écrit :

En dehors de la source ponctuelle (pour r > 0, où T_a ne varie plus), le second membre de l'équation établie à la question Q15 s'annule, ce qui conduit à :

La solution générale de cette équation de d'Alembert unidimensionnelle sur la fonction auxiliaire u(r,t) = r\,p_a(r,t) est la superposition d'une onde divergente et d'une onde convergente :

Par condition de causalité (rayonnement vers l'infini sans onde venant de l'infini), seule l'onde sphérique sortante existe (g = 0). On s'attend donc à :

Il s'agit d'une onde acoustique sphérique divergente (ou progressive sortante).

À grande distance de la source, l'amplitude de la surpression acoustique présente une décroissance inversement proportionnelle à la distance :

1. Détermination de la fréquence f :

La figure 3 représente la variation temporelle de la pression acoustique à la surface de la nanoparticule. On observe un signal biphasique (une surpression suivie d'une dépression) :

• le maximum de surpression a lieu à t \approx -2{,}5\text{ ns} ;
• le minimum de dépression a lieu à t \approx +2{,}5\text{ ns}.

L'intervalle de temps entre ces deux extrema correspond à une demi-période T/2 \approx 5\text{ ns} = \tau_p, ce qui correspond à une période acoustique fondamentale :

La fréquence principale du signal acoustique émis est donc :

2. Détermination de la longueur d'onde \lambda :

L'onde acoustique se propage dans l'eau à la célérité c_0 = 1500\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} (donnée à la question 15). La longueur d'onde ultrasonore s'écrit :

3. Caractère ponctuel de la nanoparticule :

Le rayon de la nanoparticule d'or est a = 100\text{ nm} = 0{,}10\text{ µ m}. Comparons son rayon (ou son diamètre 2a = 0{,}20\text{ µ m}) à la longueur d'onde émise :

La taille de la source est bien plus petite que la longueur d'onde acoustique émise (a \ll \lambda) : les effets de diffraction intrinsèques à la structure de la source sont négligeables et l'émission est quasi-isotrope.

D'après la question Q16, l'onde acoustique divergente à symétrie sphérique en dehors de la zone source s'écrit sous la forme :

En identifiant cette solution à la surface de la nanoparticule (r = a) et au niveau du capteur situé à la distance d de celle-ci, il vient :

puisque a = 100\text{ nm} \ll d = 3\text{ cm}.

1. Retard de propagation (temps de vol) :

Avec d = 3\text{ cm} = 3\times 10^{-2}\text{ m} et c_0 = 1500\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} :

2. Atténuation d'amplitude : Le facteur d'atténuation géométrique vaut :

D'après la figure 3, l'amplitude de crête de la surpression à la surface de la nanoparticule est p_{\text{max}}(a) \simeq 3\text{ kPa}. L'amplitude de crête enregistrée par le capteur est donc :

3. Représentation graphique : Le signal reçu conserve la même forme temporelle bipolaire que sur la figure 3, avec une durée d'impulsion de l'ordre de 10\text{ à } 20\text{ ns}, mais il est retardé de \tau_d = 20\text{ µ s} et son amplitude est fortement atténuée ({\sim} 10\text{ mPa}).

La période séparant deux impulsions laser consécutives est donnée par :

En tomographie photoacoustique, l'onde lumineuse pénètre dans les tissus à la vitesse de la lumière (c/n \sim 2\times 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}), de sorte que le temps de propagation optique sur quelques centimètres (\sim 0{,}1\text{ ns}) est tout à fait négligeable devant les temps acoustiques. L'onde ultrasonore est ainsi générée quasi-instantanément à la profondeur z et n'effectue qu'un trajet simple de la nanoparticule vers le capteur à la célérité c_0.

Pour éviter toute ambiguïté de distance (le signal émis par une impulsion doit avoir été entièrement enregistré avant l'arrivée du signal induit par l'impulsion suivante), le retard acoustique doit vérifier :

La profondeur maximale théorique sans ambiguïté temporelle est donc :

Application numérique avec c_0 = 1500\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} et f_{\mathrm{rep}} = 1\text{ kHz} :

Commentaire :

• Cette profondeur de 1{,}5\text{ m} est considérable et bien supérieure à l'épaisseur typique des organes étudiés (par exemple quelques millimètres pour un cerveau de rat, quelques centimètres pour le corps humain).

• Dans la pratique, la profondeur de pénétration n'est absolument pas limitée par la cadence de tir du laser, mais par :

  1. l'atténuation optique (diffusion et absorption exponentielle du faisceau laser dans les tissus) ;
  2. l'atténuation acoustique, particulièrement sévère aux hautes fréquences ultrasonores (f \sim 100\text{ MHz}, où l'onde s'atténue sur quelques millimètres seulement).
• La cadence f_{\mathrm{rep}} = 1\text{ kHz} garantit une absence totale d'ambiguïté temporelle tout en autorisant une cadence d'acquisition rapide, propice à un moyennage efficace pour améliorer le rapport signal sur bruit.

L'impulsion laser se propage à la vitesse de la lumière c \approx 3 \times 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} : pour une profondeur de l'ordre de quelques centimètres, le temps de trajet optique est de l'ordre de 10^{-10}\text{ s} = 0{,}1\text{ ns}, ce qui est négligeable devant la durée de l'impulsion \tau_p = 5\text{ ns}. Les nanoparticules situées à des distances différentes r_1 et r_2 du capteur sont donc excitées de manière synchrone en t \approx 0.

Chaque nanoparticule émet alors une impulsion acoustique sphérique qui se propage à la célérité c_0 dans les tissus. Les temps d'arrivée respectifs au capteur sont :

Le décalage temporel entre les deux signaux enregistrés par le capteur vaut donc :

Pour que les deux signaux soient temporellement résolus (c'est-à-dire discernables sans recouvrement complet), l'intervalle \Delta t doit être au moins égal à la durée temporelle caractéristique de l'impulsion de pression générée, \tau_{\text{ac}}. D'après l'étude précédente et la figure 3, cette durée est directement imposée par la durée de l'impulsion laser \tau_p ou par la période ultrasonore T = 1/f \approx 10\text{ ns} (correspondant à \lambda = 15\text{ µ m}) :

Numériquement, avec c_0 = 1500\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} et \tau_p = 5\text{ ns} :

Si l'on adopte comme critère la durée totale du signal biphasique de la figure 3 (T \approx 10\text{ ns}, soit une longueur d'onde acoustique \lambda = c_0 T = 15\text{ µ m}), on obtient :

Paramètre principal limitant : Le paramètre principal à l'origine de cette limite de résolution axiale est la durée de l'impulsion laser \tau_p (ou la largeur de bande acoustique / la longueur d'onde \lambda = c_0 \tau_p associée). Une impulsion optique plus brève génère un signal acoustique plus court et riche en hautes fréquences, améliorant ainsi la résolution axiale.

Un capteur ponctuel placé à l'origine (0,0,0) enregistre un signal acoustique dont la date d'arrivée t est reliée à la distance r de la source par le temps de vol :

Ce temps de vol ne fournit donc qu'une unique information spatiale à une dimension : la distance radiale r.

Par conséquent :

• Indétermination angulaire : le capteur étant ponctuel, il est isotrope (sensibilité identique dans toutes les directions). Une impulsion reçue à l'instant t peut provenir de n'importe quel point situé sur la demi-sphère de rayon r = c_0 t dans le demi-espace z > 0. On ne dispose d'aucune information sur la direction (\theta, \varphi) d'incidence de l'onde.
• Superposition de sources : si plusieurs nanoparticules sont situées à la même distance r du capteur dans des directions différentes, leurs signaux arrivent simultanément et se superposent, rendant impossible leur séparation spatiale.

Pour reconstruire une image à deux ou trois dimensions, il est indispensable de lever cette dégénérescence spatiale en disposant d'une résolution transverse, obtenue par exemple par un capteur focalisé (question suivante), un réseau de transducteurs ou un balayage spatial du capteur.

Par analogie avec un miroir sphérique convergent ou une lentille mince en optique, le capteur concave de diamètre d'ouverture D et de distance focale F concentre les ondes ultrasonores émises au foyer ou, réciproquement, diffracte avec un demi-angle au premier minimum donné par la relation d'Airy :

D'après le critère de résolution de Rayleigh, deux sources ponctuelles situées dans le plan focal à distance F peuvent être distinguées si le centre de la tache de diffraction de l'une coïncide avec le premier zéro de diffraction de l'autre. Le pouvoir de résolution spatiale latérale (séparation transversale minimale résolue) \delta x_{\min} s'écrit alors :

D'après la question Q17, pour la fréquence principale f \simeq 100\text{ MHz}, la longueur d'onde ultrasonore vaut \lambda = 15\text{ µ m}. Avec D = 1\text{ cm} et F = 3\text{ cm} :

Le réseau unidimensionnel comporte N capteurs régulièrement espacés selon l'axe (Ox) entre les abscisses -D/2 et +D/2. L'élément d'indice i \in \{1, \dots, N\} est donc localisé au point de coordonnées :

La nanoparticule source étant située en S(0, 0, F), la distance d_i entre la source et le capteur i s'écrit :

L'onde acoustique sphérique émise par la nanoparticule à un instant pris comme origine (t=0) atteint le capteur i à l'instant :

Le front d'onde atteint en premier le capteur central (x_i \approx 0) à l'instant minimal t_{\min} = \frac{F}{c_0}, et en dernier les capteurs situés aux extrémités (x = \pm D/2) à l'instant maximal :

Pour synchroniser causalement l'ensemble des signaux reçus (c'est-à-dire les aligner sur l'instant de réception le plus tardif t_{\max} par des lignes à retard positives), le délai \tau_i \ge 0 à appliquer au signal reçu par l'élément i est :

Remarque : En traitement d'antenne numérique (« delay-and-sum »), on définit souvent le décalage temporel relatif par rapport au centre : \delta t_i = t_i - t_{\min} = \frac{\sqrt{x_i^2 + F^2} - F}{c_0}.

La différence entre le plus long délai (appliqué au centre où le signal arrive le plus tôt) et le plus faible délai (nul, aux extrémités x = \pm D/2) s'écrit :

Comme D = 1\text{ cm} \ll F = 3\text{ cm}, on peut effectuer un développement limité au premier ordre non nul en (D/2F)^2 :

On obtient ainsi l'expression approchée :

Application numérique : Avec D = 1{,}0 \times 10^{-2}\text{ m}, F = 3{,}0 \times 10^{-2}\text{ m} et c_0 = 1500\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} :

Soit :

Considérons le milieu de propagation (tissus assimilés à de l'eau) au repos dans le référentiel du laboratoire, dans lequel la sonde est également fixe. La nanoparticule se déplace avec le flux sanguin à la vitesse \vec{v} et se comporte comme une source ponctuelle émettant une onde acoustique de période propre T = \frac{1}{f}.

Notons \vec{u} le vecteur unitaire orienté de la nanoparticule (source) vers la sonde (récepteur).

• À l'instant t_1 = 0, la nanoparticule est à la position \vec{r}_1, à une distance d_1 de la sonde. Le premier front d'onde est émis et parvient à la sonde à l'instant :

  t'_1 = \frac{d_1}{c_0}

• À l'instant t_2 = T, la nanoparticule a avancé de \Delta\vec{r} = \vec{v}\,T et se trouve à la distance d_2 \approx d_1 - (\vec{v}\cdot\vec{u})\,T de la sonde (en assimilant les fronts d'onde à des ondes planes à l'échelle de la longueur d'onde car la distance est très grande devant \lambda). Le second front d'onde est émis et parvient à la sonde à l'instant :

  t'_2 = T + \frac{d_2}{c_0} \approx T + \frac{d_1}{c_0} - \frac{\vec{v}\cdot\vec{u}}{c_0}\,T

La période acoustique T' mesurée par la sonde est donc :

La fréquence reçue f' = \frac{1}{T'} s'écrit alors :

Puisque la vitesse du sang est très faible devant la célérité du son dans les tissus (v \ll c_0), un développement limité au premier ordre donne :

D'après le schéma de l'énoncé, la nanoparticule s'éloigne de la sonde avec une vitesse \vec{v} faisant un angle \pi - \alpha avec la direction de visée \vec{u}, soit \vec{v}\cdot\vec{u} = -v\cos\alpha (où v = \|\vec{v}\|). On obtient :

Le décalage fréquentiel \Delta f = f' - f s'en déduit immédiatement :

En valeur absolue, ou si l'écoulement s'effectue vers la sonde, on a :

L'inversion de la relation du décalage Doppler conduit à :

Avec les données de l'énoncé :

• c_0 = 1500\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} ;
• f = 100\text{ MHz} = 1{,}00 \times 10^8\text{ Hz} ;
• \alpha = 60^{\circ} \implies \cos\alpha = 0{,}50.

Le facteur de conversion est donc :

1. Cas de l'aorte :

Pour |\Delta f_{\mathrm{aorte}}| = 16\text{ kHz} = 1{,}6 \times 10^4\text{ Hz}, on obtient :

2. Cas du capillaire :

Pour |\Delta f_{\mathrm{cap}}| = 10\text{ Hz}, on obtient :

Le nombre de Reynolds Re est un nombre sans dimension qui quantifie le rapport entre les termes d'inertie (terme convectif \rho(\vec{v}\cdot\vec{\operatorname{grad}})\vec{v}) et les termes de viscosité (\eta \Delta \vec{v}) dans l'équation de Navier-Stokes. Pour un écoulement au sein d'une conduite cylindrique de diamètre D = 2R à la vitesse caractéristique v, il est défini par :

1. Écoulement dans l'aorte : Avec les valeurs numériques du problème :

• R_{\mathrm{aorte}} \approx 1\text{ cm} = 10^{-2}\text{ m}, soit D_{\mathrm{aorte}} = 2\times 10^{-2}\text{ m} ;
• v_{\mathrm{aorte}} \simeq 0{,}48\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} (d'après la question Q25) ;
• \rho = 1200\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} et \eta = 3\times 10^{-3}\text{ Pa}\cdot\text{s}.

2. Écoulement dans un capillaire : Avec :

• R_{\mathrm{cap}} \approx 10\text{ }\mu\text{m} = 10^{-5}\text{ m}, soit D_{\mathrm{cap}} = 2\times 10^{-5}\text{ m} ;
• v_{\mathrm{cap}} = 3{,}0\times 10^{-4}\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} (d'après la question Q25).

1. Forme du champ de vitesse

• Invariances et symétries : La géométrie du capillaire présente une symétrie de révolution autour de l'axe (Oz). En régime permanent, tous les champs sont indépendants de \theta et du temps t.

• Direction de l'écoulement : L'écoulement est supposé irrotationnel selon (Oz), soit (\vec{\operatorname{rot}}\vec{v})_z = \frac{1}{r}\frac{\partial(r v_\theta)}{\partial r} = 0, ce qui implique r v_\theta = \text{cste} = 0 (pour éviter une divergence en r=0), d'où v_\theta = 0. De plus, le capillaire étant de longueur L \gg R et ses parois étant imperméables (v_r(R) = 0), l'écoulement est établi et rectiligne le long de la conduite : v_r = 0. Le champ de vitesse est donc purement axial :

  \vec{v} = v_z(r,z)\,\vec{u}_z

• Incompressibilité : La conservation de la masse pour un fluide incompressible s'écrit \operatorname{div}\vec{v} = 0. D'après l'expression de la divergence en coordonnées cylindriques :

  \operatorname{div}\vec{v} = \frac{\partial v_z}{\partial z} = 0 \implies v_z = v_z(r)

  Le champ de vitesse se réduit ainsi à \vec{v}(r) = v_z(r)\,\vec{u}_z.

2. Équation de Navier-Stokes et uniformité de la pression dans une section droite

Le terme d'accélération convective s'annule identiquement :

En négligeant la pesanteur (\vec{f}_{\text{ext}} = \vec{0}) et en régime stationnaire (\partial \vec{v}/\partial t = \vec{0}), l'équation de Navier-Stokes fournie dans le formulaire se réduit à :

D'après le formulaire, pour \vec{v} = v_z(r)\,\vec{u}_z, le Laplacien vectoriel est purement axial :

La projection de l'équation de Navier-Stokes sur les trois axes cylindriques donne :

Les deux premières équations montrent que la pression ne dépend ni de r ni de \theta :

Le champ de pression est donc rigoureusement uniforme dans toute section droite (z = \text{cste}) du capillaire.

3. Profil axial de pression

La projection axiale s'écrit :

Le membre de gauche ne dépend que de z tandis que le membre de droite ne dépend que de r. Ils sont donc nécessairement égaux à une même constante :

La pression varie donc de manière affine avec l'abscisse z :

D'après la question Q27, l'écoulement est stationnaire, à lignes de courant parallèles à l'axe, de la forme :

Le terme convectif d'accélération est identiquement nul :

En projetant l'équation de Navier-Stokes sur \vec{u}_z, en l'absence de forces volumiques extérieures et en utilisant l'expression du Laplacien vectoriel fournie par le formulaire :

En posant la perte de charge \Delta P = P_e - P_s, le gradient axial de pression vaut \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}z} = -\frac{\Delta P}{L}. L'équation s'écrit alors :

Une première intégration par rapport à r donne :

Pour que le cisaillement visqueux (et la vitesse) reste fini sur l'axe du cylindre en r = 0, la constante d'intégration doit être nulle : C_1 = 0. Il vient :

Une seconde intégration conduit à :

La condition d'adhérence du fluide visqueux à la paroi fixe en r = R impose v_z(R) = 0, soit C_2 = \frac{\Delta P R^2}{4\eta L}. On obtient ainsi le profil de Poiseuille :

La vitesse moyenne \bar{v} du fluide à travers la section droite S = \pi R^2 est définie par :

Soit :

On en déduit :

avec v_{\max} = v_z(0) = \frac{(P_e - P_s)R^2}{4\eta L}.

D'après la question Q28, la vitesse moyenne de l'écoulement laminaire de Poiseuille dans une conduite cylindrique de rayon R = D/2 et de longueur L s'écrit :

où \Delta P = P_e - P_s désigne la perte de charge le long de la conduite. On en déduit l'expression de la perte de charge :

En introduisant cette relation dans la définition du facteur de friction de Darcy-Weisbach :

Le nombre de Reynolds associé au diamètre D étant Re = \frac{\rho \bar{v} D}{\eta} (défini à la question Q26), on obtient bien :

Application au capillaire : D'après la question Q26, Re_{\mathrm{cap}} \simeq 2{,}4 \times 10^{-3}. On a donc :

La perte de charge dans un capillaire de longueur L = 1\text{ cm} = 1{,}0 \times 10^{-2}\text{ m}, avec R_{\mathrm{cap}} = 10\ \mu\text{m} = 1{,}0 \times 10^{-5}\text{ m}, \eta = 3{,}0 \times 10^{-3}\text{ Pa}\cdot\text{s} et \bar{v}_{\mathrm{cap}} = 3{,}0 \times 10^{-4}\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}, vaut :

1. Hypothèse sur la nature de la conduite :

L'aorte est un vaisseau sanguin dont la paroi interne (l'endothélium vasculaire) est extrêmement lisse afin de limiter le cisaillement et l'adhésion plaquettaire. On fait donc l'hypothèse d'une conduite hydrauliquement lisse (rugosité relative négligeable : \varepsilon / D \approx 0, courbe « Tuyau lisse » sur le diagramme de Moody). De plus, on suppose l'écoulement moyenné et permanent, bien que le flux artériel réel soit pulsatile.

2. Détermination du facteur de friction :

D'après la question Q26, le nombre de Reynolds dans l'aorte vaut :

Ce nombre de Reynolds correspond à la zone de transition ou au tout début du régime turbulent. En suivant l'abscisse Re \approx 3{,}8 \times 10^3 \approx 4 \times 10^3 jusqu'à la courbe inférieure correspondant au tuyau lisse, on lit sur l'axe des ordonnées :

Remarque : La formule empirique de Blasius pour les tubes lisses en régime turbulent modéré donne en cohérence :

3. Calcul de la perte de charge dans l'aorte :

D'après la définition du coefficient de Darcy-Weisbach rappelée dans l'énoncé et sur la figure 4 :

Avec les données numériques suivantes :

• L_{\mathrm{aorte}} = 15\text{ cm} = 0{,}15\text{ m},
• D_{\mathrm{aorte}} = 2 R_{\mathrm{aorte}} = 2\text{ cm} = 0{,}02\text{ m}, d'où \dfrac{L_{\mathrm{aorte}}}{D_{\mathrm{aorte}}} = \frac{0{,}15}{0{,}02} = 7{,}5,
• \rho = 1200\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3},
• v_{\mathrm{aorte}} \simeq 0{,}48\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} (d'après Q25).

L'énergie cinétique par unité de volume s'élève à :

On en déduit la perte de charge :

Le débit volumique dans une conduite cylindrique de section droite S = \pi R^2 traversée à la vitesse moyenne \bar{v} s'écrit :

1. Résistance à l'écoulement d'un capillaire Pour le capillaire sanguin, avec R_{\mathrm{cap}} \approx 10\,\mu\text{m} = 10^{-5}\text{ m} et \bar{v}_{\mathrm{cap}} = 3{,}0 \times 10^{-4}\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} (d'après la question Q25) :

La perte de charge sur une longueur L_{\mathrm{cap}} = 1\text{ cm} vaut \Delta P_{\mathrm{cap}} \simeq 7{,}2 \times 10^2\text{ Pa} (question Q29). La résistance hydraulique d'un capillaire est donc :

2. Résistance à l'écoulement de l'aorte Pour l'aorte, avec R_{\mathrm{aorte}} \approx 1\text{ cm} = 10^{-2}\text{ m} et \bar{v}_{\mathrm{aorte}} \simeq 0{,}48\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} (question Q25) :

(ce qui correspond à un débit sanguin d'environ 9\text{ L}\cdot\text{min}^{-1}, tout à fait cohérent avec la physiologie cardiovasculaire). Avec la perte de charge sur L_{\mathrm{aorte}} = 15\text{ cm}, \Delta P_{\mathrm{aorte}} \simeq 41\text{ Pa} (question Q30), on en déduit :

3. Nombre de capillaires en parallèle Pour un réseau constitué de N capillaires identiques montés en parallèle, chaque capillaire est soumis à la même différence de pression \Delta P. Le débit total traversant le réseau est la somme des débits individuels :

La résistance hydraulique équivalente du réseau de capillaires vaut donc, par analogie directe avec les résistances électriques en parallèle :

On souhaite que \mathcal{R}_{\mathrm{eq}} = \mathcal{R}_{\mathrm{aorte}}, ce qui conduit à :

Numériquement :