Corrigé détaillé Centrale Physique-Chimie 2 PSI 2020

L'action aérodynamique exercée par l'écoulement d'air sur l'aile se décompose conventionnellement en :

• la force de traînée \vec{R}_x, parallèle à la vitesse du vent relatif \vec{v}_0, opposée au mouvement de l'avion dans l'air et donc dirigée selon l'axe (Ox) ;
• la force de portance \vec{R}_y, perpendiculaire au vent relatif et dirigée vers le haut selon l'axe (Oy).

La résultante aérodynamique \vec{R} est la somme vectorielle de ces deux composantes :

L'avion de masse m est étudié dans le référentiel terrestre supposé galiléen. En vol de croisière à vitesse constante \vec{v} :

• la pente est nulle, donc le vecteur vitesse \vec{v} est horizontal ;
• l'assiette est nulle, donc l'axe longitudinal du fuselage est horizontal et confondu avec la trajectoire.

Le vent relatif \vec{v}_0 est donc purement horizontal et opposé à la marche de l'avion.

L'avion est soumis à :

• son poids \vec{P} = m\vec{g}, vertical descendant ;
• la poussée totale des deux réacteurs \vec{F}, dirigée vers l'avant selon l'axe horizontal du fuselage ;

• la résultante aérodynamique totale \vec{R}_{\text{aéro}} = \vec{R}_x + \vec{R}_y, somme des contributions des deux ailes de surface individuelle S (soit une surface portante totale S_{\text{tot}} = 2S) :

  • la force de traînée totale \vec{R}_x, horizontale et opposée au mouvement (vers l'arrière), d'intensité R_x = 2 \times \left(\frac{1}{2}\rho S v^2 C_x\right) = \rho S v^2 C_x ;
  • la force de portance totale \vec{R}_y, verticale ascendante, d'intensité R_y = 2 \times \left(\frac{1}{2}\rho S v^2 C_y\right) = \rho S v^2 C_y.

Le centre de masse ayant une vitesse constante dans un référentiel galiléen, la première loi de Newton s'écrit :

En projetant sur la verticale ascendante, on obtient l'équation de sustentation :

soit, en posant S_{\text{tot}} = 2S :

En projetant sur l'horizontale orientée vers l'avant, on obtient l'équation de propulsion :

soit :

L'aéronef vole à pente nulle (trajectoire horizontale) et assiette nulle (axe longitudinal horizontal). Le vent relatif est donc parallèle à l'axe de l'avion. L'angle d'incidence \alpha entre la corde de l'aile et le vent relatif est alors égal à l'angle de calage de l'aile :

Par lecture graphique sur la figure 2 à \alpha = 3^\circ (ou d'après la polaire de la figure 6) :

La surface portante totale des deux ailes vaut :

D'après l'équation de sustentation établie à la question précédente :

On en déduit l'expression de la vitesse de croisière :

Application numérique :

D'après l'équation de propulsion et celle de sustentation :

Application numérique :

D'après la relation de Bernoulli appliquée le long d'une ligne de courant entre l'amont non perturbé (où la vitesse est v_0 et la pression P_0) et un point d'arrêt éventuel où la pression vaut la pression totale P_t, on a :

Le coefficient de pression K_p = \dfrac{P - P_0}{P_t - P_0} est donc directement proportionnel à l'écart de pression P - P_0 :

• K_p > 0 \iff P > P_0 (zone de surpression relative) ;
• K_p < 0 \iff P < P_0 (zone de dépression relative).

Sur la figure 4, pour un angle d'incidence non nul (\alpha = 2^\circ ou \alpha = 7^\circ), on constate que :

• sur l'extrados (trait continu), K_p prend des valeurs fortement négatives sur la quasi-totalité du profil, ce qui correspond à une dépression (P_{\text{ext}} < P_0) particulièrement marquée près du bord d'attaque ;
• sur l'intrados (pointillés), K_p est globalement positif, ce qui correspond à une surpression (P_{\text{int}} > P_0) ;
• sur l'ensemble de la corde, la courbe d'intrados est située au-dessus de celle de l'extrados :

La force élémentaire de pression exercée par l'air sur un élément de surface \mathrm{d}S est \mathrm{d}\vec{F}_P = -P\,\vec{n}_{\text{ext}}\,\mathrm{d}S, où \vec{n}_{\text{ext}} est la normale dirigée vers l'extérieur de l'aile :

• sur l'intrados (face inférieure), la force de pression pousse l'aile vers le haut (+y) ;
• sur l'extrados (face supérieure), la force de pression pousse l'aile vers le bas (-y).

Comme P_{\text{intrados}} > P_{\text{extrados}}, l'intégrale des actions de pression le long du profil donne une force nette dirigée vers le haut, c'est-à-dire dans le sens du vecteur \vec{e}_y. Cette force normale à la vitesse de l'écoulement incident constitue précisément la force de portance.

Deux arguments complémentaires permettent de justifier la nullité de la portance à incidence nulle :

1. À partir de la figure 4 et de la distribution de pression : Pour \alpha = 0^\circ, la courbe du coefficient de pression K_p de l'extrados est strictement confondue avec celle de l'intrados sur toute la longueur de la corde (0 \le x \le 1). On en déduit qu'en tout point de l'aile :

   P_{\text{extrados}}(x) = P_{\text{intrados}}(x)

   La force de portance, résultant de l'intégration de la différence de pression entre l'intrados et l'extrados le long du profil, est par conséquent nulle :

   \boxed{R_y = 0}
2. Par un argument de symétrie : L'énoncé précise que le profil de l'aile est symétrique par rapport à la corde. À incidence nulle (\alpha = 0^\circ), l'écoulement incident du fluide est dirigé parallèlement à cette corde, qui constitue alors un plan de symétrie à la fois pour la géométrie du profil et pour les conditions aux limites de l'écoulement. L'écoulement d'air et le champ de pression présentent donc cette même symétrie. La résultante des forces de pression ne peut avoir de composante orthogonale à ce plan de symétrie, ce qui impose R_y = 0 (soit C_y(0^\circ) = 0, conformément à la figure 2).

Pour un vol en palier horizontal à vitesse constante, la condition de sustentation établie à la question Q2 impose que la composante verticale de la résultante aérodynamique (la portance totale) compense exactement le poids de l'appareil :

où S_{\text{tot}} = 2S désigne la surface portante totale des deux ailes.

Pour une vitesse d'avancement v donnée, le coefficient de portance nécessaire au maintien du palier vaut ainsi :

Si la vitesse de l'avion diminue, le maintien de la sustentation nécessite donc une augmentation du coefficient C_y. Le pilote y parvient en augmentant l'assiette de l'appareil, ce qui accroît l'angle d'incidence \alpha.

Or, d'après la figure 2, le coefficient de portance C_y(\alpha) n'est pas indéfiniment croissant : il passe par un maximum noté C_{y,\max} avant de chuter brusquement.

La condition C_y \le C_{y,\max} impose donc une vitesse minimale de vol :

En-deçà de cette vitesse minimale v_{\min}, la portance aérodynamique maximale que l'aile peut développer reste inférieure au poids de l'avion : l'équilibre vertical est impossible et l'avion perd irrémédiablement de l'altitude. C'est le phénomène de décrochage.

Pour maintenir un vol en palier horizontal uniforme, la portance totale développée par les deux ailes doit compenser le poids de l'appareil. D'après l'équation de sustentation obtenue à la question Q2 :

où S_{\text{tot}} = 2S désigne la surface portante totale des deux ailes.

La vitesse de vol nécessaire au maintien de la sustentation s'exprime donc par :

La vitesse minimale v_{\min} correspond à la valeur maximale possible du coefficient de portance, notée C_{y,\max} :

D'après l'expression de la vitesse minimale établie à la question Q7 :

le vol à la vitesse v_{\min} est obtenu lorsque le coefficient de portance atteint sa valeur maximale C_y = C_{y,\max}.

Sur la courbe C_y(\alpha) de la figure 2 (ou de la figure 5 pour l'aile lisse), le maximum de portance C_{y,\max} \approx 1{,}6 est atteint pour un angle d'incidence d'environ :

D'après l'expression établie à la question Q7 et les valeurs identifiées à la question Q8 :

avec les grandeurs numériques fournies :

• masse de l'avion : m = 60\,000\text{ kg} ;
• intensité de la pesanteur : g = 9{,}8\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} ;
• masse volumique de l'air : \rho = 1{,}2\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} ;
• surface portante d'une aile : S = 12 \times 3 = 36\text{ m}^2 (soit S_{\text{tot}} = 72\text{ m}^2) ;
• coefficient maximal de portance : C_{y,\max} \approx 1{,}6.

L'application numérique donne :

Convertie en kilomètres par heure :

Lors de la phase d'atterrissage, l'avion doit impérativement réduire sa vitesse par rapport à celle du vol de croisière afin de limiter l'énergie cinétique à dissiper lors du freinage et de s'adapter à la longueur finie de la piste.

D'après l'équation de sustentation établie à la question Q2 :

Pour compenser le poids m g à vitesse v réduite, il est nécessaire d'augmenter le coefficient de portance C_y. Pour une aile donnée, cette augmentation s'obtient en augmentant l'angle d'incidence \alpha (en cabrant l'avion).

La vitesse de vol se rapproche alors dangereusement de la vitesse minimale de sustentation v_{\min} (calculée à environ 330\text{ km}\cdot\text{h}^{-1} en Q9, alors que la vitesse visée à l'atterrissage est de 250\text{ km}\cdot\text{h}^{-1}). Le risque est donc d'atteindre ou de dépasser l'incidence critique de décrochage \alpha \approx 15^\circ, ce qui provoquerait une perte brutale de portance à très basse altitude.

D'après la question Q9, la vitesse minimale de sustentation en configuration d'aile lisse est :

À une vitesse d'atterrissage imposée de 250\text{ km}\cdot\text{h}^{-1}, inférieure à cette vitesse de décrochage, l'aile lisse ne peut pas développer une portance suffisante pour équilibrer le poids de l'avion : l'appareil décrocherait inévitablement.

Pour assurer la sustentation à une vitesse réduite v = 250\text{ km}\cdot\text{h}^{-1} \approx 69\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}, la condition m g = \frac{1}{2}\rho S_{\text{tot}} v^2 C_y impose une augmentation substantielle du coefficient de portance maximal C_{y,\max} (d'un facteur (330/250)^2 \approx 1{,}7, soit C_y \ge 2{,}7). C'est le rôle des dispositifs hypersustentateurs présentés sur la figure 5 :

• Les volets de bord de fuite : en augmentant la cambrure du profil (ainsi que la surface portante S), ils déplacent la courbe C_y(\alpha) vers le haut. La valeur de C_{y,\max} est approximativement doublée, passant d'environ 1{,}6 à plus de 3{,}2. Cela abaisse la vitesse de décrochage v_{\min} en dessous de 250\text{ km}\cdot\text{h}^{-1} (ramenée autour de 230\text{ km}\cdot\text{h}^{-1}), rendant possible le vol stabilisé à cette allure.
• Les becs de bord d'attaque : ils guident et réaccélèrent l'écoulement sur l'extrados, ce qui retarde le décollement de la couche limite. Sur la figure 5, ils repoussent l'incidence de décrochage de \alpha \approx 14^\circ à plus de 20^\circ, tout en augmentant également la valeur de C_{y,\max}. Ils offrent ainsi une marge de sécurité accrue vis-à-vis du décrochage lors des manœuvres d'approche et d'arrondi.

En pratique, l'utilisation combinée des becs et des volets garantit à la fois une portance suffisante à basse vitesse (250\text{ km}\cdot\text{h}^{-1}) et un domaine d'incidences utilisable étendu en toute sécurité.

Soit un avion de masse m en vol plané rectiligne uniforme à la vitesse \vec{v} constante dans le référentiel terrestre supposé galiléen. La trajectoire forme un angle \theta > 0 sous l'horizontale (valeur absolue de la pente).

Les forces appliquées à l'avion sont :

• le poids \vec{P} = m\vec{g}, vertical descendant ;
• la force de traînée \vec{R}_x, opposée au vecteur vitesse \vec{v} (dans le sens du vent relatif \vec{v}_0 = -\vec{v}), d'intensité R_x = \frac{1}{2} \rho S_{\text{tot}} v^2 C_x ;
• la force de portance \vec{R}_y, perpendiculaire à la vitesse \vec{v} et dirigée vers le haut, d'intensité R_y = \frac{1}{2} \rho S_{\text{tot}} v^2 C_y ;
• la poussée des moteurs est nulle en vol plané (\vec{F} = \vec{0}).

Le mouvement étant rectiligne et uniforme, le principe fondamental de la dynamique s'écrit :

Projetons cette relation d'équilibre vectoriel :

• suivant la direction parallèle à la trajectoire (orientée dans le sens de \vec{v}) :

  m g \sin\theta - R_x = 0 \implies R_x = m g \sin\theta

• suivant la direction perpendiculaire à la trajectoire (orientée vers le haut) :

  R_y - m g \cos\theta = 0 \implies R_y = m g \cos\theta

En effectuant le rapport membre à membre :

Or, si l'avion parcourt une distance L le long de sa trajectoire, la distance horizontale franchie est x = L \cos\theta et la hauteur de chute correspondante est h = L \sin\theta. Par définition, la finesse f vaut :

Comme R_y = \frac{1}{2}\rho S_{\text{tot}} v^2 C_y et R_x = \frac{1}{2}\rho S_{\text{tot}} v^2 C_x, le rapport des intensités des forces aérodynamiques est simplement égal au rapport des coefficients aérodynamiques :

On en déduit immédiatement :

Sur la polaire de type Eiffel, chaque point M de la courbe a pour abscisse le coefficient de traînée C_x et pour ordonnée le coefficient de portance C_y.

D'après le résultat de la question Q12, la finesse s'écrit :

Ce rapport représente le coefficient directeur (la pente) de la droite reliant l'origine O(0,0) du repère au point M(C_x, C_y) de la polaire.

Par conséquent, la finesse maximale f_{\max} se traduit graphiquement par :

Le point de contact entre cette tangente et la courbe polaire détermine le point de fonctionnement optimal de l'aile (portance, traînée et angle d'incidence de finesse maximale).

D'après la question Q13, la finesse maximale f_{\max} correspond au coefficient directeur de la droite issue de l'origine (0,0) et tangente à la polaire d'Eiffel dans le demi-plan C_y > 0.

Sur la figure 6, la tangente issue de l'origine est en contact avec la courbe au point T de coordonnées :

(on observe notamment qu'en C_{x} = 2{,}5 \times 10^{-2}, C_{y} \approx 1{,}25).

La finesse maximale de l'aile vaut ainsi :

Compte tenu de l'incertitude sur la détermination graphique du point de tangence, on peut estimer :

(une valeur comprise entre 47 et 52 est parfaitement acceptable).

D'après l'énoncé et l'étude menée à la question Q12, la finesse f caractérise le rapport entre la distance horizontale parcourue D et la hauteur de perte d'altitude H au cours d'un vol plané non motorisé :

Pour maximiser la distance horizontale franchissable, le pilote doit adopter l'angle d'incidence correspondant à la finesse maximale de l'aile, soit f_{\max} déterminée à la question Q14 :

Application numérique : avec H = 1\,000\text{ m} = 1{,}0\text{ km} et la valeur f_{\max} \approx 50 obtenue à la question Q14, il vient :

La finesse aérodynamique globale d'un aéronef est définie par le rapport de la portance totale à la traînée totale :

Lorsqu'on passe de l'aile seule à l'avion complet (fuselage, nacelles des réacteurs, empennage horizontal, dérive verticale) :

• La portance globale R_y varie très peu : les ailes constituent la quasi-totalité de la surface portante de l'appareil (R_{y,\text{avion}} \approx R_{y,\text{ailes}}), les autres éléments (fuselage, réacteurs) ne générant qu'une portance négligeable, tandis que l'empennage horizontal fournit généralement une déportance modérée pour assurer l'équilibre longitudinal ;

• La traînée globale R_x augmente considérablement : chaque élément supplémentaire introduit de la traînée parasite (frottement visqueux de l'air sur les parois du fuselage et des nacelles, traînée de forme liée aux écoulements décollés, ainsi que la traînée d'interférence aux jonctions aile-fuselage et mât-réacteurs) :

  R_{x,\text{avion}} = R_{x,\text{ailes}} + R_{x,\text{parasite}}

Pour un avion de ligne moderne, la traînée parasite des éléments non porteurs est du même ordre de grandeur que la traînée propre des voilures (R_{x,\text{avion}} \approx 2\, R_{x,\text{ailes}}), d'où :

L'équation de combustion complète d'une mole de décane liquide s'écrit :

L'air contenant 20\,\% de \mathrm{O}_2 et 80\,\% de \mathrm{N}_2, chaque mole de dioxygène est accompagnée de n(\mathrm{N}_2) / n(\mathrm{O}_2) = 80/20 = 4\text{ moles} de diazote inerte. Pour une mole de décane, la quantité d'air juste suffisante apporte donc :

Modélisation retenue :

• La chambre de combustion est à pression constante (« chambre supposée isobare ») : la chaleur reçue par le système fermé constitué des réactifs est Q_p = \Delta H.
• L'élévation de température est maximale lorsque les pertes thermiques vers l'extérieur sont négligées : la transformation est modélisée comme adiabatique (Q_p = 0), conduisant à la température adiabatique de flamme.
• On suppose les capacités thermiques molaires indépendantes de la température et on néglige les phénomènes de dissociation thermique à haute température.

Par conservation de l'enthalpie (\Delta H = 0), on décompose la transformation en deux étapes fictives à partir de la température initiale T_0 = 298\text{ K} :

1. Réaction totale à T_0 : \Delta H_1 = 1\text{ mol} \times \Delta_r H^\circ(T_0) ;
2. Échauffement des produits gazeux (\mathrm{CO}_2, \mathrm{H}_2\mathrm{O} et \mathrm{N}_2) de T_0 à T_f : \Delta H_2 = C_{p,\text{prod}} \, (T_f - T_0) = C_{p,\text{prod}} \, \Delta T_{\max}.

Le bilan enthalpique donne :

D'après la loi de Hess :

La capacité thermique du mélange réactionnel final vaut :

On en déduit l'élévation maximale de température :

L'air est modélisé par un gaz parfait de coefficient isentropique \gamma constant. D'après le texte, les évolutions dans la soufflante, le compresseur, la turbine et les tuyères sont supposées adiabatiques et réversibles, donc isentropiques.

L'identité thermodynamique appliquée à l'entropie massique s d'un gaz parfait s'écrit :

avec r = c_p - c_v = c_p \left(1 - \frac{1}{\gamma}\right) = c_p \frac{\gamma - 1}{\gamma}.

Pour une transformation isentropique (\mathrm{d}s = 0), il vient :

Ce qui conduit à la loi de Laplace sous forme température-pression :

L'énoncé comportant une coquille dans l'énoncé de la question (« exprimer la pression P_j en fonction de T_i, P_j, P_i et \gamma »), on fournit les deux formes équivalentes :

• l'expression de la température finale T_j, directement utile aux questions suivantes :

  \boxed{T_j = T_i \left(\frac{P_j}{P_i}\right)^{\frac{\gamma - 1}{\gamma}}}

• l'expression de la pression P_j en fonction de T_i, T_j, P_i et \gamma :

  \boxed{P_j = P_i \left(\frac{T_j}{T_i}\right)^{\frac{\gamma}{\gamma - 1}}}

1. Températures T_2 et T_3 :

L'écoulement étant isentropique et l'énergie cinétique négligée dans la soufflante (1 \to 2) et dans le compresseur (2 \to 3), la loi établie en Q18 donne :

Applications numériques, avec T_1 = 288\text{ K}, \frac{\gamma-1}{\gamma} = \frac{0{,}4}{1{,}4} = \frac{2}{7}, \frac{P_2}{P_1} = 2 et \frac{P_3}{P_2} = 13 (soit \frac{P_3}{P_1} = 26) :

2. Température T_5 en sortie de turbine :

Les énergies cinétiques étant négligées, le travail massique utile reçu par le gaz s'écrit w_{i \to j} = C_{p\text{ mass}}(T_j - T_i). Les puissances échangées par les fluides avec les différents organes mobiles en régime stationnaire s'écrivent :

• Soufflante (traversée par le débit total D_m = D_{m1} + D_{m2} = D_{m1}(1 + \beta)) :

  \mathcal{P}_{\text{souff}} = D_m \, w_{1 \to 2} = D_{m1}(1 + \beta) C_{p\text{ mass}}(T_2 - T_1)

• Compresseur (traversé par le flux primaire D_{m1}) :

  \mathcal{P}_{\text{comp}} = D_{m1} \, w_{2 \to 3} = D_{m1} C_{p\text{ mass}}(T_3 - T_2)

• Turbine (traversée par le flux primaire D_{m1}) :

  \mathcal{P}_{\text{turb}} = D_{m1} \, w_{4 \to 5} = D_{m1} C_{p\text{ mass}}(T_5 - T_4) < 0

L'arbre étant supposé sans pertes mécaniques, le couplage mécanique impose \mathcal{P}_{\text{turb}} + \mathcal{P}_{\text{comp}} + \mathcal{P}_{\text{souff}} = 0, soit :

En simplifiant par D_{m1} C_{p\text{ mass}}, on obtient :

Application numérique avec T_4 = 1450\text{ K} et \beta = 5{,}7 :

3. Pression P_5 en sortie de turbine :

La détente 4 \to 5 dans la turbine est isentropique. La chambre de combustion étant isobare, P_4 = P_3 = 26\text{ bar}. D'après la relation isentropique :

Application numérique avec \frac{\gamma}{\gamma-1} = 3{,}5 et P_3 = 26\text{ bar} :

D'après l'énoncé, le travail massique utile échangé par le fluide entre les états 5 et 6 s'écrit :

La tuyère est un conduit fixe ne comportant aucune pièce mobile en mouvement, d'où w_{5\to 6} = 0. De plus, la vitesse du gaz en entrée est supposée nulle (c_5 = 0). On en déduit :

La détente 5 \to 6 étant adiabatique et réversible pour un gaz parfait, la relation isentropique établie en Q18 s'applique :

En injectant cette relation, on obtient l'expression littérale de la vitesse d'éjection :

Application numérique : Avec P_6 = 1\text{ bar}, P_5 \approx 1{,}56\text{ bar} et T_5 \approx 648\text{ K} (obtenus en Q19) :

Avec C_{p\,\text{mass}} = 1{,}0 \times 10^3\text{ J}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1} :

Le flux secondaire subit entre l'état 2 (sortie de la soufflante à la pression P_2 et à vitesse négligeable devant c_7, soit c_2 \approx 0) et l'état 7 (sortie de la tuyère secondaire à la pression P_7 = 1\text{ bar} = P_1) une détente adiabatique et réversible sans échange de travail utile avec l'extérieur (w_{2\to 7} = 0).

D'après le premier principe de la thermodynamique pour un écoulement stationnaire fourni par l'énoncé :

Comme c_2 \approx 0, la vitesse d'éjection s'écrit :

L'évolution étant isentropique pour l'air assimilé à un gaz parfait de rapport des capacités thermiques \gamma, la température T_7 vérifie la relation établie à la question Q18 :

Comme P_7 = P_1, et compte tenu de l'expression de T_2 = T_1 \left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{\frac{\gamma - 1}{\gamma}} obtenue à la question Q19, on constate que :

La détente isentropique ramène ainsi l'air à sa température initiale d'admission T_1 = 288\text{ K}.

En reportant cette relation, l'expression de la vitesse d'éjection du flux secondaire devient :

Application numérique : Avec C_{p\,\text{mass}} = 1{,}0 \times 10^3\text{ J}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}, T_1 = 288\text{ K} et T_2 \approx 351{,}1\text{ K} :

Soit, avec deux chiffres significatifs :

Considérons le turboréacteur fixé sur son banc d'essai au sol dans le référentiel terrestre supposé galiléen.

Pour le flux chaud (débit massique D_{m1}), choisissons une surface de contrôle fixe \Sigma_c délimitant un volume de contrôle \mathcal{V}_c qui englobe l'écoulement primaire depuis l'air ambiant au repos en amont (où la vitesse est nulle c_{\text{amont}} \approx 0 et la pression P_{\text{amont}} = P_1 = 1\text{ bar}) jusqu'au plan de sortie de la tuyère primaire (section S_6).

• En sortie de tuyère, le gaz est éjecté à la vitesse \vec{c}_6 = -c_6\,\vec{e}_x (l'axe (Ox) étant orienté vers l'avant de l'aéronef).
• La détente est complète dans la tuyère, la pression de sortie étant égale à la pression ambiante : P_6 = P_1 = 1\text{ bar}.

En régime stationnaire, le bilan de quantité de mouvement pour le système ouvert contenu dans \mathcal{V}_c (par exemple via la méthode du système fermé coïncident entre t et t+\mathrm{d}t) s'écrit :

soit, en divisant par \mathrm{d}t :

où \vec{R}_{\text{paroi}\to\text{fluide}} désigne la résultante des actions de contact exercées par les parois internes de la tuyère et du réacteur sur le fluide primaire.

La pression régnant tout autour de la surface de contrôle \Sigma_c (y compris sur la section de sortie S_6 où P_6 = P_1) étant uniforme et égale à la pression ambiante P_1, l'intégrale des forces de pression sur la surface fermée \Sigma_c est rigoureusement nulle :

Comme l'air est initialement au repos sur le banc fixe (\vec{c}_{\text{amont}} = \vec{0}), il vient :

D'après le principe des actions réciproques (troisième loi de Newton), la force de poussée \vec{F}_c exercée par le fluide chaud sur la tuyère et le moteur est dirigée vers l'avant :

Son intensité scalaire est donc :

Un raisonnement strictement identique appliqué au flux froid (débit massique D_{m2}, vitesse d'éjection \vec{c}_7 = -c_7\,\vec{e}_x, pression de sortie adaptée P_7 = P_1 = 1\text{ bar}) conduit à :

La poussée totale F délivrée par le turboréacteur est la somme des poussées exercées par le flux chaud (tuyère primaire) et par le flux froid (tuyère secondaire), établies à la question précédente Q22 :

Par définition du taux de dilution \beta = \frac{D_{m2}}{D_{m1}} et du débit massique total D_m = D_{m1} + D_{m2}, on a :

ce qui permet d'exprimer les deux débits massiques en fonction de D_m et \beta :

En injectant ces expressions dans celle de la poussée totale, on obtient :

Par définition, la poussée spécifique F_s est le rapport de la poussée totale F sur le débit massique total D_m :

D'après le résultat de la question Q23 :

On en déduit immédiatement l'expression littérale de F_s :

Application numérique : Avec les valeurs obtenues aux questions Q20 et Q21 :

• c_6 \approx 391\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} ;
• c_7 \approx 355\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} ;
• \beta = 5{,}7.

D'après les questions Q22 et Q23, la poussée totale F est la somme des poussées des flux chaud F_c et froid F_f :

La proportion de la poussée totale assurée par le flux chaud, notée \Pi_c, s'exprime donc par :

Avec les valeurs obtenues aux questions Q20 et Q21 :

• c_6 \approx 391\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} ;
• c_7 \approx 355\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} ;
• \beta = 5{,}7.

Par définition de la poussée spécifique F_s introduite à la question Q24, la poussée délivrée par le turboréacteur s'écrit :

Le débit massique total D_m traversant la soufflante s'en déduit directement :

Application numérique : Avec F = 20\text{ kN} = 2{,}0 \times 10^4\text{ N} et F_s \approx 360{,}5\text{ N}\cdot\text{s}\cdot\text{kg}^{-1} (d'après Q24) :

Non, ce débit massique ne permet pas d'obtenir la même valeur de poussée en vol de croisière.

Lors du test au banc d'essai fixe, l'air est aspiré avec une vitesse amont quasi nulle (c_{\text{entrée}} \approx 0), de sorte que la poussée est simplement le débit de quantité de mouvement éjecté :

En vol de croisière à la vitesse v_0, dans le référentiel lié à l'avion, l'air pénètre dans le réacteur à la vitesse c_{\text{entrée}} = v_0 (de l'ordre de 200\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} d'après la question Q3). Le théorème de la quantité de mouvement appliqué au fluide traversant le moteur conduit alors à une poussée nette :

Le terme soustractif D_m v_0, appelé « traînée de captation » (ou traînée d'admission), traduit la quantité de mouvement que le réacteur doit fournir à l'air incident pour l'accélérer depuis sa vitesse amont jusqu'à sa vitesse d'éjection.

La vitesse v_0 \approx 200\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} n'étant pas du tout négligeable devant la poussée spécifique F_s \approx 360\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}, la poussée spécifique nette en vol est réduite de plus de moitié par rapport à celle au banc fixe. Par conséquent, avec un même débit massique D_m = 56\text{ kg}\cdot\text{s}^{-1}, la poussée obtenue en vol serait nettement inférieure aux 20\text{ kN} développés au banc d'essai fixe.

L'équation de la réaction (III.1) s'écrit :

D'après la loi de Hess, l'enthalpie standard de réaction à 298\text{ K} vaut :

\mathrm{N}_{2(\mathrm{g})} et \mathrm{O}_{2(\mathrm{g})} étant les corps simples dans leur état standard de référence à 298\text{ K}, leur enthalpie standard de formation est nulle : \Delta_f H^\circ(\mathrm{N}_{2(\mathrm{g})}) = 0 et \Delta_f H^\circ(\mathrm{O}_{2(\mathrm{g})}) = 0.

Avec la valeur du tableau de données \Delta_f H^\circ(\mathrm{NO}_{(\mathrm{g})}) = 90{,}4\text{ kJ}\cdot\text{mol}^{-1} :

Commentaires :

• L'enthalpie standard de réaction est positive (\Delta_r H^\circ > 0) : la réaction est fortement endothermique. La rupture de la très forte liaison triple \mathrm{N}\equiv\mathrm{N} et de la liaison double \mathrm{O}=\mathrm{O} coûte plus d'énergie que n'en rapporte la formation des deux liaisons \mathrm{N-O}.

• D'après la relation de Van 't Hoff :

  \frac{\mathrm{d}\ln K^\circ}{\mathrm{d}T} = \frac{\Delta_r H^\circ}{R T^2} > 0

  la constante d'équilibre standard K^\circ(T) est une fonction strictement croissante de la température.

• À température ambiante (298\text{ K}), K^\circ est extrêmement faible : l'air atmosphérique est thermodynamiquement stable et le monoxyde d'azote ne se forme pas spontanément.
• En revanche, aux températures très élevées régnant au cœur de la chambre de combustion (température de flamme supérieure à 1400\text{ K}), la constante K^\circ(T) augmente considérablement, ce qui favorise la formation thermique de monoxyde d'azote \mathrm{NO} (formation dite « \mathrm{NO}_x thermiques »).

L'équation de la réaction s'écrit :

1. Entropie standard de réaction : À 298\text{ K}, d'après la loi de Hess appliquée à l'entropie molaire standard :

2. Enthalpie libre standard et constante d'équilibre à T = 1450\text{ K} : Dans le cadre de l'approximation d'Ellingham, l'enthalpie standard \Delta_r H^\circ (calculée à la question Q28 : \Delta_r H^\circ = 180{,}8\text{ kJ}\cdot\text{mol}^{-1}) et l'entropie standard \Delta_r S^\circ sont supposées indépendantes de la température. L'enthalpie libre standard de réaction à T = 1450\text{ K} vaut :

La constante d'équilibre associée à la température T = 1450\text{ K} est donnée par :

Numériquement :

3. Fraction molaire de \mathrm{NO} à l'équilibre : Tous les réactifs et produits étant gazeux et le nombre de moles de gaz étant conservé (\Delta \nu_g = 2 - 1 - 1 = 0), la constante d'équilibre s'exprime directement à l'aide des fractions molaires x_i :

Comme K^\circ \ll 1, l'avancement de la réaction est très faible : les fractions molaires du diazote et du dioxygène restent très proches de leur composition initiale dans l'air, soit x_{\mathrm{N}_2} \approx 0{,}80 et x_{\mathrm{O}_2} \approx 0{,}20. Il vient :

Soit, en effectuant l'application numérique :

À la température de l'étude T = 400\text{ K}, l'enthalpie libre standard de la réaction (III.2) vaut :

La constante d'équilibre correspondante est alors :

Ce choix se justifie par plusieurs arguments complémentaires :

• Simplification cinétique (réaction quasi-totale) : La constante d'équilibre étant très grande devant 1, la réaction est thermodynamiquement quasi-totale dans le sens direct. La réaction inverse de dissociation de \mathrm{NO}_2 est ainsi négligeable, ce qui permet de mesurer directement la vitesse de la réaction directe sans interférence de l'équilibre chimique.
• Représentativité du panache d'échappement : Dans la chambre de combustion à T = 1450\text{ K}, \Delta_r G^\circ > 0 (la température d'inversion valant T_{\text{inv}} = \frac{114{,}4}{0{,}1462} \approx 782\text{ K}) : \mathrm{NO}_2 ne peut donc pas s'y former. En revanche, après détente dans la turbine et la tuyère (T_6 \approx 572\text{ K}, calculé à la question Q20) et lors du mélange avec l'air ambiant, les gaz d'échappement se refroidissent. Une température de 400\text{ K} (\approx 127\ ^\circ\mathrm{C}) est typique des gaz dans le panache en sortie de réacteur où l'oxydation de \mathrm{NO} en \mathrm{NO}_2 a lieu.
• Aspect expérimental : Cette température modérée assure une vitesse de réaction mesurable, ni trop lente (ce qui rallongerait l'expérience) ni trop rapide (ce qui empêcherait un suivi cinétique précis).

Dans les deux expériences, la concentration initiale en dioxygène est de l'ordre de 10^{-3}\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1} tandis que celle en monoxyde d'azote est de 10\ \mu\text{mol}\cdot\text{L}^{-1} = 1{,}0 \times 10^{-5}\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1}. Le dioxygène est donc en large excès ([\mathrm{O}_2]_0 \ge 200\,[\mathrm{NO}]_0), ce qui permet d'appliquer l'approximation de dégénérescence de l'ordre : [\mathrm{O}_2](t) \approx [\mathrm{O}_2]_0 = \text{Cte}.

En postulant une loi de vitesse avec ordres partiels p pour \mathrm{NO} et q pour \mathrm{O}_2 :

En passant au logarithme népérien :

1. Ordre partiel par rapport à \mathrm{NO} :
Les régressions linéaires de la figure 8 fournissent :

• Expérience 1 : pente p_1 = 1{,}9871 \approx 2 ;
• Expérience 2 : pente p_2 = 1{,}9979 \approx 2.

L'ordre partiel par rapport au monoxyde d'azote est donc un entier : \boxed{p = 2}.

2. Ordre partiel par rapport à \mathrm{O}_2 :
Les ordonnées à l'origine b_1 et b_2 s'identifient à \ln(k_{\text{app}}) :

Par différence :

L'ordre partiel par rapport au dioxygène est donc : \boxed{q = 1}.

La loi de vitesse s'écrit donc :

3. Détermination de la constante de vitesse k à 400\text{ K} :
Dans les coordonnées du graphique, v est mesurée en \mu\text{mol}\cdot\text{L}^{-1}\cdot\text{min}^{-1} et [\mathrm{NO}] en \mu\text{mol}\cdot\text{L}^{-1}. Ainsi :

Convertissons k_{\text{app}} dans les unités usuelles (\text{L}\cdot\text{mol}^{-1}\cdot\text{s}^{-1}) :

Comme k = \frac{k_{\text{app,1}}}{[\mathrm{O}_2]_{0,1}} avec [\mathrm{O}_2]_{0,1} = 5{,}0 \times 10^{-3}\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1} :

En procédant de même avec l'expérience 2 (k_{\text{app,2}} = \mathrm{e}^{-4{,}723} \times \frac{10^6}{60} = 148{,}1\text{ L}\cdot\text{mol}^{-1}\cdot\text{s}^{-1}) :

En effectuant la moyenne des deux mesures :

4. Prévisibilité de la forme de la loi de vitesse :
La loi obtenue présente des ordres partiels identiques aux coefficients stœchiométriques de l'équation bilan (2 pour \mathrm{NO} et 1 pour \mathrm{O}_2), ce qui correspondrait formellement à la règle de van 't Hoff. Cependant :

• Pour une réaction bilan globale, la règle de van 't Hoff ne s'applique pas a priori ; la cinétique découle du mécanisme réactionnel microscopique (composé d'actes élémentaires).
• De plus, un acte élémentaire trimoléculaire (2\,\mathrm{NO} + \mathrm{O}_2 \to 2\,\mathrm{NO}_2) est hautement improbable en phase gazeuse en raison de la probabilité quasi nulle d'un choc simultané à trois corps.

Cette forme d'ordre 3 global n'était donc absolument pas prévisible a priori (elle s'explique en réalité par un mécanisme en deux étapes passant par le dimère (\mathrm{NO})_2 ou le radical \mathrm{NO}_3).

L'azote (\mathrm{N}, Z=7) a pour configuration électronique de valence 2s^2 2p^3 (5 électrons de valence).
L'oxygène (\mathrm{O}, Z=8) a pour configuration électronique de valence 2s^2 2p^4 (6 électrons de valence).

Le nombre total d'électrons de valence de la molécule de dioxyde d'azote \mathrm{NO}_2 vaut :

Le nombre d'électrons étant impair, la molécule est nécessairement une espèce radicalaire comportant 8 doublets (liants ou non liants) et 1 électron célibataire.

L'atome d'azote, moins électronégatif que l'oxygène, constitue l'atome central. Dans la forme mésomère prépondérante, l'électron célibataire est situé sur l'atome d'azote :

• l'azote central forme une liaison double avec l'un des atomes d'oxygène et une liaison simple avec l'autre ;
• il porte l'électron célibataire, ce qui lui confère 1 + 2 + 1 = 4 électrons propres et donc une charge formelle positive +1 ;
• l'oxygène lié par simple liaison possède 3 doublets non liants et porte une charge formelle négative -1 ;
• l'oxygène lié par double liaison possède 2 doublets non liants et aucune charge formelle.

Par symétrie, la molécule est décrite par deux formes mésomères équivalentes :

La photodissociation du dioxyde d'azote s'écrit :

Cette réaction ne peut avoir lieu que si l'énergie apportée par un photon est au moins égale à l'énergie de dissociation d'une liaison \mathrm{ON} dans \mathrm{NO}_2 :

soit pour la longueur d'onde : \lambda \le \lambda_{\text{seuil}}.

Sur la figure 9, le rendement quantique primaire \Phi chute brutalement au voisinage de \lambda_{\text{seuil}} \approx 400\text{ nm} (la chute s'amorce vers 395\text{ nm} et \Phi s'annule vers 420\text{ nm}).

L'énergie molaire de dissociation (ou enthalpie standard de dissociation de cette liaison) est donc :

Application numérique avec \lambda_{\text{seuil}} = 400\text{ nm} :

Commentaire :

• D'après les données de l'énoncé, l'énergie d'une liaison simple vaut E(\mathrm{N-O}) = 210\text{ kJ}\cdot\text{mol}^{-1} et celle d'une liaison double E(\mathrm{N=O}) = 630\text{ kJ}\cdot\text{mol}^{-1}. La valeur trouvée (300\text{ kJ}\cdot\text{mol}^{-1}) est comprise entre ces deux valeurs (210 < 300 < 630\text{ kJ}\cdot\text{mol}^{-1}), ce qui est parfaitement cohérent avec l'ordre de liaison intermédiaire de 1{,}5 déduit des formes mésomères établies à la question Q32.
• De plus, le seuil situé à 400\text{ nm} correspond à la limite entre le proche ultraviolet et le visible : la lumière solaire atteignant la troposphère est donc suffisamment énergétique pour induire cette dissociation et initier la photochimie de l'ozone troposphérique.

Dans une structure cubique à faces centrées (c.f.c.) de paramètre de maille a :

• la maille élémentaire contient en propre Z = 8 \times \frac{1}{8} + 6 \times \frac{1}{2} = 4 atomes d'aluminium ;

• les atomes sont en contact selon la diagonale d'une face du cube, d'où la relation de tangence :

  4 r = a\sqrt{2} \implies a = 2\sqrt{2} r

Le volume de la maille s'écrit donc :

La masse volumique théorique de l'aluminium vaut :

Avec M_{\mathrm{Al}} = 26{,}982\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1} = 26{,}982 \times 10^{-3}\text{ kg}\cdot\text{mol}^{-1}, r = 143\text{ pm} = 143 \times 10^{-12}\text{ m} et \mathcal{N}_A = 6{,}02 \times 10^{23}\text{ mol}^{-1} :

La densité correspondante est :

L'acier présente quant à lui une densité d_{\text{acier}} = 7{,}8. L'aluminium est ainsi presque trois fois moins dense que l'acier :

L'emploi d'alliages d'aluminium permet donc un gain de masse considérable sur la structure de l'aéronef (allègement structural). Cela permet :

• de réduire la portance nécessaire en vol de croisière et donc la traînée induite, d'où une consommation de carburant nettement diminuée ;
• d'augmenter la charge utile (fret et passagers) et le rayon d'action de l'avion.

Un composé défini présente une composition chimique fixe et se manifeste sur un diagramme binaire par une ligne verticale. Sur la figure 10, la frontière verticale marquant la fin du domaine biphasé « solution solide \alpha + {?} » se situe à une teneur massique en cuivre :

Pour un composé défini de formule générale \mathrm{Al}_x\mathrm{Cu}, la fraction massique en cuivre s'exprime par :

En inversant cette relation pour exprimer x :

D'après le tableau périodique fourni :

• M(\mathrm{Al}) = 26{,}98\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1}
• M(\mathrm{Cu}) = 63{,}55\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1}

L'application numérique donne :

Comme x est un entier, on obtient x = 2. Le composé défini est donc \mathrm{Al}_2\mathrm{Cu}.

D'après la question Q35, le composé défini correspond à la stœchiométrie \mathrm{Al}_2\mathrm{Cu}_{(\mathrm{s})} (w_{\mathrm{Cu}} \approx 54\,\%). Le diagramme présente une réaction eutectique :

On identifie ainsi les différents domaines et lignes d'équilibre :

• Domaine monophasé liquide (L) : situé au-dessus du liquidus. Les métaux aluminium et cuivre sont totalement miscibles à l'état liquide.
• Solution solide monophasée \alpha : domaine situé à gauche, riche en aluminium, délimité à droite par la courbe de solvus (qui traduit la diminution de la solubilité du cuivre dans la maille d'aluminium avec la baisse de température) et en haut par le solidus.
• Domaine diphasé \alpha + L : délimité par la branche gauche du liquidus, le solidus de la solution \alpha et le palier eutectique.
• Domaine diphasé \mathrm{Al}_2\mathrm{Cu}_{(\mathrm{s})} + L : délimité par la branche droite du liquidus, le palier eutectique et la droite verticale du composé défini.
• Domaine solide diphasé \alpha + \mathrm{Al}_2\mathrm{Cu}_{(\mathrm{s})} : situé sous le palier eutectique et à droite de la courbe de solvus (ce domaine correspond à la région notée « solution solide \alpha + ? » sur la figure 10).
• Composé défini \mathrm{Al}_2\mathrm{Cu}_{(\mathrm{s})} : représenté par le segment vertical à w_{\mathrm{Cu}} \approx 54\,\%.

À la température T = 300\text{ K} = 27\,^\circ\text{C}, bien inférieure au domaine représenté sur la figure 10 (T \ge 200\,^\circ\text{C}), l'alliage 2024 de teneur massique globale w_{\mathrm{Cu}} = 4\,\% se situe dans le domaine biphasé constitué :

• de la solution solide \alpha (aluminium contenant une fraction dissoute de cuivre) ;
• du composé défini solide \mathrm{Al}_2\mathrm{Cu}_{(\mathrm{s})} déterminé à la question Q35.

D'après le diagramme binaire, la limite de solubilité du cuivre dans l'aluminium (courbe de solvus délimitant le domaine \alpha) décroît rapidement lorsque la température diminue : elle est inférieure à 0{,}5\,\% à 200\,^\circ\text{C} et devient rigoureusement négligeable à température ambiante (300\text{ K}). On a donc :

La fraction massique de cuivre dans le composé défini \mathrm{Al}_2\mathrm{Cu} est stœchiométrique et vaut :

Soient x_m(\alpha) et x_m(\mathrm{Al}_2\mathrm{Cu}) les pourcentages (ou fractions) massiques respectifs des phases \alpha et \mathrm{Al}_2\mathrm{Cu}. La conservation de la masse globale et de la masse de cuivre s'écrit, via le théorème des moments chimiques :

Comme w_{\mathrm{Cu},\alpha} \approx 0\,\%, on obtient directement :

et par complémentarité :

1. Schéma de principe du montage

Le montage à trois électrodes permet de découpler la circulation du courant de la mesure du potentiel d'électrode :

2. Nature et rôle des trois électrodes

• Électrode de travail (ET) :

  • Nature : le métal étudié (ici l'aluminium ou le cuivre, purs ou en alliage).
  • Rôle : siège des réactions électrochimiques d'intérêt (oxydation anodique ou réduction cathodique).

• Électrode de référence (ER) :

  • Nature : électrode impolarisable à potentiel fixe, connu et stable, indépendamment de la composition de la solution étudiée (par exemple une électrode au calomel saturé, ECS, ou au chlorure d'argent \mathrm{Ag/AgCl}).
  • Rôle : sert de référence de potentiel pour mesurer ou imposer le potentiel E de l'électrode de travail.

• Contre-électrode ou électrode auxiliaire (CE) :

  • Nature : matériau conducteur chimiquement inerte dans les conditions de l'expérience (fil ou grille de platine \mathrm{Pt}, barreau de graphite/carbone vitreux).
  • Rôle : assure le passage du courant électrique i dans l'électrolyte en fermant le circuit avec l'électrode de travail. Sa surface est généralement grande pour que les réactions à son interface ne limitent pas le courant global.

3. Nécessité d'utiliser trois électrodes plutôt que deux

Dans un montage à deux électrodes, la deuxième électrode joue simultanément le rôle de référence et de contre-électrode. Un tel dispositif présente deux inconvénients majeurs :

1. Polarisation de la référence : la circulation d'un courant électrique non nul à travers l'électrode de référence modifie les concentrations des espèces électroactives à sa surface ; son potentiel dérive et ne reste plus égal à son potentiel thermodynamique de référence.
2. Chute ohmique dans l'électrolyte : la tension mesurée entre les deux électrodes s'écrit U = E_{\text{ET}} - E_{\text{réf}} + R_{\text{sol}} i. Pour des courants non négligeables, le terme de chute ohmique R_{\text{sol}} i fausse significativement la valeur du potentiel d'électrode E_{\text{ET}}.

Le montage à trois électrodes résout ce problème en séparant les fonctions :

• Le courant i circule exclusivement entre l'électrode de travail et la contre-électrode.
• L'électrode de référence est reliée à un voltmètre (ou étage de mesure du potentiostat) de très haute impédance d'entrée : aucun courant ne la traverse (i_{\text{réf}} \approx 0), garantissant ainsi la parfaite constance de son potentiel et l'absence de chute ohmique dans la branche de mesure.

• En milieu acide : l'espèce acide prédominante est l'ion oxonium \mathrm{H}^+_{(\mathrm{aq})} (ou \mathrm{H}_3\mathrm{O}^+_{(\mathrm{aq})}). La demi-équation électronique de réduction s'écrit :

  \boxed{2\,\mathrm{H}^+_{(\mathrm{aq})} + 2\,\mathrm{e}^- = \mathrm{H}_{2(\mathrm{g})}}

  ou, en faisant intervenir explicitement la molécule de solvant :

  2\,\mathrm{H}_3\mathrm{O}^+_{(\mathrm{aq})} + 2\,\mathrm{e}^- = \mathrm{H}_{2(\mathrm{g})} + 2\,\mathrm{H}_2\mathrm{O}_{(\mathrm{l})}

• En milieu basique : l'espèce acide conjuguée de l'ion hydroxyde est le solvant \mathrm{H}_2\mathrm{O}_{(\mathrm{l})}, les ions hydroxyde \mathrm{HO}^-_{(\mathrm{aq})} étant prédominants par rapport aux ions oxonium. En combinant la demi-équation précédente avec l'autoprotolyse de l'eau (\mathrm{H}^+ + \mathrm{HO}^- = \mathrm{H}_2\mathrm{O}), on obtient :

  \boxed{2\,\mathrm{H}_2\mathrm{O}_{(\mathrm{l})} + 2\,\mathrm{e}^- = \mathrm{H}_{2(\mathrm{g})} + 2\,\mathrm{HO}^-_{(\mathrm{aq})}}

D'après la demi-équation électronique établie à la question Q39 en milieu basique :

La formule de Nernst à 298\text{ K} s'écrit, pour une pression partielle de dihydrogène P_{\mathrm{H}_2} = P^\circ = 1\text{ bar} :

En prenant la valeur usuelle \frac{R T \ln 10}{F} \approx 0{,}06\text{ V} à 298\text{ K} et E^\circ(\mathrm{H}^+/\mathrm{H}_2) = 0{,}00\text{ V} :

Le potentiel standard apparent E^{\circ\prime} à \mathrm{pH} = 14 (conditions standard pour l'ion \mathrm{HO}^-, soit [\mathrm{HO}^-] = 1\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1}) vaut donc :

Justification du tracé de la figure 12 :

En cinétique électrochimique, une réaction cathodique nécessite une surtension cathodique \eta_c \leqslant 0. Le courant cathodique de réduction de l'eau ne commence à circuler de façon significative qu'en deçà du potentiel seuil :

où \eta_{c0} désigne la surtension cathodique à vide :

• Sur électrode de cuivre, avec \eta_{c0} = -0{,}1\text{ V} :

  E_{\text{seuil, Cu}} = -0{,}84 - 0{,}10 = -0{,}94\text{ V}

• Sur électrode d'aluminium, avec \eta_{c0} = -1\text{ V} :

  E_{\text{seuil, Al}} = -0{,}84 - 1{,}00 = -1{,}84\text{ V}