Feuille d'entraînement : Premier et second principes

10 questions · filière PT · durée estimée environ 52 min

Énoncés

Exercice 1Banque PT Physique A PT 2026, Q47· Application directe· Incontournable· ≈ 3 min
On suppose les phases de compression puis de détente lentes. Quelle(s) conséquence(s) cela-a-t-il sur la nature des évolutions du gaz ? Une réponse argumentée est attendue.
Exercice 2Banque PT Physique B PT 2022, Q15· Intermédiaire· Incontournable· ≈ 6 min
À l'aide de la deuxième identité thermodynamique, montrer que la variation d'entropie d'un GP est égale à :
$Δ S = S_{F} - S_{I} = C_{P} \cdot ln (\frac{T _{F}}{T _{I}}) - n \cdot R \cdot ln (\frac{P _{F}}{P _{I}})$
Comparer alors $T_{F-IRREV}$ et $T_{F-REV}$ .
Exercice 3Banque PT Physique B PT 2025, Q22· Application directe· ≈ 4 min
Exprimer l'enthalpie massique de l'air sec, notée $h_{a}$ , en fonction de $T$ (en $^{\circ} C$ ) et des données. Faire de même avec l'eau liquide (notée $h_{e l}$ ).
Exercice 4Banque PT Physique B PT 2025, Q23· Exigeant· ≈ 6 min
Montrer que l'enthalpie massique de l'eau sous forme de vapeur est égale à :
$h_{v e} = 27 (c_{ℓ} - c_{vap}) + ℓ_{v} (27^{\circ} C) + c_{vap} T, avec T en^{\circ} C .$
Exercice 5Banque PT Physique B PT 2025, Q24· Exigeant· ≈ 10 min
Appliquer le principe énoncé question 21 au modèle simplifié du psychromètre représenté Figure 4 pour trouver l'expression recherchée de $X_{a}$ . En négligeant les variations d'énergie cinétique et potentielle de pesanteur, montrer que :
$X_{a} = \frac{A X _{a s} - B Δ T}{A + D Δ T}$
Expliciter les constantes $A$ , $B$ et $D$ en fonction des capacités thermiques massiques, de $T_{s}$ et de $ℓ_{v} (27^{\circ} C)$ .
Exercice 6Banque PT Physique B PT 2024, Q24· Exigeant· ≈ 6 min
En exposant clairement les étapes du raisonnement, exprimer littéralement l'enthalpie standard de la réaction de dissolution $Δ_{diss} H^{\circ}$ en fonction des paramètres du problème. L'application numérique n'est pas demandée.
Exercice 7Banque PT Physique A PT 2023, Q5· Intermédiaire· ≈ 6 min
Quelle est la valeur de la température de changement d'état ? Quelle est alors la masse d'eau vaporisée ?
Exercice 8Banque PT Physique B PT 2023, Q21· Intermédiaire· ≈ 4 min
Déterminer la puissance thermique $P_{ich}$ reçue depuis la source chaude durant le cycle en fonction de $D_{m}, γ, R, M_{air}$ et des températures caractérisant le cycle.
Exercice 9Banque PT Physique B PT 2023, Q22· Application directe· ≈ 3 min
Déterminer de même la puissance thermique $P_{ifr}$ reçue depuis la source froide durant le cycle.
Exercice 10Banque PT Physique B PT 2023, Q26· Intermédiaire· ≈ 4 min
Exprimer $T_{i 2}$ en fonction de $T_{i 1}, P_{a}$ et $P_{2}$ puis $T_{i 3}$ en fonction de $T_{i 4}, P_{a}$ et $P_{2}$ .

Corrigés

Exercice 1Banque PT Physique A PT 2026, Q47
La lenteur des phases de compression et de détente (qui durent plusieurs minutes d'après le cahier des charges) entraîne deux conséquences directes sur la transformation subie par le gaz :
- Caractère quasi-statique : La vitesse de déplacement du piston est extrêmement faible devant la vitesse du son dans le gaz. Les ondes de pression s'équilibrent quasi-instantanément, si bien que le gaz passe par une succession continue d'états d'équilibre mécanique interne, avec une pression P(t) uniforme à chaque instant.
- Caractère isotherme : La cuve est métallique (bon conducteur thermique) et se trouve en contact thermique direct avec l'atmosphère extérieure, qui se comporte comme un thermostat à la température constante T_0 = 20\ ^\circ\mathrm{C}. La durée des phases de compression et de détente (plusieurs minutes) est bien supérieure au temps caractéristique de diffusion thermique à travers la cuve. Les transferts thermiques ont donc le temps d'assurer en permanence l'équilibre thermique avec le milieu extérieur :
  T(t) = T_0 = \text{cte}
En supposant de surcroît l'absence de frottements mécaniques lors du glissement du piston, l'évolution du gaz est une transformation isotherme et réversible à la température T_0.
\boxed{\text{Les évolutions du gaz sont isothermes à la température constante } T_0 = 20\ ^\circ\mathrm{C} \text{ (et quasi-statiques).}}
Par conséquent, pour le gaz parfait contenu dans la cuve, le produit de la pression par son volume vérifie la loi de Boyle-Mariotte : P\,V_{\text{gaz}} = \text{cte}.
Résultat
$Les \overset{e}{ˊ} volutions du gaz sont isothermes \overset{a}{ˋ} la temp \overset{e}{ˊ} rature constante T_{0} = 20^{\circ} C (et quasi-statiques).$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 2Banque PT Physique B PT 2022, Q15
La deuxième identité thermodynamique s'écrit :
\mathrm{d}H = T\,\mathrm{d}S + V\,\mathrm{d}P \iff \mathrm{d}S = \frac{\mathrm{d}H}{T} - \frac{V}{T}\,\mathrm{d}P
Pour un gaz parfait (deuxième loi de Joule et équation d'état) :
\mathrm{d}H = C_P\,\mathrm{d}T \quad \text{et} \quad \frac{V}{T} = \frac{n\,R}{P}
Il vient ainsi pour la différentielle de l'entropie :
\mathrm{d}S = C_P\,\frac{\mathrm{d}T}{T} - n\,R\,\frac{\mathrm{d}P}{P}
En intégrant entre l'état initial (T_I, P_I) et l'état final (T_F, P_F), sous l'hypothèse d'une capacité thermique C_P constante sur l'intervalle de température considéré :
\boxed{\Delta S = S_F - S_I = C_P \cdot \ln\left(\frac{T_F}{T_I}\right) - n \cdot R \cdot \ln\left(\frac{P_F}{P_I}\right)}
Appliquons ce résultat aux deux détentes adiabatiques, qui partent du même état initial (T_I, P_I) et s'achèvent à la même pression finale P_F = 1{,}0\text{ bar} :
- Pour la détente adiabatique réversible, les transferts thermiques sont nuls et la création d'entropie est nulle, d'où \Delta S_{\text{REV}} = 0 :
  C_P \cdot \ln\left(\frac{T_{\text{F-REV}}}{T_I}\right) - n\,R \cdot \ln\left(\frac{P_F}{P_I}\right) = 0
- Pour la détente adiabatique irréversible, le système n'échange pas de chaleur avec l'extérieur (S_{\text{éch}} = 0), mais il y a création d'entropie (\delta S_i > 0 \implies S_{\text{créée}} > 0). Le bilan entropique donne \Delta S_{\text{IRREV}} = S_{\text{créée}} > 0 :
  C_P \cdot \ln\left(\frac{T_{\text{F-IRREV}}}{T_I}\right) - n\,R \cdot \ln\left(\frac{P_F}{P_I}\right) = S_{\text{créée}} > 0
En effectuant la différence membre à membre entre ces deux équations :
C_P \cdot \ln\left(\frac{T_{\text{F-IRREV}}}{T_{\text{F-REV}}}\right) = S_{\text{créée}} > 0
La capacité thermique à pression constante étant strictement positive (C_P > 0), il s'ensuit que :
\ln\left(\frac{T_{\text{F-IRREV}}}{T_{\text{F-REV}}}\right) > 0 \iff \frac{T_{\text{F-IRREV}}}{T_{\text{F-REV}}} > 1
On retrouve bien analytiquement le résultat établi graphiquement à la question 14 :
\boxed{T_{\text{F-IRREV}} > T_{\text{F-REV}}}
Résultat
$Δ S = S_{F} - S_{I} = C_{P} \cdot ln (\frac{T _{F}}{T _{I}}) - n \cdot R \cdot ln (\frac{P _{F}}{P _{I}})$ $T_{F-IRREV} > T_{F-REV}$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 3Banque PT Physique B PT 2025, Q22
D'après les conventions de l'énoncé, l'enthalpie massique est définie relativement à un état de référence pris à T_0 = 0~^{\circ}\text{C}, avec h(0~^{\circ}\text{C}) = 0. Les capacités thermiques massiques sont supposées constantes.
- Pour l'air sec (modélisé par un gaz parfait vérifiant la première loi de Joule) : La différentielle de l'enthalpie massique s'écrit \mathrm{d}h_a = c_a\,\mathrm{d}T. Par intégration entre 0~^{\circ}\text{C} et la température T (en ^{\circ}\text{C}) :
  h_a(T) = h_a(0~^{\circ}\text{C}) + \int_0^T c_a\,\mathrm{d}T = c_a (T - 0)
  \boxed{h_a = c_a T}
- Pour l'eau liquide (modélisée comme une phase condensée idéale indéformable à pression constante) : La différentielle de l'enthalpie massique s'écrit \mathrm{d}h_{\text{el}} = c_\ell\,\mathrm{d}T + v\,\mathrm{d}P = c_\ell\,\mathrm{d}T car les transformations considérées sont isobares (\mathrm{d}P = 0). Par intégration entre 0~^{\circ}\text{C} et T (en ^{\circ}\text{C}) :
  h_{\text{el}}(T) = h_{\text{el}}(0~^{\circ}\text{C}) + \int_0^T c_\ell\,\mathrm{d}T = c_\ell (T - 0)
  \boxed{h_{\text{el}} = c_\ell T}
Résultat
$h_{a} = c_{a} T$ $h_{el} = c_{ℓ} T$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 4Banque PT Physique B PT 2025, Q23
L'eau liquide étant assimilée à une phase condensée indéformable et la vapeur d'eau à un gaz parfait, leurs enthalpies massiques ne dépendent que de la température (première loi de Joule pour le gaz parfait).
D'après la convention de l'énoncé, l'enthalpie massique est nulle pour l'eau liquide à 0~^{\circ}\text{C} :
h_{\text{el}}(0~^{\circ}\text{C}) = 0
Calculons la variation d'enthalpie massique sur les trois étapes successives :
- Étape 1 : Échauffement de l'eau liquide pure de 0~^{\circ}\text{C} à 27~^{\circ}\text{C} sous la capacité thermique massique c_{\ell} constante :
  \Delta h_1 = \int_{0}^{27} c_{\ell} \, \mathrm{d}T = c_{\ell} (27 - 0) = 27 \, c_{\ell}
- Étape 2 : Vaporisation totale à la température de 27~^{\circ}\text{C} :
  \Delta h_2 = \ell_v(27~^{\circ}\text{C})
- Étape 3 : Échauffement de la vapeur de 27~^{\circ}\text{C} à T~^{\circ}\text{C} (avec T exprimée en ^{\circ}\text{C}) sous la capacité thermique massique c_{\text{vap}} constante :
  \Delta h_3 = \int_{27}^{T} c_{\text{vap}} \, \mathrm{d}T = c_{\text{vap}} (T - 27)
L'enthalpie massique de la vapeur d'eau s'obtient en sommant ces trois contributions :
\begin{aligned} h_{\text{ve}}(T) &= h_{\text{el}}(0~^{\circ}\text{C}) + \Delta h_1 + \Delta h_2 + \Delta h_3 \\ &= 27\,c_{\ell} + \ell_v(27~^{\circ}\text{C}) + c_{\text{vap}}(T - 27) \\ &= 27\,c_{\ell} - 27\,c_{\text{vap}} + \ell_v(27~^{\circ}\text{C}) + c_{\text{vap}} T \end{aligned}
En factorisant par 27, on obtient bien :
\boxed{h_{\text{ve}} = 27(c_{\ell} - c_{\text{vap}}) + \ell_v(27~^{\circ}\text{C}) + c_{\text{vap}} T \quad \text{avec } T \text{ en } ^{\circ}\text{C}}
Résultat
$h_{ve} = 27 (c_{ℓ} - c_{vap}) + ℓ_{v} (27^{\circ} C) + c_{vap} T avec T en^{\circ} C$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 5Banque PT Physique B PT 2025, Q24
Considérons le système ouvert constitué par le récipient en régime permanent. Le récipient étant indéformable et calorifugé, et en négligeant les variations d'énergie cinétique et potentielle, le premier principe pour ce système ouvert s'écrit :
\dot{H}_s - \dot{H}_e = \mathcal{P}_u + \dot{Q} = 0
Détaillons les flux enthalpiques entrants (\dot{H}_e) et sortants (\dot{H}_s) :
- En entrée :
  - Air sec à température T : de débit D_{ma} et d'enthalpie massique h_a(T) ;
  - Vapeur d'eau à température T : de débit D_{mve} = X_a D_{ma} et d'enthalpie massique h_{ve}(T) ;
  - Eau liquide d'appoint à température T_s : de débit D_{me} = (X_{as} - X_a) D_{ma} (d'après le bilan de matière de la question Q20) et d'enthalpie massique h_{el}(T_s).
- En sortie :
  - Air sec à température T_s : de débit D_{ma} et d'enthalpie massique h_a(T_s) ;
  - Vapeur d'eau saturante à température T_s : de débit D_{mves} = X_{as} D_{ma} et d'enthalpie massique h_{ve}(T_s).
Le bilan enthalpique s'écrit donc :
D_{ma} h_a(T_s) + X_{as} D_{ma} h_{ve}(T_s) - \left[ D_{ma} h_a(T) + X_a D_{ma} h_{ve}(T) + (X_{as} - X_a) D_{ma} h_{el}(T_s) \right] = 0
En simplifiant par le débit massique d'air sec D_{ma} \neq 0 :
\left[ h_a(T_s) - h_a(T) \right] + X_{as} \left[ h_{ve}(T_s) - h_{el}(T_s) \right] - X_a \left[ h_{ve}(T) - h_{el}(T_s) \right] = 0
D'après les questions Q22 et Q23 :
- Pour l'air sec :
  h_a(T_s) - h_a(T) = c_a (T_s - T) = - c_a \Delta T
- Pour l'enthalpie de vaporisation à la température T_s :
  \begin{aligned} A &\equiv h_{ve}(T_s) - h_{el}(T_s) \\ &= 27(c_\ell - c_{vap}) + \ell_v(27~^{\circ}\text{C}) + c_{vap} T_s - c_\ell T_s \\ &= \ell_v(27~^{\circ}\text{C}) + (c_\ell - c_{vap})(27 - T_s) \end{aligned}
- Pour le terme relatif à la vapeur entrante :
  \begin{aligned} h_{ve}(T) - h_{el}(T_s) &= \left[ h_{ve}(T_s) - h_{el}(T_s) \right] + \left[ h_{ve}(T) - h_{ve}(T_s) \right] \\ &= A + c_{vap} (T - T_s) \\ &= A + c_{vap} \Delta T \end{aligned}
En injectant ces grandeurs dans le bilan enthalpique, on obtient :
- c_a \Delta T + A X_{as} - X_a (A + c_{vap} \Delta T) = 0
d'où :
X_a (A + c_{vap} \Delta T) = A X_{as} - c_a \Delta T
On aboutit bien à l'expression demandée :
\boxed{X_a = \frac{A X_{as} - B \Delta T}{A + D \Delta T}}
avec les constantes définies par :
\boxed{ \left\{ \begin{aligned} A &= \ell_v(27~^{\circ}\text{C}) + (c_\ell - c_{vap})(27 - T_s) \\ B &= c_a \\ D &= c_{vap} \end{aligned} \right. }
Résultat
$X_{a} = \frac{A X _{a s} - B Δ T}{A + D Δ T}$ $⎩ ⎨ ⎧ A B D = ℓ_{v} (27^{\circ} C) + (c_{ℓ} - c_{v a p}) (27 - T_{s}) = c_{a} = c_{v a p}$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 6Banque PT Physique B PT 2024, Q24
1. Système et premier principe
On choisit comme système fermé l'ensemble :
\{\text{calorimètre et ses accessoires}, \, m_e \text{ d'eau distillée}, \, m \text{ de }\mathrm{NH_4Cl(s)}\}
- La transformation a lieu à pression atmosphérique constante (P = P^\circ = \text{cste}), elle est donc monobare : \Delta H = Q_P.
- Le calorimètre étant supposé athermane (parfaitement isolé thermiquement), les échanges thermiques avec l'extérieur sont nuls : Q_P = 0.
On a ainsi :
\Delta H = 0
2. Chemin thermodynamique fictif
L'état initial est constitué du calorimètre et de l'eau à la température \theta_1, ainsi que du chlorure d'ammonium solide à la température \theta_1. L'état final est constitué du calorimètre et de la solution homogène à la température \theta_2.
L'enthalpie étant une fonction d'état, on imagine un chemin fictif en deux étapes :
- Étape 1 : Dissolution isotherme à \theta_1 et à P^\circ
  La quantité de matière de \mathrm{NH_4Cl} dissous est :
  n = \frac{m}{M_{\mathrm{NH}_4\mathrm{Cl}}}
  La variation d'enthalpie associée à cette réaction totale est :
  \Delta H_1 = n \, \Delta_{\mathrm{diss}} H^\circ = \frac{m}{M_{\mathrm{NH}_4\mathrm{Cl}}} \Delta_{\mathrm{diss}} H^\circ
- Étape 2 : Variation de température du système final sans réaction de \theta_1 à \theta_2
  Le système final est composé du calorimètre (capacité thermique K) et de la solution obtenue. Selon l'énoncé, la capacité thermique de la solution est assimilée à celle de l'eau pure, soit C_{\text{sol}} = m_e c_e. La capacité thermique totale du système est donc :
  C_{\mathrm{tot}} = K + m_e c_e
  La variation d'enthalpie associée à cette étape s'écrit :
  \Delta H_2 = C_{\mathrm{tot}} (\theta_2 - \theta_1) = (K + m_e c_e)(\theta_2 - \theta_1)
3. Bilan enthalpique
Puisque \Delta H = \Delta H_1 + \Delta H_2 = 0, on obtient :
\frac{m}{M_{\mathrm{NH}_4\mathrm{Cl}}} \Delta_{\mathrm{diss}} H^\circ + (K + m_e c_e)(\theta_2 - \theta_1) = 0
D'où l'expression de l'enthalpie standard de dissolution :
\boxed{\Delta_{\mathrm{diss}} H^\circ = \frac{M_{\mathrm{NH}_4\mathrm{Cl}}}{m} (K + m_e c_e)(\theta_1 - \theta_2)}
Résultat
$Δ_{diss} H^{\circ} = \frac{M _{NH_{4} Cl}}{m} (K + m_{e} c_{e}) (θ_{1} - θ_{2})$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 7Banque PT Physique A PT 2023, Q5
D'après l'expression établie à la question 4, la température de changement d'état de l'eau à la profondeur H s'écrit :
T_{\text{vap}}(H) = 273 + 100 \left(1 + \frac{\rho g_0 H}{P^0}\right)^{1/4}
Pour H = 150\text{ m}, avec \rho = 1000\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}, g_0 = 10\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} et P^0 = 10^5\text{ Pa}, on a :
1 + \frac{\rho g_0 H}{P^0} = 1 + \frac{1000 \times 10 \times 150}{10^5} = 1 + 15 = 16
Sachant que 16^{1/4} = (2^4)^{1/4} = 2, on obtient directement :
T_{\text{vap}} = 273 + 100 \times 2 = 473\text{ K}
soit en degrés Celsius :
\theta_{\text{vap}} = 473 - 273 = 200^\circ\text{C}
\boxed{T_{\text{vap}} = 473\text{ K} \quad (\text{soit } 200^\circ\text{C})}
L'énoncé précisant qu'il y a vaporisation totale de l'eau liquide contenue initialement dans la cavité de volume V_0 = 1\text{ L}, la masse d'eau vaporisée est :
m = \rho V_0
Avec \rho = 1000\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} et V_0 = 1\text{ L} = 10^{-3}\text{ m}^3 :
m = 1000 \times 10^{-3} = 1\text{ kg}
\boxed{m = 1\text{ kg}}
Résultat
$T_{vap} = 473 K (soit 20 0^{\circ} C)$ $m = 1 kg$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 8Banque PT Physique B PT 2023, Q21
L'apport thermique provenant de la source chaude (récepteur solaire ou chaudière d'appoint) a lieu lors de l'évolution isobare 2 \to 3 à la pression P_2, entre les températures T_{\mathrm{i}2} et T_{\mathrm{i}3}.
Pour un écoulement stationnaire en système ouvert à travers la zone de chauffe, en l'absence de parties mobiles (travail transvasé ou indiqué nul, w_{\mathrm{i}} = 0) et en négligeant les variations d'énergies cinétique et potentielle macroscopiques, le premier principe s'écrit :
\Delta h_{2 \to 3} = h_3 - h_2 = q_{\mathrm{ch}}
L'air étant modélisé par un gaz parfait (seconde loi de Joule), la variation d'enthalpie massique s'exprime par :
q_{\mathrm{ch}} = c_{\mathrm{pa}} (T_{\mathrm{i}3} - T_{\mathrm{i}2})
La puissance thermique \mathscr{P}_{\mathrm{ich}} reçue par le fluide en régime permanent vaut donc :
\mathscr{P}_{\mathrm{ich}} = D_{\mathrm{m}} \, q_{\mathrm{ch}} = D_{\mathrm{m}} \, c_{\mathrm{pa}} (T_{\mathrm{i}3} - T_{\mathrm{i}2})
En utilisant l'expression de c_{\mathrm{pa}} établie à la question Q.19, c_{\mathrm{pa}} = \dfrac{\gamma R}{(\gamma - 1) M_{\mathrm{air}}}, on obtient :
\boxed{\mathscr{P}_{\mathrm{ich}} = D_{\mathrm{m}} \frac{\gamma R}{(\gamma - 1) M_{\mathrm{air}}} (T_{\mathrm{i}3} - T_{\mathrm{i}2})}
Résultat
$P_{ich} = D_{m} \frac{γ R}{( γ - 1 ) M _{air}} (T_{i 3} - T_{i 2})$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 9Banque PT Physique B PT 2023, Q22
Le refroidissement de l'air s'effectue au cours de la transformation isobare 4 \to 1 à la pression P_{\mathrm{a}}, entre la sortie de turbine à la température T_{\mathrm{i}4} et l'admission dans le compresseur à la température T_{\mathrm{i}1}.
Pour un écoulement stationnaire sans parties mobiles (w_{\mathrm{u}} = 0) et en négligeant les variations d'énergie cinétique et potentielle, le premier principe de la thermodynamique pour un système ouvert s'écrit, en grandeurs massiques :
q_{\mathrm{fr}} = \Delta h_{4 \to 1} = h_{\mathrm{i}1} - h_{\mathrm{i}4}
L'air étant modélisé par un gaz parfait, la seconde loi de Joule donne :
q_{\mathrm{fr}} = c_{\mathrm{pa}} (T_{\mathrm{i}1} - T_{\mathrm{i}4})
En multipliant par le débit massique D_{\mathrm{m}} et en réutilisant l'expression de la capacité thermique massique c_{\mathrm{pa}} établie à la question Q.19 :
c_{\mathrm{pa}} = \frac{\gamma R}{(\gamma - 1) M_{\mathrm{air}}}
la puissance thermique \mathscr{P}_{\mathrm{ifr}} reçue depuis la source froide s'écrit :
\mathscr{P}_{\mathrm{ifr}} = D_{\mathrm{m}} c_{\mathrm{pa}} (T_{\mathrm{i}1} - T_{\mathrm{i}4}) = D_{\mathrm{m}} \frac{\gamma R}{(\gamma - 1) M_{\mathrm{air}}} (T_{\mathrm{i}1} - T_{\mathrm{i}4})
\boxed{\mathscr{P}_{\mathrm{ifr}} = D_{\mathrm{m}} \frac{\gamma R}{(\gamma - 1) M_{\mathrm{air}}} (T_{\mathrm{i}1} - T_{\mathrm{i}4})}
Résultat
$P_{ifr} = D_{m} \frac{γ R}{( γ - 1 ) M _{air}} (T_{i 1} - T_{i 4})$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 10Banque PT Physique B PT 2023, Q26
Dans le cycle de Brayton idéal, le fluide est un gaz parfait subissant des transformations isentropiques réversibles dans le compresseur et dans la turbine.
Pour une transformation isentropique d'un gaz parfait dont le rapport des capacités thermiques \gamma est supposé constant, la loi de Laplace s'écrit sous la forme :
T\, P^{\frac{1-\gamma}{\gamma}} = \text{cte} \quad \Longleftrightarrow \quad \frac{T_{\text{final}}}{T_{\text{initial}}} = \left(\frac{P_{\text{final}}}{P_{\text{initial}}}\right)^{\frac{\gamma - 1}{\gamma}}
1. Compression isentropique 1 \to 2 : L'air passe de l'état initial (T_{\mathrm{i}1}, P_{\mathrm{a}}) à l'état (T_{\mathrm{i}2}, P_2) :
\frac{T_{\mathrm{i}2}}{T_{\mathrm{i}1}} = \left(\frac{P_2}{P_{\mathrm{a}}}\right)^{\frac{\gamma - 1}{\gamma}}
D'où l'expression de T_{\mathrm{i}2} :
\boxed{T_{\mathrm{i}2} = T_{\mathrm{i}1} \left(\frac{P_2}{P_{\mathrm{a}}}\right)^{\frac{\gamma - 1}{\gamma}}}
2. Détente isentropique 3 \to 4 : L'air se détend dans la turbine de l'état (T_{\mathrm{i}3}, P_2) à l'état (T_{\mathrm{i}4}, P_{\mathrm{a}}) :
\frac{T_{\mathrm{i}4}}{T_{\mathrm{i}3}} = \left(\frac{P_{\mathrm{a}}}{P_2}\right)^{\frac{\gamma - 1}{\gamma}}
En inversant le rapport des pressions pour exprimer T_{\mathrm{i}3}, on obtient :
\boxed{T_{\mathrm{i}3} = T_{\mathrm{i}4} \left(\frac{P_2}{P_{\mathrm{a}}}\right)^{\frac{\gamma - 1}{\gamma}}}
Résultat
$T_{i 2} = T_{i 1} (\frac{P _{2}}{P _{a}})^{\frac{γ - 1}{γ}}$ $T_{i 3} = T_{i 4} (\frac{P _{2}}{P _{a}})^{\frac{γ - 1}{γ}}$
Indice, stratégie et pièges de cette question

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