La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document; l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve un candidat repère ce qui lui semble une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.

On considère un combat entre trois tireurs

, qui se déroule en une suite d'épreuves de la façon suivante, jusqu'à élimination d'au moins deux des trois tireurs :

Tous les tirs sont indépendants les uns des autres.
Lorsque A tire, la probabilité pour qu'il atteigne son adversaire est égale à .
Lorsque B tire, la probabilité pour qu'il atteigne son adversaire est égale à .
Lorsque C tire, la probabilité pour qu'il atteigne son adversaire est égale à .
Lorsque qu'un des tireurs est atteint, il est définitivement éliminé des épreuves suivantes.
A chacune des épreuves, les tireurs non encore éliminés tirent simultanément et chacun d'eux vise le plus dangereux de ses rivaux non encore éliminés.
(Ainsi, à la première épreuve, A vise B tandis que B et C visent A ).
Pour tout nombre entier , on considère les événements suivants :
: "à l'issue de la -ième épreuve, et C ne sont pas encore éliminés ".
: "à l'issue de la -ième épreuve, seuls A et B ne sont pas encore éliminés ".
On définit de façon analogue les événements , et .
: "à l'issue de la -ième épreuve, seul A n'est pas éliminé ".
On définit de façon analogue les, événements et .
: "à l'issue de la -ième épreuve, les trois tireurs sont éliminés ".
Enfin, est l'événement certain, , Øo l'événement impossible.

PARTIE 1

On établit dans cette partie

quelques résultats probabilistes préliminaires.

Calcul de probabilités
(a) Exprimer, si et désignent deux événements quelconques d'un espace probabilisé donné, la probabilité de l'événement en fonction de et .
(b) En déduire la probabilité pour qu'à une épreuve à laquelle participent : (A rate son tir) et ( B ou C réussissent leur tir).
(c) En déduire la probabilité pour qu'à une épreuve à laquelle participent : (A réussit son tir) et ( B ou C réussissent leur tir).
Détermination de probabilités conditionnelles
(a) Montrer que l'événement est impossible pour tout nombre entier naturel .

Dans la suite, on ne considérera donc que les événements

.
(b) Expliciter la probabilité conditionnelle

.
(c) Expliciter

à l'aide de la question 1, puis donner

.
(d) Expliciter

.
(e) Expliciter

.
(f) Expliciter

.
3. Nombre moyen d'épreuves à l'issue desquelles s'achève le combat

On note

la variable aléatoire indiquant le nombre d'épreuves à l'issue duquel cesse le combat, c'est à dire au delà duquel il ne reste qu'un tireur au plus.
(a) Quelle est la probabilité de l'événement

?
(b) Soit

. Calculer la probabilité de l'événement suivant :

. Calculer la probabilité de la réunion des événements suivants pour

(pour

, il s'agit de l'événement

)
(d) Soit

. Calculer la probabilité de la réunion des événements suivants pour

(pour

, il s'agit de l'événement

)
(e) Soit

. Calculer la probabilité

pour que le combat ne soit pas terminé à l'issue de la

-ième épreuve, et en déduire la probabilité

(on vérifiera que cette formule redonne bien pour

le résultat obtenu à la question 3 a.
(f) Vérifier que la somme de la série de terme général

(avec

) est égale à 1 , puis déterminer sous forme de fraction irréductible l'espérance

de la variable aléatoire

PARTIE Il

Dans cette partie, on détermine les probabilités pour que

remportent le combat.

Expression de la matrice de transition
(a) On considère la matrice-colonne à sept lignes dont les sept éléments sont dans cet ordre, du haut vers le bas, .
Expliciter une matrice carrée d'ordre 7 vérifiant pour tout nombre entier naturel :

On vérifiera que la somme de chacune des sept colonnes de cette matrice M est égale à 1
(b) En déduire

en fonction de

, de

.
2. Calcul des puissances de la matrice

(a) On considère deux matrices carrées d'ordre 3 notées

et deux matrices rectangulaires à 4 lignes et 3 colonnes notées

et l'on forme les matrices carrées d'ordre 7

où

désigne la matrice nulle à 3 lignes et 4 colonnes et

la riatrice-identité d'ordre 4 . Vérifier à l'aide des règles du produit matriciel l'égalité suivante :

(b) Expliciter les matrices

telles que :

l'égalité suivante :

3. Diagonalisation de la matrice

(a) Déterminer les valeurs propres

avec

et les vecteurs propres associés

tels que:

la première composante de vaut 1 .
la troisième composante de vaut 1 .
la deuxième composante de vaut 1 .
(b) On note la matrice d'ordre 3 dont les vecteurs-colonnes sont, dans cet ordre, . Expliciter la matrice inverse et préciser la matrice .

Calcul de la limite des puissances de la matrice
(a) Expliciter les matrices et .
(b) On dit qu'une suite de matrices ( ) à lignes et colonnes converge vers une matrice à lignes et colonnes si chaque coefficient de la matrice converge quand tend vers vers le coefficient correspondant de la matrice .
On admettra (sous réserve d'existence) que la limite d'un produit est le produit des limites. Expliciter à l'aide des résultats précédents les limites des deux suites matricielles ( ) et ( ), puis des trois suites matricielles et .
(c) En déduire enfin les limites des deux suites matricielles ( ) et ( ).
(d) Vérifier que les suites et convergent vers 0 et expliciter sous forme d'une fraction irréductible les limites des suites .Comparer les probabilités respectives pour que remportent le combat.

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\title{CONCOURS D'ADMISSION }

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