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BCE Maths appliquees EDHEC ECE 2000

Epreuve de maths appliquees - ECE 2000

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Probabilités finies, discrètes et dénombrementSuites et séries de fonctionsAlgèbre linéaireFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Nombres complexes et trigonométrie, calculs, outilsStatistiques
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Banque
BCE
Année
2000
Filière
ECE
Matière
Mathématiques
Annales BCE ECE MathématiquesBCE ECE 2000ECE MathématiquesMathématiques 2000

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Description

Annale de maths appliquees BCE EDHEC pour la filiere ECE, session 2000.

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055ac2b6-4836-4ada-b3e4-4ea9a7cd962c

ECOLE DE HAUTES ETUDES COMMERCIALES DU NORD
Concours d'admission sur classes préparatoires

MATHEMATIQUES
Option économique

Mercredi 3 mai 2000, de 8h à 12h

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer, dans la mesure du possible, les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document ; seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.

L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.

Exercice 1

  1. Déterminer l'ensemble des réels tels que .
On définit la fonction par : .
On note ( ) sa courbe représentative dans un repère orthonormé ( ).
2) a. Étudier les variations de et donner les limites de aux bornes de .
b. En déduire l'existence d'un unique réel vérifiant , puis donner la valeur exacte de .
c. Montrer que le coefficient directeur de la tangente ( ) à la courbe ( ) au point d'abscisse vaut .
3) a. Calculer .
b. En déduire l'équation de l'asymptote ( ) à la courbe ( ) au voisinage de .
c. Donner la position relative de ( ) et ( ).
4) Donner l'allure de la courbe ( ) en faisant figurer les droites ( ) et ( ).
On admettra que et que .
5) Soit un réel, on note la fonction définie par :
a. On pose . Après avoir calculé , déterminer en fonction de pour que soit une densité de probabilité d'une certaine variable aléatoire .
b. Donner la fonction de répartition .

Exercice 2

Soit la matrice .
On note l'ensemble des matrices de vérifiant : .
  1. a. Montrer que est un espace vectoriel.
    b. Montrer par l'absurde qu'aucune matrice de n'est inversible.
  2. Soit une matrice .
    a. Montrer que : et , puis en déduire la forme des matrices de .
    b. Retrouver le fait que les matrices de ne sont pas inversibles.
    c. Déterminer une base de et vérifier que .
  3. On considère l'ensemble des matrices de la forme où et sont des réels.
    a. Vérifier que est un sous-espace vectoriel de et donner une base de .
    b. Les matrices de sont-elles diagonalisables ?
    c. Dans cette question, on appelle la matrice de telle que : et .
Trouver les valeurs propres de et exhiber un vecteur colonne propre pour chacune d'entre elles.
4) On note l'application de dans qui à toute matrice de associe le nombre , où désigne l'élément de la matrice situé à l'intersection de la è ligne et de la è colonne.
a. Montrer que est une application linéaire de dans .
b. Déterminer . En déduire que est de dimension 2 .
c. Soit une matrice .
Exprimer en fonction de et et en déduire une base de .

Exercice 3

Pour tout entier supérieur ou égal à 1 , on définit la fonction par : .
  1. a. Montrer que l'équation n'a qu'une seule solution strictement positive, notée .
    b. Calculer et .
    c. Vérifier que : .
  2. a. Montrer que, pour tout élément de , on a : .
    b. En déduire le signe de , puis les variations de la suite .
    c. Montrer que la suite ( ) est convergente. On note sa limite.
  3. a. Déterminer la limite de lorsque tend vers .
    b. Donner enfin la valeur de .
  4. Montrer que la série de terme général est convergente.

Problème

On lance indéfiniment une pièce donnant "Pile" avec la probabilité et "Face" avec la probabilité . On suppose que et on admet que les lancers sont mutuellement indépendants.
Pour tout entier naturel , supérieur ou égal à 2 , on dit que le è lancer est un changement s'il amène un résultat différent de celui du è lancer.
On note resp l'événement : «on obtient "Pile" (resp "Face") au ème lancer ». Pour ne pas surcharger l'écriture on écrira, par exemple, à la place de . Pour tout entier naturel supérieur ou égal à 2 , on note la variable aléatoire égale au nombre de changements survenus durant les premiers lancers.

Partie 1 : étude de quelques exemples.

  1. Donner la loi de .
  2. a. Donner la loi de .
    b. Vérifier que et que .
  3. a. Trouver la loi de .
    b. Calculer .

Partie 2 : étude du cas .

Dans cette partie, désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2 .
  1. Exprimer en fonction de et .
  2. En décomposant l'événement ( ) en une réunion d'événements incompatibles, montrer que .
  3. En distinguant les cas pair et impair, exprimer en fonction de et .
  4. Retrouver, grâce aux trois questions précédentes, les lois de et .
  5. Pour tout entier naturel , supérieur ou égal à 2 , on note la variable aléatoire qui vaut 1 si le è lancer est un changement et 0 sinon ( est donc une variable de Bernoulli). Écrire à l'aide de certaines des variables et en déduire .

Partie 3 : étude du cas .

  1. Vérifier, en utilisant les résultats de la partie 1 , que et suivent chacune une loi binomiale.
  2. Montrer que, pour tout entier naturel supérieur ou égal à 2 , suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.

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