J-0
00m
00j
00h
00min
00s

Ecricome Maths approfondies ECS 2000

Epreuve de maths approfondies - ECS 2000

Notez ce sujet en cliquant sur l'étoile
0.0(0 votes)
Algèbre linéaireProbabilités finies, discrètes et dénombrementFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Intégrales généraliséesSuites et séries de fonctionsStatistiques
RetourLire
Logo concours Ecricome - Voir tous les sujets Ecricome

Voir tous les sujets

Logo concours Ecricome
🔗 Explorer
Banque
Ecricome
Année
2000
Filière
ECS
Matière
Mathématiques
Annales Ecricome ECS MathématiquesEcricome ECS 2000ECS MathématiquesMathématiques 2000

Téléchargements disponibles

Sujet et rapport

Télécharger le sujet →Rapport du jury → indisponible

Corrigés

Télécharger corrigé →

Lecture et formats

Lire en ligne →LaTeX →Word →

Description

Annale de maths approfondies Ecricome pour la filiere ECS, session 2000.

Lecture web du sujet

Version HTML avec rendu des formules, intégrée sur la page canonique.

PDF
74fd5dce-87b5-4433-aeed-b497e10e6436
CONCOURS D'ADMISSION 2000

Option scientifique

MATHÉMATIQUES

Lundi 22 mai 2000 de 8 h 00 à 12 h 00
Durée : 4 heures
Aucun instrument de calcul n'est autorisé. Aucun document n'est autorisé.
L'énoncé comporte 5 pages.
Les candidats sont invités à soigner la présentation de leur copie, à mettre en évidence les principaux résultats, à respecter les notations de l'énoncé, et à donner des démonstrations complètes (mais brèves) de leurs affirmations.

Exercice 1

m est un entier supérieur ou égal à 3. On identifie un vecteur de à la matrice colonne de ses coordonnées dans la base canonique. Toutes les matrices considérées sont à coefficients réeis.
Si est une matrice, on note sa transposée. On rappelle que pour deux matrices et . Si est une matrice carrée d'ordre , on note respectivement et le noyau et l'image de l'endomorphisme de dont la matrice dans la base canonique est M .
est muni de son produit scalaire canonique défini pour deux vecteurs et par : .
La norme euclidienne d'un vecteur , associée à ce produit scalaire, est notée .
Soit n un entier supérieur ou égal à -1. On dit qu'une matrice carrée d'ordre est de type si .
  1. a) Qu'est-ce qu'une matrice de type 0, de type 1 ?
    b) Donner un exemple, sous forme de tableau, de matrice non diagonale de type -1 .
On suppose désormais que n est strictement plus grand que 1.
2) Dans cette question seulement on suppose .
Soit un nombre réel et la matrice :
a) Démontrer par récurrence que pour tout entier strictement positif on a : .
b) Déterminer alors les réels tels que soit une matrice de type .
On revient au cas général quelconque et on considère maintenant une matrice carrée d'ordre et de type . On se propose d'établir quelques propriétés de A.
3) a) Etablir l'égalité .
b) On pose . Montrer que et que est une matrice symétrique.
c) Que peut-on en déduire quant aux valeurs propres de B ?
d) Soit V un vecteur propre de B associé à la valeur propre-1. En calculant de deux manières différentes montrer que l'on aboutit à une contradiction et qu'ainsi -1 ne peut pas être valeur propre de .
e) Montrer que B est une matrice de projecteur orthogonal.
4) a) Montrer que est inclus dans puis que .
b) Montrer que et que et sont supplémentaires orthogonaux.
5) Soit un vecteur de . Montrer que .
6) Montrer que si est inversible et de type alors est aussi de type -1 .
7) Montrer que si A est à la fois de type n et de type n+1 alors A est une matrice de projecteur orthogonal.

Exercice 2

et sont deux réels strictement positifs, est un réel vérifiant .
  1. a) Etablir la convergence de l'intégrale .
    b) Calculer J. (On pourra, par exemple, calculer au préalable aJ.)
On considère une suite de variables aléatoires définies sur un espace probabilisé , indépendantes et suivant la même loi exponentielle de paramètre b.
On considère également une variable aléatoire N définie sur le même espace probabilisé, indépendante des et suivant la loi géométrique de paramètre s. On admet que définie par est une variable aléatoire à densité.
On rappelle que si est un élément de alors est le plus grand des réels :
  1. Soit j un entier strictement positif et un réel positif. Calculer la probabilité conditionnelle .
  2. a) En déduire la fonction de répartition de la variable aléatoire .
    b) Déterminer une densité de .
  3. Montrer que admet une espérance et que l'on a: .
Seul le résultat de la question 4) est nécessaire pour traiter les questions suivantes.
5) Soit la fonction définie sur par : et pour .
a) Montrer que la fonction g est continue et bornée sur .
b) Etablir, pour tout réel t appartenant à [ [ et tout entier positif, l'égalité :
  1. Justifier la convergence, pour tout entier positif , de l'intégrale dt et la calculer. 7) Montrer alors que l'intégrale est convergente et égale à .
  2. On admet que la somme de cette série est .
Montrer que la valeur moyenne de sur , c'est-à-dire ds, est égale à .

Problème

p est un réel vérifiant .
Une entreprise dispose de copies d'un logiciel. Une proportion p de ces disquettes est infectée par un virus. Il est malheureusement impossible de discerner une copie saine d'une copie contaminée.
On suppose que le nombre peut s'écrire et étant deux entiers strictement supérieurs à 1 .
Un des responsables du service statistiques propose la méthode suivante pour assainir le lot:
Les copies initiales forment la génération 0 .
On prélève disquettes au hasard et avec remise dans la génération 0 , on les copie chacune en exemplaires. Les disquettes ainsi obtenues constituent la génération 1 .
On procède de la même façon pour fabriquer la génération 2 à partir de la génération 1, la génération 3 à partir de la génération 2 , etc. Durant tout le processus, la copie d'une disquette saine est saine, celle d'une disquette contaminée est automatiquement contaminée.
Le statisticien pense que si la proportion p initiale est faible, on a de bonnes chances d'obtenir un lot sain après un assez grand nombre d'opérations. L'objet de ce problème est de vérifier ou d'infirmer cette conjecture.

Résultat préliminaire

On considère un couple de variables aléatoires définies sur un espace probabilisé .
On suppose que et sont deux entiers strictement positifs.
On suppose que prend valeurs réelles et que prend valeurs réelles . désigne une fonction définie sur IR.
Pour tout entier j vérifiant , on définit le réel par : .
désigne l'espérance de la variable aléatoire .
Démontrer que .
fin du préliminaire

désigne dans tout le problème un entier positif ou nul.

On note le nombre de disquettes infectées obtenues parmi les disquettes tirées dans la génération pour constituer la génération .
  1. a) Quelles sont les valeurs prises par la variable aléatoire ?
    b) Pour j décrivant l'ensemble de ces valeurs, déterminer la loi conditionnelle de la variable sachant que l'événement ( ) est réalisé.
  2. a) En déduire, à l'aide du résultat préliminaire, une relation entre et .
    b) Montrer alors que pour tout entier positif on a: .
  3. On considère maintenant la variable aléatoire .
    a) En utilisant le préliminaire avec le couple ( ) et une fonction convenablement choisie, montrer que la suite de terme général est géométrique.
    b) Donner l'expression de en fonction de et .
    c) Montrer que la suite de terme général tend vers 0 quand tend vers l'infini.
  4. a) Que signifie concrètement l'événement ( ) ?
    b) Quelle est la plus petite valeur de quand j décrit l'ensemble ?
    c) En déduire, à l'aide de 3) c), que tend vers 0 quand tend vers l'infini.
    d) Calculer la limite de quand tend vers l'infini et interpréter ce résultat.
    e) Déterminer, en fonction de n uniquement, une valeur de telle que .
  5. On cherche maintenant à calculer la probabilité de l'événement suivant :
    "A partir d'un certain rang, les générations ne sont constituées que de disquettes infectées."
    a) Montrer que la suite d'événements est croissante pour l'inclusion.
    b) Que représente alors pour la suite ?
  6. Soit un entier vérifiant . Déterminer la limite de quand tend vers l'infini.
  7. En utilisant le résultat de la question 2), donner la valeur de P ( ).
  8. On cherche maintenant à calculer la probabilité de l'événement suivant :
G = " A partir d'un certain rang, les générations ne sont constituées que de disquettes saines."
a) Calculer P ( ).
b) Que pensez-vous de la méthode proposée par le statisticien?
9) Reprendre les questions 1), 2), 3) dans le cas de tirages sans remise.
Le fait que les tirages se fassent avec ou sans remise a-t-il une influence sur les résultats obtenus dans ce problème?

Pas de description pour le moment