BCE Maths appliquees emlyon ECE 2000
Epreuve de maths appliquees - ECE 2000
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Algèbre linéaireRéductionFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Intégrales généraliséesProbabilités finies, discrètes et dénombrementStatistiques
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Description
Annale de maths appliquees BCE emlyon pour la filiere ECE, session 2000.
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École Supérieure de Commerce de Lyon
CONCOURS D'ENTRÉE 2000
MATHEMATIQUES
1 ère épreuve (option économique)
Mardi 2 mai 2000 de 8 heures à 12 heures
Les candidats ne doivent faire usage d'aucun document; l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Les candidats ne doivent faire usage d'aucun document; l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Exercice 1
On considère la matrice carrée réelle d'ordre trois :
et l'endomorphisme
On considère, pour tout nombre réel
On considère, pour tout nombre réel
- a. Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de
.
b. Montrer queest diagonalisable. Déterminer une matrice réelle diagonale d'ordre trois et une matrice réelle inversible d'ordre trois telles que .
c. En déduire que, pour tout nombre réel, il existe une matrice réelle diagonale d'ordre trois, que l'on calculera, telle que .
d. Quel est l'ensemble des nombres réels a tels quesoit inversible ? - On se propose, dans cette question, de déterminer l'ensemble des nombres réels a tels qu'il existe une matrice
carrée réelle d'ordre trois vérifiant .
a. Soientun nombre réel et une matrice carrée réelle d'ordre trois tels que .
α) Montrer quecommute avec , puis que commute avec .
) On note l'endomorphisme de de matrice dans la base canonique de .
Déduire de la question précédente que tout vecteur propre deest vecteur propre de .
) Etablir qu'il existe une matrice réelle diagonale d'ordre trois telle que et montrer : .
En déduire : .
b. Réciproquement, montrer que, pour tout nombre réel a supérieur ou égal à 2 , il existe une matrice carrée réelled'ordre trois telle que .
c. Conclure.
Exercice 2
On considère la fonction
1.a. Montrer que
b. Montrer que
b. Montrer que
Pour tout réel
c. Montrer que
d. En déduire que
2. Montrer :
c. Montrer que
d. En déduire que
2. Montrer :
En déduire les variations de
3. Montrer que, pour tout
4. On considère la fonction
3. Montrer que, pour tout
4. On considère la fonction
a. Montrer que
b. Montrer :
c. En déduire que
d. Montrer que l'intégrale
b. Montrer :
c. En déduire que
d. Montrer que l'intégrale
En déduire que la fonction
Exercice 3
Soit
On dispose d'un jeu usuel de
On dispose d'un jeu usuel de
I. Premier protocole
Les cartes du jeu sont alignées sur une table de façon aléatoire. Le joueur découvre les cartes, de gauche à droite jusqu'à obtenir le premier roi rouge.
On note
On note
- Montrer :
. - Montrer :
.
On rappelle que pour tout entier naturel
3. Le joueur paie un franc chaque fois qu'il découvre une carte et gagne
On note
Ainsi, si le premier roi rouge apparaît à la
Déterminer l'espérance de la variable aléatoire
3. Le joueur paie un franc chaque fois qu'il découvre une carte et gagne
On note
Ainsi, si le premier roi rouge apparaît à la
Déterminer l'espérance de la variable aléatoire
II. Deuxième protocole
Les
Le joueur paie un franc chaque fois qu'il découvre une carte et gagne
On note
Ainsi, si le premier roi rouge apparait à la
Le joueur paie un franc chaque fois qu'il découvre une carte et gagne
On note
Ainsi, si le premier roi rouge apparait à la
- Pour tout entier
, déterminer . - Vérifier :
. - Montrer :
.
III. Comparaison des deux protocoles
On suppose le jeu constitué de 32 cartes (
Déterminer, selon les valeurs de
Déterminer, selon les valeurs de
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