CCINP Mathématiques 2 PC 2008

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction ; si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Pour tout nombre réel , on considère l'équation différentielle linéaire homogène du second ordre ( ) suivante :

On note la solution de sur qui vérifie les conditions initiales et .
I.1. Soit la fonction définie sur .
I.1.1. Montrer que est solution de sur .
I.1.2. Calculer et . En déduire que est impaire.
I.2. Déterminer en fonction de l'unique valeur de telle que la fonction soit solution de sur .
I.3. Soit la fonction définie sur .
I.3.1. Montrer que la dérivée de est solution sur [ de l'équation différentielle :

I.3.2. Déterminer l'ensemble des solutions de ( ) sur [.
I.3.3. Calculer et . En déduire que pour tout .
I.4. Soit une fonction impaire, définie sur un intervalle ouvert contenant 0 , développable en série entière sur . On note le développement en série entière de sur .
I.4.1. Montrer que pour que soit solution de sur , il faut et il suffit que l'on ait pour tout :

I.4.2. En déduire pour tout une expression de en fonction de et .
I.4.3. Pour quelles valeurs de l'équation admet-elle des solutions polynomiales impaires non identiquement nulles ?
I.4.4. On suppose que , que est solution de sur , et que . Déterminer le rayon de convergence de la série entière .
I.5. Déduire des questions précédentes que pour tout et tout [ on a :

I.6. Montrer que pour tout et tout on a :

où est une fonction polynomiale impaire de degré que l'on explicitera.
Expliciter en particulier et .

On considère la fonction de la variable réelle définie par :

II.1. Déterminer le domaine de définition de .
II.2. Montrer que est continue sur .

On admettra que est de classe sur , de dérivée .
II.3. Montrer que est strictement monotone sur et préciser son sens de variation.

II.4.1. A l'aide d'une intégration par parties, montrer que l'on a pour tout .
II.4.2. Calculer . En déduire la limite de lorsque tend vers -1 par valeurs supérieures.
II.4.3. Pour tout donner une expression de à l'aide de factorielles. En utilisant la formule de Stirling, déterminer un équivalent de lorsque tend vers . En déduire la limite de lorsque tend vers , puis celle de , lorsque tend vers .
II.4.4. Calculer . En déduire la valeur de pour tout .

Soit un nombre réel strictement supérieur à 1 , non entier. Soit la fonction -périodique définie sur par :

On note la série de Fourier de .

III.1.1. Préciser pourquoi est égale en tout point de à la somme de sa série de Fourier.
III.1.2. Que peut-on dire des coefficients , et ?
III.2. Pour tout on considère l'intégrale .
III.2.1. Montrer que .
III.2.2. A l'aide d'une intégration par parties, montrer que :

III.2.3. En déduire que .
III.2.4. Montrer que , où est un nombre réel strictement positif que l'on calculera en fonction de .
III.2.5. En déduire que pour tout on a , où .
III.3. Déduire de ce qui précède les valeurs de et de pour tout .