CCINP Mathématiques 2 PC 2008Sujet, corrigé et rapport du jury

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction ; si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Pour tout nombre réel s, on considère l'équation différentielle linéaire homogène du second ordre ( E_s ) suivante :

On note f_s la solution de (E_s) sur ] − 1, + 1[ qui vérifie les conditions initiales f_s(0) = 0 et f_s^′(0) = 1.
I.1. Soit g_s la fonction définie sur ] − 1, + 1[parg_s(x) = f_s(x) + f_s(− x).
I.1.1. Montrer que g_s est solution de (E_s) sur ] − 1, + 1[.
I.1.2. Calculer g_s(0) et g_s^′(0). En déduire que f_s est impaire.
I.2. Déterminer en fonction de s l'unique valeur de α ∈ ℝ telle que la fonction x ↦ (1 − x^2)^α soit solution de (E_s) sur ] − 1, + 1[.
I.3. Soit u_s la fonction définie sur ] − 1, + 1[paru_s(x) = (1 − x^2)^(s + 1)f_s(x).
I.3.1. Montrer que la dérivée u_s^′ de u_s est solution sur ] − 1, + 1 [ de l'équation différentielle :

I.3.2. Déterminer l'ensemble des solutions de ( E_s^′ ) sur ] − 1, + 1 [.
I.3.3. Calculer u_s^′(0) et u_s(0). En déduire que u_s(x) = ∫_0^x(1 − t^2)^s dt pour tout x ∈ ] − 1, + 1[.
I.4. Soit y une fonction impaire, définie sur un intervalle ouvert I contenant 0 , développable en série entière sur I. On note y(x) = ∑_(n = 0)^(+ ∞)c_n x^(2n + 1) le développement en série entière de y sur I.
I.4.1. Montrer que pour que y soit solution de (E_s) sur I, il faut et il suffit que l'on ait pour tout n ∈ ℕ :

I.4.2. En déduire pour tout n ∈ ℕ^∗ une expression de c_n en fonction de n et c_0.
I.4.3. Pour quelles valeurs de s ∈ ℝ l'équation (E_s) admet-elle des solutions polynomiales impaires non identiquement nulles ?
I.4.4. On suppose que s ∉ { − n − 3/2; n ∈ ℕ}, que y(x) = ∑_(n = 0)^(+ ∞)c_n x^(2n + 1) est solution de (E_s) sur I, et que c_0 ≠ 0. Déterminer le rayon de convergence de la série entière ∑_(n = 0)^(+ ∞)c_n x^(2n + 1).
I.5. Déduire des questions précédentes que pour tout s ∈ ℝ et tout x ∈ ] − 1, + 1 [ on a :

I.6. Montrer que pour tout p ∈ ℕ et tout x ∈ ] − 1, + 1[ on a :

où Q_p est une fonction polynomiale impaire de degré 2p + 1 que l'on explicitera.
Expliciter en particulier ∫_0^x(dt)/((1 − t^2)^(3/2)) et ∫_0^x(dt)/((1 − t^2)^(5/2)).

On considère la fonction β de la variable réelle x définie par :

II.1. Déterminer le domaine de définition de β.
II.2. Montrer que β est continue sur ] − 1, + ∞[.

On admettra que β est de classe C^1 sur ] − 1, + ∞[, de dérivée x ↦ β^′(x) = ∫_0^1(1 − t^2)^x ln(1 − t^2)dt.
II.3. Montrer que β est strictement monotone sur ] − 1, + ∞[ et préciser son sens de variation.

II.4.1. A l'aide d'une intégration par parties, montrer que l'on a β(x + 1) = (2x + 2)/(2x + 3)β(x) pour tout x > − 1.
II.4.2. Calculer β(0). En déduire la limite de β(x) lorsque x tend vers -1 par valeurs supérieures.
II.4.3. Pour tout n ∈ ℕ^∗ donner une expression de β(n) à l'aide de factorielles. En utilisant la formule de Stirling, déterminer un équivalent de β(n) lorsque n tend vers + ∞. En déduire la limite de β(n) lorsque n tend vers + ∞, puis celle de β(x), x ∈ ℝ, lorsque x tend vers + ∞.
II.4.4. Calculer β(− 1/2). En déduire la valeur de β(− 1/2 + n) pour tout n ∈ ℕ^∗.

Soit γ un nombre réel strictement supérieur à 1 , non entier. Soit φ_γ la fonction 2π-périodique définie sur ℝ par :

On note a_0(γ) + ∑_(n = 1)^(+ ∞)[a_n(γ)cosnx + b_n(γ)sinnx] la série de Fourier de φ_γ.

III.1.1. Préciser pourquoi φ_γ est égale en tout point de ℝ à la somme de sa série de Fourier.
III.1.2. Que peut-on dire des coefficients b_n(γ), n ∈ ℕ^∗, et a_(2p + 1)(γ), p ∈ ℕ ?
III.2. Pour tout p ∈ ℕ on considère l'intégrale I_p = ∫_0^(π/2)cos^γ x ⋅ cos2pxdx.
III.2.1. Montrer que I_p − I_(p + 1) = 2∫_0^(π/2)cos^γ xsinx ⋅ sin(2p + 1)xdx.
III.2.2. A l'aide d'une intégration par parties, montrer que :

III.2.3. En déduire que I_p − I_(p + 1) = (2p + 1)/(γ + 1)[I_p + I_(p + 1)].
III.2.4. Montrer que I_0 = β(γ^′), où γ^′ est un nombre réel strictement positif que l'on calculera en fonction de γ.
III.2.5. En déduire que pour tout p ∈ ℕ^∗ on a I_p = γ/(γ + 2p)A_p(γ)β(γ^′), où A_p(γ) = ∏_(k = 0)^(p − 1)(γ − 2k)/(γ + 2k).
III.3. Déduire de ce qui précède les valeurs de a_0(γ) et de a_(2p)(γ) pour tout p ∈ ℕ^∗.