X ENS Physique MP 2018Sujet, corrigé et rapport du jury

Q: Sur quoi porte le sujet de physique X-ENS MP 2018 ?

Sur la propulsion du lanceur Ariane 5 : thermodynamique de l'écoulement dans une tuyère de Laval, puis géométrie des propulseurs d'appoint. Le sujet mobilise la thermodynamique et la mécanique.

Q: Quelle est la moyenne de l'épreuve de physique X-ENS MP 2018 ?

Le rapport indique une moyenne de 10,32 avec un écart-type de 3,36 sur 1450 copies. Près de la moitié des notes (49,66 %) se situent entre 8 et 12.

Q: Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en physique X-ENS MP 2018 ?

Des applications numériques sans unité ou aberrantes, des calculs faux menant au résultat donné, une notation différentielle mal maîtrisée et des confusions entre écoulement unidimensionnel et débit constant.

Q: Combien de questions compte le sujet de physique X-ENS MP 2018 ?

Le sujet comporte 41 questions réparties en six parties, la dernière portant sur les propulseurs d'appoint.

Pas encore noté

Thermodynamique des systèmes ouverts
Gaz parfait et loi de Laplace
Écoulement unidimensionnel et débit massique
Célérité du son
Mécanique des systèmes à masse variable

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne

Propulsion du lanceur Ariane 5 : tuyère de Laval et propulseurs d'appoint

Le sujet étudie la propulsion des engins spatiaux à partir du lanceur Ariane 5. Il traite d'abord la thermodynamique de l'écoulement dans une tuyère de Laval (relation de Hugoniot, rôle du nombre de Mach, situation au col, adaptation en pression), puis l'optimisation de la géométrie des propulseurs d'appoint à poudre. Il comporte 41 questions et mobilise la thermodynamique et la mécanique.

11 : analyse préliminairePoussée, vitesse quadratique moyenne des molécules, célérité du son et nombre de Mach à l'entrée de la tuyère (questions 1 à 7).
22 : relation de HugoniotLien entre variation de section et variation de vitesse pour un écoulement unidimensionnel adiabatique réversible.
33 : dépendance des grandeurs avec le nombre de MachExpression des variations de vitesse, température et pression en fonction du nombre de Mach (à partir de la question 13).
44 : caractérisation de la situation au colRapport des sections pour une tuyère amorcée et lecture graphique de la section au col (questions 23 et 24).
55 : adaptation en pressionRégimes sous-détendu, adapté et sur-détendu et conditions en sortie de tuyère (à partir de la question 25).
66 : propulseurs d'appointÉvolution du débit selon la géométrie du canal des boosters et exploitation de la vitesse du lanceur (questions 36 à 41).

Difficulté moyenne. La moyenne est de 10,32 et un nombre non négligeable de candidats a atteint la dernière partie, rarement traitée de façon satisfaisante selon le rapport.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 10,32 / 20 · écart-type 3,36 · 1 450 présents · où vous situez-vous ?

Moyenne: 10,32/ 20
Écart-type: 3,36
Présents: 1 450

Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Où je me situe ?

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Bilan de poussée mal posé · Notation différentielle et coefficient γ · Unidimensionnel et débit constant confondus

Le sujet de 41 questions a permis à un nombre non négligeable de candidats d'aborder la dernière partie, sans la réussir le plus souvent. Le jury insiste sur le soin de la copie, l'unité des applications numériques et la justesse des calculs quand le résultat est donné. Il relève des confusions sur la gravité, sur l'uniformité du nombre de Mach dans la tuyère et sur la notation différentielle.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Bilan de poussée mal poséQ1
Le référentiel et le système ne sont pas précisés, la poussée est prise pour une force de frottement visqueux ou le système est déclaré isolé.
« Le système a régulièrement été qualifié d'isolé. »
2
Notation différentielle et coefficient γQ5, Q14
La variable maintenue constante lors de la dérivation est ignorée, et le coefficient γ est placé au hasard, jusque dans la loi des gaz parfaits.
« La notation différentielle ne doit pas masquer la réalité mathématique derrière »
3
Unidimensionnel et débit constant confondusQ8
Le caractère unidimensionnel de l'écoulement est confondu avec la conservation du débit massique.
« beaucoup de confusion entre le caractère unidimensionnel du problème et la constance du débit massique »
4
Résultats donnés obtenus par des calculs fauxQ9
Le jury vérifie particulièrement la justesse des calculs quand la réponse est fournie par l'énoncé.
« beaucoup de calculs faux arrivant au bon résultat. »
5
Ordres de grandeur aberrantsQ4, Q6, Q32
Des poussées de l'ordre de 10^-25 N, des vitesses allant de 0,6 m/s à 10^6 m/s, voire relativistes, ont été proposées sans commentaire.
6
Graphiques absents ou incompletsQ11
Un tableau de variations ne remplace pas une allure de courbe, et les axes doivent être nommés.
« beaucoup de candidat.e.s n’ont pas pris la peine de tracer des graphiques et ainsi perdu des points. »

Ce qui a été bien réussi

Un nombre non négligeable de candidats a pu aborder la dernière partie du problème.

Conseils du jury

Donner systématiquement l'unité des applications numériques et ne pas laisser de résultat sous forme de fraction.
Soigner l'écriture : des facteurs 2 disparaissent au fil des calculs peu lisibles.
Répondre aux questions qualitatives par une explication rédigée, pas par une paraphrase de l'énoncé.
Justifier sa réponse même quand ce n'est pas explicitement demandé.
Exprimer le résultat avec les grandeurs demandées par l'énoncé.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE - ÉCOLES NORMALES SUPÉRIEURES

COMPOSITION DE PHYSIQUE (XULCR)

(Durée : 4 heures)

L'utilisation de calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.
Les résultats des applications numériques seront donnés avec un chiffre significatif.

Étude du dispositif de propulsion du lanceur Ariane 5

Vulcain est le nom du moteur qui assure la propulsion de l'étage principal des lanceurs européens Ariane

5^1

. La réaction exothermique du dihydrogène et du dioxygène

^2

, dans une chambre de combustion, produit de la vapeur d'eau à hautes température et pression qui s'évacue à grande vitesse à travers une tuyère. C'est l'éjection
de ce gaz de combustion qui génère la poussée participant à propulsion de la fusée.
Une tuyère est un conduit qui permet de convertir, dans les meilleures conditions, l'énergie produite par la combustion en force propulsive. La figure (1) représente trois types de tuyère : divergente ; convergente ; convergentedivergente, connue sous le nom de tuyère de LAVAL.

Figure 1 - Chambre de combustion débouchant sur une tuyère pouvant présenter trois géométries : (a) divergente; (b) convergente; (c) convergente-divergente (tuyère de LAVAL).

Pour la première phase de vol, le propulseur Vulcain est assisté de deux puissants réacteurs à poudre qui fournissent la majeure partie de la poussée nécessaire au décollage.

Cadre (très simplifié) de l'étude du système de propulsion du moteur Vulcain :
Tous les gaz sont parfaits.
Dans la tuyère, l'écoulement du gaz est unidirectionnel (selon l'axe $Ox$ ) et unidimensionnel (les grandeurs sont uniformes sur toute section droite).
L'évolution du gaz le long de la tuyère est adiabatique et réversible. L'écoulement est stationnaire.
La gravité est négligée dans l'étude de la tuyère.

Grandeurs, définitions, notations et données utilisées dans cette étude :
La variable $x$ représente l'abscisse le long de la tuyère. L'origine est choisie en sortie de la chambre de combustion, ce qui correspond également à l'entrée de la tuyère.
Les grandeurs physiques, à l'abscisse $x$ : la pression $P(x)$ ; la température $T(x)$ ; la masse volumique $ρ(x)$ ; la vitesse $v(x)$ ; la célérité du son $c(x)$ ; le nombre de Mach $M(x) \equiv v(x)/c(x)$ ; l'aire $A(x)$ de la section de la tuyère.
Pour $x = 0$ , ces grandeurs portent l'indice " 0 ".
Les pression et température dans la chambre de combustion : $P_0 = 110 \times 10^5 Pa, T_0 = 3500 K$ .
La constante spécifique de la vapeur d'eau : $r \equiv R/M_(H_2 O) = 462 J \cdot K^(- 1) \cdot kg^(- 1)$ , où $R$ est la constante des gaz parfaits et $M_(H_2 O)$ est la masse molaire de l'eau.
Le rapport des capacités calorifiques ( $C_P/C_V$ ) pour la vapeur d'eau: $γ = 1, 3$ (supposé constant).
Les diamètre et section d'entrée de la tuyère : $d_0 = 0, 5 m, A_0 ≃ 0, 196 m^2$ .
La masse de gaz de combustion produit par unité de temps : $D = 250 kg \cdot s^(- 1)$ . Ce débit est supposé constant.
La masse initiale de l'ensemble de la fusée (avec carburants et comburants) : $m_(F0) = 800 \times 10^3 kg$ .
La différentielle $df$ désigne l'accroissement infinitésimal de la fonction $f$ entre les abscisses $x$ et $x + dx$ .
Nous appelons différentielle logarithmique d'une fonction $f$ , la grandeur :

(df)/f = d(ln(f/f_0)) (f/f_0 \in ℝ_+^⋆)

En particulier, appliquée à un produit de deux fonctions de la forme

P = f^α g^β

, elle s'écrit :

(dP)/P = α(df)/f + β(dg)/g

Le symbole " $\equiv$ " spécifie une égalité introduisant et définissant une grandeur.

1 Analyse préliminaire.

Nous notons $v⃗_s = v_s e⃗_x$ la vitesse du gaz en sortie de tuyère, par rapport à la fusée. La force $F⃗$ , dite de poussée, ressentie par la fusée, s'exprime :

F⃗ = - Dv_s e⃗_x

Proposer une brève argumentation en faveur de cette expression.
2. En précisant les éventuelles hypothèses introduites, exprimer la vitesse quadratique moyenne

⟨v⃗^2⟩

de la vapeur d'eau dans la chambre de combustion. On fera apparaître la constante spécifique

r

.
3. Exprimer la poussée (notée

F_(th)

) qui serait fournie, directement en sortie de chambre (en absence de tuyère), si elle était la conséquence de la conversion idéalisée de l'énergie produite par la combustion. On considérera alors que le gaz, à la température

T_0

, traverse la section

A_0

à la vitesse

v_(th) \equiv ⟨v⃗^2⟩^(1/2)

. On exprimera ce résultat en fonction de

P_0

A_0

.
4. Calculer sa valeur. Commenter ce résultat.
5. Exprimer, en fonction de

γ, r

T

, le rapport

dP/dρ

que nous noterons

c^2

. La grandeur

c

est identifiée à la célérité des ondes sonores (en évolution adiabatique réversible) dans le gaz. Dans la suite, nous appellerons nombre de MACH le rapport

M \equiv v/c

.
6. Nous considérons dorénavant le mode de fonctionnement non idéalisé du propulseur. Exprimer la vitesse

v_0

du gaz à l'entrée de la tuyère en fonction de

P_0, T_0, D, A_0

r

. Calculer sa valeur.
7. Calculer la valeur du nombre de

MACHM_0

à l'entrée de la tuyère. En déduire la nature subsonique (

M_0 < 1

) ou supersonique

(M_0 > 1)

de l'écoulement gazeux. Le calcul donne

c_0 ≃ 1450 m \cdot s^(- 1)

2 Relation de Hugoniot.

tielles

dA

dv

, paramétrée par le nombre de Mach

M

Nous admettons que les différentielles de la vitesse et de la pression sont reliées par l'égalité, issue du principe fondamental de la dynamique :

ρv dv = - dP

Justifier que le produit $ρvA$ est uniforme le long de la tuyère.
Exprimer la différentielle logarithmique du produit $ρvA$ . En y faisant apparaître $c^2$ et intervenir la relation (4), établir l'égalité, connue sous le nom de relation de Hugoniot :

(dA)/A = (M^2 - 1)(dv)/v

L'expression de la poussée donnée par la relation (3) révèle que, pour un débit $D$ fixé, cette force est d'autant plus grande que la vitesse d'éjection des gaz est élévée. En considérant que $M_0 < 1$ , indiquer quelle(s) tuyère(s) répresentée(s) figure (1) ne présente(nt) pas la géométrie adaptée.
Dans le cas d'une tuyère convergente-divergente (et toujours pour $M_0 < 1$ ), donner l'allure des deux évolutions envisageables de la vitesse le long de la tuyère. On raisonnera à partir de l'évolution du signe de $dA$ le long d'une telle tuyère. En déduire la condition assurant la croissance monotone de la vitesse depuis son entrée jusqu'à sa sortie. La tuyère est alors dite amorcée. C'est dans cette situation que nous chercherons à la faire fonctionner.
Une tuyère divergente équipe pourtant certains propulseurs d'avions de chasse. Préciser leur condition de fonctionnement.

3 Dépendance des grandeurs avec le nombre de MACH.

La relation de Hugoniot n'est pas immédiatement exploitable car le nombre de Mach dépend de la vitesse

v(x)

mais également de la température

T(x)

, à travers la célérité du son

c(x)

. Nous allons d'abord établir une relation différentielle liant les seules variables

A

M

.
13. Exprimer

dM/M

en fonction de

dv/v

dT/T

.
14. En traduisant la propriété d'adiabaticité et de réversibilité de l'évolution, et en utilisant la relation (4), exprimer

dv/v

en fonction de

dT/T, M

γ

.
15. Enfin, en faisant disparaître

v

au profit de

M

dans l'équation (5), établir la relation cherchée :

(dA)/A = (M^2 - 1)/(1 + αM^2)(dM)/M

où

α

est une constante positive que l'on explicitera.

En vue d'intégrer cette équation différentielle à variables séparées, décomposons d'abord la fonction $g$ définie par $g(M) = 1/A(dA)/(dM)$ en éléments simples. Écrivons-là :

g(M) = (M^2 - 1)/(M(1 + αM^2)) = (C_1)/M + (C_2 + C_3 M)/(1 + αM^2)

Déterminer les constantes $C_1, C_2$ et $C_3$ .
Intégrer l'équation différentielle (6). Nous écrirons sa solution sous la forme $Af(M) =$ Cste en choisissant $f$ telle que $(f(M))/M\to-^(M \to 0)1$ . Nous poserons $β = (1 + α)/(2α)$ .
Justifier que la fonction $f$ admet un extremum. Le situer sur l'axe des abscisses. Ces résultats peuvent s'obtenir avec un minimum de calculs.
En déduire l'allure graphique de la fonction $A = A(M)$ . On marquera d'une étoile le point $(M_0, A_0)$ .
Pour des conditions d'entrée fixées ( $P_0, T_0, A_0, D$ ) (avec toujours $M_0 < 1$ ), décrire les parcours possibles du point ( $M, A$ ) sur ce tracé lorsque le gaz progresse de l'entrée à la sortie de la tuyère (convergente-divergente), selon l'importance de la restriction de sa section au col.
En déduire l'allure de la dépendance de $M$ avec l'abscisse $x$ , pour une tuyère amorcée ( $M = 1$ au col).
Sur le même graphe, donner l'allure de cette dépendance pour un nombre de MACH $M_0^'$ , à l'entrée de la même tuyère, légèrement inférieur ( $M_0^' < M_0 < 1$ ).

4 Caractérisation de la situation au col.

Nous affectons l'indice "c" aux grandeurs relatives au col de la tuyère.
23. Exprimer le rapport

k_(c0) \equiv A_c/A_0

pour la tuyère amorcée (

M_c = 1

), en fonction de

α, β

M_0

. Commenter ce résultat.
24. On utilisant la figure (2) représentant la dépendance du rapport

A/A_c

avec

M

, déterminer la valeur de

k_(c0)

puis celle de la section

A_c

Figure 2 - Dépendance du rapport de sections

A/A_c

avec

M

5 Adaptation en pression.

Pour des paramètres fixés à l'entrée de la tuyère, la relation de Hugoniot permet d'établir la condition de son amorçage mais elle n'en impose aucune à sa sortie. Nous admettons que le fonctionnement de la tuyère est optimal lorsque la pression à sa sortie est égale à la pression extérieure (absence d'onde de choc, ou de détente). La tuyère est alors dite "adaptée". Nous notons

P_e

cette pression et la choisissons égale à

10^5 Pa

(situation de la fusée au décollage). La figure (3) illustre les trois régimes de fonctionnement possibles, en sortie de tuyère. Nous affectons l'indice "

s

" aux grandeurs relatives à la sortie de la tuyère.
25. Proposer une association argumentée de chacun des trois cas illustrés sur la figure (3) au régime sousdétendu (

P_s > P_e

), adapté (

P_s = P_e

) ou sur-détendu (

P_s < P_e

) qui lui correspond.

Figure 3 - Les trois régimes de fonctionnement de la tuyère selon la situation de la pression du gaz à sa sortie, par rapport à la pression extérieure

P_e

. Le gaz de combustion occupe le domaine grisé.

Montrer que la relation différentielle liant $dv$ à $dT$ , établie en réponse à la question (14), conduit à la relation :

(γr)/(γ - 1) dT + v dv = 0

Indiquer la loi de conservation qu'elle traduit.
27. En utilisant le résultat de la question (13), déduire la relation :

T(1 + αM^2) = Cste

Établir une relation similaire liant la pression au nombre de MACH.
Exprimer alors $M_s^2$ à la sortie de la tuyère correspondant à son adaptation à la pression $P_e$ . Donner une forme approchée de cette relation en tenant compte des ordres de grandeur des termes qui y interviennent.
Extraire la valeur de $M_s$ de la figure (4) représentant la dépendance de $P/P_0$ avec $M$ .

Figure 4 - Dépendance du rapport

P/P_0

avec

M

, en coordonnées semi-logarithmiques.

Extraire, de la figure (2) représentant la dépendance du rapport $A/A_c$ avec $M$ , la valeur du rapport $k_(sc) \equiv A_s/A_c$ dans les conditions d'adaptation à la pression $P_e$ .
En s'aidant de la figure (5) représentant la dépendance du rapport $T/T_0$ avec $M$ , calculer la force de poussée $F_s$ . Commenter la comparaison de cette force avec le poids de la fusée puis à la force $F_(th)$ calculée question (3).

Figure 5 - Dépendance du rapport

T/T_0

avec

M

Dans le cas du moteur Vulcain, le rapport $k_(sc)$ est choisi égal à 45 . Au décollage, le régime est-il alors adapté, sous-détendu ou sur-détendu? Donner une raison possible de ce choix.
Indiquer, par exemple à l'aide d'un schéma, où s'appliquent les efforts qui contribuent à la poussée de la fusée. Préciser la difficulté technique que cela soulève.
Parmi toutes les hypothèses adoptées a priori, indiquer, sur la base d'une brève argumentation, celle qui paraît la plus discutable.

6 Propulseurs d'appoint.

Le moteur Vulcain n'assure qu'une proportion réduite de la poussée lors de la sortie de l'atmosphère. La fusée Ariane est flanquée de deux très puissants propulseurs latéraux (ou boosters). Les carburant et comburant sont mélangés en proportion stœchiométrique et forment, avec un liant, un milieu solide (nommé grain) dont la combustion produit le gaz de propulsion. Le grain, de forme générale cylindrique, comporte, sur toute la hauteur du booster, un canal de forme appropriée, qui tient lieu de chambre de combustion. La réaction chimique est initiée par une dispositif d'allumage (en haut du booster). Après une phase transitoire de propagation, la combustion s'effectue uniformément sur la surface du canal. Le gaz produit s'échappe à la base du booster qui se termine par une tuyère, tout comme le moteur Vulcain. La figure (6) présente trois géométries de canal.

Figure 6 - Différentes géométries du canal dans un booster : a) canal plan, b) canal cylindrique et c) canal annulaire.

Nous notons

H

la hauteur du booster,

R_0

son rayon,

μ

la masse volumique du mélange réactif solide,

Q = Q(t)

le débit de masse de gaz éjecté. Nous considérons que la vitesse

u

du front de combustion (interface de combustion
où s'effectue la transformation du grain en gaz) est constante. Nous négligeons la présence du liant (en faible proportion) dans le composé réactif solide.
36. Sans calcul, tracer l'allure de la dépendance temporelle du débit

Q

pour les boosters (a) et (b). On veillera à attribuer à chacun des ces tracés la courbure qui lui correspond.
37. Le booster (c) est percé d'un canal annulaire de rayons initiaux

R_0/2

R_0/2 + e_0

. Exprimer le débit

Q(t)

en fonction des paramètres du booster. Nous considérerons que

e_0≪R_0

.
38. Tracer l'allure de l'évolution de ce débit au cours du temps.
39. Quelle conception semble-t-elle la plus appropriée ? Une argumentation est attendue.
40. Le booster (c) présente un inconvénient pratique : la fixation du cylindre central aux parois du booster est fragile et peut céder au cours du vol. Proposer une géométrie de canal, inspirée des configurations (a) et (b), qui présente l'avantage de la conception (c) sans son inconvénient de fragilité.
41. La figure (7) représente l'évolution de la vitesse du lanceur Ariane 5 sur le début de son vol. Le point repéré par une étoile situe l'extinction des boosters. Sur la première phase (

t \in [0, t^⋆]

), la masse du lanceur s'est réduite de 800 à 250 tonnes. Sur cette phase, sa trajectoire est quasi-verticale. Quelques secondes après leur extinction, les boosters sont largués, ce qui déleste la fusée d'encore 76 tonnes. Interpréter cette évolution. Estimer la poussée au décollage. La comparer à la participation du moteur Vulcain calculée en question (32). On indiquera le poucentage de contribution du moteur Vulcain à la poussée totale (au décollage).

Figure 7 - Évolution de la vitesse du lanceur Ariane 5, en fonction du temps, sur les 200 premières secondes de son vol. Le point repéré par une étoile, à la cassure du tracé, correspond au temps

t^⋆ ≃ 110 s

1. Ces lanceurs sont utilisés pour le transport et la mise sur orbite de satellites.
2. Ces carburant et comburant sont stockés, sous leur état liquide, chacun dans un réservoir.

Questions fréquentes

4 questions

Sur quoi porte le sujet de physique X-ENS MP 2018 ?

Sur la propulsion du lanceur Ariane 5 : thermodynamique de l'écoulement dans une tuyère de Laval, puis géométrie des propulseurs d'appoint. Le sujet mobilise la thermodynamique et la mécanique.

Quelle est la moyenne de l'épreuve de physique X-ENS MP 2018 ?

Le rapport indique une moyenne de 10,32 avec un écart-type de 3,36 sur 1450 copies. Près de la moitié des notes (49,66 %) se situent entre 8 et 12.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en physique X-ENS MP 2018 ?

Des applications numériques sans unité ou aberrantes, des calculs faux menant au résultat donné, une notation différentielle mal maîtrisée et des confusions entre écoulement unidimensionnel et débit constant.

Combien de questions compte le sujet de physique X-ENS MP 2018 ?

Le sujet comporte 41 questions réparties en six parties, la dernière portant sur les propulseurs d'appoint.

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