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Comparaison des zéros de solutions d'équations différentielles du second ordre x''-p(t)x=0, fonction de comptage des zéros et comportement asymptotique des valeurs propres
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Le problème étudie l'équation différentielle x''(t) - p(t)x(t) + λx(t) = 0 et le nombre de zéros de ses solutions sur [0,1]. Il établit d'abord un théorème de comparaison de type Sturm entre les zéros de deux équations dont les potentiels sont ordonnés, puis étudie la régularité de la solution en fonction du paramètre λ. Il analyse ensuite la fonction de comptage des zéros Z_p(λ) et obtient, sous une hypothèse de régularité supplémentaire sur p, un développement asymptotique précis des valeurs de λ pour lesquelles le nombre de zéros augmente.

  1. 1Partie IÉtablit un théorème de comparaison entre les zéros de solutions de deux équations différentielles dont les potentiels p et q sont ordonnés.
  2. 2Partie IIÉtudie la continuité et la différentiabilité de la solution x_λ(t) par rapport au couple (λ,t) à l'aide d'estimations sur des normes matricielles.
  3. 3Partie IIIDéfinit la fonction de comptage des zéros Z_p(λ) sur ]0,1], montre qu'elle est croissante et étudie la suite des valeurs λ_k où elle augmente.
  4. 4Partie IVSous l'hypothèse que p est de classe C1, obtient un développement asymptotique précis de sqrt(λ_k) et du comportement de x_λ_k.

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE

CONCOURS D'ADMISSION 2018
FILIÊRE MP

COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES - B - (X)

(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

Notations

Dans ce problème, N, M et P désignent des entiers naturels non nuls. Soit ℳ_(N, M)(ℝ) l'ensemble des matrices réelles à N lignes et M colonnes. Si A = (a_(i, j))_(1 ⩽ i ⩽ N, 1 ⩽ j ⩽ M) ∈ ℳ_(N, M)(ℝ), on note
‖A‖ = max_(1 ⩽ i ⩽ N)∑_(j = 1)^M|a_(i, j)|.
Il s'agit d'une norme sur ℳ_(N, M)(ℝ). On note ℳ_N(ℝ) = ℳ_(N, N)(ℝ) l'ensemble des matrices carrées de taille N et on identifie ℝ^N à l'espace vectoriel des matrices colonnes réelles ℳ_(N, 1)(ℝ). L'espace vectoriel ℝ^N est ainsi également normé : si X = (x_i)_(1 ⩽ i ⩽ N) ∈ ℝ^N, ‖X‖ = max_(1 ⩽ i ⩽ N)|x_i|.
Si n ∈ ℕ est un entier naturel et I un intervalle de ℝ, on note 𝒞^n(I) l'espace vectoriel des fonctions sur I, à valeurs réelles, de classe 𝒞^n, c'est à dire n fois dérivables sur I et dont la n-ième dérivée est continue sur I.
On munit 𝒞^0([0, 1]) de la norme ‖ ⋅ ‖_∞ définie par :
‖f‖_∞ = sup_(0 ⩽ t ⩽ 1)|f(t)|.
On note |S| le cardinal d'un ensemble fini S. Pour tout nombre réel a, on note ⌊a⌋ la partie entière de a, c'est-à-dire le plus grand entier n ∈ ℤ tel que n ⩽ a.

Partie I

Dans cette partie, on considère p ∈ 𝒞^0(ℝ), et x ∈ 𝒞^2(ℝ) une solution non nulle de l'équation différentielle :
∀t ∈ ℝ, x^(′′)(t) − p(t)x(t) = 0
On note 𝒵 = {t ∈ [0, 1]|x(t) = 0} l'ensemble des zéros de x sur [0, 1].
1a. Soit s ∈ [0, 1] tel que x(s) = 0. Montrer que x^′(s) est non nul.
1b. Montrer que 𝒵 est fini.
2. On pose n = |𝒵|. On suppose dans cette question que n ⩾ 2. On note a_1, …, a_n les zéros de x, rangés en ordre croissant. Soit q ∈ 𝒞^0(ℝ) tel que
∀t ∈ [0, 1], q(t) < p(t)
On considère une fonction y ∈ 𝒞^2(ℝ) telle que
∀t ∈ [0, 1], y^(′′)(t) − q(t)y(t) = 0
On fixe j ∈ {1, …, n − 1}. Le but de cette question est de montrer que y s'annule sur ]a_j, a_(j + 1)[.
2a. On suppose d'abord que
∀t ∈ ]a_j, a_(j + 1)[, x(t) > 0 et y(t) > 0
et on note
w(t) = y(t)x^′(t) − y^′(t)x(t)
Montrer que w(a_(j + 1)) > w(a_j). En déduire une contradiction.
2b. Montrer qu'il existe t ∈ ]a_j, a_(j + 1)[ tel que y(t) = 0.
On fixe dans toute la suite du sujet p ∈ 𝒞^0(ℝ). Pour tout réel λ, on note x_λ ∈ 𝒞^2(ℝ) l'unique solution de
{x_λ^(′′)(t) − p(t)x_λ(t) + λx_λ(t) = 0 pour tout t ∈ ℝ; x_λ(0) = 0, x_λ^′(0) = 1

Partie II

  1. Soient a, b, T trois réels strictement positifs.
3a. On considère une fonction f : [0, T] → ℝ continue telle que
∀t ∈ [0, T], f(t) ⩽ a + b∫_0^t f(s)ds
Montrer que pour tout t ∈ [0, T], f(t) ⩽ ae^(bt).
On pourra étudier les variations de la fonction définie par t ↦ φ(t) = e^(− tb)(a + b∫_0^t f(s)ds).
3b. On considère une fonction X : [ − T, T] → ℳ_(N, M)(ℝ) de classe 𝒞^1 telle que
∀t ∈ [ − T, T], ‖X^′(t)‖ ⩽ a + b‖X(t)‖
Montrer que pour tout t ∈ [ − T, T], ‖X(t)‖ ⩽ (‖X(0)‖ + aT)e^(b|t|).
4. Soit A ∈ ℳ_(N, M)(ℝ) et B ∈ ℳ_(M, P)(ℝ). Montrer que ‖AB‖ ⩽ ‖A‖‖B‖.
On note X_λ(t) = ((x_λ(t))/(x_λ^′(t))) et on définit l'application Φ : ℝ^2 → ℝ^2; (λ, t) ↦ X_λ(t).
5. Montrer que X_λ est de classe 𝒞^1 sur ℝ et que pour tout t ∈ ℝ, X_λ^′(t) = A_λ(t)X_λ(t) où A_λ(t) est une matrice de ℳ_2(ℝ) que l'on précisera.
Dans les question 6, 7 et 8, on se donne R > 0 et on note
c = sup{‖A_λ(t)‖|(t, λ) ∈ [ − R, R]^2}
  1. Justifier que c est bien défini et montrer que
∀t ∈ [ − R, R], ‖X_λ(t)‖ ⩽ e^(c|t|)
7a. Soit (s, t, λ) ∈ [ − R, R]^3. Montrer que
‖X_λ(t) − X_λ(s)‖ ⩽ ce^(cR)|t − s|
7b. Soit (t, λ, μ) ∈ [ − R, R]^3. Montrer que
‖X_λ(t) − X_μ(t)‖ ⩽ Re^(2cR)|λ − μ|
7c. Conclure que Φ est continue sur ℝ^2.
8a. Montrer qu'il existe une fonction ω : ℝ^+ → ℝ^+croissante, continue, et telle que ω(r) → 0 quand r → 0 et
∀(s, t) ∈ [ − R, R]^2, |p(t) − p(s)| ⩽ ω(|t − s|)
8b. Montrer qu'il existe une fonction α : ℝ^+ → ℝ^+continue telle que α(r) = o(r) quand r → 0 et
∀(s, t, λ) ∈ [ − R, R]^3, ‖X_λ(t) − X_λ(s) − (t − s)A_λ(s)X_λ(s)‖ ⩽ α(|t − s|)
8c. Pour tout μ ∈ ℝ, on définit la fonction Y_μ : ℝ → ℝ^2, solution de l'équation différentielle
∀t ∈ ℝ, Y_μ^′(t) = A_μ(t)Y_μ(t) − (0, 0; 1, 0)X_μ(t), avec Y_μ(0) = (0/0)
Montrer que
∀(t, λ, μ) ∈ [ − R, R]^3, ‖X_λ(t) − X_μ(t) − (λ − μ)Y_μ(t)‖ ⩽ R^2 e^(3cR)|λ − μ|^2
8d. Montrer que Φ est différentiable sur ℝ^2 et préciser sa différentielle.
9. On note B_λ = (0, 1; − λ, 0). Montrer que pour tout t ∈ ℝ,
X_λ(t) = e^(tB_λ)(0/1) + ∫_0^t e^((t − s)B_λ)(0/(p(s)x_λ(s)))ds
  1. On suppose dans cette question que λ > 0.
10a. Montrer que
∀t ∈ ℝ, x_λ(t) = (sin(√λt))/(√λ) + 1/(√λ)∫_0^t sin(√λ(t − s))p(s)x_λ(s)ds
10b. En déduire que
∀t ∈ [0, 1], |x_λ(t)| ⩽ 1/(√λ)e^((‖p‖_∞)/(√λ)t)

Partie III

On note Z_p l'application qui à λ ∈ ℝ associe le nombre de zéros de x_λ sur ]0, 1], autrement dit
Z_p(λ)=|{t ∈ ]0, 1]|x_λ(t) = 0}|
On remarquera que ce décompte ne tient pas compte de 0 , qui est toujours un zéro de x_λ.
11. Montrer que si pour tout t ∈ [0, 1], q(t) < p(t), alors Z_p(λ) ⩽ Z_q(λ). En déduire que Z_p est croissante sur ℝ.
Montrer que si λ < μ et x_μ(1) = 0, alors Z_p(μ) ⩾ Z_p(λ) + 1.
12. On suppose dans cette question uniquement que p est une fonction constante. Calculer x_λ, puis déterminer Z_p(λ) en distinguant selon les valeurs de λ et p.
13. Soit
p_+ = sup_(t ∈ [0, 1])p(t), p_− = inf_(t ∈ [0, 1])p(t)
13a. Justifier que p_+et p_−sont des réels bien définis.
Montrer que si λ < p_−, alors Z_p(λ) = 0, et que si λ ⩾ p_−, alors Z_p(λ) ⩽ ⌊(√(λ + 1 − p_−))/π⌋.
13b. Montrer que si λ ⩾ 1 + p_+, alors ⌊(√(λ − 1 − p_+))/π⌋ ⩽ Z_p(λ).
Montrer que si de plus x_λ(1) = 0, alors ⌊(√(λ − 1 − p_+))/π⌋ + 1 ⩽ Z_p(λ).
14. On fixe dans cette question μ ∈ ℝ. On note k = Z_p(μ), et (t_j)_(0 ⩽ j ⩽ k) les zéros de x_μ rangés en ordre croissant :
0 = t_0 < t_1 < ⋯ < t_k ⩽ 1
Pour ε > 0, on pose
A_ε:={t ∈ [0, 1]|∃j ∈ {0, …, k}, |t_j − t| ⩽ ε}
et
B_ε:={t ∈ [0, 1]|∀j ∈ {0, …, k}, |t_j − t| ⩾ ε}
14a. Montrer qu'il existe trois réels ε, θ, η > 0 tels que les conditions suivantes sont vérifiées
(1) pour tout j ∈ {0, …, k − 1}, on a t_(j + 1) − t_j ⩾ 2ε et si t_k < 1, alors t_k + ε ⩽ 1,
(2) si |λ − μ| < θ, alors |x_λ^′(t)| ⩾ η pour tout t ∈ A_ε et |x_λ(t)| ⩾ η pour tout t ∈ B_ε.
On pourra utiliser la continuité de la fonction Φ obtenue à la question 7c.
Jusqu'à la fin de la question 14, on fixe λ ∈ ℝ tel que |λ − μ| < θ.
14b. Montrer que pour tout j ∈ {0, …, k}, x_λ a au plus un zéro t tel que |t − t_j| < ε. Montrer que si de plus j ⩾ 1 et t_j < 1, x_λ a exactement un zéro t tel que |t − t_j| < ε.
14c. Montrer que si x_μ(1) ≠ 0, alors Z_p(λ) = Z_p(μ).
14d. Montrer que si x_μ(1) = 0, alors Z_p(λ) = Z_p(μ) − 1 pour λ < μ et Z_p(λ) = Z_p(μ) pour λ ⩾ μ.
15. Montrer que {Z_p(λ)|λ ∈ ℝ} = ℕ.
On pose, pour k ∈ ℕ^∗, λ_k:=sup{λ|Z_p(λ) = k − 1}.
16a. Justifier que la suite (λ_k)_(k ⩾ 1) est bien définie, croissante et tend vers + ∞.
16b. Montrer que x_(λ_k)(1) = 0 et que x_(λ_k) a exactement k zéros sur ]0, 1].
17. Soit k ∈ ℕ^∗ tel que λ_k ⩾ 1 + p_+.
17a. Donner une minoration et une majoration de k en fonction de λ_k − p_−et λ_k − p_+.
17b. En déduire que √(λ_k) = πk + O(1/k) quand k → + ∞.
17c. Donner un équivalent de N(λ):=|{k ∈ ℕ^∗|λ_k ⩽ λ}| quand λ → + ∞.

Partie IV

On suppose dans toute cette partie que p est une fonction de classe 𝒞^1.
Le but de cette partie est de préciser les estimations obtenues dans la partie précédente, dont on reprend les notations.
18. On suppose dans cette question que λ > 0. On définit la fonction S_λ : ℝ → ℝ, t ↦ sin(√λt), et si f ∈ 𝒞^0([0, 1]), on pose
∀t ∈ [0, 1], I_λ(f)(t):=∫_0^t S_λ(t − s)p(s)f(s)ds
18a. Montrer que cette formule définit une application linéaire continue I_λ de l'espace vectoriel normé 𝒞^0([0, 1]) dans lui même, et montrer qu'il existe un réel K > 0 tel que
∀λ > 0, ∀f ∈ 𝒞^0([0, 1]), ‖I_λ(f)‖_∞ ⩽ K‖f‖_∞
18b. Montrer que pour tout n ∈ ℕ^∗,
x_λ = 1/(√λ)S_λ + ∑_(j = 1)^n 1/(λ^((j + 1)/2))I_λ ∘ ⋯ ∘ I_λ_()_(j fois)(S_λ) + r_(n, λ)
où r_(n, λ) ∈ 𝒞^0([0, 1]) et qu'il existe un réel C_n > 0 tel que
∀λ ⩾ 1, ‖r_(n, λ)‖_∞ ⩽ (C_n)/(λ^((n + 2)/2))
18c. Montrer que, quand k → + ∞,
(sin(√(λ_k)))/(√(λ_k)) + 1/(λ_k)∫_0^1 sin(√(λ_k)(1 − s))p(s)sin(√(λ_k)s)ds = O(1/(k^3))
18d. On note ε_k = √(λ_k) − πk. Montrer qu'il existe un réel α ∈ ℝ, que l'on précisera, tel que
(sin(√(λ_k)))/(√(λ_k)) = ((− 1)^k)/kε_k α + O(1/(k^3)) quand k → + ∞
18e. Montrer qu'il existe un réel β ∈ ℝ, dépendant seulement de p et que l'on précisera, tel que
∫_0^1 sin(√(λ_k)(1 − s))p(s)sin(√(λ_k)s)ds = β(− 1)^k + O(1/k) quand k → + ∞
18f. Montrer qu'il existe un réel γ, dépendant seulement de p et que l'on précisera, tel que :
√(λ_k) = πk + γ/k + O(1/(k^2)) quand k → + ∞
  1. Montrer qu'il existe une fonction h ∈ 𝒞^0([0, 1]), ne dépendant que de p et que l'on précisera, telle que pour tout entier k assez grand,
∀t ∈ [0, 1], x_(λ_k)(t) = 1/(πk)sin(πkt) + 1/(k^2)h(t)cos(πkt) + R_k(t)
où R_k ∈ 𝒞^0([0, 1]) vérifie
‖R_k‖_∞ = O(1/(k^3)) quand k → + ∞

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques B (bis) de l'École polytechnique MP 2018 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques B (bis) de l'École polytechnique MP 2018 ?

Il porte sur les équations différentielles linéaires du second ordre, la comparaison de leurs zéros et le développement asymptotique des valeurs propres associées.

Quelles parties sont indépendantes dans ce sujet de l'X MP 2018 ?

Les parties s'enchaînent : la partie I introduit le théorème de comparaison utilisé dans les parties suivantes, la partie IV réutilisant les résultats des parties II et III.

Ce sujet de mathématiques de l'École polytechnique MP 2018 est-il long ?

Oui, il comporte quatre parties et dix-neuf questions numérotées, pour une épreuve de quatre heures sans calculatrice.

Faut-il des connaissances en calcul différentiel pour ce sujet de l'X MP 2018 ?

Oui, la partie II établit la continuité puis la différentiabilité de la solution en fonction du paramètre λ et du temps t.

Pas de description pour le moment