X ENS Mathématiques PSI 2001Sujet et corrigé

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Soit E l'ensemble des fonctions réelles g définies sur ℝ possédant les propriétés suivantes:
i/ g est paire,
ii/ g est de classe C^2 par morceaux, bornée sur ℝ et le nombre de points de discontinuité de g est fini. On note g^+(x) = lim_(y → x, y > x)g(y) et g^−(x) = lim_(y → x, y < x)g(y),
iii/ en tout point x de R, on a g(x) = (g^+(x) + g^−(x))/2,
iv/ g est intégrable sur [0, + ∞[.
À toute fonction g de E, on associe la fonction réelle F_g définie par l'intégrale :

Dans ce problème, nous étudions une méthode permettant de montrer, dans certains cas, que l'équation F_g(t) = 0 possède une infinité de racines réelles.

I.1/ Soit g appartenant à E. Montrer que F_g définie par (1) est une fonction paire continue.
I.2/ Soit g définie par g(x) = exp(− |x|).
I.2.a/ Calculer F_g(t).
I.2.b/ La fonction F_g possède-t-elle des zéros réels?
I.2.c/ La fonction F_g est-elle dans E ?
I.3/ On désigne par h_(a, A) (a réel non nul et A réel strictement positif) la fonction de E définie par

I.3.a/ Calculer S_(a, A)(t) = ∫_0^∞h_(a, A)(x)cos(tx)dx.
I.3.b/ Tracer le graphe de S_(a, A).
I.3.c/ La fonction S_(a, A) possède-t-elle des zéros réels?
I.3.d/ La fonction S_(a, A) est-elle dans E ?

Dans toute cette partie g désigne une fonction quelconque de E.
II.1/ Soient a, b deux réels. Montrer que l'intégrale I_n = ∫_a^b g(x)sin(nx)dx tend vers 0 lorsque l'entier n tend vers l'infini.
II.2/ Soit α_n = ∫_0^1(sin(nx))/xdx.
II.2.a/ Montrer que cette intégrale est bien définie pour tout n entier.
II.2.b/ Montrer que

II.2.c/ En déduire que la suite (α_n)_(n > 0) possède une limite l strictement positive quand n tend vers l'infini.
II.3/
II.3.a/ Calculer lim_(n → ∞)∫_0^1 g(x)(sin(nx))/xdx
(Indication : on introduira la fonction x ↦ φ(x) = (g(x) − g^+(0))/x ).
II.3.b/ Soient a et b deux réels tels que a < b. Déterminer lim_(n → ∞)∫_a^b g(x)(sin(nx))/xdx en fonction de l, g^+(0) et g^−(0).
II.3.c/ Calculer lim_(n → ∞)∫_(− ∞)^∞g(x)(sin(nx))/xdx.
II.4/ Montrer que, pour tout réel x,

II.5/ En déduire que g peut s'écrire g(x) = 1/llim_(n → ∞)∫_0^n F_g(t)cos(xt)dt.
II.6/ La fonction t ↦ F(t) = F_g(t)cos(yt) est-elle intégrable sur [ 0, + ∞ [ pour tout g de E et pour tout y réel?

III.1/ Soit g appartenant à E. On suppose que F_g possède un nombre fini de zéros réels.
III.1.a/ Montrer qu'il existe a réel non nul et A réel strictement positif tels que F_g + h_(a, A) soit strictement positive ou strictement négative sur R, où h_(a, A) est la fonction définie à la question I.3.
III.1.b/ Montrer qu'il existe une fonction K de classe C^0 par morceaux, intégrable sur [0, + ∞[, de signe constant et ne s'annulant pas sur R telle que

III. 2/ En déduire que si g appartient à E et a au moins un point de discontinuité, alors F_g possède une infinité de zéros réels.
III.3/ Soit g la fonction de E définie par g(x) = e^(− x^4). Montrer que F_g possède une infinité de zéros réels.
(Indication : on développera g en série entière).