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MATHÉMATIQUES

Durée: 4 heures

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Notations et définitions

Dans tout le problème on considère des matrices carrées

n \times n

à coefficients réels, et on note

M_n

l'ensemble de ces matrices. Si

M

appartient à

M_n, m_(ij)

désignera son coefficient sur la ligne

i

et la colonne

j

. On définit les sous-ensembles de

M_n

suivants:

𝟙GL_n, = {M ∈ M_n; detM ≠ 0}; O_n, = {M ∈ M_n; ^t MM = 𝟙}

où

𝟙 𝟙

est la matrice identité, n'ayant que des 1 sur la diagonale et nulle ailleurs,

éA_n = {M ∈ M_n; ^t M = − M}, l'ensemble des matrices antisymétriques,

T_n = {M = (m_(ij)) ∈ M_n; m_(ij) = 0

i < j}

, l'ensemble des matrices triangulaires inférieures,
et son sous-ensemble

P_n = {M = (m_(ij)) ∈ T_n; ∀i, m_(ii) > 0}.

Une application bilinéaire

φ : E \times E \to F

, où

E

F

sont deux espaces vectoriels, est díte alternée si, pour tout

u \in E, φ(u, u) = 0

Dérivation : si

u

est une fonction dérivable d'une variable réelle

t

, on note

u˙(t_0)

sa dérivée en

t_0

0. Préliminaires

On munit

M_n

de la norme suivante (qu'on ne demande pas de justifier)

∀B ∈ M_n, N(B) = sup_(x ∈ ℝ^n − {0}, ‖x‖ ≤ 1)(‖Bx‖)/(‖x‖)

où

‖x‖ = \sqrt(x_1^2 + \dots + x_n^2)

est la norme euclidienne de

x

Soit $B$ une matrice de $M_n$ . Montrer que la série

expB = \sum_(k = 0)^\infty(B^k)/(k!)

est convergente.
2. Justifier que

exp(- B)

est l'inverse de

expB

. En déduire que

expB

appartient à

GL_n

.
3. Montrer que l'application

φ : ℝ \to M_n, t \mapsto exp(tB)

est une fonction de classe

C^1

et calculer sa dérivée.
4. Montrer que

B

commute avec

exp(tB)

I. Équation de Lax

L'objectif est de résoudre certaines équations différentielles ordinaires du premier ordre

dL/dt = f(L)

où

L

appartient à un sous-espace vectoriel

E \subset M_n

On définit le crochet de deux matrices $A, B$ de $𝔐_n$ par

[A, B] = AB - BA

(a) Montrer que

A, B \mapsto [A, B]

est une application bilinéaire alternée.
(b) Que peut-on dire de la trace de

[A, B]

?
(c) Montrer que le crochet de deux matrices antisymétriques est une matrice antisymétrique.
(d) Montrer que si

A, B \in 𝔗_n

, alors

AB \in 𝔗_n

[A, B] \in 𝔗_n

.
2. (a) Soit

t \mapsto A(t)

une application de classe

C^1

d'un intervalle

I

dans

GL_n

. Justifier que

t \mapsto A^(- 1)(t)

est également de classe

C^1

et donner une expression simple de sa dérivée en fonction de la dérivée

A˙

.
(b) Soit maintenant

X

une matrice fixée. Dériver l'application

t \mapsto A(t)^(- 1)XA(t)

et montrer que

d/(dt)(A^(- 1)XA) = [A^(- 1)XA, A^(- 1)A˙]

On considère l'équation différentielle ordinaire suivante dans $M_n$ (dite de Lax) :

{L˙ = [L, M]; L(0) = X

où

M = M(L)

est une matrice dépendant continument de

L

X

une matrice constante fixée. Montrer que si

t \mapsto L(t)

est une solution de (1) sur un intervalle

I

, alors

TrL(t)

est constante.
4. Dans toute la suite du problème

L

est une solution de (1). On rappelle que le spectre d'une matrice

M

est l'ensemble de ses valeurs propres (y compris complexes). Nous nous proposons d'étudier le spectre de

L(t)

quand

t

varie.
(a) Soit

I

un intervalle et

B : I \to M_n

une fonction de classe

C^1

dont le déterminant ne s'annule jamais.
i. On suppose ici que

𝟙 B(0) = 𝟙

; calculer la dérivée en zéro de

detB

.
ii. Calculer la dérivée

dedetB

dans le cas général et pour tout

t

.
(b) Montrer que si pour un certain

t_0 \in I

detL(t_0) \neq 0

, alors

detL

est constant (non nul). Que peut-on dire

𝟙 dedet(L(t) - λ𝟙)

où

λ

est un nombre complexe fixé?
(c) Conclure que le spectre de

L

ne varie pas avec

t

. On dit que la solution est isospectrale.
5. On suppose que

X

possède

n

valeurs propres réelles distinctes.
(a) Montrer qu'il existe pour tout

t

une matrice

A(t)

telle que

L(t) = A(t)^(- 1)XA(t)

. Est-elle unique?
(b) En admettant que l'on peut choisir

t \mapsto A(t)

de telle sorte que

A

soit de classe

C^1

, quelle équation différentielle

A

satisfait-elle (on pourra faire intervenir la matrice

M

)?
(c) Vérifier qu'une solution du système suivant dans

M_n

𝟙 {A˙ = AM; A(0) = 𝟙

s'il en existe, satisfait l'équation différentielle de la question 5 b. Justifier l'existence de solutions de (2). En déduire une façon de construire les solutions de (1). Que peut-on dire dans le cas où

X

n'a pas toutes ses valeurs propres distinctes?
6. Déduire de ce qui précède la solution de (1) quand

M

est une matrice constante.

II. DÉCOMPOSITION DE MATRICES

(a) Montrer que $A_n$ et $T_n$ sont des sous-espaces vectoriels de $M_n$ et que $M_n = A_n \oplus T_n$ . On notera par la suite $π_1 : 𝔐_n \to A_n$ et $π_2 : 𝔐_n \to 𝔗_n$ les projections qui à un élément $B$ associent les deux termes dans la somme directe (c'est-à-dire $B = π_1(B) + π_2(B)$ ).
(b) Montrer que $O_n$ et $𝔓_n$ sont des sous-groupes de $GL_n$ .
(c) Montrer que si $M \in A_n$ alors $expM \in O_n$ . De même si $M \in T_n, expM \in P_n$ .
(d) Soit $I$ un intervalle de $ℝ$ . Montrer que si $R : I \to O_n$ (respectivement $T : I \to P_n$ ) est une application de classe $C^1$ , alors $R^(- 1)R˙$ (resp. $T^(- 1)T˙$ ) est à valeur dans $A_n$ (resp. $T_n$ ).
(a) Montrer que tout élément $B \in GL_n$ peut s'écrire comme le produit $RT$ d'une matrice $R \in O_n$ par une matrice $T \in P_n$ (on pourra s'inspirer de la décomposition de Gram-Schmidt).
(b) Montrer que cette décomposition est unique. On notera respectivement $Π_1$ et $Π_2$ les applications de $GL_n$ dans $M_n$ qui à $B$ associent les éléments $R \in O_n$ et $T \in P_n$ issus de la décomposition de la question II.2a.
(c) Soit $I$ un intervalle et $B : I \to M_n$ une application de classe $C^1$ telle que $\forallt \in I, B(t) \in GL_n$ . Pour tout $t \in I$ , on pose $R(t) = Π_1(B(t))$ et $T(t) = Π_2(B(t))$ . Montrer que $R$ et $T$ sont des applications de classe $C^1$ à valeur dans $M_n$ .
On veut résoudre l'équation dans $M$ :

{L˙ = [L, π_1(L)]; L(0) = X

(a) On cherche la solution sous la forme

A(t)^(- 1)XA(t)

. Donner une équation différentielle pour

A

et une condition en

t = 0

qui garantissent que

L : t \mapsto A(t)^(- 1)XA(t)

satisfait (3).
(b) Montrer que

A(t) = (Π_1(exp(tX)))

est la solution.

III. Réseau de Toda

On considère

n

particules de masse 1 se déplaçant sur une droite, de position

q_i

et vitesse

p_i

pour

i

entre 1 et

n

. Par souci de concision, on notera

q

n

-uple

(q_1, \dots, q_n)

; de même pour

p

i

-ème particule est repoussée par les particules

i - 1

i + 1

et subit une accélération

q~^_i = p˙_i = - 2e^(2(q_i - q_(i + 1))) + 2e^(2(q_(i - 1) - q_i))

(équation de Newton); la formule est modifiée aux deux extrémités :

q¨_1 = p˙_1 = - 2e^(2(q_1 - q_2))

q¨_n = p˙_n = 2e^(2(q_(n - 1) - q_n))

On considérera le système différentiel de

2n

équations à

2n

fonctions inconnues issu des équations ci-dessus :

{q˙_i = p_i, pour 1 ≤ i ≤ n; p˙_1 = − 2e^(2(q_1 − q_2)); p˙_i = − 2e^(2(q_i − q_(i + 1))) + 2e^(2(q_(i − 1) − q_i)), pour 1 < i < n; p˙_n = 2e^(2(q_(n − 1) − q_n))

avec les conditions initiales

q(0) = q¯, p(0) = p¯

Vérifier que le système ( $⋆$ ) satisfait les conditions de Cauchy-Lipschitz pour l'existence d'une solution sur un intervalle (non précisé) $I = ] - ε, ε[$ . On notera par la suite $t \mapsto (q(t), p(t))$ une telle solution.
On définit l'énergie mécanique du système par:

H(q, p) = 1/2\sum_(i = 1)^n p_i^2 + \sum_(i = 1)^(n - 1)e^(2(q_i - q_(i + 1)))

Vérifier que

t \mapsto H(q(t), p(t))

est constant. On dit que la fonction

H

est une intégrale première du mouvement.
3. Vérifier que la fonction

P : (q, p) \mapsto \sum_(i = 1)^n p_i

est aussi une intégrale première.
4. Soit

Q

la fonction

(q, p) \mapsto \sum_(i = 1)^n q_i

. Que peut-on dire de la fonction

t \mapsto Q(q(t), p(t)) - tP(q(t), p(t))

?
5. On suppose désormais que

\sum_i p_i = 0

. Considérons les matrices

n \times n

suivantes

L = (p_1, e^(q_1 - q_2), 0, \dots, \dots, 0; e^(q_1 - q_2), p_2, e^(q_2 - q_3), 0, \dots, 0; 0, e^(q_2 - q_3), p_3, ⋱, ⋱, ⋮; ⋮, ⋱, ⋱, ⋱, ⋱, 0; ⋮, ⋱, ⋱, p_(n - 1), e^(q_(n - 1) - q_n); 0, \dots, \dots, 0, e^(q_(n - 1) - q_n), p_n)

M = (0, e^(q_1 - q_2), 0, \dots, \dots, 0; - e^(q_1 - q_2), 0, e^(q_2 - q_3), 0, \dots, 0; 0, - e^(q_2 - q_3), 0, ⋱, ⋱, ⋮; ⋮, ⋱, ⋱, ⋱, ⋱, 0; ⋮, ⋱, ⋱, 0, e^(q_(n - 1) - q_n); 0, \dots, \dots, 0, - e^(q_(n - 1) - q_n), 0)

autrement dit

ℓ_(ij) = {p_i, si i = j; e^(q_i − q_(i + 1)), si j = i + 1; e^(q_j − q_(j + 1)), si i = j + 1; 0, sinon, m_(ij) = {e^(q_i − q_(i + 1)), si j = i + 1; − e^(q_j − q_(j + 1)), si i = j + 1; 0, sinon

Montrer que

L

satisfait une équation de Lax de type (3). En déduire l'expression générale de la solution.
6. Résoudre explicitement (

⋆

) dans le cas

n = 2, p_1 + p_2 = q_1 + q_2 = 0

, avec la condition initiale

q_1(0) = x

p_1(0) = 0

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