Algèbre linéaireRéductionFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Suites et séries de fonctionsCalcul différentiel et fonctions à plusieurs variablesProbabilités continues
Durée : 4 heuresCandidats bénéficiant de la mesure « Tiers-temps » : 8h00-13h20
L'énoncé comporte 5 pages.
CONSIGNES
Tous les feuillets doivent être identifiables et paginés par le candidat.
Aucun document n'est permis, aucun instrument de calcul n'est autorisé.
Conformément au règlement du concours, l'usage d'appareils communiquants ou connectés est formellement interdit durant l'épreuve.
Les candidats sont invités à soigner la présentation de leur copie, à mettre en évidence les principaux résultats, à respecter les notations de l'énoncé et à donner des démonstrations complètes - mais brèves - de leurs affirmations.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
Ce document est la propriété d'ECRICOME, le candidat est autorisé à le conserver à l'issue de l'épreuve.
@cricome
EXERCICE 1
Dans cet exercice, on désigne par l'ensemble des matrices réelles carrées d'ordre 3 , et on note la matrice identité de .
Soit un réel; on pose .
Partie A : Etude du cas où .
Dans toute cette partie, on suppose que .
Expliciter la matrice , puis calculer .
En déduire l'unique valeur propre possible de .
La matrice est-elle inversible ? La matrice est-elle diagonalisable?
Partie B : Étude du cas où .
Dans cette partie, on suppose que .
4. Démontrer que 1 est une valeur propre de , et donner une base et la dimension du sous-espace propre associé.
5. Démontrer que n'est pas inversible.
6. En utilisant les deux questions précédentes, déterminer l'ensemble des valeurs propres de , et la dimension des sous-espaces propres associés. La matrice est-elle diagonalisable?
Partie C : Étude du cas où est différent de 0 et de 1.
Dans cette partie, on suppose que est différent de 0 et de 1 .
On pose , et la base canonique de .
Soit l'endomorphisme de dont la matrice représentative dans la base est la matrice .
Soit et .
7. Démontrer que la famille est une base de .
8. Calculer .
9. Calculer et trouver deux réels et tels que .
10. Déterminer la matrice représentative de dans la base , que l'on notera .
11. En déduire l'ensemble des valeurs propres de , et la dimension des sous-espaces propres associés. La matrice est-elle diagonalisable ?
Cócricome
EXERCICE 2
Pour tout entier naturel non nul, on définit la fonction sur par :
Partie A: Étude de la fonction .
Dans cette partie, on fixe un entier naturel non nul.
Démontrer que la fonction est de classe sur , et que :
Étudier les variations de .
Démontrer que est de classe sur , et calculer sa dérivée seconde.
En déduire que est convexe sur .
4.(a) Démontrer que :
(b) Montrer alors que :
(c) En déduire la limite de lorsque tend vers .
5. Calculer , puis démontrer que .
6. Démontrer que l'équation admet une unique solution strictement positive, et que cette solution est strictement supérieure à 1 .
On note cette solution.
Partie B : Étude d'une suite implicite.
On étudie dans cette partie le comportement de la suite ( ), où pour tout entier naturel non nul, est l'unique solution strictement positive de l'équation : .
On admettra que :
Soit . Démontrer que :
8.(a) Montrer que: .
(b) En déduire que : .
(c) Montrer alors que la suite ( ) est décroissante, puis qu'elle est convergente.
9.(a) Démontrer que pour tout entier .
(b) À l'aide de l'inégalité démontrée à la question 4(b) de la partie , montrer alors que :
Quelle est la limite de lorsque tend vers ?
@cricome
Partie C : Étude d'une fonction de deux variables.
Dans cette partie, on fixe à nouveau un entier naturel non nul.
L'objectif de cette partie est d'étudier la fonction définie sur par :
Justifier que la fonction est de classe sur et calculer ses dérivées partielles premières.
Déterminer l'ensemble des points critiques de .
Calculer la matrice hessienne de au point ( ) puis au point ( 1,1 ).
La fonction admet-elle un extremum local en ? Si oui, donner la nature de cet extremum.
La fonction admet-elle un extremum local en ? Si oui, donner la nature de cet extremum.
EXERCICE 3
Soit un réel strictement positif.
Pour tout entier supérieur ou égal à 2 , on pose :
Montrer que l'intégrale converge et vaut .
2. Soit la fonction définie sur par :
(a) Démontrer que est bien une densité de probabilité. Soit une variable aléatoire admettant pour densité.
(b) Donner la fonction de répartition de .
(c) Démontrer que admet une espérance et calculer cette espérance.
(d) Démontrer que admet une variance et que celle-ci vaut .
3. Soit une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur ]. On pose : .
(a) Déterminer .
(b) Déterminer la fonction de répartition de et vérifier que et suivent la même loi.
(c) Écrire une fonction en langage Scilab d'en-tête : function prenant en argument un réel strictement positif et deux entiers naturels et non nuls, qui renvoie une matrice à lignes et colonnes dont chaque coefficient est un réel choisi de façon aléatoire en suivant la loi de . Ces réels seront choisis de façon indépendante.
À cet effet, on rappelle que si et sont des entiers naturels non nuls, l'instruction : rand ( ) renvoie une matrice à lignes et colonnes dont chaque coefficient suit la loi uniforme sur ] 0,1 ], ces coefficients étant choisis de façon indépendante.
4.(a) Calculer .
(b) Calculer .
(c) On suppose que la fonction Scilab de la question 3 a été programmée correctement et compilée. Compléter le script ci-dessous afin qu'il renvoie une valeur permettant de vérifier le résultat de la question précédente.
a = 10
N=100000
s1 =0
s2=0
X=simulX(a,1,N)
for k=1:N
if ............ then
s1=s1+1
if X(k)>6*a then
............
end
end
end
if s1>0 then
disp(..........)
end
On cherche dans la suite de l'exercice à estimer le paramètre .
Soit un entier naturel non nul, et variables aléatoires indépendantes et suivant toutes la même loi que .
5. On pose .
(a) Montrer que est un estimateur sans biais pour le paramètre .
(b) Calculer son risque quadratique et vérifier que celui-ci vaut .
6 . On pose .
(a) Déterminer la fonction de répartition de et vérifier que est bien une variable aléatoire à densité.
(b) Montrer que admet pour densité la fonction définie sur par :
(c) Démontrer que admet une espérance et calculer cette espérance.
Déterminer alors l'unique réel dépendant de tel que est un estimateur sans biais pour le paramètre .
(d) Calculer le risque quadratique de et vérifier que celui-ci vaut .
7. On rappelle que :
Si A est une matrice Scilab, l'instruction : A(i, :) renvoie la ième ligne de la matrice A.
Si A est une matrice Scilab (éventuellement une matrice ligne), l'instruction : sum(A) renvoie la somme des coefficients de la matrice A .
Si X est une matrice ligne, l'instruction : , style=-1) représente graphiquement les coefficients de X à l'aide de croix droites.
Si X est une matrice ligne, l'instruction : , style=-2) représente graphiquement les coefficients de X à l'aide de croix obliques.
(a) Compléter la fonction ci-dessous afin qu'elle réalise simulations de la variable aléatoire et renvoie les résultats obtenus sous forme d'une matrice ligne à éléments :
function V=simulV(a,m,n)
X=simulX ( \(\mathrm{a}, \mathrm{m}, \mathrm{n}\) )
\(\mathrm{V}=\operatorname{zeros}(1, \mathrm{~m})\)
for k= ..........
V \((\) k \()=\ldots . . . . . . . . . .\).
end
endfunction
Pour la suite, on prend et on suppose que l'on dispose d'une fonction similaire simulW permettant d'obtenir simulations de la variable aléatoire .
(b) Compléter les lignes ci-dessous pour écrire le script qui a permis d'obtenir le graphique présenté :
LaTeX →
Word →