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Ecricome Maths appliquees ECE 2003

Epreuve de maths appliquees - ECE 2003

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RéductionSuites et séries de fonctionsProbabilités finies, discrètes et dénombrementProbabilités continuesCalcul différentiel et fonctions à plusieurs variablesAlgèbre linéaire
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Banque
Ecricome
Année
2003
Filière
ECE
Matière
Mathématiques
Annales Ecricome ECE MathématiquesEcricome ECE 2003ECE MathématiquesMathématiques 2003

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Description

Annale de maths appliquees Ecricome pour la filiere ECE, session 2003.

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ECRICOME 2003
option ECONOMIQUE
EXERCICE 1

On considère l'espace vectoriel et l'endomorphisme de dont la matrice dans la base canonique est la matrice :

1. Calcul des puissances de

  1. Déterminer les valeurs propres et de l'endomorphisme , avec
  2. La matrice est-elle inversible ? (On ne demande pas la matrice ).
  3. Déterminer une base et la dimension de chacun des sous-espaces propres de .
  4. Justifier que n'est pas diagonalisable.
  5. Déterminer le vecteur de vérifiant :
  • est un vecteur propre de associé à la valeur propre
  • la première composante de est 1 .
  1. Déterminer le vecteur de vérifiant :
  • est un vecteur propre de associe à la valeur propre
  • la deuxième composante de est 1 .
  1. Soit . Montrer que est une basede .
  2. Déterminer la matrice de passage de la la base dans la base puis la matrice de passage de la base à la base .
  3. Montrer que:
  4. En déduire que la matrice de dans la base est la matrice:
  1. Rappeler la relation matricielle entre et .
  2. Prouver que pour tout élément de il existe un réel tel que :
On donnera le réel ainsi qu'une relation entre et
13. Montrer que :
En déduire l'écriture matricielle de en fonction de .

2. Matrices commutant avec .

désignant l'ensemble des matrices carrées d'ordre 3 , on considère le sous-ensemble de des matrices telles que :
  1. Montrer que est un sous-espace vectoriel de
  2. Pour appartenant à on pose .
Montrer que :
( est définie dans la question 1.10)
3. Montrer qu'une matrice de ) vérifie si et seulement si est de la forme où sont trois réels.
4. En déduire que appartient à si et seulement si il existe des réels tels que :
  1. Déterminer alors une base de ainsi que la dimension de .

EXERCICE 2

On considère les fonctions et définies sur par :
ainsi que la fonction définie sur par :
On s'intéresse dans cet exercice à la convergence de la suite définie par la relation de récurrence :

1. Etude des fonctions , sh, et .

  1. Etudier la parité des fonctions ch et sh.
  2. Dresser le tableau de variations de la fonction sh, puis en déduire le signe de pour appartenant à .
  3. Déterminer un équivalent en de . En déduire l'allure de la courbe représentative de la fonction sh en .
  4. Montrer que la fonction sh réalise une bijection de dans
  5. Etudier les variations de la fonction ch.
  6. Montrer que :
  1. Donner sur un méme graphique l'allure des courbes représentatives des fonctions ch et sh.
  2. Etudier la parité de la fonction .
  3. Déterminer le développement limité d'ordre 3 en 0 de la fontion .
  4. En déduire que la fonction est continue en 0 , dérivable en 0 et déterminer .
  5. Justifier que est dérivable sur et sur et calculer pour
  6. On pose :
Etudier les variations de , puis en déduire le signe de .
13. Déterminer les variations de sur et donner l'allure de la courbe représentative de la fonction . (On ne cherchera pas les points d'inflexion).

2. Etude de la suite .

On donne :
  1. Justifier que , puis que :
  1. Montrer que l'équation admet une unique solution sur (on pourra utiliser la question 1.4, sans cherche à déterminer ).
  2. Donner um encadrement de et justifier que :
  1. On donne :
Montrer que :
Puis que :
  1. En déduire la limite de la suite ( ) quand tend vers .
  2. Ecrire un programme en Turbo-Pascal permettant de calculer et d'afficher

EXERCICE 3

Sous diverses hypothèses, l'exercice étudie différentes situations probabilistes concernant une entreprise de construction produisant des objets sur deux chaînes de montage et qui fonctionnent indépendemment l'une de l'autre.
Pour une chaîne donnée, les fabrications des pièces sont indépendantes.

Partie 1.

On suppose que produit des objets et produit des objets. La probabilité qu'un objet construit par la chaine soit défectueux est 0.1 alors que la probabilité pour qu'un objet construit par la chaine soit défectueux est 0.2 .
  1. On choisit au hasard un objet à la sortie de l'entreprise. On constate que cet objet est défectueux. Calculer la probabilité de l'événement "l'objet provient de la chaîne A".
  2. On suppose de plus que le nombre d'objets produits en une heure par est une variable aléatoire qui suit une loi de Poisson de paramètre .
    On considère la variable aléatoire représentant le nombre d'objets défectueux produits par la chaîne en une heure.
    a) Rappeler la loi de ainsi que la valeur de l'espérance et de la variance de .
    b) Soient et deux entiers naturels, déterminer la probabilité conditionnelle . (On distinguera les cas et ).
    c) En déduire, en utilisant le système complet d'événements , que suit une loi de Poisson de paramètre 2 .

Partie 2.

Soit la fonction définie sur par :
  1. Montrer que est une densité d'une variable aléatoire
  2. Déterminer la fonction de répartition de .
  3. Justifier la convergence de l'intégrale :
La calculer en effectuant le changement de variable .
4. Prouver que admet une espérance et la déterminer.
5. admet-elle une variance?
6. Dans cette partie, on suppose que le temps de fabrication, exprimé en minutes d'un pièce par la chaîne (respectivement ) est une variable aléatoire ( respectivement ) où et sont deux variables aléatoires indépendantes suivant la même loi que que .
a) On considère les événements :
"le temps de fabrication d'une pièce sur la chaine est supérieur à 2 minutes".
"le temps de fabrication d'une pièce sur la chaîne est inférieur à 3 minutes".
Calculer les probabilités suivante : .
b) On note et la fonction de répartition de .
i. Exprimer l'événement ( ) en fonction des événements ( ) et ( )
ii. Montrer que :
c) En déduire que est une variable aléatoire à densité dont on donnera une densité.

Partie 3.

On suppose maintenant que pour qu'une pièce soit terminée, il faut qu'elle passe par la chaîne puis par la chaîne .
Le temps de passage exprimé en minutes pour un objet sur la chaîne est une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre 2 .
Le temps de passage exprimé en minutes pour un objet sur la chaîne est une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur
Les variables et sont indépendantes.
  1. Rappeler l'expression d'une densité de probabilité de et d'une densité de .
  2. On note la variable aléatoire représentant le temps total de fabrication d'une pièce.
Exprimer en fonction de et de et déterminer le temps moyen de fabrication d'une pièce.

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