BCE Maths approfondies emlyon ECS 2000
Epreuve de maths approfondies - ECS 2000
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Algèbre linéaireAlgèbre bilinéaire et espaces euclidiensSuites et séries de fonctionsIntégrales généraliséesSéries entières (et Fourier)Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)
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Description
Annale de maths approfondies BCE emlyon pour la filiere ECS, session 2000.
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Version HTML avec rendu des formules, intégrée sur la page canonique.
Chambre de Commerce et d'Industrie de Lyon
École Supérieure de Commerce de Lyon
CONCOURS D'ENTRÉE 2000
MATHEMATIQUES
1ère épreuve (option scientifique)
Mardi 2 mai 2000 de 8 heures à 12 heures
Les candidats ne doivent faire usage d'aucun document ; l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Les candidats ne doivent faire usage d'aucun document ; l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
PREMIER PROBLÈME
Notations :
- n désigne un entier supérieur ou égal à 3 .
-
est l'ensemble des matrices carrées d'ordre à coefficients réels.
désigne la matrice identité de .
La transposée d'une matriceest notée . -
est muni du produit scalaire canonique noté .
siet , alors .
En notant les matrices unicolonneset et en confondant les matrices d'ordre 1 et les scalaires, on a alors .
La norme associée à ce produit scalaire est notée. -
désigne la base canonique de .
On rappelle que la matrice de passage
Les parties I et II sont indépendantes.
Partie I
- On considère les matrices suivantes de
:
a. Justifier que
b. Montrer qu'il existe une matrice diagonale
2. On considère la matrice
a. Vérifier que
b.
c. Calculer le produit
b. Montrer qu'il existe une matrice diagonale
2. On considère la matrice
a. Vérifier que
b.
c. Calculer le produit
Partie II
Soit
- Montrer, pour tout
et tout de :
- Montrer que l'endomorphisme
est symétrique. - Montrer que
est diagonalisable et que ses valeurs propres sont positives ou nulles. - Justifier l'existence d'une base orthonormale
de constituée de vecteurs propres de .
On note
5. Montrer l'existence de
6. Montrer que la famille
7. Dans cette question, on suppose que
a. Vérifier que les nombres réels
b. Montrer que la famille
c. Soit
5. Montrer l'existence de
6. Montrer que la famille
7. Dans cette question, on suppose que
a. Vérifier que les nombres réels
b. Montrer que la famille
c. Soit
Partie III
Déterminer deux matrices orthogonales
DEUXIÈME PROBLÈME
Dans tout ce problème,
I - Calcul d'une somme et d'une intégrale
- Pour tout
et tout , on note :
a. Montrer, pour tout
b. Etablir, pour tout nombre complexe
c. En déduire, pour tout
- Soit
. Montrer que l'intégrale existe et calculer sa valeur.
On note
- Montrer que
est de classe sur et calculer . - On note, pour tout
.
Montrer, grâce à une intégration par parties, que
II - Calcul de la somme d'une série
On note, pour
- Montrer, pour tout
:
- En déduire que la série
converge, et calculer sa somme (on pourra utiliser les résultats de I. 2. et I.4.). - Calculer, pour tout
en fonction de et de . - Etablir :
III - Calcul d'une intégrale
Dans cette partie,
- Justifier l'existence de l'intégrale
.
On note :
2.a. Montrer, pour tout réel
2.a. Montrer, pour tout réel
b. Montrer que
c. En déduire que la série
3.a. En utilisant le changement de variable défini par
c. En déduire que la série
3.a. En utilisant le changement de variable défini par
et en déduire:
b. Etablir :
- En utilisant le résultat de II. 4., établir finalement :
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