La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document. l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.
Le sujet est composé de deux problèmes indépendants.
Problème 1 - Évolution des intentions de vote
Dans une élection à venir, deux candidats et se présentent.
Un groupe d'électeurs est composé de individus, avec .
Initialement, au jour appelé «jour 0 », le nombre d'individus préférant le candidat vaut (il y en a donc préférant le candidat ). Ensuite, chaque jour, un des individus au hasard dans le groupe en rencontre un autre, au hasard également, et il lui parle des élections. Si leurs intentions de vote diffèrent, il le convainc de vọter comme lui.
Pour tout entier naturel , on note le nombre d'individus du groupe ayant l'intention de voter pour le candidat le soir du -ième jour. Ainsi, est une variable aléatoire à valeurs dans . On remarque que est une variable aléatoire certaine : .
Partie I - Un cas particulier :
Dans cette partie, on étudie le cas d'un groupe formé de quatre électeurs.
Soit et deux entiers dans . On note la probabilité pour qu'il y ait exactement personnes dans le groupe ayant l'intention de voter pour un jour donné, sachant qu'il y en avait la veille.
(a) Justifier : .
(b) Justifier : si et dans sont tels que , alors .
(c) Établir : et .
(d) De la même façon, donner pour tout la probabilité .
On présentera les résultats sur le diagramme suivant, à reproduire et à compléter, et on justifiera quelques cas.
2) On définit la matrice , et pour tout entier naturel , la matrice colonne .
(a) Pour tout entier naturel , établir la relation : .
En déduire pour tout entier naturel , l'égalité .
(b) Montrer que admet trois valeurs propres distinctes et , vérifiant .
Justifier qu'il existe une matrice carrée d'ordre 3 inversible, que l'on ne demande pas de préciser, et une matrice diagonale d'ordre 3, à préciser, telles que .
(c) En déduire que pour tout , la suite est une combinaison linéaire des trois suites et .
(d) Montrer que pour tout .
3) Établir : . Comment interpréter ce résultat?
Partie II - Le cas général
On revient dans cette partie au cas général d'un groupe de électeurs.
On note , la probabilité pour qu'il y ait exactement électeurs envisageant de voter pour à l'issue du -ième jour.
4) Soit un entier naturel.
(a) Établir les trois relations :
(b) En déduire la relation, si :
(a) Montrer par récurrence que pour tout entier naturel et pour tout ,
(b) En déduire, pour tout , la limite de lorsque tend vers .
6) On définit l'événement (respectivement ) suivant : « au bout d'un certain nombre de jours, tous les individus du groupe ont l'intention de voter pour (respectivement pour )».
(a) Montrer que et .
(b) Montrer que .
Que signifie ce résultat?
7) Pour tout entier naturel , on pose .
(a) Justifier : .
(b) Exprimer en fonction des probabilités avec .
(c) Comparer et .
(d) En déduire que .
(e) Montrer que la suite est constante et déterminer cette constante en fonction de a.
8) Montrer que et interpréter ce résultat.
Problème 2 - Une propriété limite des lois de Pareto
Question préliminaire
Soit une fonction continue sur un intervalle , à valeurs réelles.
9) (a) Montrer que pour tout et dans tels que ,
(b) Soit dans tels que .
On suppose décroissante sur , établir l'encadrement :
Partie I - Partie fractionnaire d'une variable à densité
Pour tout réel positif ou nul :
on note la partie entière de . On rappelle qu'il s'agit de l'unique entier naturel qui vérifie l'encadrement : .
on note , que l'on appelle la partie fractionnaire de .
Par exemple, si alors et .
Dans cette partie, désigne une variable aléatoire à valeurs réelles admettant une densité qui vérifie les propriétés :
est nulle sur ;
la restriction de à est continue et décroissante.
On pose , c'est le maximum de sur .
Soit , la variable aléatoire égale à la partie fractionnaire de .
On note la fonction de répartition de .
10) Que vaut lorsque ? Que vaut lorsque ?
On justifiera les réponses.
11) Justifier l'égalité entre événements : .
En déduire : .
12) Soit un réel de l'intervalle .
(a) Montrer l'égalité : .
(b) Montrer, en utilisant la question préliminaire, les inégalités :
Pour tout entier naturel, ;
Pour tout entier naturel non nul, .
(c) En déduire : , puis l'encadrement
Partie II - Premier chiffre significatif d'une variable de Pareto
Pour tout réel strictement positif, on définit la fonction sur par
13) Montrer que pour tout réel strictement positif, est une densité de probabilité sur (loi dite de Pareto).
Dans toute la suite, on note une variable aléatoire admettant pour densité.
14) Déterminer la fonction de répartition de .
15) On note ln la fonction logarithme népérien, et log la fonction logarithme décimal. Cette fonction est définie sur par : pour tout réel strictement positif.
On pose , et on note la fonction de répartition de .
(a) Établir, pour tout réel , l'égalité : .
(b) En déduire que suit une loi exponentielle dont on précisera le paramètre en fonction de .
16) On pose , la partie fractionnaire de .
Montrer, en utilisant les résultats de la partie I, que pour tout réel de l'intervalle :
En déduire que, lorsque tend vers converge en loi vers une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l'intervalle .
17) Pour tout réel supérieur ou égal à 1 , on note le premier chiffre dans l'écriture décimale de . C'est un entier de l'intervalle .
Par exemple, et .
(a) Pour tout , montrer l'équivalence :
(b) On note la variable aléatoire prenant comme valeur le premier chiffre de .
Montrer, pour tout .
Cette loi limite obtenue pour le premier chiffre de est appelée loi de Benford.
