BCE Maths appliquees emlyon ECE 2002
Epreuve de maths appliquees - ECE 2002
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Algèbre linéaireFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Probabilités finies, discrètes et dénombrementProbabilités continuesSuites et séries de fonctions
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Description
Annale de maths appliquees BCE emlyon pour la filiere ECE, session 2002.
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Version HTML avec rendu des formules, intégrée sur la page canonique.
Programme ESC d'E.M.LYON
CONCOURS D'ENTRÉE 2002
MATHEMATIQUES
1ère épreuve (option économique)
Lundi 29 avril 2002 de 8 heures à 12 heures
Les candidats ne doivent faire usage d'aucun document; l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Les candidats ne doivent faire usage d'aucun document; l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
EXERCICE 1
On considère les deux matrices carrées réelles d'ordre quatre suivantes :
Les questions 2 et 3 sont indépendantes entre elles.
- a. Calculer
.
b. En déduire que la matriceest inversible et déterminer .
c. Montrer que la matricen'admet aucune valeur propre réelle. - Soient
et deux nombres réels. On note la matrice définie par .
a. Montrer:.
b. En déduire que, si, alors la matrice est inversible, et exprimer son inverse comme combinaison linéaire de et .
c. Application : donner linverse de la matrice
- On note
la base canonique de , et l'endomorphisme de associé à la matrice relativement à la base . On considère les quatre éléments suivants de :
a. Montrer que la famille
b. Exprimer
c. Déterminer la matrice de passage
d. Rappeler l'expression de
b. Exprimer
c. Déterminer la matrice de passage
d. Rappeler l'expression de
EXERCICE 2
On considère, pour tout
I. Étude des fonctions polynomiales
- Montrer, pour tout
et tout :
- Étudier, pour
, les variations de sur et dresser le tableau de variations de . - Montrer, pour tout
. - a. Vérifier, pour tout
et tout :
b. En déduire, pour tout
5. Montrer que, pour tout
5. Montrer que, pour tout
- Écrire un programme en langage Pascal qui calcule et affiche une valeur approchée décimale de
à près.
II. Limite de la suite
- Établir, pour tout
et tout :
- En déduire, pour tout
:
- Démontrer, pour tout
et tout :
- En déduire, pour tout
:
puis :
- Conclure quant à la convergence et à la limite de la suite
.
EXERCICE 3
1. Étude préliminaire
On admet, pour tout entier naturel
a. Vérifier, pour tout réel
a. Vérifier, pour tout réel
b. Pour tout couple d'entiers naturels
c. Pour tout entier naturel
d. Montrer, par récurrence :
2. Étude d'une expérience aléatoire
On considère une urne contenant une boule noire et quatre boules blanches. On effectue l'expérience aléatoire suivante :
- On commence par tirer des boules de l'urne une à une avec remise jusqu'à obtenir la boule noire (que l'on remet aussi dans l'urne).
On définit la variable aléatoireégale au nombre de tirages avec remise nécessaires pour obtenir la boule noire. - Puis, si
prend une valeur entière positive non nulle notée , on réalise alors une seconde série de tirages dans l'urne, toujours avec remise.
On définit la variable aléatoireégale au nombre de fois où la boule noire a été obtenue dans cette seconde série de tirages.
a. Déterminer la loi de la variable aléatoire. Donner son espérance.
b. Soientet . Déterminer la probabilité conditionnelle .
c. Vérifier :.
d. En utilisant l'étude préliminaire, montrer :
e. Montrer que
f. Montrer :
f. Montrer :
3. Étude d'une variable aléatoire à densité
On note
On rappelle:
a. Montrer que
b. Déterminer une densité
c. Déterminer une primitive de la fonction
d. Montrer que
a. Montrer que
b. Déterminer une densité
c. Déterminer une primitive de la fonction
d. Montrer que
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