Le but du problème est d'étudier une application définie sur les matrices antisymétriques réelles d'ordre pair, dont le carré est l'application déterminant.

Toutes les matrices considérées sont à coefficients réels. Une matrice d'ordre

, est une matrice carrée à

lignes et

colonnes. On désigne par

l'application identité d'un espace vectoriel

, par

la matrice identité d'ordre

et par

la matrice nulle d'ordre

. On note

l'espace vectoriel des matrices antisymétriques d'ordre

Première partie

Montrer que si est une matrice antisymétrique d'ordre impair, .
Soit une matrice diagonale d'ordre . Calculer en fonction des coefficients diagonaux de le déterminant de la matrice d'ordre .

Soit

un espace vectoriel euclidien. Dans tout le problème

est un endomorphisme de

tel que

où

désigne l'adjoint de

.
3. On suppose que

. Montrer que

.
4. On suppose que

.
a) Montrer que

est un automorphisme orthogonal de

.
b) Montrer que la dimension de

est paire.
c) Soit

. À quelle condition les vecteurs

sont-ils linéairement indépendants?
d) Soit

l'orthogonal du sous-espace vectoriel de

engendré par

. Montrer que

.
e) Soit

, la dimension de

. Montrer qu'il existe une famille (

) de vecteurs de

telle que

soit une base orthonormale de

. Quelle est la matrice de

dans cette base?
5.a) Montrer que

est diagonalisable dans

. On note

les valeurs propres distinctes de

l'espace propre correspondant à la valeur propre

. Montrer qu'on a une décomposition en somme directe orthogonale,

b) Montrer que, pour tout

tel que

.
c) Montrer que, pour tout

tel que

.
6.a) En utilisant les résultats des questions précédentes, montrer que pour toute matrice

, il existe une matrice orthogonale

d'ordre

et une matrice diagonale

d'ordre

telles que

b) En déduire que pour toute matrice

, il existe une matrice

d'ordre

telle que

, où

Deuxième partie

Soit

un espace vectoriel réel et

un entier

. On appelle forme

-linéaire alternée sur

une application

satisfaisant les conditions suivantes :
(A) si

sont des vecteurs de

et s'il existe un entier

, tel que

, alors

en d'autres termes, l'application s'annule si deux arguments consécutifs sont égaux;
(B) pour tout entier

, si

sont des vecteurs quelconques de

, l'application de

dans

définie par

est linéaire; en d'autres termes, l'application

est linéaire par rapport à chaque variable.

On note

l'ensemble des formes

-linéaires alternées sur

.
7.a) Soit

. Montrer que, pour tout entier

tel que

, on a l'identité

pour tous

dans

; en d'autres termes

change de signe si l'on permute deux arguments consécutifs.
b) Soit

. Montrer que s'il existe des entiers

, tels que

, alors

c) Montrer que, pour tout entier

est un espace vectoriel réel.
d) On admet que si

est de dimension

, la dimension de

est égale à 1 . Donner une base de cet espace vectoriel.

Soit

. On définit une suite

entier

, par la récurrence suivante :

, et si

pour tous

dans

. Chaque

est donc une application de

dans

. On écrira en abrégé

8.a) Expliciter

et montrer que

.
b) Montrer que, pour tout

.
9. On suppose à nouveau que (

) est un espace vectoriel euclidien et que

est un endomorphisme de

tel que

. On pose, pour

Montrer que

.
10. On suppose que

muni de la stucture euclidienne canonique. Soit

une matrice antisymétrique d'ordre

et soit

l'endomorphisme de

associé à

. On reprend les notations des questions 8. et 9 .
a) Montrer qu'il existe un nombre réel

tel que

pour tous

, où

désigne le déterminant dans la base canonique de

. Le nombre

est appelé pfaffien de

.
b) Calculer

lorsque

, en fonction des coefficients

.
c) Lorsque

, où

est une matrice diagonale d'ordre

, calculer

en fonction des coefficients diagonaux de

, et déterminer un nombre réel

indépendant de

tel que

Troisième partie

Soit et soit une matrice d'ordre .
a) Montrer que .
b) Montrer que .
En utilisant le résultat de la question 6.a), montrer que, pour ,

Soit une application telle que , pour tout et pour toute matrice d'ordre . Montrer qu'il existe un nombre réel tel que, pour tout .
Soit une matrice d'ordre telle que , où est la matrice définie à la question 6.b). Montrer que .
15.a) Soit une matrice d'ordre et soit . Exprimer en fonction de .
b) Soient et des entiers , et soit

où

désigne la matrice nulle à

lignes et

colonnes. Exprimer

en fonction de

et de