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Polytechnique Mathématiques 1 PC 2000

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Algèbre bilinéaire et espaces euclidiensPolynômes et fractionsAlgèbre généraleCalcul différentiel et fonctions à plusieurs variablesProbabilités finies, discrètes et dénombrement
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Banque
X-ENS
Année
2000
Filière
PC
Matière
Maths
X-ENS PCX-ENS 2000PC MathsMaths 2000
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ÉCOLE POLYTECHNIQUE

ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES

CONCOURS D'ADMISSION 2000
filière PC

PREMIÈRE COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES

(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.
On se propose d'étudier une famille de polynômes (polynômes de Krawtchouk) et une famille de matrices (matrices d'adjacence du schéma d'association de Hamming) dont les propriétés sont liées, et applicables à la théorie des codes détecteurs et correcteurs d'erreurs dans la transmission de l'information. (Ces applications ne sont pas abordées dans le problème.)
Les deux premières parties sont indépendantes.
Dans tout le problème, désigne un entier naturel non nul.
On prend par convention . Si et sont des entiers naturels, on pose

Première partie

  1. Pour tout , on définit le polynôme de la variable par
Évaluer pour chaque entier naturel .
2. Pour tout entier tel que , on définit le polynôme de la variable par
a) Calculer et .
b) Calculer le degré et le coefficient dominant du polynôme .
c) Montrer que, pour chaque entier tel que ,
  1. Pour tout entier tel que , on considère la fonction de la variable réelle , définie par
Montrer que .
4. On considère la fonction de deux variables réelles et , définie par
a) Montrer que , où et sont des constantes que l'on déterminera.
b) Soient et des entiers, . Montrer que si :
Évaluer en fonction de et de .
5. On note l'espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à . Pour , on pose
a) Montrer que est un produit scalaire sur .
b) Montrer que est une base orthogonale de muni de ce produit scalaire.
6. Montrer que, pour tout entier tel que ,
[On calculera de deux manières différentes le coefficient de dans .]

Deuxième partie

On pose et l'on désigne par l'ensemble des parties de . Pour chaque partie de , on note Card le cardinal de . Si et sont des parties de , on pose
où est l'ensemble des points de la réunion qui n'appartiennent pas à l'intersection .
7.a) À quelle condition a-t-on ? À quelle condition a-t-on ?
b) Montrer que .
8. Soient et deux parties de . On pose . Calculer le nombre de parties de telles que et .

Troisième partie

On utilise dans cette partie les notations et les résultats des deux premières parties.
On suppose muni d'un ordre total . On a donc où .
Pour tout entier naturel , on définit une matrice carrée réelle à lignes
On note la matrice identité à lignes.
9.a) Que vaut pour ? Expliciter .
b) Montrer que pour tout entier tel que ,
  1. On pose . Montrer par récurrence sur que, pour tout entier tel que ,
où les polynômes sont ceux définis et étudiés dans la première partie.
11. Soit un entier tel que . Montrer que, si est tel que , alors pour tout entier tel que ,
12.a) Soient . Montrer que
b) Soient . Montrer que
  1. Pour tout entier tel que , on pose
a) Montrer que
[On pourra utiliser les résultats des questions 11. et 12.].
b) Déterminer la trace et le rang de chaque matrice .
14.a) Pour chaque entier tel que , trouver les valeurs propres de la matrice .
b) Déterminer la dimension des sous-espaces propres de la matrice .
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