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X ENS Physique PSI 2013

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Banque
X-ENS
Année
2013
Filière
PSI
Matière
Physique
X-ENS PSIX-ENS 2013PSI PhysiquePhysique 2013
2025_09_04_051022974e9882cdd42ag

Banque commune École Polytechnique - ENS de Cachan
PSI
Session 2013
\section*{Épreuve de Physique}

Durée : heures
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Si , au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Étude de Micro-systèmes électrostatiques et optiques

Le sujet traite de la physique de micro-systèmes électromécaniques et optiques à travers l'étude plus spécifique de deux composants : un micro-accéléromètre et un micro-réseau optique modulable.
Le problème est composé de trois parties qui peuvent être traitées de manière totalement indépendantes. Dans chaque partie, les sections sont en partie indépendantes les unes des autres.

Première partie

Micro-systèmes électrostatiques

Dans cette partie, on s'intéresse aux phénomènes électrostatiques mis en jeu entre des microstructures conductrices.

1 - Énergie électrostatique

Dans un premier temps, on cherche à établir l'expression de l'énergie électrostatique pour une distribution continue surfacique de charge.
On considère deux charges ponctuelles et , isolées dans le vide, situées en deux points et séparés d'une distance (cf. figure 1). On note (resp. ) le potentiel électrostatique produit par resp. en resp. .
Figure 1.
  1. En s'appuyant sur le travail des forces électrostatiques mises en jeu, déterminer l'expression de l'énergie électrostatique de ce système à deux charges ( est aussi appelée énergie potentielle d'interaction entre les deux charges). On supposera nulle lorsque les charges sont très éloignées et on exprimera en fonction de et .
  2. Exprimer en fonction de et puis en fonction de et .
  3. Montrer que pour un système de charges , soumises respectivement aux potentiels , l'énergie électrostatique peut s'écrire sous la forme : . Déterminer la valeur de . Pour le calcul on notera la distance séparant la charge de la charge .
  4. En déduire l'expression sous forme intégrale de pour un conducteur (C), isolé, possédant une distribution continue surfacique de densité de surface et une distribution de potentiel . On notera dS l'élément de surface autour d'un point M quelconque du conducteur (cf. figure 2).
Figure 2.
  1. Que devient l'expression de lorsque le potentiel est constant sur l'ensemble de la distribution de charge ? On notera la charge totale du conducteur et on exprimera en fonction de et .

2 - Système électrostatique à 3 micro-électrodes

On s'intéresse maintenant aux phénomènes électrostatiques dans le système constitué des trois électrodes planes parfaitement conductrices (1), (2) et (3) (cf. figure 3).
Figure 3.
On note la capacité du condensateur constitué des électrodes (1) et (3), et celle du condensateur constitué des armatures (2) et (3).
On supposera les 2 condensateurs parfaitement plans (en influence totale et sans effets de bords).
On note la surface des 3 électrodes. Le milieu entre les électrodes est supposé parfaitement isolant, assimilable à du vide de constante diélectrique .
Les électrodes (1) et (2) distantes de sont fixes. L'électrode (3) est mobile uniquement selon l'axe Ox, repérée par son abscisse . On considérera l'épaisseur de l'électrode (3) toujours négligeable devant . L'origine O est équidistante des électrodes (1) et (2). On notera le vecteur unitaire porté par Ox.

2a - Cas où l'électrode (3) est isolée électriquement : micro-capteur

On suppose qu'initialement le système n'est constitué que des électrodes (1) et (2) de potentiels électrostatiques respectifs et imposés par deux générateurs de tension continue et portant respectivement les charges et , uniformément réparties en surface.
On introduit par la suite l'électrode (3), initialement non chargée, à l'abscisse . Soumise à une force extérieure au système, cette électrode se déplace uniquement selon l'axe Ox tout en restant constamment isolée électriquement.
On note le potentiel de l'électrode (3).
6) En vous appuyant sur le théorème de Gauss, déterminer les valeurs des charges et sur chacune des faces de l'électrode (3).
7) De la même manière, déterminer l'expression du champ électrique entre les électrodes (1) et (3). On exprimera en fonction de et .
8) En déduire l'expression de la différence de potentiel en fonction de , et .
9) Déterminer l'expression de en fonction de et , puis de , et . Par analogie, donner l'expression de .
10) Déterminer les expressions des énergies potentielles électrostatiques et stockées respectivement dans les condensateurs et , en fonction de et , puis de et .
11) A partir des énergies potentielles calculées précédemment, déterminer en fonction de , et , les expressions de et , forces électrostatiques s'exerçant sur l'électrode (3) dues respectivement à l'électrode (1) et à l'électrode (2).
12) Conclure sur la force électrostatique résultante s'exerçant sur l'électrode (3). Pouvait-on prévoir qualitativement ce résultat ? (justifier succinctement)
13) Déterminer l'expression de en fonction de et .

2b - Cas où le potentiel sur l'électrode (3) est maintenu constant : micro-actionneur

On considère maintenant le système de la figure 4 dans lequel l'électrode (3) est rendue solidaire de l'électrode (1) via un ressort de raideur . Un générateur de tension impose entre les électrodes (2) et (3) une différence de potentiel et les électrodes (1) et (3) sont en court-circuit (au même potentiel).
On supposera que la longueur à vide du ressort est égale à .
14) Déterminer l'expression de l'énergie potentielle électrostatique stockée dans le condensateurs , en fonction de et . Que dire de l'énergie électrostatique stockée dans le condensateur .
15) A partir de calculée précédemment, déterminer l'expression de la force électrostatique s'appliquant sur l'électrode (3), en fonction de et puis en fonction de et .
Figure 4.
On note l'abscisse d'une position d'équilibre (en supposant qu'elle existe) de l'électrode (3).
16) Déterminer l'expression de en fonction de et .
17) Représenter graphiquement l'allure de en fonction de pour .
18) Montrer graphiquement que pour une tension appliquée strictement inférieure à une tension critique que l'on déterminera, il existe deux positions d'équilibre.
On admet que seule la position d'équilibre d'abscisse inférieure à est stable.
19) Que se passe-t-il si l'abscisse de l'électrode (3) dépasse ?

Application numérique

Les valeurs typiques pour un micro-système sont : et .
On rappelle .
20) Déterminer un ordre de grandeur de la valeur numérique de .

Deuxième partie Étude d'un micro-accéléromètre

Une photographie obtenue par microscopie électronique d'un micro-accéléromètre 2 axes est présentée sur l'image ci-dessous. On peut observer les microstructures présentes en surface de dimensions typiquement de l'ordre de la dizaine de micromètres. La masse sismique (mobile) est reliée au bâti par des micro-poutres flexibles insérées dans deux systèmes de peignes interdigités. Chaque peigne est solidaire d'un ressort de rappel.
Micro-accéléromètre 2 axes.
La modélisation d'un axe de l'accéléromètre est présentée sur la figure 5.
La masse mobile est posée sur un support horizontal et glisse selon l'axe Ox.
Le mobile, repéré par la position de son centre de gravité, est rendu solidaire du support via deux systèmes ressort/amortisseur de raideur et de coefficient d'amortissement visqueux .
Le support peut aussi se déplacer en bloc selon Ox : on repère sa position par .
On supposera que lorsque le système masse-ressort est au repos dans le référentiel du support, le mobile est situé à égale distance des électrodes (1) et (2), à savoir .
Les micro-poutres sont modélisées par les électrodes parfaitement conductrices (1), (2) et (3).
L'électrode centrale (3) est solidaire de la masse mobile. On note la masse totale mobile.
Les électrodes (1) et (2) sont connectées respectivement aux générateurs de tension et 。
La tension constitue la sortie de l'accéléromètre.
On note la distance entre les deux électrodes (1) et (2).
Le milieu entre les électrodes est assimilable à du vide.
Figure 5.

1- Étude mécanique de l'accéléromètre

On supposera dans toute cette partie que la résultante des forces électrostatiques agissant sur l'électrode (3) est nulle.
Dans un premier temps, on suppose le support immobile (l'abscisse du support est constante).
On pose : et .
21) Déterminer l'expression de pour lorsque et compte-tenu des conditions initiales : et .
22) Tracer l'allure de .
On suppose maintenant le support mobile et on note son accélération.
On note le déplacement du mobile sur le support.
23) Établir l'équation différentielle vérifiée par dans laquelle on fera apparaître les paramètres et .
On s'intéresse au régime harmonique en supposant que l'accélération du support est de type sinusoïdale. On note l'expression complexe de et celle de .
24) Déterminer l'expression de la fonction de transfert .
25) Déterminer l'expression de lorsque et tracer les diagrammes de Bode asymptotiques correspondants (module et phase) lorsque . Tracer aussi l'allure des diagrammes de Bode réels.
On suppose que le support se déplace très lentement par rapport au mouvement du mobile, ce qui revient à se placer dans le régime .
26) Montrer que peut s'écrire de façon approchée sous la forme: . Déterminer l'expression de .

2-Étude de l'électronique de conditionnement du micro-accéléromètre

On note la capacité du condensateur constitué des électrodes (1) et (3) et la capacité du condensateur constitué des électrode (2) et (3).
Dans cette partie, on négligera les variations des capacités et en fonction du temps.
Les condensateurs sont insérés dans le système de conditionnement électronique de la figure 6.
L'oscillateur sinusoïdal délivre une tension .
La tension est déphasée de par rapport à .
Figure 6.
  1. En supposant que l'impédance d'entrée du multiplieur est infinie, établir l'équation différentielle vérifiée par la tension . On mettra cette équation sous la forme :
où l'on déterminera l'expression de et on mettra la fonction sous la forme: en exprimant et en fonction de et .
La résolution de cette équation différentielle peut s'effectuer en utilisant le théorème de superposition qui permet de rechercher la solution complète en considérant la solution sans second membre et les contributions de chaque terme forçant.
28) Déterminer l'expression de en régime forcé.
29) En déduire l'expression approchée de lorsque et dans le cas où .
On utilisera pour la suite du problème l'expression approchée de obtenue à la question précédente.
30) En assimilant et à des condensateurs plans parfaits de surface , déterminer l'expression de en fonction de et .
31) Déterminer l'expression de la tension à la sortie du multiplieur.
32) Montrer que pour un choix judicieux du temps caractéristique , la tension peut s'écrire sous la forme approchée : .

3-Analyse de spécifications d'un accéléromètre typique - Applications numériques.

Les spécifications de l'accéléromètre sont les suivantes :
  • tension d'alimentation : 5 V
  • tension de repos :
  • tension de sortie maximale :
  • sensibilité :
  • accélération maximale supportée :
  • bande passante : 400 Hz
  • pulsation de résonance mécanique :
  • temps de réponse à
  • fréquence de modulation : 140 kHz
  • masse mobile :
De plus, on choisit .
33) Déterminer les valeurs numériques de et .
34) Déterminer la valeur maximale de l'accélération mesurable par le capteur.
35) Déterminer le déplacement maximum supporté par la poutre centrale.
36)L'hypothèse est-elle respectée ?

Troisième partie

Commutateur de lumière à réseau

Nous savons, d'après la première partie, qu'il est possible de contrôler électriquement la position d'une micro-poutre. Ce mécanisme est à la base du fonctionnement de composants optiques microstructurés, tels que les micro-miroirs ou les réseaux optiques modulables (cf. images ci-dessous) aujourd'hui couramment utilisés, par exemple dans les systèmes de vidéoprojection.
Micro-miroir
Réseau optique modulable

1- Étude d'un réseau optique modulable

Le modèle du réseau optique modulable est décrit sur la figure 7 . Il est composé d'un réseau de micro-électrodes parfaitement réfléchissantes, de largeur , espacées d'une longueur , et séparées d'une épaisseur d'un support mobile lui aussi parfaitement réfléchissant. Il est possible de modifier la valeur de en changeant la tension appliquée au support mobile.
Le système est éclairé en incidence normale par une onde plane progressive monochromatique de longueur d'onde et on cherche à déterminer la structure de la lumière diffractées à l'infini.
Figure 7.

1a- Diffraction par un motif du réseau

  1. Rappeler le principe de Huygens-Fresnel.
On commence par étudier la diffraction à l'infini de l'onde plane incidente par une seule électrode du réseau (cf. figure 8a). L'électrode est supposée plane et infiniment étendue dans le plan perpendiculaire à la figure.
On note , le facteur de réflexion en amplitude de l'électrode, défini par : si et si (cf. figure 9).
Figure 8a.
Figure 8b.
Figure 9.
  1. Déterminer sous forme d'une intégrale l'expression de , amplitude complexe de l'onde diffractée à l'infini dans la direction (approximation de Frauhnofer) par une seule électrode. On exprimera en fonction du vecteur d'onde de l'onde diffractée, de , de ainsi que d'un facteur de proportionnalité que l'on notera .
  2. Déterminer l'expression de puis de l'intensité diffractée . On introduira l'intensité et on mettra l'expression de sous la forme où est une constante s'exprimant en fonction de et , et sinc la fonction «sinus cardinal» définie par .
  3. Représenter graphiquement en fonction de en supposant .
On cherche maintenant à déterminer l'amplitude de l'onde diffractée par un motif (cf. figure 8 b).
41) Montrer que le facteur de réflexion en amplitude d'un motif peut s'écrire sous la forme où est une phase que l'on déterminera en fonction de et .
42) Montrer que l'expression de , amplitude diffractée à l'infini par un motif, peut s'écrire sous la forme , où s'exprime en fonction de et 。
43) En déduire l'expression de l'intensité diffractée à l'infini par un motif.

1.b Interférences créées par tous les motifs

On considère enfin les interférences créées par tous les motifs du réseau (cf. figure 10). On supposera que le nombre de motifs est infini.
Figure 10.
  1. Etablir la relation vérifiée par où correspond à la direction du spectre d'ordre du réseau.
  2. Montrer que lorsque , seuls les spectres d'ordres impairs existent, et de façon prépondérante les ordres , alors que pour , seul l'ordre 0 existe.
  3. Montrer que les résultats de la question précédente peuvent s'interpréter qualitativement en considérant les interférences entre deux rayons réfléchis par chacune des électrodes d'un motif.

2- Commutateur de lumière

Le montage de la figure 11 illustre le principe du commutateur de lumière à réseau. L'électronique de commande permet de contrôler l'épaisseur du réseau de telle sorte que pour une tension appliquée et pour .
On note et E , respectivement les positions sur l'axe optique de la source ponctuelle, des centres des lentilles minces et , et de l'écran.
L'axe optique est perpendiculaire au réseau.
On note et les distances focales des lentilles et .
On fixe les distances et .
Figure 11.
  1. Expliquer schématiquement le principe du commutateur de lumière à réseau. On pourra refaire le schéma de la figure 11 en représentant, dans l'approximation de Gauss, le parcourt de deux rayons bien choisis issus de la source de lumière. On considérera deux cas possibles : lorsque puis lorsque .
  2. Quelle relation doit vérifier l'angle en fonction de et ?
  3. On fixe . Déterminer la valeur numérique du rapport .
On suppose maintenant que S est une source de lumière blanche et que le commutateur de lumière met en œuvre trois réseaux (cf. figure 11) de pas permettant de commuter les 3 couleurs, rouge, verte et bleue de longueurs d'onde respectives et .
Figure 11.
  1. Déterminer les valeurs numériques de et pour et .
1
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