Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Modélisation et contrôle d'un mini-quadrirotor

1 Présentation de l'étude

Les mini-drones sont des véhicules aériens de petite taille, sans pilote humain à bord de l'appareil. Ils furent initialement développés pour des besoins militaires afin d'accomplir des missions de surveillance, de renseignement ou de combat, avant d'être ensuite utilisés pour des applications civiles telles que la surveillance de mouvement de foule ou de trafic routier. Il existe plusieurs variétés de mini-drones, mais presque tous ont les points communs suivants :

ils sont petits , légers et peu onéreux;
ils peuvent accomplir de nombreuses tâches de manière autonome (effectuer un vol stationnaire, suivre une trajectoire prédéfinie, etc.);
un pilote non-spécialiste peut les contrôler à travers des ordres de haut niveau (aller vers la gauche, monter d'une hauteur de 1 mètre, atterrir, faire demi-tour, etc.) ;
ils doivent être capables de voler dans différents environnements : à l'intérieur ou à l'extérieur, en présence de vent, d'obstacles, etc.
Une configuration de mini-drone en particulier a connu un succès grandissant depuis plus de 10 ans. Il s'agit d'un drone possédant 4 hélices, d'où son nom de "quadrotor" ou "quadrirotor". Ce type de mini-drone est étudié dans de nombreuses universités ou écoles d'ingénieurs (figure 1) et est même vendu au grand public comme un jeu pour l'extérieur ou l'intérieur (un exemple est donné sur la figure 2). On considère dans la suite ce type de mini-drone qui a comme avantage, parmi d'autres, de pouvoir être modélisé et contrôlé automatiquement de manière relativement simple.

Figure 1 - Prototype étudié dans ce sujet

Figure 2 - AR.Drone de Parrot

1.1 Description architecturale

Un quadrirotor est constitué d'un corps principal mis en mouvement par 4 hélices entraînées chacune par un moteur électrique. Tous les composants électroniques du drone, dont les 4 moteurs, sont alimentés par une batterie Lithium Polymère. La carte électronique embarquée à bord du quadrirotor traite les informations des différents capteurs et élabore la commande des 4 variateurs des moteurs en fonction de la consigne à suivre, définie par l'utilisateur et transmise au drone par liaison Wi-Fi.

Le drone est équipé de plusieurs capteurs, à fonctionnalités bien différentes : un capteur à ultrasons situé sous le drone et pointant vers le sol, un accéléromètre tri-axe (mesurant suivant trois directions orthogonales de l'espace), un gyromètre tri-axe, une antenne GPS, un magnétomètre tri-axe et deux caméras pointant l'une vers l'avant du drone et l'autre vers le sol.

Q1. Compléter les chaînes d'énergies et d'informations représentées sur le document réponse en renseignant les informations mesurées par les capteurs, les noms des composants et les fonctions qui manquent (9 cases).

1.2 Objectif de l'étude

L'objectif de l'étude est d'établir l'algorithme à implémenter sur le microcontrôleur de la carte électronique afin de pouvoir atteindre de manière automatique une altitude, un cap (direction de l'avant du drone par
rapport au Nord) et une assiette (angle de roulis et angle de tangage) de référence en respectant le cahier des charges partiel défini sur la figure 3 et dans le tableau 1 et s'y maintenir.

Figure 3 - Diagramme partiel des inter-acteurs

Pour ce faire, il est essentiel de modéliser le système étudié selon la démarche décrite ci-après et illustrée sur la figure 4.

Figure 4 - Présentation de la démarche de modélisation

La démarche de modélisation suivie dans cette étude se compose symboliquement de deux domaines : le domaine physique où l'on fait des mesures sur un système réel, et le domaine virtuel où l'on réalise des simulations sur un système virtuel (analytique, numérique,...) censé représenter le comportement du système réel. Le domaine physique est nécessaire car il est indispensable de s'appuyer sur l'observation des phénomènes réels pour proposer et valider un modèle de comportement et une modélisation du système et du milieu extérieur. Le solveur est un outil qui permet de résoudre les équations et qui donne le résultat de la simulation. La modélisation est pertinente si l'écart entre les réponses expérimentales et les résultats issus de la simulation est faible. Le domaine virtuel permet de tester le bon fonctionnement de l'algorithme en simulation avant de l'implémenter et de le tester sur le véritable système. L'étude présentée ici s'intéresse principalement au domaine virtuel de simulation.

Le sujet est composé de 5 parties :

faisabilité d'un vol stationnaire;
modélisation du quadrirotor;
contrôle de l'altitude du quadrirotor;
contrôle du cap du quadrirotor;
contrôle de l'assiette du quadrirotor.

Une synthèse conclura l'étude. Même si certaines parties peuvent être traitées séparément, il est préférable de suivre le questionnement proposé.

L'annexe regroupe l'ensemble des données nécessaires pour réaliser les applications numériques demandées. La plupart des grandeurs utilisées dans tout le document est définie dans la partie 3.

Fonctions de service

Critères

Niveaux

FS1 : permettre au pilote d'explorer une zone de manière autonome ou non

Vol stationnaire

Drone maintenu à l'horizontal, à altitude et cap constants

Altitude de référence

- Erreur statique

- Dépassement

- Temps de réponse à

- Aucune

- <

Cap de référence

- Erreur statique

- Dépassement

- Temps de réponse à

- Aucune

- <

Angles de roulis et de tangage de référence

Position géographique de référence

Non spécifiée dans cette étude

FS2 : permettre au pilote d'interagir avec le quadrirotor

Envoi de commandes de référence

Transmission au drone d'un cap, d'une altitude, d'une assiette de référence

Réception d'informations

- données de vol

- image et vidéo de l'environnement

FS3 : résister à l'environnement

Perturbations magnétiques

Possibles

FS4 : être alimenté en énergie électrique

Durée de vol

Temps de charge de la batterie

10 minutes

90 minutes

Table 1 - Définition des fonctions de service et cahier des charges

2 Faisabilité d'un vol stationnaire

Dans cette partie, on cherche à vérifier à l'aide de modèles simples qu'un vol stationnaire est possible, compte tenu du poids du drone, des caractéristiques de la batterie et du cahier des charges à respecter.

2.1 Détermination de la puissance nécessaire pour un vol stationnaire

2.1.1 Modèle des disques sustentateurs

Le premier modèle utilisé est global (souvent appelé "théorie des disques sustentateurs"). Sachant qu'une hélice tourne très vite (quelques milliers de tours par minute), le modèle consiste à considérer que l'hélice est équivalente à un disque

à travers lequel le fluide supposé incompressible se déplace à la vitesse

uniforme sur la section du disque

. Une différence de pression apparaît entre l'amont et l'aval du disque. Comme indiqué sur la figure 5, la pression au dessus du disque est notée

, celle en dessous est notée

. On note

la résultante normale au disque de l'action mécanique de l'air sur l'hélice.

On considère le tube de courant s'appuyant sur la surface décrite par l'hélice en rotation. La modification de vitesse de l'écoulement induit un élargissement ou rétrécissement du tube de courant. La pression à l'infini en amont et en aval est égale à la pression statique de l'écoulement,

. On note

la vitesse supposée uniforme en sortie du tube de courant en-dessous du disque et

celle au-dessus (qui est
l'opposée de la vitesse d'ascension du drone). On néglige les tourbillons, ce qui revient à considérer qu'il n'y a pas d'écoulement hors de la veine de fluide. Le débit massique est noté

avec

la section du disque

la masse volumique de l'air. L'action de la pesanteur est négligée. On note

la puissance fournie par l'air à l'hélice.

Figure 5 - Paramétrage du tube de courant considéré

Q2. Par application du théorème d'Euler à la veine de fluide, établir une relation entre

. Justifier l'allure de la veine de fluide (rapport

sur

) pour obtenir une force

positive.
Q3. A partir d'un bilan d'énergie cinétique sur la veine fluide, déterminer une deuxième équation reliant

.
Q4. En exprimant une relation entre

et en utilisant les deux équations précédentes, déterminer

en fonction de

.
Q5. On pose

(cette vitesse est appelée vitesse de Froude). En déduire l'expression de

en fonction de

, et

.
Q6. Montrer dans le cas d'un vol stationnaire que

, où l'on précisera l'expression de

en fonction de

2.1.2 Modèle local d'action mécanique

Afin de confirmer l'expression de la puissance

en fonction de

, on considère une deuxième approche possible. Cette approche utilise un modèle local d'action mécanique de l'air sur une pale.

L'hélice de centre de gravité

est composée de 2 pales symétriques par rapport à l'axe (

) (voir figure 6). Celle-ci possède un pas à gauche ou à droite, par analogie avec le pas d'une vis. On note

l'angle d'incidence entre la direction de la vitesse et la corde de l'hélice pour une section donnée. Cet angle est positif pour une hélice de pas à droite. L'hélice, montée sur le drone, est en rotation d'axe (

) par rapport au corps du quadrirotor. Les vecteurs

sont liés au drone, tandis que les vecteurs

sont liés à l'hélice. Par définition,

sont confondus. L'angle formé par

est noté

. On note

la norme de la vitesse angulaire de l'hélice par rapport au corps du drone.

On définit pour une section de pale, deux vecteurs infinitésimaux

qui représentent respectivement la portance et la traînée issues de la décomposition de la résultante de l'action mécanique de l'air sur la section
droite d'une pale au niveau du centre de poussée

de celle-ci. Les conditions aérodynamiques permettent d'écrire les équation suivantes :

où

est le vecteur vitesse du point centre de poussée de la section droite par rapport à l'air tel que avec et étant respectivement les distances minimale et maximale du point de la pale par rapport à ;
. $à$ si et si ;
et sont les coefficients positifs de portance et traînée qui dépendent de la section (et donc de la valeur de ) car la corde et l'incidence d'une section varient en fonction de la position de celle-ci.
On note le torseur d'action mécanique globale de l'air sur l'hélice au centre de gravité de celle-ci.

L'hypothèse est faite que la valeur de la vitesse

(

suivant le sens de rotation de l'hélice) est uniquement due à la vitesse de rotation de l'hélice, c'est-à-dire que

. Cette approximation se justifie par le fait que la vitesse de rotation des hélices est très élevée.

Figure 6 - Illustration d'une hélice et zoom sur une section de pale

Q7. Montrer que

, où l'on donnera les expressions des coefficients positifs de proportionnalité

, chacun sous la forme d'une intégrale simple, sans chercher à les calculer.
Q8. Indiquer, pour le cas de l'hélice de la figure 6, quel est le pas considéré (à droite ou à gauche) et indiquer, en justifiant succinctement, le sens de rotation (horaire ou antihoraire) permettant d'obtenir les portances et traînées dessinées sur la figure 6.

Q9. Dans le cas d'une hélice de pas inversé par rapport à l'hélice précédente, indiquer ce qui doit être modifié pour pour obtenir une poussée verticale ascendante.

Q10. Sachant que les 4 hélices du drone (de pas à droite ou à gauche) contribuent à le maintenir en vol stationnaire, donner l'expression du torseur d'action mécanique global de l'air sur une hélice en fonction de

, où

(resp. -1) si l'hélice tourne dans le sens horaire (resp. antihoraire).

Q11. Déterminer l'expression de

puissance de l'air sur une hélice en vol stationnaire en fonction de

et des coefficients a et

puis comparer ce modèle avec celui des disques sustentateurs.

2.2 Pertinence du choix de la batterie

La batterie utilisée est au Lithium Polymère (LiPo). Elle possède une capacité massique

et une masse

. La partie précédente a permis de montrer que la puissance due à l'action de l'air sur une hélice en rotation s'écrit sous la forme

où

est la poussée exercée par l'air sur l'hélice et

une constante qui peut être déterminée expérimentalement. La valeur de

, tenant compte des pertes, est donnée en annexe.

La masse du drone intégralement équipé (moteurs, hélices, carte électronique, capteurs, batterie, etc) est notée

. L'accélération de la pesanteur est notée

.
Q12. En supposant que le drone est maintenu en vol stationnaire pendant toute la durée du vol et que toute la puissance fournie par la batterie est utilisée pour générer la portance, déterminer la durée du vol. Conclure quant au respect ou non du cahier des charges.

3 Modélisation du quadrirotor

L'objectif de cette partie est de modéliser le quadrirotor en exploitant les équations de dynamique du drone et les équations électro-mécaniques des 4 moteurs. Ce modèle est indispensable pour concevoir les algorithmes de pilotage de haut niveau qui seront développés dans les parties suivantes.

3.1 Modèle mécanique du drone

Un schéma simplifié du quadrirotor est donné sur la figure 7. Les différents paramètres nécessaires pour la modélisation mécanique du drone sont décrits ci-après.

Figure 7 - Schéma simplifié du quadrirotor

Paramètres géométriques

On associe :

le repère au sol noté supposé être un référentiel galiléen;
le repère au corps du drone noté , de centre d'inertie . Les axes et sont dirigés selon les bras du drone orthogonaux, l'axe étant dirigé vers l'avant du drone;
le repère à chaque hélice notée , de centre d'inertie avec . est le centre géométrique des centres d'inertie des 4 hélices. Ainsi et . On pose alors . On note le centre de gravité de l'ensemble .

Paramètres cinématiques

Le mouvement du corps par rapport au sol est donné par le torseur cinématique où et .
Chaque hélice est en liaison pivot d'axe ( ) avec le corps du drone . On pose ( ) pour . On note alors la vitesse angulaire de l'hélice par rapport à , avec la vitesse angulaire strictement positive de chaque hélice et en fonction du sens de rotation de chaque hélice (compte tenu du type de pas de l'hélice).

Paramètres cinétiques

La masse de l'ensemble du quadrirotor

est notée

.
La masse d'une hélice

est

(supposée identique pour les 4 hélices).
La masse du corps

est notée

.
On introduit les formes générales des matrices d'inertie suivantes :

matrice d'inertie du corps au centre de gravité global dans le repère :

matrice d'inertie d'une hélice au point dans le repère :

Modélisation des actions mécaniques

Le drone est soumis à :

l'action de la pesanteur dont l'accélération est notée ,
l'action de l'air sur chaque hélice en mouvement, dont la forme a été démontrée précédemment : , avec selon le pas de l'hélice considérée, et sont des constantes positives;
les actions électromagnétiques intérieures aux moteurs produisant des couples sur chaque rotor lié à une hélice , où le couple est toujours positif.
Q13. Déterminer la position du centre de gravité global . Simplifier à partir de la figure 7, en justifiant succinctement, la forme de la matrice d'inertie du solide . Cette matrice simplifiée sera utilisée dans la suite du sujet.

3.1.1 Équations de comportement dynamique du drone

Q14. Isoler l'ensemble du drone

et en déduire les deux équations vectorielles caractérisant son mouvement. Ne pas faire le calcul des éléments de cinétique dans cette question, calculer uniquement les termes provenant des actions mécaniques. On notera

le moment dynamique au point

par rapport à

la résultante dynamique de

par rapport à

.
Q15. Simplifier ces équations dans le cas d'un vol stationnaire (le repère

est alors confondu avec

). Déterminer, en le justifiant, le signe de chaque

(et donc le type de pas - à gauche ou à droite - de chaque hélice) sachant que

(pas à droite pour les hélices

). Montrer alors que

pour

où l'on précisera l'expression de

en fonction de

et a. Faire l'application numérique.

3.1.2 Calcul des éléments cinétiques

Q16. Calculer

moment cinétique en

par rapport à

et exprimer le résultat dans la base du repère

.
L'expression obtenue à la question précédente peut être simplifiée en considérant la moyenne temporelle de

sur une période

de rotation d'une hélice.
Q17. Justifier la pertinence de cette hypothèse et montrer que la moyenne temporelle de

, notée

, sur une période

est égale à

, où l'on donnera les expressions de

en fonction des termes de la matrice d'inertie

.
Un calcul similaire permettrait de montrer que la moyenne temporelle du moment cinétique en

par rapport à

est

où

sont des constantes fonctions de

et des données géométriques et cinétiques définies lors du paramétrage.

Dans toute la suite du problème, on utilisera ces deux expressions en confondant les moyennes sur une période avec les quantités définies à l'instant

Q18. Développer les deux équations vectorielles obtenues lors de l'isolement du quadrirotor et en déduire 6 équations scalaires projetées sur la base du repère

. L'accélération de la pesanteur sera notée sous la forme suivante:

où

seront détaillées dans la suite du sujet.
Q19. En isolant chaque hélice

, donner les équations supplémentaires permettant de déterminer les évolutions des couples

.
Les

équations scalaires définies aux deux questions précédentes modélisent le comportement du drone. Ces équations étant non-linéaires, il est souhaitable de les linéariser afin de simplifier l'élaboration des lois de contrôle du drone. Cette approximation est justifiée par le fait que l'on s'intéresse dans cette étude à un comportement du quadrirotor proche d'un vol stationnaire. En pratique, la linéarisation de ces équations donne des résultats expérimentaux très satisfaisants même lorsque le drone se déplace à une vitesse raisonnable.

Pour cela, on suppose donc par la suite que l'on se place autour de la configuration de vol stationnaire et que

où est la variation de vitesse angulaire autour du point d'équilibre étant un infiniment petit d'ordre 1 (positif ou négatif),
les quantités sont faibles et considérées comme des infiniment petits d'ordre 1 (devant la vitesse des pales).
Afin de caractériser l'orientation du drone dans l'espace, une paramétrisation usuelle est l'utilisation des angles décrits sur la figure 8, où est appelé "I'angle de lacet", "l'angle de roulis'" et "l'angle de tangage'".

De la même manière, on introduit les coordonnées du centre de gravité

du drone par rapport au sol :

Les hypothèses précédentes impliquent que

sont également des infiniments petits d'ordre 1 . On montre alors que :

Aucune hypothèse n'est faite sur la valeur d'équilibre de

notée

, autour de laquelle est linéarisé le système. On a donc les relations suivantes en ce qui concerne les vitesses:

On pose de la même manière que pour les vitesses de rotation des hélices:

, où

est la variation de couple moteur (infiniment petit d'ordre 1 devant

) autour de

, couple moteur nécessaire pour assurer le vol stationnaire et autour duquel se fait la linéarisation des équations.

Figure 8 - Paramétrisation de l'orientation du drone dans l'espace

Q20. Montrer que les équations établies précédemment linéarisées à l'ordre 1 permettent d'aboutir aux soussystèmes définis ci-dessous (on ne cherchera pas à résoudre ces équations). Indiquer pourquoi la structure du comportement dynamique du drone est intéressante pour l'établissement des lois de contrôle du drone.

Sous-système longitudinal (noté

)

Sous-système vertical (noté

)

Sous-système latéral (noté

)

Sous-système de cap (noté

)

Ces équations permettent d'appréhender intuitivement la manière dont les vitesses de rotation des hélices doivent évoluer afin de réaliser un mouvement donné.

On considère les quatre mouvements élémentaires illustrés sur la figure 9 (cas numérotés 1 à 4 ).
Q21. En considérant que

(régime stationnaire) et en s'aidant des équations précédentes, indiquer pour chaque cas de la figure 9 comment doit on définir les variations de vitesses angulaires

afin d'obtenir ces différents mouvements. Préciser quels mouvements supplémentaires apparaissent le cas échéant.

Cas 1 : translation verticale

Cas 2 : translation longitudinale

Cas 3 : translation latérale

Cas 4 : rotation propre autour de l'axe vertical (lacet ou pivotement)

Figure 9 - Mouvements élémentaires du quadrirotor

3.2 Modélisation électro-mécanique des moteurs

Chaque hélice est montée directement sur le rotor d'un petit moteur à courant continu dont les caractéristiques sont données en annexe. Tous les moteurs sont supposés identiques. Les équations simplifiées qui caractérisent le comportement dynamique et électrique des moteurs sont les suivantes :

où

est la vitesse angulaire de l'hélice,

la tension d'alimentation du moteur,

le couple moteur,

la résistance interne,

l'inductance et

la constante de couple (

sont des constantes caractérisant la dynamique de l'hélice, définies dans les questions précédentes).

On étudie les mouvements autour de la position vol stationnaire. On pose alors

, où

est la variation de la tension du moteur autour de

, tension du moteur nécessaire pour assurer le vol stationnaire. Tous les moteurs étant supposés identiques, on pose

. De la même manière on note

.
Q22. Donner l'expression de

en fonction de

et des paramètres

.
Q23. En prenant

rad.s

, vérifier que la tension nécessaire pour obtenir un vol stationnaire est compatible avec la tension maximale

délivrée par la batterie.
Q24. Déduire des relations caractérisant le moteur une équation couplant

. Linéariser également l'équation de dynamique reliant

et sa dérivée à

Q25. Donner l'expression de la constante de temps électrique

en fonction de

ainsi que l'expression de la constante de temps mécanique

en fonction de

. Faire l'application numérique.

Q26. Justifier que l'on puisse écrire pour chaque moteur l'équation suivante:

4 Contrôle de l'altitude du quadrirotor

L'objectif de cette partie est de contrôler l'altitude du quadrirotor grâce à un asservissement tenant compte de l'altitude de consigne

et de la mesure de distance fournie par le sonar (capteur à ultrason) situé sous le drone et pointant vers le sol.

4.1 Modélisation du sous-système vertical

On considère les équations caractérisant le sous-système vertical

de la question 20 ainsi que l'équation simplifiée du moteur définie à la question 26 . On rappelle que

avec

la vitesse d'ascension et

l'altitude du centre de gravité du drone. On pose

et on note

respectivement les transformées de Laplace de

. La variable de Laplace est notée

Q27. Montrer que

où l'on précisera les expressions de

en fonction de

4.2 Mesure de l'altitude

Afin de mesurer l'altitude du drone, on fixe un sonar sous la partie inférieure du drone (par exemple le sonar représenté sur la figure 10).

Figure 10 - Sonar SRF10 de Devantech

Un tel sonar fonctionne de la manière suivante:

un système émet un signal qui se propage à une vitesse connue;
un système reçoit ce signal ;
un système mesure la durée entre l'émission et la réception de ce signal.

Q28. En supposant que le drone vole sensiblement à l'horizontal et à une distance suffisamment éloignée du sol, montrer, en vous appuyant sur un schéma, comment un tel capteur permet de mesurer l'altitude du drone

. Exprimer

en fonction de

4.3 Élaboration de la commande

On souhaite élaborer une loi de contrôle qui permet au drone d'atteindre l'altitude de référence

en tenant compte de la mesure du sonar

. On suppose que la mesure du sonar est parfaite.
Q29. Réaliser un schéma bloc de l'asservissement, avec un correcteur

, qui permet de suivre une altitude de consigne

.
Q30. Justifier simplement que le système est instable avec un correcteur Proportionnel mais qu'un correcteur Proportionnel-Dérivé de la forme

permet de le stabiliser. Donner la condition sur

correspondante.
Q31. Indiquer pourquoi en pratique on utilise plutôt un correcteur à avance de phase de fonction de transfert

plutôt qu'un correcteur Proportionnel-Dérivé. Préciser si

.
Après réglage du correcteur, on obtient la réponse indicielle à un échelon unitaire de la figure 11 pour le système bouclé.

Figure 11 - Réponse indicielle du sous-système vertical bouclé

Q32. Justifier que les critères de précision, dépassement et rapidité du cahier des charges sont respectés.

5 Contrôle du cap du quadrirotor

L'objectif de cette partie est de contrôler le cap du quadrirotor (direction de l'avant du drone par rapport au Nord), angle noté

, grâce à un asservissement tenant compte du cap de consigne

et de la mesure de

fournie par le magnétomètre tri-axe.

5.1 Modélisation du sous-système de cap

On considère les équations caractérisant le sous-système de cap

de la question 20 ainsi que l'équation simplifiée du moteur définie à la question 26 . On pose

. On note

respectivement les transformées de Laplace de

. D'après les parties précédentes, les équations qui caractérisent le mouvement de lacet sont :

Q33. Montrer que

où l'on précisera les expressions de

en fonction de

5.2 Mesure du cap

Afin de mesurer l'orientation du drone par rapport au Nord, on utilise un magnétomètre tri-axe qui permet de mesurer le champ magnétique dans le repère lié au drone, puisque le capteur est fixé à l'appareil (par exemple le magnétomètre représenté sur la figure 12). En supposant connu le champ magnétique terrestre, il est possible d'en déduire l'angle entre l'avant du drone et le Nord, c'est-à-dire de mesurer l'angle de lacet

du drone.

Nous étudions tout d'abord le fonctionnement d'un magnétomètre mono-axe, ce qui permettra ensuite d'en déduire comment un magnétomètre tri-axe permet de mesurer l'angle de cap.

Le magnétomètre mono-axe considéré est un capteur magnéto-inductif dont le principe est illustré sur la figure 13. Il est composé d'un circuit oscillateur à relaxation (circuit RL) dont les éléments principaux sont :

une bobine avec un noyau à grande perméabilité magnétique. La valeur de l'inductance dépend de la valeur du champ magnétique colinéaire à l'axe de la bobine suivant une fonction non-linéaire supposée connue ;
un système appelé "trigger de Schmitt" dont la sortie passe de 0 volt à un potentiel de référence lorsque le potentiel d'entrée atteint un certain seuil , et de à 0 volt lorsque le potentiel d'entrée atteint un certain seuil . Les potentiels et sont connus et tels que . L'impédance d'entrée de ce système est supposée être infinie.

Figure 13 - Circuit élémentaire de détection magnétique

La fonction

est de type gaussien :

avec

où le champ magnétique

est le champ extérieur, supposé constant, que l'on cherche à mesurer et le champ

est celui créé par le courant parcourant la bobine. Ce champ est donné par l'équation

est une constante connue et

la valeur moyenne du courant parcourant la bobine. Les constantes

sont connues. On suppose dans un premier temps que la valeur de la résistance

est également connue.
Q34. Tracer, en le justifiant, les évolutions temporelles de

en régime établi.
Un système non étudié ici permet de mesurer la période

du signal de sortie

.
Q35. Montrer que l'expression de la période d'oscillation

du signal de sortie est de la forme

, où

sera donné en fonction de

.
Q36. Montrer que la mesure de cette période

permet de déterminer le champ

, dont on donnera l'expression en fonction de

En réalité, la valeur de la résistance

est fortement dépendante de la température qui n'est pas une variable mesurée par un capteur spécifique. La valeur de la résistance

n'est donc pas connue précisément, ce qui dégrade la mesure du champ

. Pour s'affranchir de cette méconnaissance de

, un second trigger de Schmitt est utilisé en parallèle du composant précédent (voir figure 14). On alterne alors l'utilisation d'un trigger et de l'autre grâce aux interrupteurs int et

et à un signal d'horloge. Lorsque le système est dans une des deux configurations (int=1 ou int=0), un autre dispositif permet de mesurer la période des oscillations de la tension de sortie correspondante (

) avant de changer de configuration. Les constantes de temps thermiques étant généralement élevées, il est légitime de considérer que la valeur de la résistance

est constante durant plusieurs cycles de mesure.

Figure 14 - Circuit complet de détection magnétique

Q37. Justifier que ce système permet de déterminer le champ extérieur

en s'affranchissant de l'incertitude sur la valeur de

.
Le magnétomètre tri-axe comporte 3 magnétomètres élémentaires mono-axe placés de façon orthogonale alignés suivant les axes du repère (

) du drone. Il mesure donc le champ magnétique extérieur dans ce repère. On suppose connu le champ magnétique extérieur dans le repère terrestre,

, qui se décompose de la façon suivante selon les axes

, repère fixe par rapport au sol:

.
Q38. Le drone volant sensiblement à l'horizontale, justifier qu'il est possible de remonter à une mesure de l'angle de lacet

avec seulement 2 magnétomètres placés le long des axes horizontaux du drone

.
Q39. En pratique, la mesure de cap a une fiabilité limitée. Proposer une raison qui explique cet inconvénient.

5.3 Analyse de la réponse indicielle

Un contrôleur proportionnel

est utilisé afin que le drone puisse atteindre son cap de référence

en tenant compte de la mesure

fournie par les magnétomètres. On suppose que cette mesure est parfaite.
Q40. Les figures de l'annexe 2 présentent 4 réponses temporelles à une entrée en échelon unitaire. Déterminer quelle est celle qui correspond à la réponse indicielle du système bouclé. Justifier, sans calcul, pour les autres cas la raison qui invite à les écarter. En déduire la conformité ou non au cahier des charges.

6 Contrôle de l'assiette du quadrirotor

L'objectif de cette partie est de contrôler l'assiette du quadrirotor, c'est-à-dire de contrôler l'angle de roulis

et l'angle de tangage

du drone. En particulier, on souhaite pouvoir stabiliser le quadrirotor à l'horizontale pour obtenir un vol stationnaire, c'est-à-dire atteindre un angle de roulis de référence

et angle de tangage de référence

. Pour ce faire, seules les mesures inertielles sont exploitées.

On s'intéresse ici uniquement au contrôle de l'angle de roulis. Le contrôle de l'angle de tangage serait mené de manière similaire à ce qui suit compte-tenu de la similitude des sous-systèmes longitudinaux et latéraux de la question 20.

De manière analogue à l'étude précédent, les trois dernières équations du sous-système longitudinal de la question 20, complétées par les équations simplifiées du moteur, permettent de relier les grandeurs

à la commande relative à ce sous-système

, où on a posé

. Cette relation s'exprime sous la forme d'un matrice de transfert

possédant une entrée

et deux sorties

. En supposant que les grandeurs

soient mesurées précisément, une analyse similaire à celles faites dans les parties précédentes montrerait que l'utilisation d'un correcteur proportionnel

et d'un correcteur à avance de phase

permet d'atteindre l'angle de référence

. Ces deux correcteurs sont situées dans des boucles imbriquées, comme décrit sur la figure 15.

Cependant, les capteurs embarqués sur le drone ne fournissent pas de mesure d'angle ou de vitesse de rotation suffisamment précise. L'étude qui suit montre alors comment la fusion des mesures inertielles fournies par les accéléromètres et les gyromètres permet de remonter indirectement aux grandeurs

nécessaires.

Figure 15 - Stratégie de contrôle de l'angle de roulis

6.1 Mesure accélérométrique et gyrométrique

On considère un accéléromètre dont l'axe de mesure est aligné selon l'axe (

) du drone et un gyromètre dont l'axe de mesure est aligné avec l'axe

du drone. Ces capteurs fournissent les mesures suivantes:

pour un accéléromètre : projection de l'accélération spécifique du drone selon son axe de mesure, où l'accélération spécifique est la différence entre l'accélération du drone et le vecteur accélération de pesanteur ;
pour un gyromètre : vitesse angulaire autour de son axe de mesure.

En pratique, l'accélération du drone peut être négligée devant l'accélération de la pesanteur (vol quasistationnaire). Cette approximation est faite dans cette étude.

Q41. En supposant que la mesure accélérométrique n'a pas de défaut, montrer alors qu'elle permet de remonter à la valeur de l'angle de roulis

. Indiquer pourquoi un autre accéléromètre placé selon l'axe (

) ne permettrait pas de déterminer cet angle

.
Les capteurs inertiels embarqués sont de type MEMS (MicroElectroMechanical Systems). Les avantages de tels capteurs sont leur faible coût, leur faible masse et leur encombrement réduit : un exemple d'unité de mesure inertielle avec 3 gyromètres et 3 accéléromètres de type MEMS est donné sur la figure 16. En revanche, la mesure fournie par ces capteurs comporte certains défauts. Compte-tenu de la question précédente, si on note

respectivement la mesure de l'accéléromètre et celle du gyromètre, le modèle considéré en introduisant ces défauts est le suivant :

où

correspond à du bruit à forte intensité et

est une constante, appelée dérive gyroscopique (typiquement

).
Q42. Justifier simplement que la mesure accélérométrique permet de ne déterminer ni

, ni

. Montrer que la mesure gyroscopique ne le permet pas non plus.

6.2 Utilisation d'un observateur

Afin d'estimer correctement les grandeurs

qui servent dans les lois de contrôle, on utilise un algorithme de fusion de données appelé "observateur". Cet algorithme utilise à la fois les mesures accélérométriques et les mesures gyroscopiques, entachées de leurs erreurs, pour estimer

de manière suffisamment précise pour

Figure 16 - Unité de mesure inertielle tri-axe Adis16355 d'Analog Devices

que les lois de contrôle puissent les exploiter (ces lois de contrôle requièrent des mesures faiblement bruitées et sans dérive).

L'observateur

, utilisé ici pour le système longitudinal (un observateur équivalent

serait utilisé pour le système latéral), est illustré sur la figure 17. Les variables

sont les estimations de

fournies par l'observateur. Les équations de l'observateur

sont les suivantes :

où

sont des constantes strictement positives.

Figure 17 - Schéma fonctionnel de l'observateur

Q43. En ne considérant pas le bruit accélérométrique

, montrer que l'observateur permet d'estimer asymptotiquement l'angle

et la dérive

sans erreur, c'est-à-dire que les limites en l'infini de

tendent vers 0 . En déduire que l'observateur permet également asymptotiquement d'estimer la vitesse de rotation

sans erreur.
Q44. Montrer que l'observateur permet également de filtrer le bruit sur l'estimation de

par rapport à l'estimation qui aurait été effectuée à partir uniquement de la mesure accélérométrique :

7 Synthèse de la stratégie de contrôle du quadrotor

L'objectif de cette partie est de faire un schéma-bloc de synthèse de la stratégie de contrôle du quadrirotor développée dans cette étude.
Q45. En utilisant la description des différents contrôleurs et observateurs ainsi que les résultats de la modélisation dynamique, compléter les blocs en pointillés du schéma-bloc de synthèse du document réponse et spécifier la matrice

introduite dans ce schéma définie par :

Q46. Pour les sous-systèmes horizontaux, une fonction de plus haut niveau peut être mise en place afin d'atteindre des coordonnées de référence (dans la base (

)),

, définies par un utilisateur. Compléter la zone en tirets sur le schéma-bloc du document réponse de manière à atteindre cet objectif, en ajoutant deux autres boucles de contrôle dont les contrôleurs

ne seront pas explicités.