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X ENS Mathématiques PSI 2006

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Algèbre linéaireAlgèbre bilinéaire et espaces euclidiensIntégrales à paramètresFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Intégrales généralisées
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X-ENS
Année
2006
Filière
PSI
Matière
Maths
X-ENS PSIX-ENS 2006PSI MathsMaths 2006
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MATHÉMATIQUES

DURÉE: 4 HEURES

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Le sujet comporte 5 pages

Préambule

Dans tout ce problème, désigne l'espace vectoriel des polynômes à coefficients réels. Le degré du polynôme nul est pris par convention égal à . Pour tout entier naturel est le sous-espace vectoriel de formé des polynômes de degré inférieur ou égal à . On identifiera chaque fois que c'est nécessaire les éléments de à des fonctions réelles d'une variable réelle.
On appelle l'ensemble des fonctions continues par morceaux telles que
(i) ,
(ii) il existe un intervalle ouvert non vide sur lequel ne s'annule pas,
(iii) pour tout entier naturel .
Soit un entier strictement positif. On note ( ) la base canonique de l'espace vectoriel . On munit du produit scalaire défini comme suit: pour tous réels et ,
Soit un entier strictement positif et une matrice de taille à coefficients réels. Pour tous entiers et appartenant à , on note le coefficient de situé à l'intersection de sa -ème ligne et de sa -ème colonne. Pour tout entier strictement positif, on note la matrice identité de taille .
On rappelle que si est un intervalle fermé borné de et si est une fonction continue, alors pour tout , il existe dans tel que .
La quatrième partie du problème est indépendante des trois autres.

Première partie

  1. a. Donner un exemple de fonction appartenant à .
  2. b. Soit un élément de . Montrer que pour tous et appartenant à , la fonction d'une variable réelle est intégrable sur . On note alors le nombre réel défini par
  1. c. Montrer que l'application qui à un couple d'éléments de associe est un produit scalaire. On notera la norme associée.
On appelle suite -orthogonale échelonnée une suite d'éléments de telle que
(i) est de degré ,
(ii) pour tous entiers naturels et distincts, .
2. a. Montrer qu'il existe une suite -orthogonale échelonnée. On donnera une expression d'une telle suite, qui pourra faire intervenir le produit scalaire .
2. b. Soient et deux suites -orthogonales échelonnées. Montrer que pour tout , les polynômes et se déduisent l'un de l'autre par multiplication par un réel non nul.
On choisit une suite -orthogonale échelonnée que l'on note . Pour tout , on note ( ) l'unique couple de réels tel que le polynôme soit de degré inférieur ou égal à . On pose .
3. a. Montrer que pour tout et pour tout .
3. b. En déduire qu'il existe un unique couple ( ) de réels tels que et qu'il existe, pour tout , un unique triplet ( ) de réels tels que
  1. c. Montrer que pour tout , on a les égalités

Deuxième partie

Soit un élément de . On note un intervalle de tel que . Il n'est pas exclu que soit égal à . On choisit une suite -orthogonale échelonnée .
4. Soit fixé. On définit un entier naturel et un polynôme comme suit. Si n'a aucune racine dans ou si toutes ses racines appartenant à sont d'ordre pair, on pose et . Sinon, on définit comme le nombre de racines distinctes d'ordre
impair de contenues dans . On note l'ensemble de ces racines. On pose alors .
4. a. Montrer qu'il existe un polynôme de signe constant sur tel que .
4. b. Montrer que si , alors . En conclure que est scindé sur , que toutes ses racines sont simples et qu'elles appartiennent toutes à .
5. a. Montrer qu'il existe une suite -orthogonale échelonnée dont tous les termes sont de norme 1 dans ( ). Une telle suite est-elle unique?
On suppose jusqu'au 7.a. inclus que pour tout . On remarquera qu'avec cette hypothèse supplémentaire, pour tout .
Soit la matrice égale à ( ) et, pour tout la matrice tri-diagonale suivante:
où les suites et sont celles qui ont été définies à la question 3 . On fixe un entier .
5. b. Calculer, pour tout réel , le vecteur
  1. c. Montrer que le spectre de coïncide avec l'ensemble des racines de .
  2. Soit fixé. Soit une matrice symétrique réelle de taille dont toutes les valeurs propres sont simples. On note son spectre et ( ) une base de telle que pour tout entre 1 et , on ait . On suppose que .
    Soit la matrice dont les coefficients sont donnés, pour tout , par .
    Pour tout , on note .
  3. a. Soit . En calculant de deux façons différentes le coefficient ( ) de la matrice , montrer que
  1. b. Montrer que pour tout ,
  1. c. En déduire que la fonction est continue et strictement décroissante sur chaque intervalle où elle est définie.
  2. d. On suppose que pour tout appartenant à . Montrer que les valeurs propres de sont simples et que si on les note de telle sorte que , alors on a
  1. Pour tout , on note les racines de classées dans l'ordre croissant.
  2. a. Soit fixé. Montrer que et n'ont pas de racine commune puis déduire de ce qui précède qu'on a la suite d'inégalités
  1. b. Montrer que le résultat reste vrai sans supposer que pour tout .

Troisième partie

  1. Soit un entier fixé. Soient des réels deux à deux distincts. Pour tout compris entre 1 et , on définit la forme linéaire en posant, pour tout .
Montrer que est une base de l'espace dual de .
Soit un élément de . On choisit une suite -orthogonale échelonnée .
9. Soit un entier fixé. On rappelle que les racines de sont toutes réelles et simples et qu'elles sont notées . Soit un élément de . Soit le reste de la division euclidienne de par .
9. a. Montrer que est l'unique polynôme de degré inférieur ou égal à qui prend les mêmes valeurs que aux points .
9. b. Montrer qu'on a l'égalité
  1. c. Déduire de ce qui précède qu'il existe des constantes réelles telles que pour tout polynôme appartenant à , on ait
  1. d. Montrer que les réels sont strictement positifs.
  2. Pour tout intervalle fermé de , on note le sous-ensemble de formé des fonctions qui prennent des valeurs strictement positives sur et sont identiquement nulles hors de .
Soit , où et sont deux réels tels que . Soit un élément de .
10. a. Soient et deux réels appartenant à tels que . Montrer qu'il existe
un polynôme qui prend des valeurs strictement négatives sur et tel que
On pourra commencer par montrer qu'il existe une fonction continue affine par morceaux satisfaisant cette propriété.
10. b. Montrer que tout intervalle ouvert non vide contenu dans a une intersection non vide avec l'ensemble .

Quatrième partie

Pour tout intervalle fermé de , on considère le sous-ensemble de défini à la question 10.
Soit un intervalle fermé de . On dit qu'une fonction a la propriété si l'assertion suivante est vraie:
Si est une fonction continue telle que pour tout appartenant , on ait
alors est identiquement nulle sur .
11. Soit un intervalle fermé et borné. Soit un élément de .
11. a. Soit une fonction continue de dans telle que l'égalité (2) ait lieu pour tout appartenant à . Montrer que .
11. b. En déduire que a la propriété .
12. Soient et deux réels tels que et . Soit un entier naturel.
12. a. Montrer que l'intégrale
est convergente.
12. b. Montrer que , où l'on a posé
On s'assurera en particulier que la définition de a un sens.
12. c. Montrer que, et étant fixés, la fonction est continue et dérivable sur l'intervalle ] - [.
12. d. Montrer que cette fonction est constante sur .
12. e. On suppose . Calculer la partie imaginaire de .
12. f. Soit . Toutes les fonctions de ont-elles la propriété ?
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