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Polynômes orthogonaux, matrices tridiagonales et entrelacement des racines
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Le problème construit des familles de polynômes orthogonaux pour un poids w, établit leur relation de récurrence à trois termes et montre que leurs racines sont réelles, simples et entrelacées d'un degré à l'autre. Il relie ce résultat à l'entrelacement des valeurs propres d'une matrice symétrique et de l'une de ses sous-matrices, puis à une formule de quadrature exacte sur les polynômes de degré au plus 2n-1.

  1. 1Première partieConstruit une suite de polynômes w-orthogonaux échelonnée et établit sa relation de récurrence à trois termes.
  2. 2Deuxième partieMontre que les racines des polynômes orthogonaux sont réelles et simples, les relie au spectre d'une matrice tridiagonale, puis établit l'entrelacement des valeurs propres d'une matrice symétrique et d'une sous-matrice extraite.
  3. 3Troisième partieConstruit une formule de quadrature exacte sur les polynômes de degré au plus 2n-1 à partir des racines des polynômes orthogonaux.
  4. 4Quatrième partiePartie indépendante des trois précédentes, qui étudie une propriété de densité liée à l'intégration contre un poids w.

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MATHÉMATIQUES

DURÉE: 4 HEURES

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Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Le sujet comporte 5 pages

Préambule

Dans tout ce problème, R[X] désigne l'espace vectoriel des polynômes à coefficients réels. Le degré du polynôme nul est pris par convention égal à − ∞. Pour tout entier naturel n, R_n[X] est le sous-espace vectoriel de R[X] formé des polynômes de degré inférieur ou égal à n. On identifiera chaque fois que c'est nécessaire les éléments de R[X] à des fonctions réelles d'une variable réelle.
On appelle W l'ensemble des fonctions w : R ⟶ R continues par morceaux telles que
(i) ∀x ∈ R, w(x) ⩾ 0,
(ii) il existe un intervalle ouvert non vide sur lequel w ne s'annule pas,
(iii) pour tout entier naturel n, lim_(x → − ∞)x^n w(x) = lim_(x → + ∞)x^n w(x) = 0.
Soit n un entier strictement positif. On note ( e_1, …, e_n ) la base canonique de l'espace vectoriel R^n. On munit R^n du produit scalaire ⟨ ⋅, ⋅ ⟩ défini comme suit: pour tous réels x_1, …, x_n et y_1, …, y_n,
⟨∑_(i = 1)^n x_i e_i, ∑_(j = 1)^n y_j e_j⟩ = ∑_(i = 1)^n x_i y_i.
Soit n un entier strictement positif et A une matrice de taille n × n à coefficients réels. Pour tous entiers i et j appartenant à {1, …, n}, on note A_(ij) le coefficient de A situé à l'intersection de sa i-ème ligne et de sa j-ème colonne. Pour tout n entier strictement positif, on note I_n la matrice identité de taille n × n.
On rappelle que si J est un intervalle fermé borné de R et si f : J ⟶ R est une fonction continue, alors pour tout ε > 0, il existe P dans R[X] tel que sup_(x ∈ J)|f(x) − P(x)| < ε.
La quatrième partie du problème est indépendante des trois autres.

Première partie

  1. a. Donner un exemple de fonction appartenant à W.
  2. b. Soit w un élément de W. Montrer que pour tous P et Q appartenant à R[X], la fonction d'une variable réelle x ↦ P(x)Q(x)w(x) est intégrable sur R. On note alors (P|Q)_w le nombre réel défini par
(P|Q)_w = ∫_(− ∞)^(+ ∞)P(x)Q(x)w(x)dx
  1. c. Montrer que l'application qui à un couple (P, Q) d'éléments de R[X] associe (P|Q)_w est un produit scalaire. On notera ‖P‖_w = √((P|P)_w) la norme associée.
On appelle suite w-orthogonale échelonnée une suite (P_n)_(n ⩾ 0) d'éléments de R[X] telle que
(i) ∀n ⩾ 0, P_n est de degré n,
(ii) pour tous entiers naturels n et m distincts, (P_n|P_m)_w = 0.
2. a. Montrer qu'il existe une suite w-orthogonale échelonnée. On donnera une expression d'une telle suite, qui pourra faire intervenir le produit scalaire (⋅ | ⋅)_w.
2. b. Soient (P_n)_(n ⩾ 0) et (Q_n)_(n ⩾ 0) deux suites w-orthogonales échelonnées. Montrer que pour tout n ⩾ 0, les polynômes P_n et Q_n se déduisent l'un de l'autre par multiplication par un réel non nul.
On choisit une suite w-orthogonale échelonnée que l'on note (P_n)_(n ⩾ 0). Pour tout n ⩾ 1, on note ( a_n, b_n ) l'unique couple de réels tel que le polynôme P_n(X) − a_n X^n − b_n X^(n − 1) soit de degré inférieur ou égal à n − 2. On pose (a_0, b_0) = (P_0(0), 0).
3. a. Montrer que pour tout n ⩾ 2 et pour tout Q ∈ R_(n − 2)[X], (XP_n|Q)_w = 0.
3. b. En déduire qu'il existe un unique couple ( α_0, β_0 ) de réels tels que XP_0(X) = α_0 P_1(X) + β_0 P_0(X) et qu'il existe, pour tout n ⩾ 1, un unique triplet ( α_n, β_n, γ_n ) de réels tels que
XP_n(X) = α_n P_(n + 1)(X) + β_n P_n(X) + γ_n P_(n − 1)(X).
  1. c. Montrer que pour tout n ⩾ 1, on a les égalités
α_n = (a_n)/(a_(n + 1)), β_n = (b_n)/(a_n) − (b_(n + 1))/(a_(n + 1)), γ_n = (a_(n − 1))/(a_n)(‖P_n‖_w^2)/(‖P_(n − 1)‖_w^2)

Deuxième partie

Soit w un élément de W. On note J un intervalle de R tel que ∀x ∉ J, w(x) = 0. Il n'est pas exclu que J soit égal à R. On choisit une suite w-orthogonale échelonnée (P_n)_(n ⩾ 0).
4. Soit n ⩾ 1 fixé. On définit un entier naturel r_n et un polynôme R_n comme suit. Si P_n n'a aucune racine dans J ou si toutes ses racines appartenant à J sont d'ordre pair, on pose r_n = 0 et R_n = 1. Sinon, on définit r_n comme le nombre de racines distinctes d'ordre
impair de P_n contenues dans J. On note {t_1, …, t_(r_n)} l'ensemble de ces racines. On pose alors R_n(X) = (X − t_1)…(X − t_(r_n)).
4. a. Montrer qu'il existe un polynôme Q_n de signe constant sur J tel que P_n = Q_n R_n.
4. b. Montrer que si r_n < n, alors (P_n|R_n)_w = 0. En conclure que P_n est scindé sur R, que toutes ses racines sont simples et qu'elles appartiennent toutes à J.
5. a. Montrer qu'il existe une suite w-orthogonale échelonnée dont tous les termes sont de norme 1 dans ( R[X], ‖ ⋅ ‖_w ). Une telle suite est-elle unique?
On suppose jusqu'au 7.a. inclus que pour tout n ⩾ 0, ‖P_n‖_w = 1. On remarquera qu'avec cette hypothèse supplémentaire, γ_n = α_(n − 1) pour tout n ⩾ 1.
Soit T_1 la matrice 1 × 1 égale à ( β_0 ) et, pour tout n ⩾ 2, T_n la matrice tri-diagonale n × n suivante:
T_n = (β_0, α_0, 0; α_0, β_1, ⋱; ⋱, ⋱, α_(n − 2); 0, α_(n − 2), β_(n − 1)),
où les suites (α_n)_(n ⩾ 0) et (β_n)_(n ⩾ 0) sont celles qui ont été définies à la question 3 . On fixe un entier n ⩾ 1.
5. b. Calculer, pour tout réel λ, le vecteur
(T_n − λI_n)(P_0(λ); ⋮; P_(n − 1)(λ))
  1. c. Montrer que le spectre de T_n coïncide avec l'ensemble des racines de P_n.
  2. Soit n ⩾ 2 fixé. Soit A une matrice symétrique réelle de taille n × n dont toutes les valeurs propres sont simples. On note Sp(A) = {λ_1, …, λ_n} son spectre et ( u_1, …, u_n ) une base de R^n telle que pour tout i entre 1 et n, on ait Au_i = λ_i u_i. On suppose que λ_1 < … < λ_n.
    Soit B la matrice (n − 1) × (n − 1) dont les coefficients sont donnés, pour tout (i, j) ∈ {1, …, n − 1}^2, par B_(ij) = A_(ij).
    Pour tout x ∈ R∖Sp(A), on note r(x) = (det(xI_(n − 1) − B))/(det(xI_n − A)).
  3. a. Soit x ∈ R∖Sp(A). En calculant de deux façons différentes le coefficient ( n, n ) de la matrice (xI_n − A)^(− 1), montrer que
⟨(xI_n − A)^(− 1)e_n, e_n⟩ = r(x).
  1. b. Montrer que pour tout x ∈ R∖Sp(A),
r(x) = ∑_(i = 1)^n 1/(x − λ_i)(⟨e_n, u_i⟩^2)/(⟨u_i, u_i⟩)
  1. c. En déduire que la fonction r est continue et strictement décroissante sur chaque intervalle où elle est définie.
  2. d. On suppose que pour tout i appartenant à {1, …, n}, ⟨e_n, u_i⟩ ≠ 0. Montrer que les valeurs propres de B sont simples et que si on les note μ_1, …, μ_(n − 1) de telle sorte que μ_1 < … < μ_(n − 1), alors on a
λ_1 < μ_1 < λ_2 < μ_2 < … < λ_(n − 1) < μ_(n − 1) < λ_n
  1. Pour tout n ⩾ 1, on note λ_1^((n)), …, λ_n^((n)) les racines de P_n classées dans l'ordre croissant.
  2. a. Soit n ⩾ 2 fixé. Montrer que P_(n − 1) et P_n n'ont pas de racine commune puis déduire de ce qui précède qu'on a la suite d'inégalités
λ_1^((n)) < λ_1^((n − 1)) < λ_2^((n)) < λ_2^((n − 1)) < … < λ_(n − 1)^((n)) < λ_(n − 1)^((n − 1)) < λ_n^((n)).
  1. b. Montrer que le résultat reste vrai sans supposer que pour tout n ⩾ 0, ‖P_n‖_w = 1.

Troisième partie

  1. Soit n ⩾ 1 un entier fixé. Soient x_1, …, x_n des réels deux à deux distincts. Pour tout i compris entre 1 et n, on définit la forme linéaire φ_i : R_(n − 1)[X] ⟶ R en posant, pour tout R ∈ R_(n − 1)[X], φ_i(R) = R(x_i).
Montrer que (φ_1, …, φ_n) est une base de l'espace dual de R_(n − 1)[X].
Soit w un élément de W. On choisit une suite w-orthogonale échelonnée (P_n)_(n ⩾ 0).
9. Soit n ⩾ 1 un entier fixé. On rappelle que les racines de P_n sont toutes réelles et simples et qu'elles sont notées λ_1^((n)), …, λ_n^((n)). Soit U un élément de R_(2n − 1)[X]. Soit R le reste de la division euclidienne de U par P_n.
9. a. Montrer que R est l'unique polynôme de degré inférieur ou égal à n − 1 qui prend les mêmes valeurs que U aux points λ_1^((n)), …, λ_n^((n)).
9. b. Montrer qu'on a l'égalité
∫_(− ∞)^(+ ∞)U(x)w(x)dx = ∫_(− ∞)^(+ ∞)R(x)w(x)dx
  1. c. Déduire de ce qui précède qu'il existe des constantes réelles c_1, …, c_n telles que pour tout polynôme U appartenant à R_(2n − 1)[X], on ait
∫_(− ∞)^(+ ∞)U(x)w(x)dx = ∑_(i = 1)^n c_i U(λ_i^((n)))
  1. d. Montrer que les réels c_1, …, c_n sont strictement positifs.
  2. Pour tout intervalle fermé J de R, on note W_J le sous-ensemble de W formé des fonctions qui prennent des valeurs strictement positives sur J et sont identiquement nulles hors de J.
Soit J = [a, b], où a et b sont deux réels tels que a < b. Soit w un élément de W_J.
10. a. Soient s et t deux réels appartenant à J tels que a ⩽ s < t ⩽ b. Montrer qu'il existe
un polynôme V ∈ R[X] qui prend des valeurs strictement négatives sur J∖]s, t[ = [a, s] ∪ [t, b] et tel que
∫_a^b V(x)w(x)dx > 0
On pourra commencer par montrer qu'il existe une fonction continue affine par morceaux satisfaisant cette propriété.
10. b. Montrer que tout intervalle ouvert non vide contenu dans J a une intersection non vide avec l'ensemble Λ = ⋃_(n ⩾ 1){λ_1^((n)), …, λ_n^((n))}.

Quatrième partie

Pour tout intervalle fermé J de R, on considère le sous-ensemble W_J de W défini à la question 10.
Soit J un intervalle fermé de R. On dit qu'une fonction w ∈ W_J a la propriété (D_J) si l'assertion suivante est vraie:
(D_J) Si f : J ⟶ R est une fonction continue telle que pour tout P appartenant a^‵R[X], on ait
∫_J f(x)P(x)w(x)dx = 0
alors f est identiquement nulle sur J.
11. Soit J un intervalle fermé et borné. Soit w un élément de W_J.
11. a. Soit f une fonction continue de J dans R telle que l'égalité (2) ait lieu pour tout P appartenant à R[X]. Montrer que ∫_J f(x)^2 w(x)dx = 0.
11. b. En déduire que w a la propriété (D_J).
12. Soient μ et α deux réels tels que μ ∈ ]0, 1[ et α ∈ ] − π/2, π/2[. Soit n un entier naturel.
12. a. Montrer que l'intégrale
I_n(μ, α) = ∫_0^(+ ∞)e^(− x^μ e^(iα))x^n dx
est convergente.
12. b. Montrer que I_n(μ, α) = 1/μe^(− i(n + 1)/μα)K_n(μ, α), où l'on a posé
K_n(μ, α) = e^(i(n + 1)/μα)∫_0^(+ ∞)e^(− ye^(iα))y^((n + 1)/μ − 1)dy.
On s'assurera en particulier que la définition de K_n(μ, α) a un sens.
12. c. Montrer que, n et μ étant fixés, la fonction α ↦ K_n(μ, α) est continue et dérivable sur l'intervalle ] - π/2, π/2 [.
12. d. Montrer que cette fonction est constante sur ] − π/2, π/2[.
12. e. On suppose μ < 1/2. Calculer la partie imaginaire de I_n(μ, πμ).
12. f. Soit J = [0, + ∞[. Toutes les fonctions de W_J ont-elles la propriété (D_J) ?

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques PSI X-ENS 2006 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques PSI X-ENS 2006 ?

Il porte sur les polynômes orthogonaux pour un produit scalaire à poids, sur la réduction des matrices symétriques (notamment tridiagonales), et sur une formule de quadrature exacte reliant les deux.

Quelles parties du sujet sont indépendantes ?

L'énoncé précise que la quatrième partie est indépendante des trois autres ; les trois premières parties s'enchaînent en revanche les unes dans les autres.

Faut-il connaître la théorie des polynômes orthogonaux classiques (Legendre, Tchebychev) ?

Non, le sujet construit sa propre théorie générale des suites w-orthogonales échelonnées à partir des définitions données en préambule.

Quel outil d'algèbre linéaire est central dans ce sujet ?

La réduction des matrices symétriques réelles, notamment tridiagonales, dont le spectre est relié aux racines des polynômes orthogonaux.

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