Pour les épreuves d'admissibilité, l'usage de calculatrices électroniques de poche à alimentation autonome, non imprimantes et sans document d'accompagnement, est autorisé, une seule à la fois étant admise sur la table ou le poste de travail. et aucun n'échange n'est autorisé entre les candidats.

Notations et définitions

Dans tout le problème on considère des matrices carrées

à coefficients réels, et on note

l'ensemble de ces matrices. Si

appartient à

désignera son coefficient sur la ligne

et la colonne

. On définit les sous-ensembles de

suivants:

𝟙

où

𝟙

est la matrice identité, n'ayant que des 1 sur la diagonale et nulle ailleurs,

é

, l'ensemble des matrices triangulaires inférieures,
et son sous-ensemble

Une application bilinéaire

, où

sont deux espaces vectoriels, est díte alternée si, pour tout

Dérivation : si

est une fonction dérivable d'une variable réelle

, on note

sa dérivée en

0. Préliminaires

On munit

de la norme suivante (qu'on ne demande pas de justifier)

où

est la norme euclidienne de

Soit une matrice de . Montrer que la série

est convergente.
2. Justifier que

est l'inverse de

. En déduire que

appartient à

.
3. Montrer que l'application

est une fonction de classe

et calculer sa dérivée.
4. Montrer que

commute avec

I. Équation de Lax

L'objectif est de résoudre certaines équations différentielles ordinaires du premier ordre

où

appartient à un sous-espace vectoriel

On définit le crochet de deux matrices de par

(a) Montrer que

est une application bilinéaire alternée.
(b) Que peut-on dire de la trace de

?
(c) Montrer que le crochet de deux matrices antisymétriques est une matrice antisymétrique.
(d) Montrer que si

, alors

.
2. (a) Soit

une application de classe

d'un intervalle

dans

. Justifier que

est également de classe

et donner une expression simple de sa dérivée en fonction de la dérivée

.
(b) Soit maintenant

une matrice fixée. Dériver l'application

et montrer que

On considère l'équation différentielle ordinaire suivante dans (dite de Lax) :

où

est une matrice dépendant continument de

une matrice constante fixée. Montrer que si

est une solution de (1) sur un intervalle

, alors

est constante.
4. Dans toute la suite du problème

est une solution de (1). On rappelle que le spectre d'une matrice

est l'ensemble de ses valeurs propres (y compris complexes). Nous nous proposons d'étudier le spectre de

quand

varie.
(a) Soit

un intervalle et

une fonction de classe

dont le déterminant ne s'annule jamais.
i. On suppose ici que

𝟙

; calculer la dérivée en zéro de

.
ii. Calculer la dérivée

dans le cas général et pour tout

.
(b) Montrer que si pour un certain

, alors

est constant (non nul). Que peut-on dire

𝟙

où

est un nombre complexe fixé?
(c) Conclure que le spectre de

ne varie pas avec

. On dit que la solution est isospectrale.
5. On suppose que

possède

valeurs propres réelles distinctes.
(a) Montrer qu'il existe pour tout

une matrice

telle que

. Est-elle unique?
(b) En admettant que l'on peut choisir

de telle sorte que

soit de classe

, quelle équation différentielle

satisfait-elle (on pourra faire intervenir la matrice

)?
(c) Vérifier qu'une solution du système suivant dans

𝟙

s'il en existe, satisfait l'équation différentielle de la question 5 b. Justifier l'existence de solutions de (2). En déduire une façon de construire les solutions de (1). Que peut-on dire dans le cas où

n'a pas toutes ses valeurs propres distinctes?
6. Déduire de ce qui précède la solution de (1) quand

est une matrice constante.

II. DÉCOMPOSITION DE MATRICES

(a) Montrer que et sont des sous-espaces vectoriels de et que . On notera par la suite et les projections qui à un élément associent les deux termes dans la somme directe (c'est-à-dire ).
(b) Montrer que et sont des sous-groupes de .
(c) Montrer que si alors . De même si .
(d) Soit un intervalle de . Montrer que si (respectivement ) est une application de classe , alors (resp. ) est à valeur dans (resp. ).
(a) Montrer que tout élément peut s'écrire comme le produit d'une matrice par une matrice (on pourra s'inspirer de la décomposition de Gram-Schmidt).
(b) Montrer que cette décomposition est unique. On notera respectivement et les applications de dans qui à associent les éléments et issus de la décomposition de la question II.2a.
(c) Soit un intervalle et une application de classe telle que . Pour tout , on pose et . Montrer que et sont des applications de classe à valeur dans .
On veut résoudre l'équation dans :

(a) On cherche la solution sous la forme

. Donner une équation différentielle pour

et une condition en

qui garantissent que

satisfait (3).
(b) Montrer que

est la solution.

III. Réseau de Toda

On considère

particules de masse 1 se déplaçant sur une droite, de position

et vitesse

pour

entre 1 et

. Par souci de concision, on notera

-uple

; de même pour

-ème particule est repoussée par les particules

et subit une accélération

(équation de Newton); la formule est modifiée aux deux extrémités :

On considérera le système différentiel de

équations à

fonctions inconnues issu des équations ci-dessus :

avec les conditions initiales

Vérifier que le système ( ) satisfait les conditions de Cauchy-Lipschitz pour l'existence d'une solution sur un intervalle (non précisé) . On notera par la suite une telle solution.
On définit l'énergie mécanique du système par:

Vérifier que

est constant. On dit que la fonction

est une intégrale première du mouvement.
3. Vérifier que la fonction

est aussi une intégrale première.
4. Soit

la fonction

. Que peut-on dire de la fonction

?
5. On suppose désormais que

. Considérons les matrices

suivantes

autrement dit

Montrer que

satisfait une équation de Lax de type (3). En déduire l'expression générale de la solution.
6. Résoudre explicitement (

) dans le cas

, avec la condition initiale